专题13 指数函数（14大题型+能力训练）培优讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13 指数函数 知识点一、指数函数的定义 (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 知识点二、指数函数的图像 1.指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. 0<c<d<1<a<b. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 2.对于相同的，函数的图象关于轴对称。 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 知识点三、指数函数的性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2） 指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 知识点四、指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 考点一、指数函数的概念 题型01：指数函数的概念辩析 【例1】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 【例2】“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 【跟踪训练】 1. 下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 2.给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 3.若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 4.若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得. 故选：C. 题型02：求指数函数的解析式或求值 【例3】已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 【例4】已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故， ． 故选 【跟踪训练】 1.已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 2.已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 3.已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】依题意，由，得， 所以. 故选：A 4.已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 考点二、指数函数的图像及应用 题型03：指数函数的图象识别 【例5】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 【跟踪训练】 1.指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 2.当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 题型04：指数函数的图象变换 【例6】函数的图像是由函数的图像沿轴向 平移 个单位，再沿轴向 平移 个单位得到的． 【答案】 左 1 下 2 【分析】利用函数图象变换规律即得. 【详解】函数的图象由函数的图像沿轴向左平移1个单位得到函数的图象，再沿轴向下平移2个单位得到的. 故答案为：左；1；下；2. 【例7】若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据函数平移的规则得答案. 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到 即 故选：B. 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【跟踪训练】 1.当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 2.要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减” 进行判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位后可得的图象. 故选：D. 3.用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 (5)作图见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象. 【解析】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    题型05：指数型函数过定点问题 【例9】函数 的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数（），令，即. 当时，. 所以函数（）的图象恒过定点. 故选：D. 【跟踪训练】 1.幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 故选：D. 2.已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 3.已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴，其图象不经过第四象限， 故选：D. 题型06：指数函数图象的应用 【例10】设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【解析】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 【例11】画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【答案】答案见解析 【分析】作出函数图象，结合图象判断即可得解. 【解析】函数图象如图， 由图象可知，，无解； ，有一解； ，有两解． 【例12】设，且，则下列关系式中一定不成立的是_______ A． B． C． D． 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【解析】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 考点三、指数函数的性质 题型07：求指数型函数的单调区间 【例13】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 【跟踪训练】 1.函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【详解】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 题型08：根据指数型函数的单调性求参数 【例13】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数可看作由和复合而成， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”可知： 若要在上单调递增， 则需在上单调递增， 即，解得， 故选：A. 【跟踪训练】 1.若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【解析】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 题型09：利用指数型函数的单调性解不等式 【例14】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【跟踪训练】 1.不等式与不等式 解集相同，则 . 【答案】 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 2.解关于的不等式：（且）. 【答案】答案见解析 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性，转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】若，则不等式，即， 即，解得， 所以不等式的解集为； 若，则不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 题型10：利用指数型函数单调性比较大小 【例15】已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 2.是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者的推出关系可得条件关系，从而可得正确的选项. 【详解】若，则，若均为负数，则均无意义， 故推不出； 若，则，而为上的减函数，故， 故能推出， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 3.比较下列各题中两数的大小： (1)与； (2)与（其中且）． 【答案】(1) (2)时，，时， 【分析】（1）化为同底数后，由指数函数的单调性得结论； （2）根据指数函数的单调性分类讨论． 【详解】（1）∵，又指数函数在上是严格增函数，且，∴． （2）当时，指数函数在上是严格增函数，且，∴； 当时，指数函数在上是严格减函数，且，∴． 考点四、综合提升 题型11：指数函数的实际应用 【例16】某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 【例17】某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）结合图，求k与a的值； （2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）； （3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 【解题思路】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值； （2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式． （3）构造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.5微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围． 【解答过程】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4， 其解析式为y＝4t，0≤t≤1； 当t≥1时，函数的解析式为y， 此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4，解得a＝3； （2）由（1）知，； （3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即 ∴． 答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为；（3）服药一次治疗有效的时间范围为． 【跟踪训练】 1.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 2.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 题型12：指数型函数的定义域 【例18】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 【跟踪训练】 1.函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2.设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 题型13：指数型函数的值域（最值） 【例19】已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 【例20】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 【例21】已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），，，即， 解得，故原不等式解集是； （2）①当时，在上单调递增， 则，， 所以，解得或（舍去）； ②当时，在上单调递减， 则，， 所以，解得或（舍去）； 综上所述；或. 【跟踪训练】 1.函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 2.已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【解析】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得． 所以实数的值为或． 故选：D. 3.已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出t的范围，再根据指数函数的单调性即可求解； （2）根据指数函数的单调性和函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性即可求出其值域． 【详解】（1）当时，，不等式即． 令，则不等式可化为，即， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，即． 又∵，∴，即． ∵指数函数在上单调递增，∴． 因此，不等式的解集为； （2）当时，． ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∴， 即时的值域为． 题型14：指数函数的综合应用 【例22】设函数f（x）＝（）10﹣ax，a是不为零的常数． （1）若f（3），求使f（x）≥4的x值的取值范围； （2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，求a的值． 【解题思路】（1）由f（3），可得（）10﹣3a，利用指数函数的单调性可得10﹣3a＝1解出即可．进而可得f（x）≥4的x值的取值范围； （2）对a进行分类讨论，结合复合函数单调性，及当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，可得答案． 【解答过程】解：（1）由f（3），即（）10﹣3a， ∴10﹣3a＝1，解得a＝3． 由f（x）＝（）10﹣3x≥4＝（）﹣2， 即10﹣3x≤﹣2， 解得：x≥4，故取值范围为[4，+∞）． （2）当a＞0时，函数f（x）＝（）10﹣ax在x∈[﹣1，2]时为增函数， 则x＝2时，函数取最大值（）10﹣2a＝16，即10﹣2a＝﹣4，解得a＝7 当a＜0时，函数f（x）＝（）10﹣ax在x∈[﹣1，2]时为减函数， 则x＝﹣1时，函数取最大值（）10+a＝16，即10+a＝﹣4，解得a＝﹣14， 综上可得：a＝7，或a＝﹣14. 【例23】已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； （2）， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 【例24】已知函数f（x）＝ax+b，（a＞0，a≠1）． （1）若f（x）的图象如图所示，求a，b的值； （2）在（1）中，作出g（x）＝|f（x）|草图； （3）在（2）中，若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，写出m的取值范围． 【解题思路】（1）由图可得：f（0）＝1+b＝﹣2，且f（2）＝a2+b＝0，解得答案； （2）g（x）＝|f（x）|图象由函数f（x）纵向对折得到； （3）若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，则g（x）的图象与直线y＝m只有一个交点，进而得到答案． 【解答过程】解：（1）由图可得：f（0）＝1+b＝﹣2，且f（2）＝a2+b＝0， 解得：a，b＝﹣3； （2）g（x）＝|f（x）|图象如下图所示： （3）若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，则g（x）的图象与直线y＝m只有一个交点， 由（2）中函数图象可得： m＝0，或m≥3． 一、填空题 1.（24-25高一上上海阶段练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】③ 【解析】① 的系数不是，不是指数函数； ② 的指数不是自变量，不是指数函数； ③ 是指数函数； ④ 的底数是不是常数，不是指数函数； ⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数； ⑥ 是幂函数． 故答案为：③ 2．（2024秋•高一浦东新区校级月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　　． 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得． 【解答】解：由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查指数函数的定义，属于基础题． 3. （24-25高一上上海阶段练习）将函数图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像. 【答案】 4．（2023秋•浦东新区校级期末）关于的函数且恒过定点 　　． 【分析】利用指数函数的性质即可求出函数的定点坐标． 【解答】解：根据题意，令，解得，此时， 所以关于的函数恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题． 5.（2024秋•杨浦区期末）已知函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为　　． 【解题思路】根据指数函数的图象与性质，求出f（x）恒过定点，结合题意列不等式求出a的取值范围． 【解答过程】解：函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）中， 令x+1＝0，得x＝﹣1，所以f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1， 即f（x）的图象过定点（﹣1，﹣1）； 由f（x）的图象不经过第四象限， 则f（0）＝a﹣2≥0， 解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 6．（2024秋•长宁区高一期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由指数函数的性质可知，进而得解． 【解答】解：依题意，在上恒成立， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查指数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（2024秋•浦东新区校级月考）已知指数函数经过点，则不等式的解集为 　 　． 【分析】由题意，利用指数函数经过求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集． 【解答】解：设且，则由函数经过点， 可得，解得，即． 因此函数为上的增函数． 因为，所以，解得， 可得不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的定义和单调性，一元二次不等式的解法，属于基础题． 8. （24-25高一上上海阶段练习）若函数在上是严格减函数，则的取值范围是 . 【答案】 9.（24-25高一上上海阶段练习）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为 　　． 【解题思路】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论． 【解答过程】解：∵a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5， 函数y＝x0.5 是（0，+∞）上的增函数，2＞0.6，∴c＞b． ∵y＝2x是R上的增函数，a＝0.50.6＝2﹣0.6，﹣0.6＜0.5， ∴a＜c，即c＞a． ∵y＝0.5x是R上的减函数，0.6＞0.5，∴0.50.6＜0.50.5＜0.60.5，∴a＜b． 综上可得， 10．（2024秋•闵行区期末）若函数，，，则此函数的最小值为 　 　． 【分析】根据指数函数的单调性求解． 【解答】解：因为函数在，上单调递增， 所以当时，此函数取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题． 11. （24-25高一上上海松江期末）已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 . 【答案】 12．（24-25高一上上海徐汇期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　　年．（参考数据：取， 【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令，解不等式，再计算取精确值即可． 【解答】解：假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为． 由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍， 则可得，得． 因为， 所以，故至少需要经过12年． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题． 二、选择题 13.（24-25高一上上海阶段练习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 14.（24-25高一上上海杨浦期末）函数是指数函数，则有（       ） A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1 【答案】C 【解析】由已知得，即，解得．故选：C 15.（24-25高一上上海阶段练习）设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，， ， 又函数在上是单调递增函数， 因为，所以，故， 故选:C． 16．（2026高三·上海专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意可知当时，；当时，，结合指数函数的图象与性质即可判断. 【解析】函数定义域为，且 当时，函数是一个指数函数，因为， 所以函数在上是减函数；故排除A，C； 当时，函数图象与指数函数的图象关于轴对称， 在上是增函数．故排除B． 故选：D. 三、解答题 17.（24-25高一上上海阶段练习）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值是最小值的2倍，求实数a的值． 【解题思路】由题意，利用指数函数的单调性，分类讨论，求得a的值． 【解答过程】解：∵函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上是单调函数，它的最大值是最小值的2倍， ∴当a＞1时，a2＝2a，求得a＝2； 当0＜a＜1时，a＝2a2，求得a． 综上可得，a＝2或． 18.（24-25高一上上海闵行期末）已知指数函数f（x）的图象经过点P（2，）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），求x的取值范围． 【解题思路】（1）由题意利用待定系数法求出函数的解析式． （2）由题意利用函数的单调性可得2x2﹣3x+1＜x2+3x﹣4，解一元二次不等式求得x的范围． 【解答过程】解：（1）设指数函数f（x）＝ax，a＞0且a≠1，根据它的图象经过点P（2，）， 可得 a2，∴a，f（x）． （2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），∵f（x）是R上的减函数， ∴2x2﹣3x+1＜x2+3x﹣4，即 x2﹣6x+5＜0， 求得1＜x＜5，∴x的取值范围为（1，5）． 19.（24-25高一上上海奉贤期末）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围． 【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式． （Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围． 【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0）， 又注意到a＞1， ∴，解得， 故函数f（x）的解析式为． （Ⅱ）因为由（I）知对任意x∈（﹣∞，2]恒成立， 所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立， 即，亦即对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*） 又易知函数在（﹣∞，2]上单调递增， 所以根据（*）可得， 故所求实数c的取值范围． 20.（24-25高一上上海宝山期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）结合图，求k与a的值； （2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）； （3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 【解题思路】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值； （2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式． （3）构造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.5微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围． 【解答过程】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4， 其解析式为y＝4t，0≤t≤1； 当t≥1时，函数的解析式为y， 此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4，解得a＝3； （2）由（1）知，； （3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即 ∴． 答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为；（3）服药一次治疗有效的时间范围为． 21.（24-25高一上上海崇明期末）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案. （2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可. （3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，即. 因为， 则. 因为函数在上单调递增，且， 所以. 故不等式的解集为 （2）由，得：函数定义域为. 令 则，. 因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，，当时，. 故的值域为. （3）由题意得：当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立. 令，. 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，. 所以，解得： 故当时，不等式恒成立， 的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13 指数函数 知识点一、指数函数的定义 (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 知识点二、指数函数的图像 1.指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. 0<c<d<1<a<b. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 2.对于相同的，函数的图象关于轴对称。 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 知识点三、指数函数的性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2） 指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 知识点四、指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 考点一、指数函数的概念 题型01：指数函数的概念辩析 【例1】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【例2】“”是“为指数函数”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1. 下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 2.给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 3.若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 4.若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 题型02：求指数函数的解析式或值 【例3】已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 【例4】已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练】 1.已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ． 2.已知指数函数的图象经过点，则 ． 3.已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 4.已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 考点二、指数函数的图像及应用 题型03：指数函数的图象识别 【例5】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2.当时，函数和的图象只可能是（    ） A．B．C． D． 题型04：指数函数的图象变换 【例6】函数的图像是由函数的图像沿轴向 平移 个单位，再沿轴向 平移 个单位得到的． 【例7】若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 2.要得到函数的图象，可以将 A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 3.用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 题型05：指数型函数过定点问题 【例9】函数 的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 2.已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 3.已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型06：指数函数图象的应用 【例10】设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【例11】画出函数的图象，并利用图象回答：当为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 【例12】设，且，则下列关系式中一定不成立的是_______ A． B． C． D． 考点三、指数函数的性质 题型07：求指数型函数的单调区间 【例13】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 2.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型08：根据指数型函数的单调性求参数 【例13】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09：利用指数型函数的单调性解不等式 【例14】若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.不等式与不等式 解集相同，则 . 2.解关于的不等式：（且）. 题型10：利用指数型函数单调性比较大小 【例15】已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若，则（   ） A． B． C． D． 2.是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.比较下列各题中两数的大小： (1)与； (2)与（其中且）． 考点四、综合提升 题型11：指数函数的实际应用 【例16】某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【例17】某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）结合图，求k与a的值； （2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）； （3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 【跟踪训练】 1.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 2.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型12：指数型函数的定义域 【例18】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数的定义域为 ． 2.设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型13：指数型函数的值域（最值） 【例19】已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例20】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例21】已知函数（且）． (1)当时，解不等式； (2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值． 【跟踪训练】 1.函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 3.已知函数． (1)若，解不等式； (2)若，求时的值域． 题型14：指数函数的综合应用 【例22】设函数f（x）＝（）10﹣ax，a是不为零的常数． （1）若f（3），求使f（x）≥4的x值的取值范围； （2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，求a的值． 【例23】已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【例24】已知函数f（x）＝ax+b，（a＞0，a≠1）． （1）若f（x）的图象如图所示，求a，b的值； （2）在（1）中，作出g（x）＝|f（x）|草图； （3）在（2）中，若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，写出m的取值范围． 一、填空题 1.（24-25高一上上海阶段练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 2．（2024秋•高一浦东新区校级月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　　． 3. （24-25高一上上海阶段练习）将函数图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像. 4．（2023秋•浦东新区校级期末）关于的函数且恒过定点 　　． 5.（2024秋•杨浦区期末）已知函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为　　． 6．（2024秋•长宁区高一期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 7．（2024秋•浦东新区校级月考）已知指数函数经过点，则不等式的解集为 　 　． 8. （24-25高一上上海阶段练习）若函数在上是严格减函数，则的取值范围是 . 9.（24-25高一上上海阶段练习）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为 　　． 10．（2024秋•闵行区期末）若函数，，，则此函数的最小值为 　 　． 11. （24-25高一上上海松江期末）已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 . 12．（24-25高一上上海徐汇期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　　年．（参考数据：取， 二、选择题 13.（24-25高一上上海阶段练习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高一上上海杨浦期末）函数是指数函数，则有（       ） A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1 15.（24-25高一上上海阶段练习）设，，，则（       ） A． B． C． D． 16．（2026高三·上海专题练习）函数图象的大致形状是（    ） A．  B．  C．   D．   三、解答题 17.（24-25高一上上海阶段练习）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上最大值是最小值的2倍，求实数a的值． 18.（24-25高一上上海闵行期末）已知指数函数f（x）的图象经过点P（2，）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（2x2﹣3x+1）＞f（x2+3x﹣4），求x的取值范围． 19.（24-25高一上上海奉贤期末）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围． 20.（24-25高一上上海宝山期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）结合图，求k与a的值； （2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）； （3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？ 21.（24-25高一上上海崇明期末）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)求的值域； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $