2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第一章 1.3 1.3.2　空间向量运算的坐标表示

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖加减、数乘、数量积等运算规律，平行垂直判定，模、夹角及两点距离公式，通过目标导航明确课标要求，新知梳理系统呈现公式，小试身手夯实基础，课堂探究以例题深化应用，构建从概念到实践的学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过例2用向量坐标解决直线上点的垂直存在性问题，例3求夹角取值范围，将几何问题转化为代数运算，体现逻辑推理与转化思想。课堂小结归纳题型方法，帮助学生发展理性思维，教师可依托清晰流程提升教学效率，助力学生掌握空间向量工具解决立体几何问题。

1.3.2　空间向量 运算的坐标表示 [目标导航] 课标要求 1.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直 2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能应用这些知识解决一些简单立体几何问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa= ,λ∈R 数量积 a·b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的平行与垂直的坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3=0 3.空间向量的模及夹角的坐标表示 (1)空间向量的模的坐标表示 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) (2)向量的夹角坐标公式 小试身手 1.(多选题)已知向量a=(1,-2,-2),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　 　) AC 2.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于(　 　) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) A 解析:b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故选A. (3,3,3) 课堂探究·素养培育 [例1] 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). 空间向量的坐标运算 解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4) =(2+0,-1-1,-2+4) =(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4) =(2-0,-1+1,-2-4) =(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4) =2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4 =-7; (2a)·(-b)=-2(a·b) =-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b) =(2,-2,2)·(2,0,-6) =2×2-2×0+2×(-6) =-8. 即时训练1-1:已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求: (1)a+b; 解:(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2) =(2+0,-1-1,3+2) =(2,-2,5). (2)2a-3b; 解: (2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0). (3)a·b; 解: (3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2) =2×0+(-1)×(-1)+3×2 =7. (4)(a+b)·(a-b). 解: (4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-(0+1+4)=9. 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算(2a)·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a,-b后,再求数量积. 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 [例2] 已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|. ②A1G⊥平面EFD. (1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题,关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系,进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标. 利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题 (2)棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. ①求证:EF⊥CF. ③求CE的长. 即时训练3-1:(1)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4). ①求cos∠BAC; ②求△ABC中BC边上中线的长度. (2)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积. 用空间向量的数量积解决夹角问题 解决立体几何中与夹角相关的问题,经常以空间向量的数量积为工具,把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题,但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围. 当堂即练·素养达成 C 当堂即练 1.与a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(　 　) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) 解析:因为(-1,-7,5)·(1,2,3)=-1-14+15=0,(-1,-7,5)·(3,1,2)=-3-7+10=0, 所以与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为 (-1,-7,5).故选C. D C 4.已知a=(1,-2,3),b=(-1,1,-4),c=(1,-3,m),则“m=1”是“a,b,c构成空间的一个基底”的(　 　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 5.若a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为　　　　.  3 解析:因为b=(2,0,3),c=(0,2,2), 所以b+c=(2,2,5). 又a=(2,-3,1), 所以a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,2,5)=4-6+5=3. 1.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标.求点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标. 2.向量平行与垂直问题的三种题型 题型1:空间向量平行与垂直的判断,利用空间向量平行与垂直的条件进行判断. 课堂小结 题型2:利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用,解题时要注意适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程,最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 题型3:利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直.①向量化.即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.②向量关系代数化.即写出向量的坐标.③求解.利用向量的坐标运算列出关系式求解. 感谢观看 平行或垂直 平行或垂直条件的坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)) 平行(a∥b) a∥b⇔a=λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b=0⇔ ①若a=(a1,a2,a3),则|a|=== ,即|a|=. ②空间两点间的距离公式 已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), a.= . b.dAB=||= . 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则cos<a,b>== . A.a+b=(7,-5,0) B.a-b=(5,-1,4) C.a·b=8 D.|a|= 3.在空间直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,2,3),点B的坐标为(4,5,6),则 =　　　　.  4.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos <a,b>=　　　　.  解:(1)根据题意,得2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. (2)在直线AB上是否存在一点E,使得⊥b(O为原点),若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (2)由于点E在直线AB上,则=+=+t,t∈R, 即=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 由⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=, 因此在直线AB上存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为(-,-,). 即时训练21:(1)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=, b=. ①若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值; (1)解:①因为a==(1,1,0),b==(-1,0,2), 所以ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4). 因为(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(k-1)(k+2)+k2-8=0, 即2k2+k-10=0, 解得k=2或k=-. ②设|c|=3,c∥,求c. 解:②因为c∥,又=(-2,-1,2), 所以设c=(-2λ,-λ,2λ), 又|c|=3,所以(-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2=9, 得λ=±1. 所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.求证:①AB1∥GE,AB1⊥EH; (2)证明:如图,以A为坐标原点,分别以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1). 由中点坐标公式,得E(1,1,),F(1,,0),G(,1,0),H(,,1). ①=(1,0,1),=(,0,), =(-,-,). 因为=2, ·=1×(-)+1×=0, 所以∥,⊥,即AB1∥GE,AB1⊥EH. 证明:②=(,1,-1),=(1,-,0),=(1,0,). 因为·=-+0=0, ·=+0-=0, 所以A1G⊥DF,A1G⊥DE. 因为DF∩DE=D,所以A1G⊥平面EFD. (2)用向量的坐标运算证明垂直问题,把几何问题转化为代数计算,这是数学中化归思想的具体体现,如证明直线AB⊥CD,可转化为证明·=0,由向量的坐标运算即可完成. [例3] (1)已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t,-),若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围; 解:(1)由已知,得a·b=5×(-2)+3t+1×(-)=3t-, 因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0, 即3t-<0,所以t<. 若a与b的夹角为180°, 则存在λ<0,使a=λb(λ<0), 即(5,3,1)=λ(-2,t,-),所以 所以t=-. 故实数t的取值范围是(-∞,-)∪(-,). 解: (2)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),E(0,0,),C(0,1,0),F(,,0),G(1,1,). 所以=(,,-),=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,). ①因为·=×+×(-)+(-)×0=0,所以⊥,即EF⊥CF. ②求与所成角的余弦值. 解: ②因为||==, ||==, 所以cos <,>===. 解: ③||==. 即CE=. 解:(1)①=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2), cos∠BAC===-. 解: ②设BC的中点为D, 则点D的坐标为(-2,,3). 又A(-2,0,2),所以=(0,,1), 所以||===, 即△ABC中BC边上中线的长度为. 解: (2)由题意,得=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2). 设θ=<,>,则cos θ===. 又<,>∈[0,π], 所以sin θ===, 所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||||sin θ=7. 2.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是(　 　) A.(,,) B.(-,-,-) C.(,-,-)和(-,,) D.(,,)和(-,-,-) 解析:|a|==7, 所以与a共线的单位向量是和-, 故与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是(,,)或(-,-,-).故选D. 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为(　 　) A. B. C. D. 解析:AB的中点M(2,,3), 又C(0,1,0),所以=(2,,3), 故M到C的距离|CM|=||==. 解析:①当“m=1”时,c=(1,-3,1), 易得a,b,c不共面,即a,b,c能构成空间的一个基底, 即“m=1”是“a,b,c构成空间的一个基底”的充分条件, ②当a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c不共面, 设a,b,c共面,即c=xa+yb,解得即 即a,b,c能构成空间的一个基底时,m的取值范围为m≠2,即当a,b,c能构成空间的一个基底,不能推出m=1,即“m=1”是“a,b,c构成空间的一个基底”的不必要条件. 综合①②得“m=1”是“a,b,c构成空间的一个基底”的充分不必要条件,故选A. $