专题2.1 等式与不等式的性质（高效培优讲义，3知识6重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式的性质核心知识点，系统梳理等式五大性质及分类，衔接一元一次方程含参讨论、一元二次方程解法与韦达定理，延伸至不等式作差比较与基本性质，构建代数变形的完整学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计，融入上海期中期末真题，通过含参方程分类讨论培养数学思维，以解集规范书写强化数学语言表达。课中助力教师突破重难点，课后通过题型训练与综合题帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题2.1 等式与不等式的性质 教学目标 1.熟练掌握等式的基本性质，理解恒等式、条件等式、矛盾等式的概念，掌握方程解集的定义，能规范求解一元一次方程、简单高次整式方程，明晰方程等价变形的核心规则。 2.掌握一元二次方程的标准形式，理解判别式的几何意义与取值作用，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法三种求解方法；精通韦达定理（根与系数的关系），能不解方程完成两根相关代数式的求值、变形。 3.掌握实数大小比较的作差法，熟记不等式所有基本性质，明确不等式与等式性质的核心差异，能规范完成不等式变形、大小比较、简单证明及取值范围推导。 教学重难点 1. 教学重点 （1）等式基本性质与方程等价变形规则，方程解集的规范书写； （2）一元二次方程的三种解法、判别式的应用、韦达定理的基础求值与应用； （3）实数作差比较大小、不等式基本性质（核心是正负变形规则）、简单不等关系推理。 2. 教学难点 （1）方程等价变形的判定，等式两边同除含字母式子时的分类讨论，避免增根、失根问题； （2）含参一元二次方程的分类讨论（二次项系数是否为0），韦达定理使用的前提（Δ≥0），两根对称式的恒等变形； （3）不等式变形的易错点：同乘负数反向、同向不等式只能相加不能相减相乘、含参数不等关系的分类讨论； （4）方程与不等式综合问题中参数范围的精准求解，规避放缩过度、条件遗漏等问题。 知识点01 等式与方程解集 等式五大性质：等式两边同时加、减同一个数（式），等式不变；同时乘同一个数，等式不变；同时除以同一个非零数（式），等式不变；对称性、传递性。 等式分类：恒等式（任意实数成立）、条件等式（仅特定值成立，即方程）、矛盾等式（无解）。 方程解集：所有满足方程的未知数取值构成的集合，高中阶段所有方程结果必须以集合形式书写。 含参一元一次方程：， 唯一解； 无穷多解； 无解。 【即学即练】 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 标准形式：，判别式：。 Δ>0：两个不相等实数根；Δ=0：两个相等实数根；Δ<0：无实数根。 韦达定理：若方程两根为，则，（使用前提：Δ≥0）。 核心变形公式：、、。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）已知是方程的两根，则=__________． 知识点03 不等式性质 实数大小本质：，，（作差法核心依据）。 核心性质：不等式可加、可乘正数、可移项；同乘（除）负数，不等号必须反向；同向不等式可加、异向不等式可减；不可随意相乘、相除、乘方。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 题型01 等式的性质与方程的解集 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 【典例1-2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 【典例1-3】（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【变式1-1】（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 【变式1-2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则______ 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【变式1-4】（24-25高一上·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 题型02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 【典例2-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 【典例2-4】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·开学考试）1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【变式2-4】（25-26高一上·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 题型03 不等式性质真假判断题 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）下列四个选项中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型04 作差法比较代数式的大小 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，试比较和的大小. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）比较下列各组中两个代数式的大小 (1)与； (2)已知a､b为正数，比较与. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）对于实数，比较与的大小； （2）若集合，其中、是实数，求值． 题型05 不等关系范围 【典例5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【典例5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知满足，则的范围是______. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是___________. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，则的取值范围是________. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，其中．若表达式（其中）的取值范围恰好为，求、的值． 题型06 不等式简单证明题 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【典例6-2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【典例6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知， (1)求证：（并写出等号成立时的值）． (2)已知集合，若，求实数的值． 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）     (1)已知，比较和的大小并说明理由； (2)设用反证法证明：若，则或． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，，，，求证：，中至少有一个小于． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）设是实数，比较与的大小． （2）用反证法证明：若，且，，则中至少有一个不小于． 1．（25-26高一上·上海·期中）若，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 3．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设、、、为实数，则下列命题为真命题的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果且，那么 D．如果，，那么 5．（25-26高一上·上海·期中）若，，，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 7．（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是__________. 8．（25-26高一上·上海·期中）设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 10．（25-26高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为__________． 11．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 (1)若且，证明､､至少有一个不小于； (2)若，分别比较与､与的大小. 13．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）（1）设，求关于的方程的解集. （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0. 14．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 15．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 16．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知两个命题： ①，是，的充分非必要条件； ②，是，的必要非充分条件. 则下列判断正确的是（   ）． A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 2．（25-26高一上·上海·期中）若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 3.设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 4.已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于四个正数 ，如果 ，那么称是的“下位序列”. (1)对于2，3，7，11，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设 均为正数，且是的“下位序列”，试判断:之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件: 对集合内的每个元素，总存在正整数，使是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“高位点”，同时点是点的“低位点” (1)试判断和中哪一个为高位点； (2)已知点是点的“高位点”，判断点是否是点的“低位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由. 7．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）设为实数，集合. (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式与不等式的性质 教学目标 1.熟练掌握等式的基本性质，理解恒等式、条件等式、矛盾等式的概念，掌握方程解集的定义，能规范求解一元一次方程、简单高次整式方程，明晰方程等价变形的核心规则。 2.掌握一元二次方程的标准形式，理解判别式的几何意义与取值作用，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法三种求解方法；精通韦达定理（根与系数的关系），能不解方程完成两根相关代数式的求值、变形。 3.掌握实数大小比较的作差法，熟记不等式所有基本性质，明确不等式与等式性质的核心差异，能规范完成不等式变形、大小比较、简单证明及取值范围推导。 教学重难点 1. 教学重点 （1）等式基本性质与方程等价变形规则，方程解集的规范书写； （2）一元二次方程的三种解法、判别式的应用、韦达定理的基础求值与应用； （3）实数作差比较大小、不等式基本性质（核心是正负变形规则）、简单不等关系推理。 2. 教学难点 （1）方程等价变形的判定，等式两边同除含字母式子时的分类讨论，避免增根、失根问题； （2）含参一元二次方程的分类讨论（二次项系数是否为0），韦达定理使用的前提（Δ≥0），两根对称式的恒等变形； （3）不等式变形的易错点：同乘负数反向、同向不等式只能相加不能相减相乘、含参数不等关系的分类讨论； （4）方程与不等式综合问题中参数范围的精准求解，规避放缩过度、条件遗漏等问题。 知识点01 等式与方程解集 等式五大性质：等式两边同时加、减同一个数（式），等式不变；同时乘同一个数，等式不变；同时除以同一个非零数（式），等式不变；对称性、传递性。 等式分类：恒等式（任意实数成立）、条件等式（仅特定值成立，即方程）、矛盾等式（无解）。 方程解集：所有满足方程的未知数取值构成的集合，高中阶段所有方程结果必须以集合形式书写。 含参一元一次方程：， 唯一解； 无穷多解； 无解。 【即学即练】 1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 知识点02 一元二次方程的解集及根与系数的关系 标准形式：，判别式：。 Δ>0：两个不相等实数根；Δ=0：两个相等实数根；Δ<0：无实数根。 韦达定理：若方程两根为，则，（使用前提：Δ≥0）。 核心变形公式：、、。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）已知是方程的两根，则=__________． 【答案】 【详解】因为是方程的两根，可得， 则. 故答案为：. 知识点03 不等式性质 实数大小本质：，，（作差法核心依据）。 核心性质：不等式可加、可乘正数、可移项；同乘（除）负数，不等号必须反向；同向不等式可加、异向不等式可减；不可随意相乘、相除、乘方。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，则，不成立，故A不合题意； 对于B，若取，则，不成立，故B不合题意； 对于C，若取，则，不成立，故C不合题意； 对于D，因，则，于是，故，故D符合题意. 故选：D. 题型01 等式的性质与方程的解集 【典例1-1】（25-26高一上·上海·期中）若关于的方程的解集为，则______． 【答案】1 【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得． 故答案为：1． 【典例1-2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【典例1-3】（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． 【变式1-1】（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为__________. 【答案】 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 【变式1-2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则______ 【答案】 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【变式1-4】（24-25高一上·上海普陀·阶段检测）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】 时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 题型02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期中）已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 【答案】; 【详解】因为一元二次方程的两实根分别为，， 所以， 则， 所以以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是， 故答案为：; 【典例2-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知方程的两根为、，则______． 【答案】 【详解】由韦达定理，得，， 则. 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 【答案】 【详解】对于方程，由韦达定理可得，， 又， 解得或， 因为方程有两个实数根，需，解得或， 故． 故答案为：． 【典例2-4】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【详解】（1）当时，可得：， （2）不存在，理由如下： 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，所以， 由根与系数的关系得，， 所以， 解得，而， 故不存在实数使得成立． （3）由根与系数的关系得， 因为的值为整数，而为整数， 所以只能取、、， 又， 所以整数的值为或或． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·开学考试）1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【详解】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 【变式2-4】（25-26高一上·上海·期中）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 题型03 不等式性质真假判断题 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 【典例3-2】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】若，，所以，A为真命题； 若，则，所以，B为真命题； 若，因为，不等式两边同乘得，C为真命题； 若且，当均为负数时，例如，满足， 当时，D为假命题； 故选：D 【变式3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）下列四个选项中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，若 ，当时，可得，所以A不正确； 对于B，若，由不等式的传递性，可得，所以B正确； 对于C，若，根据不等式的性质，可得，所以C正确； 对于D，由，因为，可得，所以， 即，所以D正确. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 题型04 作差法比较代数式的大小 【典例4】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，比较和的大小，并指出等号成立条件． 【答案】，当且仅当时等号成立 【详解】, 所以，当且仅当时，等号成立. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，试比较和的大小. 【详解】依题意， ， 由，得， 所以当时，； 当时，； 当时，. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）比较下列各组中两个代数式的大小 (1)与； (2)已知a､b为正数，比较与. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，则； （2）由 ， 当且仅当时取等号，所以. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）对于实数，比较与的大小； （2）若集合，其中、是实数，求值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以，此时 所以，解得， 所以 题型05 不等关系范围 【典例5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 【典例5-2】（25-26高一上·上海·期中）已知满足，则的范围是______. 【答案】 【详解】因为， 且，则，可得， 所以的范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】已知， 将两个不等式相加可得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】，故，又，故， 即. 所以的取值范围是 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，其中．若表达式（其中）的取值范围恰好为，求、的值． 【答案】或. 【详解】令，则，得， 所以且，而， 当，则， 所以，又， 所以，可得，符合； 当，则， 所以，又， 所以，可得，与矛盾； 当，则， 所以，又， 所以，可得，符合； 当，则， 所以，又， 所以，可得，与矛盾； 综上，或. 题型06 不等式简单证明题 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 【典例6-2】（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 【典例6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知， (1)求证：（并写出等号成立时的值）． (2)已知集合，若，求实数的值． 【答案】(1) 证明：由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. （2）解：由集合，且， 则满足或，解得， 所以实数的值为. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）     (1)已知，比较和的大小并说明理由； (2)设用反证法证明：若，则或． 【详解】（1）由， 因为， 所以 ， 所以， 即. （2）证明：假设且，则， 与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，，，，求证：，中至少有一个小于． 【详解】（1）， 故． （2）假设，中两个都大于等于， 即，且， 由，，得，即， 由，且，得， 因为，，，，所以， 所以这与相矛盾， 因此假设不成立， 故，中至少有一个小于． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）设是实数，比较与的大小． （2）用反证法证明：若，且，，则中至少有一个不小于． 【详解】（1）因为．所以，当且仅当时，等号成立． （2）假设都小于0，即，则有 由已知有 与由假设推得的结论矛盾，所以假设不成立， 所以中至少有一个不小于0． 1．（25-26高一上·上海·期中）若，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：因为，所以，所以，故错误； B：取，此时，故错误； C：取，此时，故错误； D：， 且，所以，故正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知实数满足，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由实数满足，则， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设、、、为实数，则下列命题为真命题的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果且，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【详解】对于A，不妨取，满足，， 但此时，因此A是假命题； 对于B，当时，若，则，即B为假命题； 对于C，如果且，那么只有，即C为真命题； 对于D，不妨取,满足，，但，即D为假命题. 故选：C 5．（25-26高一上·上海·期中）若，，，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【详解】选项A，取，，满足且，但，，，故A错误. 选项B，因为，所以，又，， 则，即，故B正确. 选项C，，由，得，，而的正负不确定，因此的正负不确定，故C错误. 选项D，若，则，，此时不成立，故D错误. 故选：B 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知等式恒成立，则常数__________. 【答案】 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是__________. 【答案】区间 【详解】因为，则. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【答案】 【详解】因为， 若和，则，， 可得，即； 若，则且； 所以不等式和同时成立的充要条件是. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 10．（25-26高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为__________． 【答案】 【详解】当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，方程即为，等式恒成立，所以； 当时，方程即为，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，方程的解集为. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由已知可得，是关于的方程的两个不等实数根， 则，即 由韦达定理可得 所以． 解得或，均满足． 因此或． （2）由得． 当时，，此时； 当时，中有一个元素或两个元素， 若中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 若中有两个元素时，，即1、3是关于的方程的两个根， 此时需满足，解得，且，没有满足条件的． 综上所述，实数的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 (1)若且，证明､､至少有一个不小于； (2)若，分别比较与､与的大小. 【详解】（1）假设､､都小于，即，，. 那么. 已知，，. 将､､相加，得到. 化简得到. 因为，这与矛盾. 因此，假设不成立，即､､至少有一个不小于. （2） 因为，所以. 令，解得或. 所以当或时，，即. 当时，，即. 当或时，，即. . 因为，所以. 因此. 13．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）（1）设，求关于的方程的解集. （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0. 【详解】（1）由可得：，即：． 当时，等式恒成立，方程的解集为； 当时，方程的解为，所以解集为． 终上所述：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为． （2）假设都小于0，即，则有． 由已知有 ， 与由假设推得的结论矛盾， 所以假设不成立， 所以中至少有一个不小于0. 14．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 【详解】（1）由是方程的两个实根，得， 即，因此恒成立， 则，所以. （2）二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程为， 即，由（1）知，， 而，因此， 所以所构造的方程为. 15．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， 则，解得：或， 由韦达定理可得：， 所以，解得：或（舍去）； 所以实数的值为 （2）由（1）得或，且， 所以，， 所以， 当时，则， 故， 当时， 则， 故， 综上，，，且. 16．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知两个命题： ①，是，的充分非必要条件； ②，是，的必要非充分条件. 则下列判断正确的是（   ）． A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【详解】对于①，，， ，， ，是，的充分条件； 取，时，满足，，不满足； ，是，不必要条件； 综上可得，，是，的充分非必要条件. 故①是真命题. 对于②，取，，满足，，不满足， ，是，的不充分条件； ，或， 若且满足，，则一定满足，； 若且满足，， 则，， ， 所以，而， 这种情况不可能. ，是，的必要条件. 综上可得，，是，的必要不充分条件. 故②为真命题. 故选：A. 2．（25-26高一上·上海·期中）若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 【答案】或 【详解】因为关于的二次方程的两个实根分别为， 可得， 因为，可得， 即，解得或. 即实数的值为或. 故答案为：或. 3.设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【详解】（1）由题意可知，即， 解得：，则实数的取值范围是. （2）①若. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足; 若，则必有，满足. 2）同理若，则，显然必有, 那么，，则显然，满足； 若，则必有，满足. 所以“”是“比更接近”的充分条件. ②若比更接近，则即, 取,符合 但， “”不是“比更接近”的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 4.已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于四个正数 ，如果 ，那么称是的“下位序列”. (1)对于2，3，7，11，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设 均为正数，且是的“下位序列”，试判断:之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件: 对集合内的每个元素，总存在正整数，使是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【详解】（1）由，不满足“下位序列”的定义，所以不是的“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 因此，即， 依题意，对集合内的每个元素，都成立， 则，所以正整数的最小值为4051. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“高位点”，同时点是点的“低位点” (1)试判断和中哪一个为高位点； (2)已知点是点的“高位点”，判断点是否是点的“低位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由. 【详解】（1）因为，所以为高位点； (2)点是点的“低位点”，证明如下： 点是点的“高位点”，． 又均大于0，，， ，即， 点是点的“低位点”． (3)，理由如下： 若点是点的“高位点”，可证点既是点的“高位点”，又是点的“低位点”． 证明如下：点是点的“高位点”，， 均大于0，，， ， 即，点是点的“高位点”． 同理可得，即， 点是点的“低位点”． 点既是点的“高位点”，又是点的“低位点”． 要使点是的“高位点”，则，解得， 所以当时，点是的“高位点”， 根据题意知，点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”对恒成立， 根据上述结论可知，当，时，满足条件． 故． 7．（24-25高一上·上海浦东新·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”； (1)写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)设点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“下位点”，又是点的上位点，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值，并说明理由. 【详解】（1）∵, ∴的一个“下位点”可以是；的一个“上位点”可以是. (2)结论正确：点既是点的“下位点”，又是点的上位 证明：∵点是点的“上位点”， ∴，且，，，均大于0，∴ ∴，即， ∴点是点的“下位点”； 同理，，即， ∴点是点的“上位点”. (3) 由题意对任意，都成立 即总存在正整数，使不等式成立 则对任意，都成立 对任意，为正整数恒成立 所以正整数的最小值为4049. 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. (2)证明:先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 9．（24-25高一上·上海·阶段检测）设为实数，集合. (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【详解】（1）若， 则方程为， 即，解得或. ； （2）由题意知，. ，是方程的根， 即，解得. 由，集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个根， ①若是方程的根， 则，且，解得； ②若不是方程的根， 则方程无实数根， 则； 综上所述，或. （3），， 若，， ， 则，又，， 所以有，解得. 验证：当时，， 不满足集合恰有两个元素，故； 若， 由， ， 则，，又，则，又， 所以，即. 由，则,即,解得. 验证：当时， 也不满足集合恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且，，时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $