2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考复习卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，融合杨辉数学文化、乒乓球运动等现实情境，梯度设计凸显抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程解、抛物线性质、根的判别式|7题杨辉几何解法渗透文化传承，8题“仰顶函数”新定义考查创新思维| |填空题|6/18|方程一般形式、函数解析式、对称曲线|14题对称曲线结合几何直观，15题三元关系转化考查运算能力| |解答题|9/72|解方程、函数应用、实际问题|24题足球抛物线运动体现模型意识，23题“差根方程”新定义强化推理能力|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考复习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 10．已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把方程化为一般形式是__________． 12．写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 15．已知实数，，满足，，则的值为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．（6分）已知二次函数． (1)若，且二次函数的图象经过点，求函数的顶点坐标； (2)若，证明：二次函数的图象和x轴有两个交点． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 20．（8分）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 21．（8分）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 22．（9分）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 23．（9分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（10分）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．A 解：把代入方程，得，即， 解得． 2．C 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．A 解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．C 解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 5．C 解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．C 解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 7．A 解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．A 解：， 该函数顶点纵坐标为， ， ∴该函数顶点纵坐标为 ， 根据“仰顶函数”的定义可得， 整理得， ∵无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”， 无论取任何实数，恒成立， ∴ 小于的最小值， ，即的最小值为， ∴ ． 9．D 解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 10．B 解：逐个验证三个说法： ①当时，，由题知是从中任意选取的一个数，即，若是单项式，则必须，可取，共个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当，，时，， ∵是从中任意选取的一个数，为自然数， ∴， （），，则， ∵， ∴， 情况一：，则，，不符合条件， 情况二：，则，，， 情况三：，则，，， 情况四：，则，，不符合条件， （），，矛盾，不符合题意； （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， 综上，使得方程的所有实数根的和为，故②错误，不符合题意； ③当，，， 时，， 情况一： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况二： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况三： 则有：，共有个满足条件的整式， 综上，一共有个满足条件的整式， 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有个． 二、填空题 11． 解： ， 原方程化为一般形式为． 12．（答案不唯一） 解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 13． 解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14． 解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 15． 解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 16． 解：∵抛物线过、， ∴用交点式得：， 对比常数项，得， 因此抛物线解析式为：． ∵点横坐标为， ∴代入抛物线得， 即． 过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，于点G， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得, ∴ 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 联立抛物线解析式得， 化简得， 解得​（对应点），， 代入解析式得​， ∴． 三、解答题 17．（1）解：， ， ， 即，， ， ； （2）解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 18．（1）解：由题可知，解得， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； (2) 证明：令， 则， 由得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点． 19．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 20．（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 21．（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 22．（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 23．（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 25．（1）解：将点代入抛物线， 得： ， ． 再将点、代入抛物线， 得： ， 整理得 ． 此时抛物线可整理为：． （2）解：①过作轴垂线，、横坐标均为： 在抛物线上，纵坐标为； 在直线上，纵坐标为． 两点重合，则纵坐标相等， ∴， （）， 两边同除以，得， 因式分解得， 解得 或 ， 即 或 时，和重合． ②横坐标相同的两点、的距离为纵坐标差的绝对值： ，，， ∴． ． ∵， ∴， 两边同除以 ，得：． ∵， ∴ 整理得， 当时，或， ∴的解集为：或． 题目要求对任意，不等式都成立， ∴需全部满足或全部满足： 若全满足， 则左端点，解得； 若全满足， 则右端点，解得． 因此的取值范围是 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $