专题3.7 扇形【导图+知识卡片+知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册同步讲练

本讲义聚焦苏科版九年级上册扇形专题，系统梳理弧长公式、扇形面积公式，延伸至圆锥的母线、高及侧面积、全面积计算，构建从基础公式到实际应用的知识支架。 含精编思维导图助力知识结构化，14个题型讲练（典例+变式）培养推理能力，中考真题与分层训练提升应用意识，题量充沛且解析清晰，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，适合培优拔尖。

专题3.7 扇形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 弧长公式 2 知识点二 扇形的面积公式 3 知识点三 与圆锥相关的概念 3 知识点四 圆锥的侧面积和全面积 4 题型讲练 4 题型一 求弧长 4 题型二 求扇形半径 4 题型三 求圆心角 5 题型四 求某点的弧形运动路径长度 5 题型五 求扇形面积 6 题型六 求图形旋转后扫过的面积 7 题型七 求弓形面积 8 题型八 求其他不规则图形的面积 8 题型九 求圆锥侧面积 9 题型十 求圆锥底面半径 10 题型十一 求圆锥的高 10 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 11 题型十三 圆锥的实际问题 11 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 11 中考真题演练 12 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 16 知识点一 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点二 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点三 与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点四 圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型一 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 题型二 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·天津和平·期末）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 题型三 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点) (1)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________； (2)画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长． 【变式训练】（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在．， (1)求的度数； (2)求点C旋转到点E经过路径的长． 题型五 求扇形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【变式训练】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，正六边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点．已知的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点，的坐标分别是，． (1)将绕点逆时针旋转后得到，画出旋转后的图形； (2)求出线段扫过的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别，， (1)将绕点顺时针旋转得到，作出旋转后的图形，并写出的坐标； (2)若将线段绕点顺时针旋转，则线段扫过的面积是_____． 题型七 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，经过A，C两点的与边分别交于E，F，D是上一动点，连接． (1)若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明） (2)在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 题型八 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． (1)如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． (2)试探究与的数量关系，并说明理由． 题型九 求圆锥侧面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 题型十 求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 题型十一 求圆锥的高 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）如图，圆锥的底面，侧面展开图扇形的圆心角为，则此圆锥的高___________． 【变式训练】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【变式训练】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 题型十三 圆锥的实际问题 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【变式训练】（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·山西晋中·中考真题）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·河南·中考真题）如图，在扇形中，，以为直径在上方作半圆，交于点，若，则阴影部分的面积是______． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，边长为的菱形中，点O为对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作扇形，且，点A在的内部，则图中阴影部分面积为________． 【真题演练5】（2025·湖北恩施·中考真题）如图，将一锐角为的三角板（）放入扇形中，点落在半径上，直角顶点落在上，，则的长为________，图中阴影部分的面积为________． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，一个半径为1的圆从位置开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留）． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）半径为的中，圆心角所对的弧长为_____ （结果保留）． 8．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点O逆时针旋转后的； (2)求（1）中C点旋转到时，线段所扫过的面积（结果保留）． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，是的直径，与相切于点，是的弦，，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（结果保留） 10．（25-26九年级上·江西南昌·期末）（1）解方程： （2）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，大圆的弦切小圆于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 5．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则的值为_____． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为___________． 7．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形是平行四边形，，，点C在x轴的负半轴上，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点D恰好落在x轴的正半轴上，且经过点A． (1)若点F在反比例函数的图象上，求α及k的值； (2)求旋转过程中扫过的面积． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 10．（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题3.7 扇形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 弧长公式 2 知识点二 扇形的面积公式 3 知识点三 与圆锥相关的概念 3 知识点四 圆锥的侧面积和全面积 4 题型讲练 4 题型一 求弧长 4 题型二 求扇形半径 5 题型三 求圆心角 6 题型四 求某点的弧形运动路径长度 7 题型五 求扇形面积 10 题型六 求图形旋转后扫过的面积 11 题型七 求弓形面积 14 题型八 求其他不规则图形的面积 17 题型九 求圆锥侧面积 21 题型十 求圆锥底面半径 21 题型十一 求圆锥的高 22 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 24 题型十三 圆锥的实际问题 25 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 26 中考真题演练 28 难度分层训练 35 【基础夯实】 35 【培优拔高】 43 知识点一 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点二 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点三 与圆锥相关的概念 1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． 3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 、 知识点四 圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型一 求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·广西钦州·期末）制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键． 先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长． 【详解】解：由题意得，直径， 半径， 以为圆心，为半径画弧交半圆于点， ， 是等边三角形，， 在扇形中，， 在半圆中，， ， 故答案为：． 题型二 求扇形半径 【典例精讲】（25-26九年级上·天津滨海新区·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解． 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·天津和平·期末）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【答案】10 【分析】本题考查了求圆锥的母线长． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用扇形弧长公式与底面周长相等建立方程求解母线长． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 底面直径为6，则底面半径，底面周长， 侧面展开图的圆心角为， 则扇形弧长， 由，得， 解得． 故答案为：10． 题型三 求圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算圆心角度数. 【详解】解：弧长公式为：，，， ， 整理得：， 即， 解得：， 故选：C. 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了弧长公式．利用扇形的弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为 度．由弧长公式得： ， 解得：， 即此扇形的圆心角是． 故答案为∶． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点(网格线的交点) (1)先向左平移5个单位，再向上平移1个单位后为(点，，的对应点分别为)，请画出，并写出点的坐标__________； (2)画出将绕点顺时针旋转后的(点，，的对应点分别为)，并求出点旋转到所经过的路径长． 【答案】(1) 如图所示为所求的三角形，此时点的坐标为； (2) 如图所示，为所求的三角形， 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、旋转变换作图以及弧长的计算，核心知识为平移的坐标规律、旋转的坐标规律和弧长公式． （1）先确定原三角形各顶点的坐标，依据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”的规则求出平移后各顶点的坐标，再顺次连接得到平移后的三角形，进而得到点的坐标； （2）根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出旋转后各顶点的坐标，顺次连接得到旋转后的三角形；再计算原点到点的距离，结合旋转角，利用弧长公式计算点旋转的路径长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，为所求的三角形， ， ∴， 点旋转到所经过的路径长． 【变式训练】（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在．， (1)求的度数； (2)求点C旋转到点E经过路径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和，角的和差，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，即可解答； （2）推导出点C旋转到E的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为的弧，求出，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵由旋转得到， ， ∴． （2）解：∵点C旋转到点E的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴在中，，， 则． ∴点C旋转到点E经过路径的长为：． 题型五 求扇形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意得到扇形的半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵的中点为圆心， ∴，即扇形的半径为， ∴该扇形的面积为， 故答案为： 【变式训练】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，正六边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义及内角和，扇形的面积公式．根据正多边形的定义求出该多边形的内角，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：正六边形的内角为， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点．已知的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点，的坐标分别是，． (1)将绕点逆时针旋转后得到，画出旋转后的图形； (2)求出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）根据旋转的作图即可； （2）根据扫过的面积 ，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求的三角形． （2）解：由勾股定理可得：，，， 扫过的面积 ， 答：扫过的面积为． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别，， (1)将绕点顺时针旋转得到，作出旋转后的图形，并写出的坐标； (2)若将线段绕点顺时针旋转，则线段扫过的面积是_____． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）的三个顶点坐标分别是，，，根据旋转的性质得旋转后的对应坐标分别为，，，画图即可； （2）根据点，得，圆心角为，则线段扫过的面积是是一个扇形的面积，根据公式计算即可． 本题考查了旋转的作图，扇形的面积公式，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别为，，，根据旋转的性质得旋转后的对应坐标分别为，， 画图如下： 则即为所求． （2）解：根据点，得，圆心角为， 故线段扫过的面积是一个扇形的面积，且为． 题型七 求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，经过A，C两点的与边分别交于E，F，D是上一动点，连接． (1)若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明） (2)在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）任选其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，再利用圆周角定理等知识进行证明即可． （2）先证明是直径，即经过点O，求出圆的半径，再证明是等边三角形，得出，进一步得到，利用三角形面积公式与扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：若①②，求证③； 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 若①③，求证②； 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 若②③，求证①； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接， ∵， ∴是直径，即经过点O， 连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过O点作于G， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积为． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 题型八 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)图中阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质结合勾股定理求出，连接，可得是等边三角形，从而得到，进而可得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，解得舍负， ，， 是等边三角形，， ， ∴图中阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． (1)如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． (2)试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可；②由（1）①得，则，求出的长，进而求出和扇形的面积，据此可得答案； （2）同（1）①求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ②由（1）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴弧、线段、线段所围成图形的面积； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 题型九 求圆锥侧面积 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 【变式训练】（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____． 【答案】 【详解】解：从三视图来看，主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆， ∴这个几何体是：圆锥， 由三视图可知：底面直径为，则底面半径， 高为，母线长(左视图的斜边)， 圆锥的侧面积公式：． 题型十 求圆锥底面半径 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，根据扇形弧长公式， ， 设圆锥底面半径为， 扇形弧长等于圆锥底面周长， ， 解得， 圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为， 由勾股定理得圆锥的高：. 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，先根据侧面弧长等于底面圆的周长求出半径，然后根据勾股定理求出母线长即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l， 则， 解得， ∴， 故答案为：． 题型十一 求圆锥的高 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）如图，圆锥的底面，侧面展开图扇形的圆心角为，则此圆锥的高___________． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的母线长．圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是2， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开后所得的扇形的弧长是， ∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为 ∴侧面展开后所得的扇形的半径为： ∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径， ∴圆锥的母线长度为， ∴此圆锥的高 故答案为：． 【变式训练】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积． 【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和， ∴每个三角形面积（平方厘米）， ∵圆锥的高是6厘米， ∴截面的三角形的高为6厘米， ∴底面直径为（厘米）， ∴底面半径（厘米）， ∵圆锥体积（立方厘米）， 故圆锥的体积为立方厘米． 故选：B． 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的圆心角．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆心角为，则扇形的弧长为，圆锥底面的周长为， 根据弧长相等，得， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 【答案】144 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长，据此结合弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这张扇形纸板的圆心角应为n度， 由题意得，， 解得， ∴这张扇形纸板的圆心角应为144度， 故答案为：144． 题型十三 圆锥的实际问题 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·期中）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为 ，圆锥底面半径为 ， 则底面周长为 ， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 【变式训练】（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 【典例精讲】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点是的中点， ，即， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 【真题演练2】（2025·山西晋中·中考真题）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O点，根据菱形的性质可得， ， ，，进而求得，，，则可得，，再根据即可求解． 本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【详解】解：连接交于O点， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 【真题演练3】（2025·河南·中考真题）如图，在扇形中，，以为直径在上方作半圆，交于点，若，则阴影部分的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形面积的计算和不规则图形面积的计算．根据阴影部分是由扇形和半圆叠加后形成的，先计算重叠部分的面积，再计算扇形和半圆面积的和，最后用扇形和半圆面积的和减去倍重叠部分的面积，即是阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，边长为的菱形中，点O为对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作扇形，且，点A在的内部，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及扇形面积的计算．过点O分别作于点N，于点M，连接，令与的交点为E，与的交点为F，根据菱形的性质得出，，，从而得出平分，证明，再，得出，从而推导出，利用勾股定理求出相关线段的长度，最后计算扇形面积，用扇形面积减去四边形的面积即可得解． 【详解】解：如图，过点O分别作于点N，于点M，连接，令与的交点为E，与的交点为F， ∴， ∵四边形是菱形，，，O是中点， ∴，，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, 在中，，， 在△中，，， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·湖北恩施·中考真题）如图，将一锐角为的三角板（）放入扇形中，点落在半径上，直角顶点落在上，，则的长为________，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，求出，得出，求出，连接，证明点、、、四点共圆，得出，证明为等边三角形，得出，从而可得，证明，得出，求出，作于点，则，从而可得，，求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】求出弧的长，进而得到每经过2秒，点运动到横轴上，再求出第2026秒时点的位置，即可. 【详解】解：， （秒），，故在第2026秒时点的纵坐标为0. 2．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【分析】先利用扇形面积公式求出扇形弧长，该弧长等于圆锥底面圆周长，据此求出底面圆半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】设展开后扇形的弧长为，已知圆锥母线长，扇形面积， 根据扇形面积公式，代入得： ， 解得． 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则 ， 解得． 圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为： ． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了弧长公式．利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长”这一核心等量关系，先根据底面半径求出底面圆的周长，再设侧面展开图扇形的圆心角为，结合扇形弧长公式建立方程，最后求解方程得到圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为． ∵圆锥底面半径，圆锥母线长， ∴由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得， 解得， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，一个半径为1的圆从位置开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 圆心移动的路程． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）半径为的中，圆心角所对的弧长为_____ （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是直接应用弧长公式 求解 【详解】解：由弧长公式 ，其中 ，， 代入得 ， 故答案为． 8．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点O逆时针旋转后的； (2)求（1）中C点旋转到时，线段所扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）由于点C旋转到所扫过的面积为以O为圆心，为半径，圆心角为90度的扇形，利用扇形公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作三角形： （2）解：由勾股定理得，， ∵绕点O逆时针旋转后的， ∴点C旋转到所扫过的面积为以O为圆心，为半径，圆心角为的扇形， 点旋转到时线段扫过的面积为． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，是的直径，与相切于点，是的弦，，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据平行线的性质及等腰三角形的性质可得，即可证明，得出，即可得出是的切线； （2）根据直角三角形斜边的中线的性质得出，，可证明是等边三角形，得出，，根据即可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：由（1）可知，， ∵恰好是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期末）（1）解方程： （2）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查了一元二次方程、圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）首先根据圆锥的底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：由题意得，， ∴该圆锥的侧面积为． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，大圆的弦切小圆于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线的性质，垂径定理，勾股定理，扇形的面积计算，含直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接、，根据切线的性质得到，由垂径定理可得，根据含直角三角形的性质得到，在中，利用勾股定理计算出，计算出，进而得到，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 大圆的弦切小圆于点， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为： ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形外接圆，等腰直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设的半径为，根据多边形外接圆的性质可得，进而得到，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 由正八边形对称性可知圆心为的中点， ， ， ， 在正八边形中， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为， 解得． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键． 根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可求解最短路径． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与底面圆的关系，根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，是等腰直角三角形，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】如图所示，记与的交点为，连接，，证明，进一步可得，求解，，，利用再进一步求解即可. 【详解】解：如图所示，记与的交点为，连接，， ∵，， ∴，， ∵由旋转的性质得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证得结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形是平行四边形，，，点C在x轴的负半轴上，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点D恰好落在x轴的正半轴上，且经过点A． (1)若点F在反比例函数的图象上，求α及k的值； (2)求旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行与旋转得，证为等边三角形，得；作垂线求F点坐标，代入反比例函数求k． （2）将扫过面积拆分为扇形、平行四边形及扇形与的面积差，分别计算后求和． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 由旋转可知，，， ． 在中，， ． 又， ． 如答案图①，过点F作轴于点G． ， 在中，； 由勾股定理得， ​； 又∵点F在第二象限， ． 又∵反比例函数的图象经过点F， ． 答案图① （2）如答案图②所示，阴影部分的面积即为扫过的面积，其中是点C旋转过程中的轨迹，是点A旋转过程中的轨迹． 由的高为， 则扫过的面积为 ． 答案图② 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 10．（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的高的计算，先利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长求出底面半径，再结合母线长，通过勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null