专题4.1 幂函数（高效培优讲义，3知识8重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦幂函数核心知识点，从概念的结构特征辨析入手，系统梳理五大常见幂函数的定义域、值域、单调性等图象性质，再通过比较大小、解不等式实现性质应用，构建“概念-图象-性质-应用”的完整学习支架。 资料以“即学即练”结合“典例+变式”设计，通过图象规律速记培养数学眼光（几何直观），题型训练中规范推理过程发展数学思维（逻辑推理），练习题助力学生用数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题4.1 幂函数 教学目标 1.结合生活实例，从实际情境中抽象出幂函数的一般形式 ，理解“底数为自变量、指数为常数”的结构特征；能准确辨析幂函数与指数函数 、二次函数、反比例函数的区别。 2.会画五个常见幂函数 的草图；能由图像识别指数 α 的符号、大小与奇偶性信息；掌握第一象限内图像随 α 变化的规律，体会数形结合思想。 3.经历“观察图像—归纳性质—验证推广”的过程，体会从特殊到一般的类比归纳方法；能由幂函数的单调性比较幂值大小、解简单不等式，并规范写出推理过程。 教学重难点 教学重点 幂函数的概念及其结构特征；五个常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与公共点的归纳整理；幂函数性质的应用：比较大小、解不等式、求解析式。 教学难点 由图像归纳幂函数性质，理解指数 α 的正负、大小、奇偶性对图像形状与位置的影响； 幂函数定义域随 α 的不同而变化，求解时易漏定义域。 知识点01 幂函数的概念 一般地，形如 （α为常数）的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。 结构特征（判断要点）： ① 系数为 1： 前的系数恰好为 1；② 底数是自变量 x（指数位置必须是常数）； ③ 指数为常数 α；④ 解析式中不含其他项（不能有加减常数项）。 【即学即练】 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 知识点02 幂函数的图象（五大基础模型） 五个常见幂函数：，其图像与性质如下表： 函数 定义域 值域 单调性 公共点 R R 在 R 上单调递增 (0,0)、(1,1) R [0,+∞) 在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增 (0,0)、(1,1) R R 在 R 上单调递增 (0,0)、(1,1) [0,+∞) [0,+∞) 在[0,+∞)上单调递增 (0,0)、(1,1) {x|x≠0} {y|y≠0} 在(−∞,0)、(0,+∞)上单调递减 (1,1)（不过原点） 图像共性：所有幂函数都过定点 (1,1)；α>0 时图像过原点 (0,0)，且在 (0,+∞) 上单调递增；α<0 时图像不过原点，且在 (0,+∞) 上单调递减。 图像规律速记（α 对图像的影响） 第一象限内，用直线 把第一象限划分为若干区域，可得： 当 x>1 时，指数越大，图像越高（越靠近 y 轴）；当 0<x<1 时，指数越大，图像越低（越靠近 x 轴）； 0<α<1 时图像在直线 y=x 下方（上凸）；α=1 时即直线 y=x；α>1 时图像在直线 y=x 上方（下凸）； α 为正奇数→图像关于原点对称（过一、三象限）；α 为正偶数→图像关于 y 轴对称（过一、二象限）； α 为负奇数→图像在一、三象限（双曲线型）；α 为负偶数→图像在一、二象限。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 【答案】 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得. 故答案为：. 知识点03 幂函数的性质 （1）所有幂函数在 (0,+∞) 上都有定义，图像都过点 (1,1)； （2）α>0 时，图像过原点 (0,0)，且在 (0,+∞) 上是增函数；其中 0<α<1 时图像上凸，α>1 时图像下凸； （3）α<0 时，图像不过原点，在 (0,+∞) 上是减函数，图像与两坐标轴无限接近但永不相交（双曲线型）； （4）在 (−∞,0) 上是否有图像，取决于 α 的奇偶性：偶函数时第二象限有图像，奇函数时第三象限有图像。 比较大小与解不等式的通法 比较大小： ① 同指数、不同底（均属幂函数型）：利用 在 (0,+∞) 的单调性比较； ② 同底、不同指数：属指数函数型，利用 的单调性比较； ③ 底、指均不同：借助中间量 0、1（或函数图像、同化指数）比较。 解不等式： ① 利用幂函数在相应区间的单调性，将不等式转化为关于 x 的不等式； ② 注意三点：幂函数的定义域；α<0 时在 (0,+∞) 单调递减（大小反向）；偶函数需考虑对称区间。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 【答案】 【详解】由题意得，，解得，则. 故答案为：. 题型01 幂函数概念的辨析 【典例1】下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数， 故选：D 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 【变式1-2】给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数， 则可知①和④是幂函数. 故选；B. 【变式1-3】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 题型02 求幂函数的解析式 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则的解析式为____________. 【答案】 【详解】因为幂函数的图像过点，所以，所以， 则. 故答案为： 【典例2-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）若幂函数的图像经过点，则实数_______. 【答案】 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出参数即得. 【详解】设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象经过点，得，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 【答案】 【详解】根据题意，设，则，解得，故. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·上海普陀·期末）若幂函数的图像经过点，则___________． 【答案】8 【详解】设幂函数 ，由其图像经过点 ， 得：， 得：， 得：，即， 因此 ， . 故答案为 ：8. 题型03 幂函数图象的识别 【典例3-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 【典例3-2】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 【答案】四 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 题型04 幂函数图象过定点问题 【典例4-1】幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为__________. 【答案】 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【典例4-2】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 【变式4-2】当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________． 【答案】 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 【变式4-3】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 题型05 求幂函数定义域与值域 【典例5-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 故选：B 【典例5-2】函数的定义域是，则它的值域是______. 【答案】 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 【变式5-3】（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 题型06 幂函数单调性及参数求解 【典例6-1】（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 【典例6-2】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的定义求得的值，结合函数的单调性可确定的值. 【详解】由题意得，所以， 所以，解得或， 当时，在上是严格增函数，不符合题意； 当时，在上是严格减函数，符合题意. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 由幂函数性质可知函数的严格增区间是. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 【答案】 【详解】由题意得，，解得，则. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 【答案】2或 【详解】由题意，或. 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，满足题意. 所以或. 故答案为：2或. 题型07 利用单调性比较大小 【典例7】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 【答案】 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 【变式7-1】若，请比较两式大小：________． 【答案】 【详解】由幂函数的性质可知，函数在上单调递增，且， 因此. 故答案为： 【变式7-2】比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【详解】（1）在上单调递减， 因为，所以； （2）在上单调递增， 因为，所以. 【变式7-3】比较下列各题中两个数的大小 (1)与 (2)与 【详解】（1）法一：， 所以，即. 法二：利用幂函数的性质．幂函数在上是减函数，而，所以． （2）利用幂函数的性质．幂函数在上是增函数，而，所以 题型08 利用单调性解不等式 【典例8】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，则，得或， 又因为幂函数在上是严格减函数，所以，， 因为，则或或， 所以或. 所以解集为； 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）设，因为经过点，所以， 解得，所以. （2）由题意，即， 所以，解得，故实数的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格增函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）由幂函数在上为严格增函数， 得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知的定义域为，又在上单调递增， 不等式，解得， 所以的取值范围是. 1.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 所以相应曲线的依次为. 故选：A 2．（25-26高一上·上海奉贤·期中）下列命题中正确的是（   ） A．当时函数的图像是一条直线. B．幂函数的图像都经过和点 C．若幂函数 图像关于原点对称，则它在定义域上满足随的增大而增大 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 【答案】D 【详解】对于A选项，当时，函数的定义域为， 所以，函数的图象是直线除去点，A选项错误； 对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误； 对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误； 对于D选项，由于正实数的任意次幂都为正数，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，D选项正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 4．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 又，在上单调递增， 所以． 综上，． 故选：A． 5．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意得，所以，解得. 6．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，则，不符合题意，故舍去； 当时定义域为，函数图像不经过原点，符合题意； 综上可得. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）记所有指数为自然数的幂函数都经过的点所构成的集合为A，则__________（用列举法表示） 【答案】 【详解】所有指数为自然数的幂函数的图象有且只有一个公共点， 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海徐汇·期中）幂函数的图象过点，那么的值为________ 【答案】 【详解】由已知可设函数， 又函数图象过点， 即，解得， 所以， 则， 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知幂函数的图像经过点和点则_____. 【答案】3 【详解】， ， . 故答案为：3 10．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 11．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 12．（24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去； 当时，，满足题意； （2）在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，恒成立，满足要求， 当时，变形为在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 实数k的取值范围是. 1．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由于幂函数图象与坐标轴均无交点，则. 当，函数定义域中不含数字0，值域也不含数字0，满足题意； 当，函数定义域中不含数字0，值域为不含数字0，满足题意； 当，注意到，即此时函数恒过定点，与坐标轴有交点，不满足题意. 综上，. 故答案为： 3.若幂函数在上单调递增，则实数______. 【答案】6 【详解】由函数为幂函数可知，， 解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 故答案为：6 4．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 【答案】 【详解】根据幂函数定义，系数，解得或， 为使图象不过原点，指数，即，所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若幂函数在时的图象位于直线的上方，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由题可得，当时，，又函数在R上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海闵行·期末）若则不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】， 当时，，显然不成立， 当时，，显然不成立， 所以不等式的解集为空集. 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为______． 【答案】 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 8．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 9．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在严格增，． (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即，解得或, 又因为在严格增，所以，所以； （2）由（1）可知，所以， 由，可得， 即，即. 因为方程的两根为和， 当时，不等式解得或； 当时，原不等式可化为，不等式解得； 当时，不等式解得或； 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （3）由（1）可知， 由可得， 即，即 若在上恒成立， 即①在上恒成立. 当时，①式可化为恒成立，此时； 当时，， ①式可化为，即在上恒成立. 设，， 因为在上单调递增， 所以，， 所以在上恒成立，需要. 综上可知，实数a的取值范围为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 幂函数 教学目标 1.结合生活实例，从实际情境中抽象出幂函数的一般形式 ，理解“底数为自变量、指数为常数”的结构特征；能准确辨析幂函数与指数函数 、二次函数、反比例函数的区别。 2.会画五个常见幂函数 的草图；能由图像识别指数 α 的符号、大小与奇偶性信息；掌握第一象限内图像随 α 变化的规律，体会数形结合思想。 3.经历“观察图像—归纳性质—验证推广”的过程，体会从特殊到一般的类比归纳方法；能由幂函数的单调性比较幂值大小、解简单不等式，并规范写出推理过程。 教学重难点 教学重点 幂函数的概念及其结构特征；五个常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与公共点的归纳整理；幂函数性质的应用：比较大小、解不等式、求解析式。 教学难点 由图像归纳幂函数性质，理解指数 α 的正负、大小、奇偶性对图像形状与位置的影响； 幂函数定义域随 α 的不同而变化，求解时易漏定义域。 知识点01 幂函数的概念 一般地，形如 （α为常数）的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。 结构特征（判断要点）： ① 系数为 1： 前的系数恰好为 1；② 底数是自变量 x（指数位置必须是常数）； ③ 指数为常数 α；④ 解析式中不含其他项（不能有加减常数项）。 【即学即练】 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 幂函数的图象（五大基础模型） 五个常见幂函数：，其图像与性质如下表： 函数 定义域 值域 单调性 公共点 R R 在 R 上单调递增 (0,0)、(1,1) R [0,+∞) 在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增 (0,0)、(1,1) R R 在 R 上单调递增 (0,0)、(1,1) [0,+∞) [0,+∞) 在[0,+∞)上单调递增 (0,0)、(1,1) {x|x≠0} {y|y≠0} 在(−∞,0)、(0,+∞)上单调递减 (1,1)（不过原点） 图像共性：所有幂函数都过定点 (1,1)；α>0 时图像过原点 (0,0)，且在 (0,+∞) 上单调递增；α<0 时图像不过原点，且在 (0,+∞) 上单调递减。 图像规律速记（α 对图像的影响） 第一象限内，用直线 把第一象限划分为若干区域，可得： 当 x>1 时，指数越大，图像越高（越靠近 y 轴）；当 0<x<1 时，指数越大，图像越低（越靠近 x 轴）； 0<α<1 时图像在直线 y=x 下方（上凸）；α=1 时即直线 y=x；α>1 时图像在直线 y=x 上方（下凸）； α 为正奇数→图像关于原点对称（过一、三象限）；α 为正偶数→图像关于 y 轴对称（过一、二象限）； α 为负奇数→图像在一、三象限（双曲线型）；α 为负偶数→图像在一、二象限。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 知识点03 幂函数的性质 （1）所有幂函数在 (0,+∞) 上都有定义，图像都过点 (1,1)； （2）α>0 时，图像过原点 (0,0)，且在 (0,+∞) 上是增函数；其中 0<α<1 时图像上凸，α>1 时图像下凸； （3）α<0 时，图像不过原点，在 (0,+∞) 上是减函数，图像与两坐标轴无限接近但永不相交（双曲线型）； （4）在 (−∞,0) 上是否有图像，取决于 α 的奇偶性：偶函数时第二象限有图像，奇函数时第三象限有图像。 比较大小与解不等式的通法 比较大小： ① 同指数、不同底（均属幂函数型）：利用 在 (0,+∞) 的单调性比较； ② 同底、不同指数：属指数函数型，利用 的单调性比较； ③ 底、指均不同：借助中间量 0、1（或函数图像、同化指数）比较。 解不等式： ① 利用幂函数在相应区间的单调性，将不等式转化为关于 x 的不等式； ② 注意三点：幂函数的定义域；α<0 时在 (0,+∞) 单调递减（大小反向）；偶函数需考虑对称区间。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 题型01 幂函数概念的辨析 【典例1】下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 题型02 求幂函数的解析式 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则的解析式为____________. 【典例2-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）若幂函数的图像经过点，则实数_______. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 【变式2-3】（25-26高一上·上海普陀·期末）若幂函数的图像经过点，则___________． 题型03 幂函数图象的识别 【典例3-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 题型04 幂函数图象过定点问题 【典例4-1】幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为__________. 【典例4-2】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【变式4-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【变式4-2】当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________． 【变式4-3】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 题型05 求幂函数定义域与值域 【典例5-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】函数的定义域是，则它的值域是______. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【变式5-3】（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 题型06 幂函数单调性及参数求解 【典例6-1】（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 【变式6-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 【变式6-2】（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 【变式6-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 题型07 利用单调性比较大小 【典例7】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 【变式7-1】若，请比较两式大小：________． 【变式7-2】比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【变式7-3】比较下列各题中两个数的大小 (1)与 (2)与 题型08 利用单调性解不等式 【典例8】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【变式8-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格增函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 1.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海奉贤·期中）下列命题中正确的是（   ） A．当时函数的图像是一条直线. B．幂函数的图像都经过和点 C．若幂函数 图像关于原点对称，则它在定义域上满足随的增大而增大 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 6．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）记所有指数为自然数的幂函数都经过的点所构成的集合为A，则__________（用列举法表示） 8．（25-26高一上·上海徐汇·期中）幂函数的图象过点，那么的值为________ 9．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知幂函数的图像经过点和点则_____. 10．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 12．（24-25高一上·广东清远·期中）幂函数的定义域是全体实数. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 1．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 3.若幂函数在上单调递增，则实数______. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________. 5．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若幂函数在时的图象位于直线的上方，则的取值范围是____________. 6．（25-26高一上·上海闵行·期末）若则不等式的解集为___________． 7．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为______． 8．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 9．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在严格增，． (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）； (3)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $