精品解析：甘肃兰州市第五十九中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知向量且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 7. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 11. 某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（ ） A. 估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B. 这1000名志愿者中年龄在的有175人 C. 估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D. 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 13. 如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 14. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 四、解答题（共73分） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求函数在时的值域； （3）对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 17. 某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率） （1）求n的值及频率分布直方图中的t值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； （3）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 18. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令（）． （1）求，的虚部； （2）证明：（，）； （3）复数（，）与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转（）后得到点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 19. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：平面; （3）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，若和方向相同，得：  ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 2. 已知向量且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影向量的定义，结合向量的模长，对比已知投影向量的系数即可求得数量积. 【详解】已知向量，则，因此， 又因为向量在向量上的投影向量为，即， 解得，故A正确. 3. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以， . 4. 已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 5. 已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则，， ， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为． 6. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】取中点、中点，求证平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，与平面相交，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件. 7. 已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 8. 若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用纯虚数定义计算结合古典概型求解. 【详解】根据题意可得，仅当时，为纯虚数， 所以是纯虚数的概率为． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11. 某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（ ） A. 估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B. 这1000名志愿者中年龄在的有175人 C. 估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D. 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】通过俯角构建直角三角形，利用正切函数求解水平距离和高度差. 【详解】如图所示， 由题意可得，，，，所以四边形是矩形， 所以，设，因为，所以， 在中，，所以，所以， 所以，所以黄鹤楼的高度约为. 13. 如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图的几何特征求出其面积，再利用原图形面积与直观图面积的数量关系求解。 【详解】在直观图 中，，，且斜边 . ， 则直观图的面积； 根据斜二测画法的性质，原平面图形的面积与直观图面积满足关系， 所以该平面图形的面积. 14. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 四、解答题（共73分） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，把含角的比式转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，则， 因为 ，所以. 【小问2详解】 以点为起点，记，则 且由，有， 因为， 所以， 由，得， 解得， 即，则，即， 当且仅当，即时取等号， 则， 故△ABC面积的最大值为. 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求函数在时的值域； （3）对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得，由，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解； （3）由，得，当时，不等式恒成立；当时，转化为恒成立，求出，得. 【小问1详解】 ， 由，得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 当时，， 故. ， ①当时，不等式恒成立； ②当时，得恒成立， 令，则，， 在上单调递增，最大值为， 所以， 综上得的取值范围为. 17. 某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率） （1）求n的值及频率分布直方图中的t值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； （3）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 【答案】（1）人， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解即可， （2）由分层抽样与对立事件的概率公式可求解． （3）利用互斥事件的概率加法公式与独立事件概率乘法公式可求解. 【小问1详解】 由已知条件可得（人），，； 【小问2详解】 由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在的人数的， 故抽取的三人中调查评分在内的有1人，调查评分在内的有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到“良好”的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率； 【小问3详解】 在调查评分在的市民中随机抽取1人，其来自调查评分在内的概率为， 来自调查评分在内的概率为，该人转化为“良好”的概率为， 抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 18. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令（）． （1）求，的虚部； （2）证明：（，）； （3）复数（，）与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转（）后得到点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 【答案】（1）， （2） . （3）（i）因为， 所以. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉公式直接写出复数的虚部. （2）根据复数的乘法公式，结合两角和的三角公式进行证明. （3）（i）利用复数乘法运算法则结合复数相等的概念证明.（ii）利用（i）的结论，先判断的形状，再求其面积. 【小问1详解】 由题意，的虚部为； 因为， 所以的虚部为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）如图： 因为，所以. 取点，则对应向量，对应向量， 由（i）得，所以. 所以是边长为1的等边三角形， 所以. 19. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：平面; （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，又为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于，那么ME为的中位线，则，从而证得平面； （2）在正方形中，有，可证得平面，又面，平面平面，根据直线与平面平行的性质可证得，最后证得平面； （3）通过等体积法可知，从而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $