2.5.2圆与圆的位置关系同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到素养创新梯度递进，覆盖圆与圆位置关系判定、公切线、公共弦等核心知识点，通过选择、填空、解答题实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆与圆位置关系判定、公切线条数、半径计算|以选择、填空题为主，直接考查定义与公式应用，如位置关系判断（外离、外切等）| |B级|含参数圆位置关系、最值问题、综合判定|多选题与中档解答题结合，考查推理能力，如两圆相交时参数范围、距离最值| |C级|轨迹方程、切线交点探究|探究性解答题，需数学抽象与逻辑推理，如弦中点轨迹、切线交点定直线证明|

2.5.2　圆与圆的位置关系 A级　必备知识基础练 1.(2026河北石家庄期中)圆C1:x2+(y-3)2=5与圆C2:x2+y2-8x+10=0的位置关系为(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.(2026广东深圳期中)与圆C:x2+(y+2)2=4和圆D:(x+5)2+(y+2)2=9都相切的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.(2026重庆高二期中)已知圆C1:(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)与圆C2:(x-1)2+y2=1外切,则r的值为(　　) A.-1 B.+1 C.2-1 D.2+1 4.若圆(x+1)2+y2=4和圆(x-a)2+y2=1相交,则a的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(-4,-2)∪(0,2) C.(-4,-2) D.(-2,0)∪(2,4) 5.(多选题)(2026河北高二期中)已知圆C1:x2+y2+2x+2y-6=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0,则下列说法正确的有(　　) A.两圆的圆心距为2 B.两圆的公切线有2条 C.两圆相交,且公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0 D.两圆圆心所在直线方程为2x+y+3=0 6.(多选题)(2026吉林长春期中)圆Q1:x2+y2-2x=0和圆Q2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列说法正确的有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB的中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆Q1上一动点,则点P到直线AB距离的最大值为+1 7.写出一个半径为1,且与圆(x-1)2+y2=4外切的圆的标准方程:　　　　　　　　.  8.x2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1(a>0)内切,则a=　　　　　.  9.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线的方程为　　　　　　　　.  10.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-4)2+(y-3)2=9有两个不同的交点D,E. (1)求r的取值范围; (2)若r=4,求线段DE的长. B级　关键能力提升练 11.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为(　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 12.(2026广东广州期中)已知P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-3)2+(y-1)2=1与圆C2:(x-4)2+(y-1)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 13.(2026山东青岛期中)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是(　　) A.3+ B.3- C.3+或3- D. 14.(多选题)已知圆M:x2+y2-2x-3=0,圆N:x2+y2-8x-8y+23=0,则下列选项正确的有(　　) A.直线MN的方程为4x-3y-4=0 B.若P,Q两点分别是圆M和圆N上的动点,则|PQ|的最大值为5 C.圆M和圆N的公切线有两条 D.经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为π 15.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　. 16.已知圆O1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆O2:(x+n)2+(y+2)2=1内切,则m2+n2的最小值为　　. C级　学科素养创新练 17.已知直线l:x=my-1,圆C:x2+y2+4x=0. (1)证明:直线l与圆C相交. (2)设l与圆C的两个交点分别为A,B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程. (3)在(2)的条件下,设圆C在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,l1与l2的交点为Q.试探究:当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由. 答案 1.A　由题意知C1(0,3),C2(4,0),两圆的半径分别为, 所以|C1C2|==5>,故两圆外离.故选A. 2.C　由题意C(0,-2),D(-5,-2),因此|CD|=5,圆C的半径r1=2,圆D的半径r2=3, 由|CD|=r1+r2可得两圆外切,有3条公切线.故选C. 3.C　圆C1:(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)的圆心为C1(-1,2),半径为r,圆C2:(x-1)2+y2=1的圆心为C2(1,0),半径为R=1,可得|C1C2|==2, 若圆C1与圆C2外切,则|C1C2|=r+R, 即2=r+1,解得r=2-1.故选C. 4.B　∵圆(x+1)2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1相交, ∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和, 即2-1<<2+1,所以1<|a+1|<3. 解得0<a<2或-4<a<-2.故选B. 5.ABD　x2+y2+2x+2y-6=0配方得(x+1)2+(y+1)2=8,得圆心C1(-1,-1),半径r1=2; x2+y2-2x+10y-24=0配方得(x-1)2+(y+5)2=50,得圆心C2(1,-5),半径r2=5. 对于A,圆心距为=2,故A正确; 对于B,r1+r2=7,|r1-r2|=3,因为3<2<7,所以两圆相交,公切线有2条,故B正确; 对于C,两圆方程相减得4x-8y+18=0,即2x-4y+9=0,并不是x-2y+4=0,故C错误; 对于D,两圆圆心所在直线的斜率为=-2,方程为y+1=-2(x+1),化简得2x+y+3=0,故D正确.故选ABD. 6.ABD　对于A,因为圆Q1:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则圆心为Q1(1,0),半径r1=1, 圆Q2:x2+y2+2x-4y=0,即(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为Q2(-1,2),半径r2=, 又|Q1Q2|==2,则r2-r1<|Q1Q2|<r2+r1,所以两圆相交,将两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为4x-4y=0,即x-y=0,故A正确;对于B,圆Q1:x2+y2-2x=0的圆心为Q1(1,0),又kAB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,即线段AB的中垂线方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;对于C,圆心Q1(1,0)到x-y=0的距离d=,又圆Q1的半径r1=1,所以|AB|=2×,故C错误;对于D,P为圆Q1上一动点,圆心Q1(1,0)到x-y=0的距离为d=,又圆Q1的半径r1=1,所以点P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.故选ABD. 7.(x-4)2+y2=1(答案不唯一)　依题意可设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,根据两圆外切得两圆的圆心距为=1+2,即(a-1)2+b2=9. 令a=4,则b=0,所求圆的方程可以为(x-4)2+y2=1. 8.1　根据题意,x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径R=1,两圆的圆心距d=|a|,若两圆内切,则|a|=1,解得a=1或a=-1,由a>0,得a=1. 9.x+y-3=0　∵圆C1的圆心为C1(3,0),圆C2的圆心为C2(0,3), ∴直线C1C2的方程为x+y-3=0. 由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2,故其方程为x+y-3=0. 10.解 (1)易知圆O:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),半径r1=r, 圆C:(x-4)2+(y-3)2=9的圆心为C(4,3),半径r2=3. 又两圆相交,所以|r1-r2|<|OC|<|r1+r2|, 即|r-3|<5<r+3,得2<r<8. 故r的取值范围为(2,8). (2)因为|OD|=r=4,|CD|=3,|OC|=5,所以|OC|2=|CD|2+|OD|2,则△OCD为直角三角形,如图. 又OC⊥DE,设OC与DE相交于点F, 所以△CFD∽△CDO,则,得|DF|=.故|DE|=2|DF|=. 11.A　由已知可得,圆C1的方程可化为(x+a)2+y2=4,圆心为C1(-a,0),半径r1=2;圆C2的方程可化为x2+(y-b)2=1,圆心为C2(0,b),半径r2=1.因为圆C1与圆C2恰有三条公切线,所以两圆外切.所以有|C1C2|=r1+r2,即=3,所以a2+b2=9. 又(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=18,当且仅当a=b时,等号成立,所以-3≤a+b≤3.故选A. 12.C　由题知,两圆圆心为C1(3,1),C2(4,1),半径都是1, 设点C1关于直线y=x+1对称的点C3(a,b), 则解得即C3(0,4). 对于直线y=x+1上任意一点P,到圆C1上的点的距离的最小值为|PC1|-1=|PC3|-1,到圆C2上的点的距离的最小值为|PC2|-1. 又|PC2|+|PC3|≥|C2C3|,且|C2C3|==5, 所以|PM|+|PN|的最小值为|C2C3|-2=3.即|PM|+|PN|的最小值为3.故选C. 13.C　根据题意,圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,其圆心为C(1,1),半径r=3. 由两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2, 设该圆为圆O,其圆心为O(0,0),半径R=a. 若点P满足∠APB=90°,则点P在圆x2+y2=a2上. 又由圆C上有且只有一点P使得∠APB=90°,则圆C与圆x2+y2=a2相切,则有|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(3-a)2或|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(3+a)2, 又因为a>0,解得a=3-或a=3+.故选C. 14.AD　由题意可知,圆M:(x-1)2+y2=4的圆心M(1,0),半径r1=2,圆N:(x-4)2+(y-4)2=9的圆心N(4,4),半径r2=3.对于A,直线MN的方程为,即4x-3y-4=0,故A正确; 对于B,因为|MN|==5,所以|PQ|的最大值为|MN|+r1+r2=10,故B错误; 对于C,因为|MN|=r1+r2,可知圆M与圆N外切,所以两圆有三条公切线,故C错误; 对于D,当MN为圆的直径时,此时该圆为经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆,此时圆的面积为π=π,故D正确.故选AD. 15.3　由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直, ∴kAB×1=-1,即=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1).AB的中点在直线x-y+c=0上, ∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3. 16.2　∵圆O1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆O2的圆心为(-n,-2),半径为r2=1, ∴两圆的圆心距d=|m+n|.∵两圆内切, ∴|m+n|=2,可得m2+n2+2mn=4⇒4-(m2+n2)=2mn≤m2+n2, ∴m2+n2≥2,当且仅当|m|=|n|=1时,等号成立,故m2+n2的最小值为2. 17.(1)证明 直线l:x=my-1过定点(-1,0),1+0-4<0,故点(-1,0)在圆C内,故直线l与圆C相交. (2)解 圆C:x2+y2+4x=0的圆心为C(-2,0), 设点M(x,y),由垂径定理得kl·kCM=-1, 即=-1,化简得x2+y2+3x+2=0, 则点M的轨迹方程为x2+y2+3x+2=0. (3)解 是.设点Q(x0,y0),由题意得Q,A,B,C四点共圆,且圆的方程为(x-x0)(x+2)+(y-y0)y=0,即x2+y2+(2-x0)x-y0y-2x0=0,与圆C的方程x2+y2+4x=0联立,得(x0+2)x+y0y+2x0=0,即为直线l的方程, 因为直线l:x=my-1过定点(-1,0),所以2x0=x0+2, 解得x0=2,所以当m变化时,点Q恒在直线x=2上. 7 学科网（北京）股份有限公司 $