九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 图形的相似～第2章 锐角的正弦、余弦、正切）

**基本信息** 九年级数学湘教版培优卷，聚焦图形相似与锐角三角函数，通过25题（单选10、填空6、解答9）分层考查，融合邢窑测量、钓鱼竿支架等真实情境，凸显几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|相似三角形判定、锐角三角函数基础|第3题网格三角形相似，考查抽象能力| |填空|6/18|相似性质应用、解直角三角形|第11题邢窑瓷瓶内径测量，体现文化传承| |解答|9/72|几何综合（翻折/旋转）、实际应用（盲区/支架）|21题钓鱼竿支架调节，融合空间观念与推理能力；25题矩形综合题，发展创新意识|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 2．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 4．（2023·河南洛阳·二模）如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点，cm，则液面的长度为（   ） A．cm B．7cm C．8cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查了平行的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识． 先根据正方形性质得到相关边和角的信息，再通过角度关系求出，最后在中利用求出的长度． 【详解】在图中标记字母，如图所示． ∵， ， ∴ ， 在 中，∵ ，，， ． 故选：A． 5．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 6．（2026·云南昭通·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【分析】解题思路是作底边的高，利用锐角正弦定义和勾股定理求出底和高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴． 7．（2026·山东威海·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 8．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出平分且为中点，从而求出的长和的度数，最后在中利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，为形槽的深，即， 为等腰三角形，为底边上的高 ， ，， 在中，， ， ． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线段最短，利用等边三角形性质，图形翻折的性质计算即可． 【详解】解：∵是边上的中点，， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点作，过点作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴， ， ∴， ∴点到的距离为． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 【答案】 【分析】过作于，先求出，最后根据tan求解即可． 【详解】解：过作于， 由网格可得：，， ， ， ． 13．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 14．（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【答案】 【分析】过点作分别交、的延长线于点、，则四边形和四边形是矩形，证明，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、的延长线于点、， 正方形的边长为4，点E在边上，， ，，，，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，，， 四边形和四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 16．（2025·浙江杭州·模拟预测）在等腰中，已知，是内一点，使，，，则边的长为_____． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接得到等腰，利用勾股定理求出长后通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而求出，过点作，交的延长线于，在中利用三角函数求出、长，进而求出长，在中利用勾股定理求出长，最后在等腰中，由求出长即可． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接， ∴，，， ∴， 在中，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形 ∴， ∴， 过点作，交的延长线于， 则， 在中，，， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 19．（6分）（2026·湖南·三模）求南北走向的观光大道的右侧有两座新建的休憩亭和，点在上，亭位于点的北偏东方向，亭位于点的南偏东方向．小明从点出发，以的速度沿方向步行，后到达亭，此时发现亭恰好位于亭的正南方． (1)求点到的距离； (2)求亭，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，算出和，进而求出即为点到的距离； （2）先求出，进而可证，再利用三角函数求出，最后利用求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ， 故点到的距离为． （2）解：如图， ， ， ， 据（1）知， ， ， ， ， ． 20．（8分）（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接． ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题； （2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 21．（8分）（2025·江西·模拟预测）如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）根据正弦的定义计算，得到答案； （2）设，根据正弦的定义用表示出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解： ，， ∴，， 在中，，， ，， ， ， ； （2）∵鱼竿始终与地面平行，保持支架与地面的夹角不变 ， 设， 在中，，， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，舍去， ， 答：支架的长度约为． 22．（9分）（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明： ， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 23．（9分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 24．（10分）（2025·浙江台州·模拟预测）已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 【答案】(1)与相等的角是. 证明：，，， ； (2)证明：如图，在上截取，使，连接， 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在上截取，使，即可证明，可得和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明； （3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知：， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 则， 又， ， ， ， ，即， ∴， ∴， ∴． 25．（10分）（2026·湖北武汉·三模）如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的值：（用含的式子表示） (3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明：在矩形中，， ， ， ， ， ， ， 则 ． (2) (3) 【分析】（1）由可推出，然后推出互余，继而推出； （2）结合（1）的结论证，得，根据，点为的中点，化简即可； （3）设，则，，,以为原点，为轴，为轴，求出和所在直线解析式，然后求出坐标，计算即可． 【详解】（1）略 （2）由第一小问可得， ， ， ， 又是的中点， ， ， ， ， （3）设，则，，, 以为原点，为轴，为轴， 则，,，如图： 设所在直线的解析式为，且经过，， 则，解得， 所在直线的解析式为， 设所在直线解析式为，且经过，， 则， 解得， 所在直线解析式为， 当时，，，即， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 图形的相似~第2章 锐角的正弦、余弦、正切 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 2．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·河南洛阳·二模）如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点，cm，则液面的长度为（   ） A．cm B．7cm C．8cm D．cm 5．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昭通·模拟预测）在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 7．（2026·山东威海·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 13．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 14．（2025·四川乐山·一模）如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 16．（2025·浙江杭州·模拟预测）在等腰中，已知，是内一点，使，，，则边的长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（6分）（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 19．（6分）（2026·湖南·三模）求南北走向的观光大道的右侧有两座新建的休憩亭和，点在上，亭位于点的北偏东方向，亭位于点的南偏东方向．小明从点出发，以的速度沿方向步行，后到达亭，此时发现亭恰好位于亭的正南方． (1)求点到的距离； (2)求亭，之间的距离．（结果保留根号） 20．（8分）（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 21．（8分）（2025·江西·模拟预测）如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度．（结果保留小数点后1位参考数据：） 22．（9分）（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 23．（9分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 24．（10分）（2025·浙江台州·模拟预测）已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 25．（10分）（2026·湖北武汉·三模）如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的值：（用含的式子表示） (3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $