1.4 充分条件与必要条件 7题型分类讲义（讲+练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件、必要条件与充要条件核心知识点，从“若p则q”的真假判断切入推出关系，明确条件分类及等价表述，结合集合包含关系深化理解，构建从定义到应用的完整学习支架，覆盖命题判断、条件辨析等7类题型。 该资料以题型分类为特色，通过“特别提醒”解析“推出”本质等关键概念，结合高考高频结构培养推理意识。例题含命题真假判断、参数范围求解等实例，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过典型题巩固抽象能力与应用意识，有效查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4 充分条件与必要条件7题型分类 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题与命题真假的判断1．（2026高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2．（2026高一·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 3．（2026高一·北京·期中）已知命题p：“若，则”．能够说明命题p是假命题的一组x，y的值为________． 4．（2026高一·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 5．（2026高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 6．（2026高一·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 7．【多选】（2026高一·山西临汾·阶段检测）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的判断 8．【多选】（2026高一·湖南·阶段检测）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 9．（2026高一·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 10．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 11．（2026高一·全国·课后作业）下列各题中，p是q的充分条件的是______. ①p：，q：； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根. 题型3：必要条件的判断 12．（2026高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 13．（2026高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有_______ （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 14．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 题型4：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 15．（2026·湖南·模拟预测）“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2026高三·全国·一轮复习）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 17．（2026高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 18．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2026高一·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2026高一·陕西西安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2026高一·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 22．（2026高一·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 23．【多选】（2026高一·广东中山·阶段检测）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 25．（2026高一·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 26．（2026高一·广东广州·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分、必要条件求参数 27．（2026高一·吉林·阶段检测）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 29．【多选】（2026高一·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 30．（2026高一·四川广安·阶段检测）已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 31．（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型7：充要条件的证明 32．（2026高一·全国·课后作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 33．（2026高一·全国·课后作业）证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 34．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 1．（2026高一·全国·课后作业）下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2026高一·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·辽宁丹东·期末）设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026高一·黑龙江七台河·阶段检测）已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2026高二·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 8．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026高二·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．【多选】（2026高一·河北邢台·阶段检测）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 11．【多选】（2026高三·福建厦门·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 13．（2026高一·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 14．（2026高一·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 15．（2026高一·上海青浦·期末）设，写出“”的一个充分条件：______． 16．（2026高一·广东佛山·阶段检测）在下列所示电路图中，下列说法正确的是______.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 17．（2026高一·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 18．（2026高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（2026高一·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 21．（2026高一·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 22．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.4 充分条件与必要条件7题型分类 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题与命题真假的判断 1．（2026高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 2．（2026高一·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 3．（2026高一·北京·期中）已知命题p：“若，则”．能够说明命题p是假命题的一组x，y的值为________． 【答案】，（答案不唯一，只需满足即可）. 【分析】根据不等式的性质结合命题关系判断即可. 【详解】若命题p：“若，则”是假命题， 则“，当时，但”是真命题． 由可知，，所以，又， 从而，． 故是能够说明命题p是假命题的一组x，y的值. 故答案为：，（答案不唯一，只需满足即可）. 4．（2026高一·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 5．（2026高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【分析】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 6．（2026高一·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据各个选项中的命题，假命题举出反例或者说明错在哪，真命题说明理由，即可求解. 【详解】有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应相等两边的夹角，故选项A错误； 因为，所以，所以方程没有实数根，故选项B错误； 面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是，故选项C错误； 在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形. 故选：D. 7．【多选】（2026高一·山西临汾·阶段检测）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【分析】由几何，代数知识判断相应选项正误即可. 【详解】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确. 故选：ABC （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的判断 8．【多选】（2026高一·湖南·阶段检测）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 9．（2026高一·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 10．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 【答案】BC 【分析】根据充分条件的定义，并结合举反例，判断选项可得答案. 【详解】A中，例如：是无理数，是有理数，所以不是的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以是的充分条件； C中，，所以是的充分条件； D中，当时，，但，所以不是的充分条件． 故选：BC. 11．（2026高一·全国·课后作业）下列各题中，p是q的充分条件的是______. ①p：，q：； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根. 【答案】③ 【分析】解二次方程结合充分条件的概念判断①；根据三角形全等和相似的概念结合充分条件的概念判断②；根据判别式法及充分条件的概念判断③. 【详解】①因为，所以或，不能推出. 所以p不是q的充分条件. ②因为两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件. ③因为，所以，所以方程无实根，所以p是q的充分条件. 故选：③ 题型3：必要条件的判断 12．（2026高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 13．（2026高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有_______ （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解. 【详解】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或； 所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 故答案为：（1）（2）（4）. 14．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 题型4：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 15．（2026·湖南·模拟预测）“t不是整数”是“t不是奇数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若t不是整数，则一定t不是奇数； 若t不是奇数，则t可能是整数” 所以“t不是整数”是“t不是奇数”的充分不必要条件. 16．（2026高三·全国·一轮复习）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据判断充分性，取判断必要性即可得答案. 【详解】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立， 所以命题是命题成立的充分不必要条件. 17．（2026高二·全国·暑假作业）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 18．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 19．（2026高一·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 20．（2026高一·陕西西安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解可得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】因为，解得， 且是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 21．（2026高一·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 22．（2026高一·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 23．【多选】（2026高一·广东中山·阶段检测）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 24．（2026·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 25．（2026高一·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】因为当时，推不出成立，当时，能推出成立， 所以是成立的必要不充分条件， 故选：D 26．（2026高一·广东广州·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分、必要条件求参数 27．（2026高一·吉林·阶段检测）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因是的充分条件，则，故， 则. 故选：D 28．（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用是的必要条件，得出，进而构造不等式求解． 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． 29．【多选】（2026高一·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把问题转化为集合间的包含关系，再求实数的值. 【详解】由或. 所以：或. 因为是的必要不充分条件，所以满足⫋满足， 即⫋. 所以可能为，，. 由； 由； 由. 故选：ABD 30．（2026高一·四川广安·阶段检测）已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先确定时集合，再结合集合求并集； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，通过列不等式组求解参数范围. 【详解】（1）当时，，，则. 又，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可知是的真子集. 其中为非空集合，因此，且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 31．（2026高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型7：充要条件的证明 32．（2026高一·全国·课后作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】 先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】略 33．（2026高一·全国·课后作业）证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立. 【详解】证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴ . （2）充分性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴ . ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴ . 在和中， ∴.∴. ∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型. 34．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 1．（2026高一·全国·课后作业）下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据命题的定义依次判断即可得到答案. 【详解】对①，不是陈述句，故①不是命题； 对②，，为真命题，故②是命题； 对③，明天天晴，是可以判断真假的陈述句，故③是命题； 对④，91是质数，为假命题，故④为命题. 对⑤，中国是世界上人口最多的国家，是可以判断真假的陈述句，故⑤为命题； 对⑥，这道数学题有趣吗？是疑问句，故⑥不是命题； 对⑦，若，则，为假命题，故⑦为命题； 对⑧，任何无限小数都是无理数，是可以判断真假的陈述句，故⑧为命题 故选：D 2．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系以及小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围即可求解. 【详解】解：， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·天津）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．（2026高一·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的概念进行求解. 【详解】对于A选项，若，不一定有， 而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有， 反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有， 但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 5．（2026高三·辽宁丹东·期末）设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断p，q间关系可得答案. 【详解】当，则，故p是q的充分条件； 当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件. 则p是q的充分不必要条件. 故选：A 6．（2026高一·黑龙江七台河·阶段检测）已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为列不等式，即可求解. 【详解】由于是的充分不必要条件，故且由题可知， 所以（第2、3个不等式等号不能同时成立），得. 故选：A 7．（2026高二·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 8．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 9．（2026高二·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 10．【多选】（2026高一·河北邢台·阶段检测）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 【答案】AC 【分析】由充分条件与必要条件的概念可得. 【详解】命题“若则”是真命题，是指由可以推出， 则是的充分条件，是的必要条件，故AC正确. 又不一定可以推出，故BD不正确. 故选：AC. 11．【多选】（2026高三·福建厦门·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】化简得，再利用集合的关系判断得解. 【详解】，所以. 设,设选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：判断充分必要条件的常用方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断得解. 12．【多选】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确； 对于B，若，则， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若“”，则不一定有“且”， 而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若，则或， 则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 13．（2026高一·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 14．（2026高一·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 15．（2026高一·上海青浦·期末）设，写出“”的一个充分条件：______． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据充分条件的定义求解． 【详解】只要是集合的子集即可，如． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2026高一·广东佛山·阶段检测）在下列所示电路图中，下列说法正确的是______.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 17．（2026高一·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)选①或②，的取值范围是；选③， 【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得； （2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 18．（2026高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 19．（2026高一·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求. 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 21．（2026高一·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次方程解的情况列不等式，解不等式即可； （2）根据命题的充分必要性可得集合，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当为真命题时，有实数解， 即， 解得， 即； （2）由（1）知，， 因为，“”是“”的必要不充分条件， 所以，因此，解得， 即实数的取值范围是. 22．（2026高一·吉林长春·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由题问题为求集合的交并补运算，可先解出集合B，再由集合运算的定义求解，注意求解中可借助数轴进行； （2）由是的充分不必要条件，即，结合（1）中的结果，可借助数轴进行直观分析，注意的情况. 【详解】（1）因为， 因为，所以. ，所以或， 所以或. （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集. 当时，满足是，此时，解得； ② 当，即时，要使是，当且仅当等号不能同时成立， 解得，故． 综上所述，实数的取值范围为． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $