精品解析：甘肃甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2025-2026学年度第二学期高一数学期末试卷

2025－2026学年度第二学期期末考试试卷 （高一数学） 一、单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分） 1. i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 掷两颗大小相同、质地均匀的骰子，观察掷得的点数．设事件至少一个点数是偶数，事件点数之和是奇数；事件A的概率为，事件B的概率为，则 A. B. C. D. 5. 已知三条直线，，，两个平面，，则下列条件中，是的充分条件的为（ ） A. ， B. ， C. ，，且 D. ，，且 6. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．前两次都摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台上下底面边长分别为2，4，高为2，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 平面∥平面 D. 与平面所成角是30° 11. 在正四棱柱中，底面为正方形，，设平面平面，则（ ） A. 平面 B. 与夹角的余弦值为 C. 存在，使得平面 D. 存在，截该四棱柱所得截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 13. 已知，则__________． 14. 已知四棱锥的底面是面积为4的正方形,且与都是等腰直角三角形,则四棱锥的体积为____. 四、解答题（共5小题77分） 15. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角： （2）若，且的面积为，求三角形的周长． 16. ，其最小正周期为． （1）求的值及函数的单调减区间； （2）已知，求． 17. 在棱长为的正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 19. 如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期末考试试卷 （高一数学） 一、单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分） 1. i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意进行复数的除法运算求得，再求其共轭复数即可. 【详解】， ， 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角差正弦公式计算求解. 【详解】. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得. 4. 掷两颗大小相同、质地均匀的骰子，观察掷得的点数．设事件至少一个点数是偶数，事件点数之和是奇数；事件A的概率为，事件B的概率为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算. 【详解】掷两颗大小相同、质地均匀的骰子，所得基本事件的总数为， 事件即两个点数是一奇一偶，基本事件的个数为， 所以. 5. 已知三条直线，，，两个平面，，则下列条件中，是的充分条件的为（ ） A. ， B. ， C. ，，且 D. ，，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行的判定及空间中直线的位置关系，逐一验证各选项条件能否推出，选出满足充分条件的选项. 【详解】选项A：若，，则a与b的位置关系可能为平行、相交或异面，无法推出，故A错误； 选项B：空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能为平行、相交或异面，故由，无法推出，故B错误； 选项C：若，，且，则两个平行平面内的直线可能平行或异面，无法推出，故C错误； 选项D：若，，则a，b为同一平面内的两条直线，又即两直线无公共点，根据平面内平行直线的定义，可推出，故D正确. 6. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．前两次都摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件表示第次摸到白球， 则. 7. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解． 【详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 8. 已知正三棱台上下底面边长分别为2，4，高为2，则它的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】上底面边长为2，面积， 下底面边长为4，面积， 上底面边心距， 下底面边心距， 已知，斜高， 一个侧面的面积， 故表面积为：． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义和互斥事件的加法公式逐项判断. 【详解】对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确； 对于B：由A，，所以，B正确； 对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误； 对于D：若事件和事件互斥，则，D正确. 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. 平面∥平面 D. 与平面所成角是30° 【答案】AC 【解析】 【分析】通过证明因为平面，平面，且交点不在直线上，即可判断A ,先证明，结合，即可判断B，根据面面平行判定定理证明平面平面，即可判断C，结合线面角的定义求与平面所成角的正弦，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为平面，平面，且交点不在直线上， 所以与是异面直线，A正确， 对于选项B，由正方体性质得，若，则必有， 在中，因为，，，所以​， 所以不是直角，即不垂直，因此不垂直，B错误， 对于选项C：正方体中， 平面，平面， 因此平面；同理可得，因此平面； 与是平面内的相交直线（交于）， 所以平面平面，C正确， 对于选项D：设与平面所成角为， 根据线面角定义可得，其中是到平面的距离， 设，因为， ， 是边长为的正三角形，面积 代入得：，解得，​ 因此，故，D错误. 11. 在正四棱柱中，底面为正方形，，设平面平面，则（ ） A. 平面 B. 与夹角的余弦值为 C. 存在，使得平面 D. 存在，截该四棱柱所得截面面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法判断A的正误，构建异面直线所成的角，根据解直角三角形可求出余弦值后判断B，可证平面平面，故可判断C的正误，求出截面为六边形时面积的最大值后可得判断D的正误. 【详解】连接. 对于A，若平面，因为平面，故， 而平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，但四边形不是正方形， 故不成立，故A错误； 对于B，因为，故或其补角为异面与所成的角， 在直角三角形中，， 故异面与所成的角的余弦值为，故B正确； 对于C，由长方体的性质可得，而平面， 平面，故平面，同理平面， 而平面，故平面平面， 故平面，故C正确. 对于D，平面与长方体的截面要么为三角形，要么为六边形， 如果截面为三角形，则截面面积的最大值为. 如果截面为六边形， 在三角形中，，故， 故. 设平面与中点，依次连接起来, 则共面，且，，. 故. 由对称性，设，则，且， 故，且，所以， 故，同理，，, 因为，故四边形为平行四边形， 故，且， 故 ， 故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接由斜二测画法特征计算可得. 【详解】由斜二测画法可知，因为轴，且，所以原图形中，且轴； 因为在轴上，，所以原图形中在轴上，； 所以原图形中为原点，坐标为，坐标为，坐标为， 因此， 所以的周长为：. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】． 14. 已知四棱锥的底面是面积为4的正方形,且与都是等腰直角三角形,则四棱锥的体积为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理找到四棱锥的高，结合四棱锥体积公式求解即可. 【详解】因为四棱锥的底面是面积为4的正方形， 所以设边长为，则，即， 正方形的对角线, 如图，设与交于点，则是正方形的中心， 得到,, 因为是等腰直角三角形，则,, 则,且，同理可得 ， 又因为,底面， 所以底面，即是四棱锥的高，， 故. 四、解答题（共5小题77分） 15. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角： （2）若，且的面积为，求三角形的周长． 【答案】（1）； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和化简原式，结合正弦定理将角的关系式转化为边的等式，再通过余弦定理求出角； （2）先用三角形面积公式求出的值，再结合已知边长与角，借助余弦定理配完全平方算出，最后相加得到三角形周长. 【小问1详解】 因为； 所以， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； 【小问2详解】 ，则， 由余弦定理可得，即，即， 则，． 所以三角形的周长为． 16. ，其最小正周期为． （1）求的值及函数的单调减区间； （2）已知，求． 【答案】（1） ，单调减区间为． （2） ． 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换把函数化成的标准形式，再用周期公式求，最后结合正弦函数的单调性求单调减区间； （2）先代入已知条件求出，再根据的范围确定的象限，求出其余弦值，最后用余弦差角公式展开计算 【小问1详解】 化简函数： ． 由最小正周期，得，． 由，解得，， 故单调减区间为． 【小问2详解】 ，即． 由，得，又，故， 则． 所以． 17. 在棱长为的正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点. 正方体中，侧面​是矩形，因此是的中点. 又是的中点，因此中是中位线，可得. 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）找的中点，用三角形的中位线定理并结合线面平行的判定定理可得； （2）根据异面直线所成角的定义可得就是所求角，再通过解三角形可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因此与所成的锐角（或直角）即为与所成角， 正方体棱长为，在中，，，， 因此，​是正方体的体对角线， 则，由是中位线得.  由是​的中点，​是正方形​的对角线， 则，因此. 在中，，所以， 所以直线与直线所成角为，则. 因此直线与直线所成角的余弦值为. 18. 甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）确定道文化题甲作答正确与错误的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①求出甲在文化测试中得分和其在体能测试中得分的概率，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； ②设甲的得分为，乙的得分为，求出、、、、、对应的概率，则，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 记事件甲恰好答对两道文化测试题， 则道文化题甲作答正确与错误的情况有：对对错、对错对、错对对， 故. 【小问2详解】 ①若道文化题甲答对两道或全答对，概率为； 若甲在体能测试中得分，则道体能测试题甲全答对，其概率为. 记事件甲总分为分，则甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 故； ②设甲的得分为，乙的得分为， 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； ； 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 由题意可知，乙在文化测试中得分的概率为， 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； 若，则乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 则； 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 所以 ， 因此甲的总分高于乙的总分的概率为. 19. 如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）由题意得是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，且为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 因为平面且，所以平面， 因为平面，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明线线平行，进而根据判定定理得出线面平行. （2）结合等腰三角形“三线合一”与面面垂直的性质定理，先证出线面垂直，最终转化为线线垂直. （3）通过作中位线构造平面的垂线来确定线面角，并在直角三角形中利用勾股定理求出边长，从而解出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接， 在中，分别是的中点， 所以为的中位线，因此，且， 由上知平面，所以平面， 因此为直线与平面所成的角， 由题意得，， 在中，，所以且， ， 因为平面，且平面，所以， 在中，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $