1.4 充分条件与必要条件讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，从命题与推出关系切入，明确充分、必要、充要条件的定义，结合集合视角深化理解，通过判断、证明、探求条件、求参数范围四个题型搭建学习支架，系统梳理逻辑关系。 资料特色在于融合数学思维与现实情境，如引用《墨子》逻辑思想、网暴事件分析条件关系，培养学生用数学眼光观察现实、用逻辑推理解决问题的能力。方法提炼与分层题型设计，课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固提升，查漏补缺。

§1.4 充分条件与必要条件 目录 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 2 题型2：充要条件的证明 4 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 4 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 5 1. 命题与推出 一般地，命题“若，则”中，称为条件，称为结论. 如果“若，则”为真命题（即成立能推出成立），记作. 如果“若，则”为假命题（即存在成立但不成立的情况），记作. 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2) 若p⇒q且q⇒p（即p⇔q），则是的充分必要条件，简称为充要条件. (3) 若p⇒q但q⇏p，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 提醒 (1)给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. (2)给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的. 3. 从集合角度看充分、必要条件 若把研究的范围看成集合，把研究的范围看成集合，则 关系 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ，互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 方法提炼 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： (1) 定义法：直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 逆否命题法：，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用此法. (4) 特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件）. 【例1.1.】 “是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2.】 设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.3.】 已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.4.】 设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【例1.5.】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3），，； （4）是一元二次方程的一个根，. 【例1.6.】 《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空） 【例1.7.】 毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【例1.8.】 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 题型2：充要条件的证明 方法提炼 证明是的充要条件，一是要注意既要证明充分性：，又要证明必要性：，不能忽略任何一个;二是在证明过程中要分清充分性与必要性的条件与结论，不要混淆;三是说法要严谨，加强逻辑性. 【例2.1.】 证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【例2.2.】 已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【例2.3.】 求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边． 【例2.4.】 设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 方法提炼 (1) 若的充分条件为，则； (2) 若的必要条件为，则； 【例3.1.】 已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 “”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 （多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【例3.4.】 （多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题策略 (1) 若是的充分条件，则对应的集合对应的集合，建立不等式求参数范围。若是的必要条件，则对应的集合对应的集合。利用子集关系转化为不等式求解. (2) 要注意区间端点值的检验． 【例4.1.】 集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【例4.2.】 已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【例4.3.】 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【例4.4.】 已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 【例4.5.】 已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【例4.6.】 设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.4 充分条件与必要条件 目录 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 2 题型2：充要条件的证明 7 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 9 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 12 1. 命题与推出 一般地，命题“若，则”中，称为条件，称为结论. 如果“若，则”为真命题（即成立能推出成立），记作. 如果“若，则”为假命题（即存在成立但不成立的情况），记作. 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2) 若p⇒q且q⇒p（即p⇔q），则是的充分必要条件，简称为充要条件. (3) 若p⇒q但q⇏p，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 提醒 (1)给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. (2)给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的. 3. 从集合角度看充分、必要条件 若把研究的范围看成集合，把研究的范围看成集合，则 关系 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ，互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断 方法提炼 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法： (1) 定义法：直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 逆否命题法：，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用此法. (4) 特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件）. 【例1.1.】 “是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 【例1.2.】 设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 【例1.3.】 已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 【例1.4.】 设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【难度】0.75 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 【例1.5.】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3），，； （4）是一元二次方程的一个根，. 【答案】（2）（4） 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充要条件，得到答案. 【详解】（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以，所以p不是q的充要条件. （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件. （3），，，因为时，，不一定成立，也可能，，所以，所以p不是q的充要条件. （4）是一元二次方程的一个根，，因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件. 所以（2）（4）中，p是q的充要条件. 【例1.6.】 《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据命题的充分条件与必要条件的定义直接判断. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分条件. 【例1.7.】 毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“好汉”“到长城”， “到长城”“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【例1.8.】 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【难度】0.75 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 题型2：充要条件的证明 方法提炼 证明是的充要条件，一是要注意既要证明充分性：，又要证明必要性：，不能忽略任何一个;二是在证明过程中要分清充分性与必要性的条件与结论，不要混淆;三是说法要严谨，加强逻辑性. 【例2.1.】 证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【例2.2.】 已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 【例2.3.】 求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边． 【答案】 先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】先证明充分性，然后证明必要性. 【详解】略 【例2.4.】 设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【答案】 .证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件 【分析】根据所给条件类比勾股定理得到，由充分性与必要性证明，证明过程作出辅助图形利用勾股定理求证即可. 【详解】略 题型3：命题成立的充分、必要、充要条件的探求 方法提炼 (1) 若的充分条件为，则； (2) 若的必要条件为，则； 【例3.1.】 已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、探求命题为真的充要条件 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，符合，但不能得到，故B错误； 对于C，若，则，所以是的必要条件； 若，则，所以是的充分条件； 所以的充要条件是，故C正确； 对于D，若，可得，当是真子集时，不能得到，故D错误. 【例3.2.】 “”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【例3.3.】 （多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 【例3.4.】 （多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断命题的必要不充分条件 【分析】应用必要充分条件定义转化为真子集判断各个选项. 【详解】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 【例3.5.】 （多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【难度】0.62 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 题型4：由充分、必要条件求参数的范围 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题策略 (1) 若是的充分条件，则对应的集合对应的集合，建立不等式求参数范围。若是的必要条件，则对应的集合对应的集合。利用子集关系转化为不等式求解. (2) 要注意区间端点值的检验． 【例4.1.】 集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据充要条件求参数 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【例4.2.】 已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 【例4.3.】 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 【例4.4.】 已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、既不充分也不必要条件 【分析】（1）根据条件得，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据题设条件得或，即可求解. 【详解】（1）当时，，则或， 所以或. （2）由题意可知，A ⊈ B  ， B ⊈ A 则或，得或， 所以实数a的取值范围为. 【例4.5.】 已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 【例4.6.】 设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $