2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 高中数学圆与圆的位置关系同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过北京地域考题强化从概念辨析到存在性问题的递进巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|位置关系判定（几何法/代数法）、概念辨析|判断正误题结合直接位置关系选择题（如单选1-2），夯实几何直观| |能力提升|公切线条数、相切条件参数、充要条件|通过公切线（单选3）、参数求解（单选4）题，发展推理能力| |综合应用|相交弦、存在性问题、切线方程|解答题（15-16）整合位置关系判断与切线方程，体现模型观念|

2.5.2圆与圆的位置关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．圆与圆位置关系的判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示                  d与，的关系 __________ ______ ______ ______ ______ （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【答案】 ,相交，内切或外切，外离或内含 2．判断正误 （1）若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( ) （2）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．( ) （3）若两圆有公共点，则．( ) 【答案】 × × √ 【详解】（1）两圆没有公共点，可以是外离，也可以是内含，错误； （2）两圆有一个公共点，可以是内切，也可以是外切，错误； （3）两圆有公共点，则|r1−r2|≤d≤r1+r2 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京西城·期中）圆和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外离 D．内含 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距，并与两圆半径和比较大小，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为， 因为，故两圆外离. 故选：C. 2．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系判断即可． 【详解】解：对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为 对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为， 所以圆心距为， 所以，两圆的位置关系为外切. 故选：C 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把两圆方程化为标准形式确定圆心和半径，再计算圆心距，通过比较圆心距和两圆半径之和的关系判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数． 【详解】圆的标准形式为：， 该圆为以为圆心，半径是的圆； 圆为以为圆心，半径是的圆， 圆心距， ， ， 两圆相外切，共有3条公切线． 故选：C． 4．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解． 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以. 故选：D. 5．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由知点P的轨迹方程是以 AB 为直径的圆，将问题等价于圆与圆：有公共点即可求解. 【详解】因为，所以， 因此点 P 必在以 AB 为直径的圆上，圆心为，半径为 ， 因为圆：圆心为 ，半径为， 所以两圆的圆心距为 问题等价于圆与圆：有公共点， 所以，即，解得. 则的最小值为2. 故选：B. 6．（2025·高二上·北京西城·期中）“”是“圆与圆相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系及充分条件，必要条件的概念进行判断即可得出答案. 【详解】时，圆的圆心坐标为 ,半径为2，可得两圆相切 所以“”是两圆相切的充分条件； 若圆与圆相切， 当两圆外切时，；当两圆内切时，解得或， 所以“”不是两圆相切的必要条件，选项A正确. 故选：A. 7．（2025·高二上·北京·期中）⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2， ∴截得弦长为. 故选：D 8．（25-26高二上·北京昌平·期中）圆与圆的公切线条数（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得公切线的条数. 【详解】圆的标准方程是，设圆心，半径， 圆，设圆心，半径， 因为，，， 所以， 所以两圆相交，公切线有2条. 故选：B 9．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，点，半径为的圆恒经过点，若存在圆心使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意圆心在以为圆心，为半径的圆上，由存在圆心使得，以为直径的圆与圆有公共点，求出两圆心距，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为半径为的圆恒经过点， 所以圆心在以为圆心，为半径的圆上， 又存在圆心使得， 所以以为直径的圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径， 又与的距离， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C 10．（2025·北京延庆·一模）已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得 ，则m的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的取值范围，由此求得的最大值. 【详解】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为. 圆的圆心为，半径为. 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，解得， 所以的最大值为6. 故选：C 二、填空题 11．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知圆，圆，若圆A与圆B相切，则m的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先确定两圆的圆心与半径，计算圆心距，再根据外切、内切的圆心距与半径的关系列方程求解的取值. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 两圆圆心距. 两圆相切包含外切与内切两种情况： ①. 外切时，，即，解得，. ②. 内切时，，即，解得，. 故的一个取值可为（或、、）. 故答案为：（答案不唯一） 12．（25-26高二上·北京西城·期末）若圆：与圆：无交点，则的一个值可以是______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据两圆的位置关系进行求解. 【详解】因为圆：与圆：无交点， 所以圆与圆相离或内含，， 当两圆相离时，， 当两圆内含时，， 综上或； 故答案为：（答案不唯一） 13．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为______. 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，列出不等式求解即可. 【详解】由题可得，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 所以，即，解得或， 所以实数可以取的一个值为. 故答案为：3.（答案不唯一） 14．（25-26高二上·北京·期中）已知圆，圆，且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则两圆公共弦的长度为__________． 【答案】 【分析】根据圆心在直线上求出，两圆方程相减求公共弦所在直线方程，然后利用弦长公式求解可得. 【详解】由配方得， 由题知，圆的圆心在直线上，则，得， 故圆的标准方程为，其圆心，半径， 圆的标准方程为，其圆心，半径， 因为， 由，可得两圆相交， 将两圆的方程相减并化简，即得公共弦所在直线的方程为， 则点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故答案为： 三、解答题 15．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知圆，圆及点. (1)判断圆和圆的位置关系，并说明理由； (2)若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)圆和圆相交，理由如下： 圆方程可整理为：，则圆心，半径， 由圆方程可知：圆心，半径， 因为，，， 所以， 所以圆和圆相交. (2)或. 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系. （2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程. 【详解】（1）圆和圆相交，理由略； （2）当过的直线斜率不存在， 即直线为时，其与圆不相切， 所以可设所求切线方程为：，即， 所以圆心到切线的距离，即，解得：或， 所以切线方程为：或，即或. 16．（2025·高二上·北京丰台·期中）已知圆：. (1)求圆的圆心坐标以及半径； (2)求经过点的圆的切线方程； (3)若圆与圆： 有公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)圆心的坐标为，半径 (2)或 (3) 【分析】（1）将圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解； （2）讨论切线的斜率不存在和存在的两种情况求切线方程； （3）由题意转化圆心距和半径的关系式，再转化为不等式求实数的取值范围. 【详解】（1）因为圆：，整理得 所以圆心的坐标为，半径． （2）①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意； ②当切线斜率存在时，设：， 即. 设圆心 到切线的距离为，则． 整理可得：， 解得： 所以切线的方程为，即. 综合①②，切线的方程为或. （3）圆与圆的圆心距为， 设圆的半径为，圆的半径为， 若圆与圆：有公共点， 则，即， 解得， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.5.2圆与圆的位置关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为1，「2，两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判 断方法如下： 位 置 外离 外切 相交 内切 内含 关 系 图 n 示 d 与 r2 的 关 系 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断。 圆C方程 △>0→ 圆C,方程 消元，一元二次方程△=0→ △<0→ 2.判断正误 (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.() (2)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立.() 试卷第1页，共3页 (3)若两圆有公共点，则l,-r,sd≤r+r?（) 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上北京西城期中)圆x-1P+y=1和圆x2+y-3=4的位置关系是（ ) A.相交 B.内切 C.外离 D.内含 2.(25-26商二上北京期中)圆C1:X2+y2-6y=0与圆 C2:x2+y2-43x-2y+12=0的位置关系为() A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 3.(25-26高二上·北京·阶段检测)已知圆x2+y2=4与圆x2-10x+y2+16=0,则两圆 公切线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高二上：北京朝阳：期中)已知圆C1x+1P+y-1?=1与圆 C2:x-2+y+3=a+13外切，则a=（) A.-9 B.-4 C.1 D.3 5.（25-26高二上北京丰台：期末)已知圆C:X+y-2P=r（r>0}和两点A(-4,0y B(4,0),若圆C上存在一点P,使得PA·PB=0,则r的最小值为() A.1 B.2 C.5 D.6 6.（2025高二上北京西城期中)“ “a=-3”是“圆x+y2=1与圆(x+a2+y=4相 切”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2025·高二上·北京·期中)⊙C1:(x-1)2+y2=4与⊙C2:(x十1)2+0y-3)2=9相交弦所 在直线为1，则1被⊙0：x2+y2=4截得弦长为() 试卷第2页，共3页 A.V13 B.4 c. 439 13 D. 839 13 8.(25-26高二上北京昌平：期中)圆×+y-2x+4y+1=0与圆(x-4}2+(y-2=16 的公切线条数() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 9.(25-26高二上·北京海淀期末)已知点A-2,0,点B2,0,半径为r的圆C恒经过点 3,4若存在圆心c使得·C3=0'则，的取值范围是（） A.12V2,4 B.(3,+o0) C.3,7} D.5,+o 10.(2025北京延庆一模)已知圆C:(x-4+y-3=1和两点A(-m,0'B(m,0) (m>0)若圆C上存点P,使得∠APB=90°，则m的最大值为() A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题 1.(25-26高二上北京朝阳期末)已知圆A:x-mP+y2=2圆B:X+y-m2=8 若圆A与圆B相切，则的一个取值为 12.(25-26商二上北京西城期末若圆C,x-pP+y=4与圆C,:X+y2=1无交点， 则P的一个值可以是 13.(25-26高二上北京大兴期中)已知圆M:x2+y2-2ay+a2-4=0与圆 N:x2+y2-4x+3=0有4条公切线，则实数a可以取的一个值为 14.(25-26高二上·北京期中)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆 N:x2+y+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M 上，则两圆公共弦的长度为 三、解答题 15.(24-25高二上·北京丰台期中)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,圆 试卷第3页，共3页 C1:(x-32+(y-12=4及点P(3,1) (1)判断圆C和圆C1的位置关系，并说明理由： (2)若斜率为k的直线经过点P且与圆C相切，求直线的方程， 16.(2025高二上北京丰台期中)已知圆M1:x2+2x+y2-8=0. (1)求圆M1的圆心坐标以及半径： (2)求经过点P,(2,1)的圆M1的切线方程： (3)若圆M,与圆M,:(x-2P+(y-4Y=m(m>0有公共点，求实数m的取值范围. 试卷第4页，共3页