2.2.1直线的点斜式方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过前情回顾两条直线平行和垂直的判定，以“给定一点和方向确定直线”的问题导入，引导学生从斜率公式推导方程，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过探究式学习培养数学思维，如从斜率公式推导点斜式方程的推理过程，结合概念辨析（截距与距离的区别）发展数学眼光，题型训练（平行垂直问题、过定点问题）强化数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可获得系统的教学流程与多样化练习资源。

第二章 直线和圆的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 前情回顾 两条直线 平行和垂直的判定 平行与斜率 垂直与斜率 学 习 目 标 1 2 3 掌握直线方程的点斜式、斜截式方程及适用条件. 明确直线的点斜式方程和斜截式方程中参数的含义. 能运用直线方程的点斜式、斜截式解决平行和垂直问题. 读教材 阅读课本P59-P61，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的点斜式方程和斜截式方程”吧！ 1. 直线的点斜式方程和斜截式方程是什么？ 2. 说说如何利用坐标系中的直线和代数式定义截距？ 3. 点斜式方程和斜截式方程中的定点分别是什么？ 新课引入 下面我们一起来探究，直线上任意一点的 坐标满足的关系式？ 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线。也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定。 那么，这一关系如何表示呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 3 题型训练 新知探究1 探究1 在平面直角坐标系中，一条直线上任意一点的坐标与 直线上一点 和直线斜率之间的关系如何表示？ 解：如图所示， 设是直线上不同于点的任意点， 因为直线斜率为，由斜率公式得， 整理得. 新知探究1 思考1 直线上每个点的坐标都满足关系式吗？ 解：由上述推导过程可知： 我们已经证明了直线上不同于点任意点的坐标 都满足关系式： 因此：直线上每个点的坐 都满足关系式： 新知探究1 思考2 坐标满足关系式的每一个点都在直线上吗？ 解：若点的坐标满足关系式，则有 当时，这时点与重合，点在直线上； 当时，有，即， 这时直线斜率为因为直线和直线的斜率都为且都过点，所以两条直线重合，点在直线上。 因此：坐标满足关系式的每一个点都在直线上。 概念 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程： (1)直线上每个点的坐标()都满足关系式； (2)坐标满足关系式的每一个点都在直线上. 构成元素：直线上一定点，直线斜率 应用条件：直线斜率存在. 称为过点，斜率为的 直线的方程，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 概念辨析 思考 当直线的斜率为0或者斜率不存在时，直线的方程是什么？ 当直线的斜率为时 即 当直线的斜率不存在时 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 l x y O P0(x0,y0) P(x,y) l x y O P0(x0,y0) P(x,y) 练习巩固 练习1 直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程， 并画出直线？ 解：直线经过点，斜率， 代入点斜式方程得. 画图时，只需再找出直线上的另一点， 例如，取则，得点的坐标为， 过，两点的直线即为所求，如图所示. 练习巩固 练习2 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(3,－1)，斜率是； (2)经过点(,2)，倾斜角是30°； (3)经过点(0,3)，倾斜角是0°； (4)经过点(－4,－2)，倾斜角是 (5)经过点，与平行； (6)经过点，且与轴垂直. . 练习巩固 练习3 (1)直线点斜式方程是=，求直线的斜率、倾斜角？ (2)直线点斜式方程是，求直线的斜率和倾斜角？ 解：(1)=1，斜率为1，所求直线的倾斜角为； (2) 练习巩固 练习4 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转得到的直线方程？ 解：直线的斜率=1，倾斜角为，与轴的交点为(－1，0) 逆时针旋转， 所求直线的斜率为：且过点(－1，0)，所以直线方程为： 方法总结 1. 如何利用直线上一定点和斜率求直线点斜式方程？ (1)求斜率：利用已知条件求出直线斜率； (2)写方程：① 若斜率为0，直线方程为： ② 若斜率不存在，直线方程为： ③ 若斜率为其他值，直线方程为： 2. 如何在坐标系上画直线的图象？ (1)描点：描直线上两个点，优先选择与坐标轴的交点； (2)连线：两点确定一条直线，连线得图象. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 3 题型训练 新知探究2 我们把直线与轴的交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距. （0，b） 探究2 该如何表示过点，斜率为的直线的方程？ 解：将点和斜率代入直线的点斜式方程， 得，即. 概念 直线的斜截式方程 直线的斜截式方程： 构成元素：直线斜率，直线在轴上的截距 使用条件：直线斜率存在 （0，b） 斜截式方程 （特殊的点斜式） 定义：我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线轴上的截距，把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 概念 直线的斜截式方程 直线的截距及其几何意义： 特别注意：截距不是距离(截距是直线与坐标轴的交点的横、纵坐标， 可取任意实数，而距离是非负数，所以截距不是距离) (1)坐标系中：把直线与轴的交点的纵坐标b 叫做直线在轴上的截距；把直线与轴的交点 的横坐标叫做直线在轴上的截距。 (2)直线方程式中： 令＝0，解出的 概念辨析 思考 斜截式方程与一次函数之间有什么区别与联系？ (2)区别：对于，从函数的角度看，它表示的是自变量与因变量 之间的对应关系；而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条 直线上点的坐标所满足的代数关系.它们所讨论的问题是不一样的。 (1)联系：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致， 一次函数的图象是一条直线，就是方程的直线. 另外，一次函数中的的系数≠0，否则就不是一次函数了；但直线的 斜截式方程中的可以为0，表达与轴平行或重合的直线. 练习巩固 练习1 写出下列直线的斜截式方程： (1) 斜率是，在轴上的截距是－2；(2) 斜率是－2，在轴上的截距是4. 解： (1) 直线的斜截式方程是； (2) 直线的斜截式方程是. 练习巩固 练习2 倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的 斜截式方程是 . 解：∵直线的倾斜角为，∴其斜率， ∵直线与轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是或. 或. 注意： 距离与截距的区别 练习巩固 练习3 分别写出下面直线方程的斜率与截距： 解：(1)斜率为2，在轴上的截距为－4，在轴上的截距为2； (2)斜率为－2，在轴上的截距为4，在轴上的截距为2； (3)斜率为－3，在轴上的截距为0，在轴上的截距为0。 (1) (2) (3) 练习巩固 练习4 已知直线：，： ，试讨论： (1) //的条件是什么？ (2) ⊥的条件是什么？ 解：(1)若，则，此时，与轴的交点不同，即； 反之，若，且，则. 且时，和重合. (2)若，则；反之，若，则. 方法总结 结论：对于直线，， 且 与重合 且； (1)截距是与坐标轴的交点横、纵坐标，可取任意实数，而距离是非负数，所以截距 不是距离；截距分为横截距(与x轴交点的横坐标)与纵截距(与y轴交点的纵坐标)； (2)点斜式与斜截式适用条件：斜率存在， 所以当不能确定斜率是否存在时，要分情况讨论。 直线的斜截式方程注意事项： 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 3 题型训练 直线的点斜式、斜截式方程 题型1 题型探究 例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点且与 轴平行； (2)直线绕着其上一点逆时针旋转后得到的直线 . 解：(1)由题意知，直线的斜率所以直线的方程为； (2)直线的斜率所以倾斜角为 所以直线的倾斜角为 所以直线的斜率 又点在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为 直线的点斜式、斜截式方程 题型1 题型探究 例2 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)在轴上的截距为4，且与轴平行； (2)倾斜角为 与轴的交点到原点的距离为3. 解：(1)由题意得直线的方程为 (2)由题意得直线的斜率为，因为直线与的交点到原点的距离为3， 所以直线在轴上的截距为3或 －3， 故所求直线的斜截式方程为 直线的点斜式、斜截式方程 题型1 题型探究 例3 (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程？ (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程? 解：(1)由得，由两直线平行知， 所以所求直线方程为. (2)由得，由两直线垂直知， 所以所以所求直线方程为. 直线的点斜式、斜截式方程 题型1 题型探究 解：(1)由题意可知，，. ∵，∴解得.故当时，直线与直线平行. (2)由题意可知，， ∵，∴，解得故当时，直线与直线垂直. 例4 (1)当直线与直线平行，求 (2)当与直线垂直，求？ 直线过定点问题 题型2 题型探究 例5 已知直线当变化时，所有的直线恒过定点( ) A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) 解：直线变形为， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)，故选C. C 例6 求证：无论直线总过第二象限。 解： 由题意可得方程为：， 可变形为： 所以直线过定点(－2,1)在第二象限，即直线总过第二象限. 课堂小结 直线的点斜式方程 点斜式方程 斜截式方程 点斜式方程 直线上一点坐斜率 直线存在斜率 斜截式方程 斜率𝑘直线在𝑦轴上的截距𝑏 直线存在斜率 即 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 感谢聆听! $