精品解析：甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023~2024学年度期末考试卷 高一数学 考试模块：必修第二册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A 若，则或 B. 若，则 C. 若，则与平行或异面 D. 若，则与相交或平行 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（ ） A. 事件A与事件C不互斥 B. 事件A与事件B互为对立事件 C. 事件B与事件C互斥 D. 事件C与事件D互为对立事件 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若的夹角与的夹角相等，则 D. 若，则在上的投影向量为 11. 如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面 D. 点到截面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 13. 如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为__________海里． 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 16 已知角满足． （1）求和值； （2）求的值． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角大小； （2）若，，求的面积． 18. 为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （1）求甲在第一轮比赛中得0分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度期末考试卷 高一数学 考试模块：必修第二册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用进行求解. 【详解】由题知， ． 故选：B 2. （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角和的正切公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A 3. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式可得解. 【详解】由题知， 故选：D． 4. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则与平行或异面 D. 若，则与相交或平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，若，则或，故A正确； 对于B，若，则由线面垂直的性质定理得，故B正确； 对于C，若，则与平行或异面，故C正确； 对于D，若，则与相交､平行或异面，故D错误. 故选：D. 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，找到即为二面角的平面角，即，并利用勾股定理求出各边长，求出三角形面积. 【详解】由题意得， 设底面圆圆心为，取的中点，连接， 则，故， 因为，，所以⊥，⊥， 故即为二面角的平面角，即， 故，， 由勾股定理得，， 所以的面积为 故选：B 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形及外心的性质得到平分，利用正弦定理得到，从而得到，再利用余弦定理求出与，最后利用数量积的定义计算可得. 【详解】因为，所以在上， 又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上， 又的中垂线和的角平分线重合， 所以平分，即， 因为，所以，所以， 与中，由正弦定理可得①， ②， 因为，所以， 又， 两式相除可得，由，所以， 设，则， 在与中，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去）， 则， 在中， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（ ） A. 事件A与事件C不互斥 B. 事件A与事件B互为对立事件 C. 事件B与事件C互斥 D. 事件C与事件D互为对立事件 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断. 【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示， 所以，且，， 且， 所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件， 事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若的夹角与的夹角相等，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】先表示出的坐标，对于A，由列方程求解即可，对于B，由，得从而出，对于C，利用向量的夹角公式列方程求解即可，对于D，利用投影向量的定义求解. 详解】， 对于A，若，则，解得或，故A正确： 对于B，，解得，故B错误； 对于C，的夹角与的夹角相等，，即，解得，故C正确： 对于D．若，则在上的投影向量为,故D错误． 故选：AC． 11. 如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面 D. 点到截面距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由棱柱的性质得到平面，再由线面平行的性质判断A；由判断C；首先证明平面，得到，即可证明平面，从而判断B；设与交于点，则平面，利用等面积法求出，即可判断D. 【详解】如图， 在直三棱柱中，， 平面，平面， 则有平面，平面，平面平面， 可得，故A正确； ∵是的中点，，，∴， 又，∴，∴， 则，∴， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面，故B正确； 因为，平面，所以与平面不平行，故C错误； 设与交于点，则平面， 又因为为的中点，所以点到截面的距离等于点到截面的距离. 在中，，由等面积法可得， 所以点到截面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后代入化简即可. 【详解】由题意得， 所以 . 故答案为： 13. 如图，点是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为__________海里． 【答案】 【解析】 【分析】先应用正弦定理得出，再应用余弦定理求边长即可. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理可得，可得，所以， 则，所以海里，， 在中，由余弦定理得 ， 即丙船到钻井平台的距离为海里． 故答案为：. 14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，然后由球的表面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 当时，，因为，， 所以平面，，， ， 则三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法知， 解得，所以内切球的表面积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 又三点共线，所以， 所以，解得 小问2详解】 因，， 所以，， 所以， 所以 ， 所以当时. 16. 已知角满足． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出，然后利用二倍角公式求出； （2）先求出，然后利用两角和与差的正弦、余弦公式化简计算即可. 【小问1详解】 由，得， 所以，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 18. 为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （1）求甲在第一轮比赛中得0分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1） （2）乙更容易晋级复赛 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可； （2）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断. 【小问1详解】 对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为， 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为： ，共10种， 其中得0分的情况有：，4种， 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为； 【小问2详解】 甲晋级复赛分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以甲晋级复赛的概率为； 乙晋级复赛分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为： 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以乙晋级复赛的概率为， 因为，所以乙更容易晋级复赛. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，推出平面，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值. （2）取的中点，连接，取的中点，连接，，由，，可得，并由已知条件推出平面，根据线面垂直性质推出，可得是二面角的平面角，在中，由已知条件即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在中，，，，， 平面，平面，， ，分别为，的中点，， ，，又，平面， 直线与平面所成角为， 在中，，， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，，可得， ，，， 又，平面， 又平面，， 是二面角的平面角， 在中，，， ，， 故二面角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$