2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础判断、中档计算到综合探究的三层设计，系统巩固圆与圆的位置关系，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位置关系直接判断|单选形式考查概念辨析，如第1题判断两圆位置关系| |中档|公共弦/公切线/参数范围|结合运算与推理，如第2题公共弦长计算、第5题参数范围求解| |提升|综合证明与探究|渗透模型观念，如第14题证明相交及求最小面积圆、第15题探究定值问题|

2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步练习 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 5．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 7．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则正确的结论有（   ） A．直线l的纵截距为 B．与圆C关于直线对称的圆的方程为 C．直线l与圆C相交 D．与直线l平行且与圆C相切的直线方程为 【答案】ABC 【分析】由已知可得圆心，半径，将直线化为斜截式即可求得纵截距判断A；先求圆心关于直线的对称点，可得对称后圆的方程即可判断B；根据圆心在直线上即可判断C；设平行于l且与圆C相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，即可判断D. 【详解】因为圆，所以圆心，半径， 对于A，直线，即，所以直线l的纵截距为，故A正确； 对于B，因为圆心关于直线对称点为， 所以与圆C关于直线对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，因为圆心在直线上，所以直线l与圆C相交，故C正确； 对于D，平行于l且与圆C相切的直线方程为， 所以，解得或， 所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为和，故D错误. 故选：ABC. 9．（25-26高二上·山东潍坊·期末）（多选）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【分析】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【详解】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 10．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 11．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 12．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 13．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 14．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 15．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． (1)当时，求切线长； (2)求证：直线恒过定点； (3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得， 所以直线经过定点； (3)为定值 【分析】（1）求出及圆的半径，再利用勾股定理即可得解； （2）根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，即可得证； （3）根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当时，，则， 因为为圆的切线，所以， 所以； （2）略 （3）因为，所以， 因为在直线上，所以， 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系课后同步练习 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则正确的结论有（   ） A．直线l的纵截距为 B．与圆C关于直线对称的圆的方程为 C．直线l与圆C相交 D．与直线l平行且与圆C相切的直线方程为 9．（25-26高二上·山东潍坊·期末）（多选）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 10．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 12．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 13．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 14．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 15．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． (1)当时，求切线长； (2)求证：直线恒过定点； (3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $