专题05 相似三角形中的手拉手模型（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以旋转相似为核心，构建“模型解读-方法提炼-多情境应用”的专项训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形手拉手|3类模型+3道典例|比例式转化→三角形构造→相似证明→线段替换|从旋转相似定义出发，逐步构建任意三角形、直角三角形、特殊三角形（等边/等腰直角）的手拉手模型，形成“条件-结论-证明”逻辑链| |矩形/正方形手拉手|2类情境+6道典例|旋转性质结合相似判定，迁移三角形模型方法|以三角形模型为基础，拓展至矩形、正方形中的旋转相似问题，强化模型在特殊四边形中的应用逻辑|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中的手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的手拉手模型（重） 题型2矩形中的手拉手模型（难） 题型3正方形中的手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点 不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形 的旋转相似三角形。 1)手拉手相似模型（任意三角形） AD AE =k 条件：如图，∠BAC=∠DAB=C,ABAC；结论：△ADB一△ABC,△ABD一△4CE: EC=k BD 2)手拉手相似模型（直角三角形） OC OD 条件：如图，∠AOB=∠COD=90°，OAOB (即△COD-△AOB); BD=k ABx CD 结论：△AOC-△BOD:AC,AC⊥BD, 2 3)手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE-3 :M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME一△CMF;CF 条件 :△ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD一△ACE. 条件 手拉手相似证明题一般思路方法：①由线段乘积相等转化成线段比例式相等： ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形： ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等： ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 1.(2026山东临沂二模)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D 落在边AB上，连接BE」 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△BCE∽aACD: (2)如图2，当BC=3,AC=1时，求BE的长： (3)如图3，延长AC至点F,使CA=CF,连接EF,DE与BC交于点K.求证：EF∥AB. 2.(26-27九年级全国暑假作业)探究下列问题： 图1 图2 图3 (I)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系：- (②)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,写 出BD与CE的数量关系：-· 2111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AD 3 (3)【拓展提升】如图3，AABC和。4DE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且BCDE4:连接 BD BD'CE:求CE的值， 3.(25-26八年级下·吉林·期末)综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探 索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存 在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4, 分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE D 图1 图2 图3 图4 BD (I)初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE一△ABC,可知：CE (2)猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE.旋转过程中，线段BD和CE的 长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. (3)结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE= (④)延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D,E. 作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.分别取AC,DE的中点M,N.当△BDE绕点B 旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是 ◆题型2矩形中的手拉手模型 4.(25-26八年级下浙江宁波期末)如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB'CD',点B、 C、D的对应点分别为B、C'、D',延长C'B交BC于点E,连结AE, D R 图1 图2 图3 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE平分∠BAB': (②)如图2，AB=3,BC=5,当C在CD的延长线上时，求BE的值： (3)如图3，连结BD,B'D',当点B落在BD上时，B、D、C共线，求AB:BC的值 5.(2026广东汕头二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 n(0<n<90)得到矩形AEFG,点B的对应点为点E,点C的对应点为点F,点D的对应点为点G,FE的 延长线交BC于点H. G G H H H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BH=EH; (2)连接CF,连接BE并延长交CF于点P ①如图2，求证：BP平分CF; ②如图3，连接AP,交EF于点O,若AP平分△EFP的面积，求AP的长， 6.(25-26八年级下山东泰安·期末)数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以 “探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究。 D 图1 图2 图3 ()【问题发现】如图1，在矩形ABCD中，AD:CD=I:3,点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD CF 的垂线，垂足为E,G,则四边形AEFG为矩形，则DG (2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为a,当0°<a<180°时，连 接CF,DG,在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由. (3③)【解决问题】如图3，Rt△BAC中，∠A=90°，AB=4,∠ACB=30°，点D在线段BC上运动，以AD为直 角边构造RtDAE,∠DAE=9O°且AE=V5AD,连接DE,点P为线段DE的中点，连接CP. ①求∠DCE的度数，并说明理由： ②在点D的运动过程中，求线段CP的最小值， 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3正方形中的手拉手模型 7.(2026黑龙江绥化模拟预测)解答下列问题： 图1 图2 图3 (I)【问题发现】：如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作 AC的垂线，两条垂线交于点F,连接EF,求证：BE=BF; (②)【类比探究】：如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作 CF AC的垂线，两条垂线交于点R,且ACB=6O,连接EF,求AE的值： (3)【拓展延伸】：如图3，在(2)的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的 中点M,连接BM,CM.若AB=4V3,则当△CBM是直角三角形时，请写出CF的长 8.(2026九年级下河南商丘·学业考试)如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在AD上取一点E,使得 AE=V5,以AE为边作正方形AEFG,连接BE,CF G G 图1 图2 备用图 B (1)问题发现： CF的值是 -；直线BE,CF所夹锐角的度数是 (2)拓展探究：如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明； 若不成立，请说明理由： (3)解决问题：在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为V2时，请直接写出CF的长. 9.综合与实践 如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在BC上取一点G,使得CG=V5,以CG为边作正方形CEFG,连 接AF,DG 【问题发现】 5111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG (1)AF的值是 直线DG,AF所夹锐角的度数是 【拓展探究】 (2)如图2，正方形CE℉G绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明：若不成 立，请说明理由. 【解决问题】 (3)如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为V2时，请直接写出4F的长 图1 图2 图3 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2026天津河北二模)如图，己知矩形ABCD,AB=6V5,AD=6,把矩形ABCD绕点A旋转得到 矩形AB'CD',点B,C,D的对应点分别是点B,C,D,当点D在线段AC上时，AB交CD于点E,连接 DE,线段DE的长为() B A.√21 B.6 C.2v21 D.63 2.(25-26九年级上江苏苏州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8.将△ABC绕点A 按顺时针方向旋转，得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B,C,B'C的延长线与边BC相交于点 D,连接BB,若CD=3,则线段BB'的长度为() 6/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 24 8 A. 5 C.8 D.5 3.(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，在正方形ABCD中，BC=2,点P是AB上一点，连接CP, 将CP绕点P按顺时针方向旋转90°得到P巴，连接CQ,B,则下列结论错误的是() D B A.当∠BCP=∠BCQ时，AB=(N2+I)BP B.当S.BCQ=Sre时，BP=V5-l C.当BO取最小值时，BP=名 3 1 D.当∠PBQ=∠CBQ时，S.Bcn= BO2 2 二、填空题 4.(25-26九年级上浙江温州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B旋转，使 点C的对应点C'恰好落在△ABC的中线CD上，此时CC'=DC',若DE=1,则BC=一 5.(2025湖北襄阳·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PC=3PA,连接BP,将BP绕 点B顺时旋转90°得线段BO,连接PQ交BC于点E,若AB=2V2,则CE的长是 7111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6.(2026河南三门峡二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5.将矩形ABCD绕点A旋转得到矩 形AEFG,点B,C,D的对应点分别为点E,F,G,连接BE,若直线EF恰好经过点D,则BE的长为 G E B 三、解答题 7.(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这 个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=9O°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<a<360) D B B C B 图1 图2 备用图 备用图 AE (①)【初步感知】如图L,连接4E'CD'将三角形纸片BDE绕点B旋转，求CD的值： (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长 线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的 直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度：若不能，请说明理由. 8.(25-26九年级上四川达州期末)(1)如图，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A, ∠EAF=90°，连接BE,DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,则 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE DE 图1 图2 图3 (2)如图2，矩形ABCD与R△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且AD=2AB,AF=2AE,连接BE,DF BE 将RteAEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出DF的值及B的度数，并结 合图2进行说明； (3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且 ∠BAD=∠EAF=α(0°<a<180),AD=kAB,AF=kAE(k≠O),将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直 线BE,DF相交所成的锐角的度数为B,则： BE ①DF ②请直接写出a和B之间的关系式： 9.(2026辽宁锦州三模)数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知矩形ABCD中，AB=3, BC=4. 图1 图2 图3 (I)如图1，纸片△ABC绕点A旋转，当点C的对应点F在射线CD上时，求证：△ADF≌aCBA (2)如图2，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当AE与矩形对角线AC重合时，EF与AD交于点G,连接 CG并延长交AF于点H,过点A作AM⊥CH,垂足为点M,求CM的长. (3)如图3，在纸片ABC绕点A旋转过程中，当点B的对应点E在矩形对角线BD上时，EF与AD交于点G, 延长FE交AC于点H,求△AHG的面积. 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上甘肃兰州期中)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的 位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： 图1 图2 图3 (I)如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为 位置关系为 (直接写出答案) AE=AB1 ②)如图3，把背景中的正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD:且AGAD2,4E=2'AB=5' 将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG的值是定值，请求出这个定值.（直接写出 答案) 11.(25-26九年级上江西南昌·期末)定义：如图2，△ABC与△ADE有公共顶点A,且△ABC∽aADE, 我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”. D G 图1 图2 图3 图4 (I)知识理解：①如图1，若△ABC,△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转相似图 形”（填“是”或“不是”） 如图2，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， ②若∠B=100°，∠E=30°，则∠DAE= BD ③若AB=4'AD=6’AE=15,则AC= ,若连接BD'CE,则CE (2)知识运用： 如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E,∠DAC=∠DBC, 求证：①△4ODABOC: 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，且△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”，若 AC=10,AD=4V2,求DE和BD的长. 12.(2026山东济南二模)【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形ABCD和正方形CEFG如图1摆放到一起，连接BE、DG,然后把正 方形CEFG绕点C顺时针旋转. D 图1 图2 图3 (1)小明发现，无论如何旋转，线段BE和DG的数量关系是 直线BE和DG位置关系是 (2)【类比探究】 连接AF、AC,延长BE交AF所在直线于点P,小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段AF与线段 BE的比值及∠APB的度数也是固定的.如图2，当正方形CEFG旋转至正方形ABCD外侧且B、C、G 三点共线时. ①求线段AF与线段BE的比值及∠APB的度数： ②如图3，连接BD交AC于点O,交AF于点H,当BC=35,AH=5PF时，求EC的长 11/11的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形中的手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的手拉手模型（重） 题型2矩形中的手拉手模型（难） 题型3正方形中的手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 1. 【答案】(I)证明：由旋转性质得：CA=CD,CB=CE, CA CD CB CE' ,由旋转性质得知，∠ACB=∠DCE=90」 .∠ACD=∠BCE, △BCE∽aACD: g30 5 (3)证明：由旋转得，∠CDE=∠A,AC=CD,BC=CE, CA=CF, ..CD=CF, .∠ACB=∠DCE=∠BCF=90°， .LBCF-LBCE=∠DCE-∠BCE. 即∠DCB=∠FCE, 在△DCB和△FCE中， CD=CF ∠DCB=∠FCE CB=CE 1/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DCB≌aFCE(SAS), .∠CDB=∠F, 又：CA=CD .∠A=∠CDA .∠CDB+∠CDA=180°， .∠F+∠A=180°， .EF∥AB 【详解】(1)证明：略： (2)解：在Rt△ABC中，AC=1,BC=3,∠ACB=90° .DE=AB=VAC2+BC2=1+9=√0， .CA=CD. ∴∠A=∠CDA, 由BCEVAACD' BEBC-3=3,∠A=LEBC 得ADAC1 即BE=3AD :∠A+∠CBA=90°， .∠EBC+∠CBA=90°， 设AD为a,则BE=3a,BD=V10-a, 在Rt△BED中， EB2+BD2=ED2, 即9a2+(i0-a=10, a=Vio 解得5或 (舍去)， a=0 :BE=3x10_3V10 55: (3)证明：略. 2. 【答案】(I)BD=CE 份BD=2CE政CE=万BD 2/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD 3 (3CE-3 【详解】(I)解：：△ABC和△ADE都是等边三角形， AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60, :∠DAB=∠DAE-∠BAE=6O°-∠BAE, ∠EAC=∠BAC-∠BAE=60°-∠BAE, .∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中， AD=AE DAB=∠EAC AB=AC ∴.△DAB≌aEAC(SAS), .BD=CE」 (2)解：，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得AE=V2AD,AC=√2AB, 0-87-竖. :∠ABC=∠ADE=90° ∴.∠DAE=∠BAC=45°， .∠DAB=∠DAE-∠BAE=45°-∠BAE, ∠EAC=∠BAC-∠BAE=45°-∠BAE, ∴.∠DAB=∠EAC, △ADB∽△AEC, .BD-18 CE AC 2 ·BD= 2CE或CE=N2BD AB AD 3 (3)解：BC=DE4:∠ABC=∠ADE=90°， ∴.△ABC∽△ADE, .∠DAE=∠BAC ,∠DAB=∠DAE-∠BAE, 3/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAC=∠BAC-∠BAE, .∠DAB=∠EAC, 设AB=3x,BC=4x, 在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=√AB2+BC2=V9x2+16x2=5x, 设AD=3a,，DE=4a, 在Rt△ADE中，根据勾股定理得AE=VAD2+DE2=V9a2+16a2=5a, 光品把 AD AB 3 六AEAC5' .△DAB∽△EAC, BD AB 3 ·CEAC5 3. 2 【答案】①)2 (2)解：CE=V2BD,证明如下， 由题可得，△ABC和△ADE是等腰直角三角形， .∠BAC=∠DAE=45°，AC=V2AB,AE=V2AD, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. AC=2AB,AE =2AD, AC2AB AB ∴AE2ADAD' AC AE ∴ABAD' .△BADr△CAE BD ABAB 1 .CEAC√2AB√2 ..CE=2BD (3)CE=2√6 (4)4 4/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：，△ADE一△ABC, ∠ADE=∠B=90, .DE∥BC, BD CE ·ADAE' BD AD ∴CEAE' :AB,AC的中点为D,E,AB=BC=4, .AD=2,AC=V42+42=42, :.AE=212, BD AD22 ·CE=AE2W229 (2)略 (3)解：由图1可得，AB,AC的中点为D,E, DE∥BC,AD=)AB=2, 1 2 ∴.△ABCP△ADE, ∴.∠ADE=∠ABC=90°， ∴如图3，当DE所在直线过点B时，ADLBE ∴在R△ABD中，BD=VAB2-AD=V42-22=2√5， BD 1 由(2)可得，cE, 231 CE 解得CE=2V6; (4)解：如图， /E B :在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3, 5/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=VAB2+BC2=5, ,分别取AB,BC的中点D,E, D-4a=-2,服=c,DE-54C- 1 5 2 2 2’∠DBE=90°， :分别取AC,DE的中点M,N, C DE 2 2 4 .N到BM的距离≤BN, .当BN⊥BM时，△BMN面积最大， 此时∠NBM=90° 如图，当N在BC上方时， 由旋转的性质可知∠EBC=90°， ∴.即点E在线段AB上， 此时S,BD4=2 AB×BD= 1 ×4×2=4: 如图，当N在BC下方时， M ⊙ D 同理可知即点D在线段BC上， 此时5m-方4BxD-x4x2=4, 2 综上所述，当△BMN面积最大时，△BDA的面积是4. 6136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2矩形中的手拉手模型 4. 【答案】(I)证明：由旋转性质知AB=AB,∠AB'C'=∠ABC=90°， ∴.∠AB'E=90° 在Rt△ABE和RtAB'E中， (AB=AB' AE=AE' .RtaABE≌Rt△AB'E(HL). .∠BAE=∠B'AE, 即AE平分∠BAB'; 9 (四5 (3)V15:5 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC、AC', D B E 图2 在矩形ABCD中，CD=AB=3,AD=BC=5,∠BCD=∠ADC=90°， 由旋转性质得AC'=AC,C'B=CB=5, 当C在CD的延长线上时，∠ADC=∠ADC'=90°， 根据等腰三角形三线合一性质可得DC'=CD=3, ∴CC=CD+DC=3+3=6. 由旋转性质知AB=AB,∠AB'C'=∠ABC=90°， .∠AB'E=90° 在Rt△ABE和RteAB'E中， (AB=AB' AE=AE' 7/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.RtAABE≌RtAAB'E(HL), .BE=B'E, BE=B'E=x,CE=BC-BE=5-x,C'E=C'B'+B'E=5+x, 在RtACC"E中，CE2+CC2=C'E2, 即(5-)}+62=(5+x, 9 解得x=5 即BE的值为5： (3)连接AC交BD于点O,连接AC'交B'D'于点O',延长CB'交BC于点E,连接AE交BB于点P, 连接CD D B 图3 :AC=AC'∠ADC=90° ∴AD为等腰△ACC底边CC'上的高， ∴·点D为CC的中点，∠ACD=∠ACD, 又在矩形ABCD中，OC=OD, ∴.∠ACD=∠BDC, ∠BDC=∠ACD, :.BD∥AC, .ACB'D∽aCO'C', CD CB' DCBO =1, .CB'=B'O', B'D为△CO'C'的中位线， 00c, 设B'D=2m,则O'C'=4m,AC'=BD=2O'C'=8m, .BB'=BD-B'D=8m-2m=6m, 8/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知，AE垂直平分BB, WBP=B'P=786=3m:DP=DR'+R'P=5m 设AB=x,AD=BC=y, 在Rt6ABP中，AP2=AB2-BP2=x2-(3m), 在RtAADP中，AP2=AD2-DP2=y2-(5m}, 则x2-(3m)2=y2-(5m)2①， 在R△ABD中，BD2=AB+AD2=x2+y2=(8m)'②， 联立①②可得x=2√6m,y=2V10m, 即AB=2V6m,BC=2√10m, 所以AB:BC=2V6m:2V10m=5:5. 5. 【答案】(I)证明：连接AH, :将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,∠ABC=90°， G ∴.AB=AE∠ABC=∠AEF=∠AEH=90° AH=AH .RteABHS≌Rt△AEH(HL). :.BH=EH; (2)①证明：如图2，过点C作CM∥EF交EP的延长线于点M, G -z-M H 图2 .∴.∠FEP=∠M .BH=EH, 9136 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBH=∠BEH. 又'∠FEP=∠BEH, ∴.∠EBH=∠M」 ∴BC=CM 将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG, ∴.BC=EF ∴.EF=CM 又∠EPF=∠MPC, ∴.△EFP≌△MCP(AAS)J ∴FP=CP .BP平分CF: ②17v3 13 【详解】(1)证明：略 (2)解：①略： ②如图，连接AC、AF, G 将矩形 ·绕点A逆时针旋转得到矩形 B H ABCD AEFG .AF=AC.AE=AB=3,EF=BC=4. .FP=CP, ∴.AP⊥CF ∴∠QPF=∠AEQ=90° :∠FQP=∠AQE, .△FQP∽△AQE ..op_Fo EQAQ· ·AP平分△EFP的面积， 10/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 FQ-EQ-7EF-2. 在Rt△AE0中，A0=V√AE2+EQ2=V32+22-3. :Pg=E0F_2×2_43 A0 1313 AP=A0+P0=+4E17 1313 6. 【答案】(1)V10 (2)证明：仍然成立.理由如下： ·'∠EAG=∠CAD,∠FGA=∠CDA, .△AFG∽△ACD, :AG、AF ADAC’ AG_AD AF AC 将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转， ∴.∠CAF=∠DAG ,∴.△ACF∽△ADG, CF AC DG AD' AD:CD=1:3, :4C、i0 AD 1 CF 10 DG 1 CF=10 D (3)①∠DCE的度数是90°，理由如下： 在RtABAC中，∠A=90°AB=4,∠ACB=30° BC=8,AC=BC2-AB2 =43, :4C=5 AB 11/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，AE=V3AD, ACAE AB AD ·.∠BAC=90°，∠DAE=90° ∴.∠BAD=90°-∠DAC, ∠CAE=90°-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, △ABD∽△ACE, .∠ABD=∠ACE. :∠ACB+∠B=90°， .∠ACB+∠ACE=90°， ∠DCE=90°： ②25 【详解】(1)解：(1)由题意得，在矩形ABCD中，四边形AEFG为矩形， .∠AGF=∠ADC=90° .FG∥CD,AC2=AD2+CD2, CF_DG AC AD (平行线分线段成比例) CF AC DG AD AD:CD=1:3, AD2:CD2=1:9, ∴.AD2:(CD2+AD2)=1:(9+1)=1:10 .AD2:AC2=1:10 AC2:AD2=10:1 ..AC:AD=10:1, CF=10: DG (2)略 (3)解：①略： ②：点P为线段DE的中点 12/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在R△DCE中，CP=DE, 2 △ABD∽△ACE ∴.∠ACB=∠AED=309 :.AD=DE 2 ..CP=AD, 点D在线段BC上运动时，AD⊥BC时，线段AD长度最小，如图， E 此时，在Ri△4DC中，4D=)AC=2V5 21 ∴.线段CP的最小值为2W3: ◆题型3正方形中的手拉手模型 7. 【答案】()证明：：四边形ABCD是正方形， ∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC, :BE⊥BF,CF⊥AC, .∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBF,∠BCF=∠ECF-∠BCA=90°-45°=45°=∠BAC, .AABE≌△CBF(ASA), .BE=BF B 3 (3)CF的长为2V3-2或2√3+2 【详解】(1)略 (2)解：BE⊥BF,CF⊥AC, .∠EBF=∠ECF=90°， 13/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据直径所对的圆周角是9O°，可得点C,点E,点B,点F在EF为直径的圆上， ∴点C,点E,点B,点F四点共圆， ∴.∠ACB=∠EFB=60°，∠BAE=∠BEF=30°， ∴.AB=V3BC,BE=V3BF, AB_EB=5】 BC BF :∠EBF=∠ABC, ∴∠ABE=∠CBF, .△ABEP△CBF, .CF-BC AE AB 3 (3)解：当E在线段AC上时，由(2)知： CF_BC_3 AE AB 3 AB=43, .CB=4 :∠EBF=∠ABC=90°， M为EF的中点， .BM 由(2)知∠ACF=90°， .CMTEF .:BM=CM, 又△CBM是直角三角形， aCBM是等腰直角三角形，∠BMC=90° .CM-8C2 2 .EF =2CM=42, 设CF=x,则AE=V3x, ∠CAB=30°，BC=4, ,AC=2BC=8, 14/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CE=AC-AE =8-3x, :∠ECF=90°， :.CE2+CF2=EF2, x2+(8-3x=(42), x=2√3-2或x=25+2(不合题意，舍去)， 当∠MBC=90°或∠MCB=90°时，点M不存在， ∠BMC=90°时，CF=2V3-2: 当E在AC延长线上时，如图，设CF=x,则AE=V3x, .CE=V3x-8」 同理EF=4√2 D C M F:∠ECF=90° :.CE2+CF2=EF2, +(3x-8到=(42， “x=23-2(不合题意，舍去)，x=25+2, ∴.C℉=2V3+2 综上所述，CF的长为2V3-2或23+2. 8. ，4 【答案】2 (2)结论仍然成立，见解析 ③)CF=3V6或V22 【详解】(I)解：如图①，连接AF,连接AC交BE于O,延长BE交FC于H, 15/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D 图① ,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， .∠DAC=∠EAF=45°，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EA=EF,BA=BC ..AC=AB2+BC2=2AB,AF=AE2+EF2=2AE, ·∠FAC=LEAB'AE =2=4C AF AB ∴△AEB∽△AFC、 ,BEAE√2 ·CF=AF=2’LABE=LACF' 又：∠AOB=∠COE, ∴，∠BAC=∠BHC=45°， (2)解：结论仍然成立，理由如下：如图②，连接AF,连接AC交BE于O,延长BE交FC于H, A B E H D 图② :四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， AC=V2AB,AF=V2AE,∠BAC=∠EAF=45°， -2=4C ·∠FAC=∠EAB'AE AB .△AEB∽△AFC, BEAE√2 ·CFAF=2’∠ABE=LACF' 又：∠AOB=∠COE, ∴.∠BAC=∠BHC=45°： (3)解：如图③，当点E在直线AD的左侧时，过点E作EH⊥AB于H,则EH=√2， 16/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A B E D 图③ AE=3, AH=√AE2-EH2=V3-2=1, .BH=AB+AH=5 .BE=BH2+EH2=2+25=33, :E5 CF 2 .C℉=36： 如图④，当点E在直线AD的右侧时，过点E作EH⊥AB于H,则EH=V2, 图④ AE=5, AH=AE2-EH2=3-2=1, .'BH=AB-AH=3 ..BE=BH2+EH2=9+2=1, ：BE2 CF 2' ..CF=22, 综上所述：CF=3V6或√22. 9. √2 【答案】(1)2,45：(2)成立，见解析：(3)36或22 17/36 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(I)如图1，连接FC,连接AC交DG于O,延长DG交AF于H, B H GL F 图1 ,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， .DA=DC,∠ADC=∠CGF=90°，GC=GF,∠ACB+∠FCG=45°+45°=90°=∠ACF .由勾股定理得AC=V2DC,FC=√2CG. ∴∠ACF=LDCG'DC 4C-V2=9 CG ∴.aDGC∽aAFC, .DGCG√2 AF-CF 2’∠FAC=∠GDC 又：∠AOH=∠DOC, ∴.∠AH0=∠ACD=45°， 岭 故答案为：2,45 (2)结论仍然成立，理由如下：如图2，连接FC,连接AC交DG于O,延长DG交AF于H, H 图2 ,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， .DA=DC,∠ADC=LCGF=∠DCB=90°，GC=GF, ∠ACB+∠FCG+∠BCG=45°+45°+∠BCG=90°+∠BCG=∠ACF, 而∠DCG=∠BCD+∠BCG=90°+∠BCG. .∠DCG=∠ACF, 由勾股定理得AC=V2DC,FC=V2CG, AC=2=FC :DC ' ∴.△DGC∽△AFC, 18/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG CG 2 ·AF=CF=2’∠FAC=LGDC 又.∠AOH=∠DOC, ,∠AH0=∠ACD=45°. ∴结论仍然成立； (3)当点G在BC右侧，过点G作GH⊥DC交DC延长线于点H,则GH=√2 B SH/ E CG=3 ∴.HC=VGC2-GH2=1 .DH=DC+CH=4+1=5, :DG=GH+D+(=33 .DG AF 2 ..AF=3V6: 当点G在BC左侧，过点GH⊥DC于点H,则GH=V2 ⊙ G CG=5, .HC=GC2-GH2 =1 .DH=DC-CH=4-1=3, :.DG-JG+D-+() DG2 :F2 19136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=V22; 综上所述：AF=3W6或V22. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.C 二、填空题 1碧 532 4 6 3V10910 5或5 三、解答题 7. AE5 【答案】①cD3 acc-号 16W13 ③)能，4D的长是3或4丽 【详解】(1)解： ∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8, AB=BE=10 由旋转得：∠CBD=∠ABE, :BC、BD AB BE' ..ABCDABAE. 5器8 20136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，延长CD交AE于H,连接BH交DE于M, H N B 图2 由(1)知：△BCDABAE, .∠BAE=∠BCD ,CF是中线，∠ACB=90°， ∴CF=AF=BF=5, ∴.∠BCF=∠FBC, ,∠FBC=∠BAE. .∠AFH=∠BFC .△AFH≌aBFC(ASA), .CF=FH, ∴.四边形ACBH是平行四边形， .∠ACB=90°， .口ACBH是矩形， .∠AHB=90°，BH=AC=8 AB=BE. .AH EH=BC=6. 设MH=x, ,∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM, ∴.△AEG∽△HEM. .MH EH 1 AGAE2 .AG=2x, :EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， .△EHM≌aBDM(AAS). ..BM=EM=8-x, 21/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：EM2=EH2+MH2,即(8-x)'=62+x, > 解得x= 4 77 .AG=2× 42 :.CG=AC-AG=8-22 79 (3)分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作BQ1LAE于Q,过点D作DP LBO于P, E 图3 ∴.∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° ∴四边形ADPO是矩形， ∠ADP=90°，AQ=PD 设AQ=PD=b, :AB=BE,BQ⊥AE, ..AO=EO=b .AE=2b. .∠ADP=∠BDE=90°， ∴.∠ADE=∠BDP, .∠EAD=∠DPB=90°， .△DAE△DPB, AE PB 2bPB DE=BD,即8=6， Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2, 22/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：b=12 13 (负值舍)， ,△DAE∽△DPB, 12v3 ADPD即AD-I3, ED BD' 8=6 ·AD=16v3 13: ②如图4，∠AED=90°，过点B作B0⊥AE于Q, 图4 ∴.∠BQE=∠AED=∠BDE=90° ∴四边形BDEO是矩形， ∴.EQ=BD=6 AB=BE,BQ⊥AE, ∴.AE=2EQ=12 由勾股定理得：AD=VAE2+DE2=V122+82=4V13; 综上，D的长是16 3或4 8 BE 1 【答案】(1)1,90：(2)0F=2B=90: (3)①7；②a+B=180°或a=f 【详解】解：(I)如图，延长DF分别交BE于点G,交AB于点M, 23/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 在正方形ABCD和等腰直角三角形AEF中，AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°， .∠FAD=∠EAB, .△FAD≌△EAB(SAS)」 .∠ADF=∠ABE,DF=BE .BE ·DF =1 :∠ADF+∠AMD=90°，∠AMD=∠BMG, ∴.∠ABE+∠BMG=90° ∴.∠EGF=90, B=90° (2)如图，延长DF交BE于点H, E H B ·AD=2AB,AF=2AE, AD AF=2 :ABAE .∠BAD=∠EAF=90°， .∠FAD=∠EAB」 ∴.△FADn△EAB, .∠AFD=∠AEB, DE =2 BE .∠AFD+∠AFH=180°， .∠AEH+∠AFH=180°. .∠EAF=90° 24/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EHF=180°-90°=90°， .DF⊥BE, BE 1 小DF-2B=90 (3)①如图，延长DF交EB于点H, B、 H AD=kAB,AF =kAE, AD AF=k ·ABAE .∠BAD=∠EAF=a, .∠FAD=∠EAB, .△FAD∽△EAB, DF AF .BE AE =k, BE 1 DFki ②a+B=180°或a=B, 由△FADD△EAB得∠AFD=∠AEB, :∠AFD+∠AFH=180°， .∠AEB+∠AFH=180° ,四边形AEHF的内角和为360°， ∴.∠EAF+∠EHF=180° 若为锐角，即∠EAF为锐角，如图，则∠EHF为钝角， D HB C∠EAF+∠EHF=180°，∠DHB+∠EHF=180° .∠EAF=∠DHB,即a=B； 25/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若为钝角，如图， B H 则a+B=180° 故a+B=180°或a=B 9. 【答案】()证明：如图1，四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠ADF=180°-∠ADC=90°， ∠B=∠ADF=90°， 由△ABC旋转得，AC=AF, :.RtADF≌RtACBA(HL) 8V145 ②cw的长为29 625 (3③)A4HG的面积为208 【详解】(1)略： (2)解：如下图所示， 由旋转知，AE=AB=3,∠B=∠AEG=90°， 图2 则∠D=∠AEG=90°， '∠DAC=∠EAG, ∴△AEGP△ADC, 26136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AG AD AC 3=4G 45 4G=15 GD=AD-AG=1 , 在R△CDG中， CG=GD+CD145 4 :AM⊥CH, ∴.∠AMG=∠D=90°， .∠AGM=∠CGD, .△AGMACGD, AG GM CG GD' 15 4 GM V1451, 4 4 GM=3145 116, CM=CG+GM=8145 29, 8v145 :CM的长为 29； (3)解：如下图所示，连接FD,延长FH交BC于点N, 人2 D 四边形 是矩形， 1E NI 图3 ABCD 27/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ..AC=BD, OA-7AC,OB-7BD. ..OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA. 由△ABC旋转得，AB=AE=3,∠OAB=∠EAF, ∴∠OBA=∠AEB,∠OBA=∠EAF, .∠EAF=∠AEB, .AF‖BD ∠1=∠2， ∠BAD=90°， ∴.∠1+∠DBA=90°， :∠AEF=90°， .∠3+∠EAF=90°， ∠DBA=∠EAF, ∴.∠1=∠3 AD=BC,BC=EF, .AD=EF, .AF=AF, △ADF≌△FEA(HL), ∠ADF=∠AEF=90°，DF=AE=3, .∠ADC=90° ∠ADC+∠ADF=180°， 点C、D、F共线， ∠1=∠2，∠1=∠3， ∴∠2=∠3， :.GA=GF, 设GA=GF=x,则GE=EF-GF=4-x, 在Rt△AEG中，AE2+GE2=AG2, 25 3+(4-x}=x2,x=8, ·AG=GF=2 28/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD=AD-4G=4-25_7 8=8, :∠ADF=∠FCN=90°，∠GFD=∠NFC, ∴.△GFDANFC, 7 GD-FD,即8=3 NC FC NC 6 :.NC=4' 7 过点H作HI⊥NC,HK⊥AD, AD‖BC, ∴.∠HCN=∠HAD, ∠AHG=∠CHN, .△AHGACHN, CN HI AG HK' 7 25=H,即Ⅲ_14， 8 HK 25 HI+HK=3」 :14HK+HK=3, 251 K=2 13 5mc=)4G-HK=×25x25-625 1 -X 2 28132081 625 :A4HG的面积为208· 10. 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG: (2) BE 1 解：DG2,BE⊥DG,理由如下： 如图3，设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P, 29/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图3 .AE AB1 AG=AD2 AE=2'AB=5' ∴.AG=4,AD=10」 :四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∠EAG=∠BAD=90°， ∴∠EAB=∠GAD AE AB 1 AG AD 2 .△EABn△GAD, BE AB 1 ·DGAD2'∠BEA=∠AGD' .∠APE=∠GPQ, .∠EAP=∠G0P=90°， .BE⊥DG: (3)DE2+BG2=145」 【详解】(1)解：如图2，延长DG交BE于M,交AB于N, D 图2 :四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， ∴.AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°， ∴.∠BAE=∠DAG .△DAG≌△BAE(SAS), ∴.BE=DG,∠ADG=∠ABE, .∠AND=∠BNM, 30136 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BMN=∠NAD=90°， .BE⊥DG. 故答案是：BE=DG,BE⊥DG: (2)略 (3)解：如图3，连接GE,BD, E D B 图3 由(2)知，AG=4,AB=5,AD=10, .EG=AE2+AG2=22+42=20,BD2=AD2+AB2=102+52=125, 由(2)知∠GQP=90°， .∠GQP=∠EQD=∠BQD=∠BQG=90° .DE2+BG2=D0+QE2+QG2+QB2=EG2+BD2=20+125=145 11. 【谷灯00是：@0：@10 (2) ①证明：，∠DAC=∠DBC,∠AOD=∠BOC, .△AODr△BOC: ②证明：：△AOD∽aBOC, AO DO …B0C0' AO BO .D0C0' .∠DOC=∠AOB .△A0BADOC, .∠DCA=∠EBA, .∠ADC=90°，AE⊥BD, .∠ADC=∠AEB=90°， ∴.△ABE∽△ACD, 31/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC与△ACD有公共顶点A, .△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”； (3)DE=4,BD=3√2 【详解】(1)解：①：△ABC,△ADE都是等边三角形， .CA=BA,EA=DA,∠CAB=∠EAD=60°， ,△ABC∽aADE, ,△ABC与△ADE有公共顶点A, .△ABC是△ADE的“旋转相似图形”； ②：△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， .△ABCn△ADE, .∠D=∠B=100°. ∠DAE=180°-∠D-∠E=50°： ③，△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”， △ABC∽△ADE, AB AC ·ADAE’ AB=4,AD=6,AE=15, .4_AC ·615’ AC=10: 连接BD,CE,如图： D 、B 图2 .△ABCn△ADE, AB AC ·ADAE'∠BAC=∠DAE' AB AD 6 2 ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE'AC AE155' .∠BAD=∠CAE, .△ABD△ACE, 32/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD AD 2 CEAE-3: (2)①略 ②略 (3)解：：△ABC为等腰直角三角形，AC=10, 六∠ABC=90·∠BMC=45AB=BC=54C=5V2. 2 ,点G为AC的中点， AG-1AC=5 2 ,△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”， ∴.△ABDAAGE AD_AB-55-5. ·AEAG5 ∠EAG=∠DAB'∠ADB=∠AEG' :AD=4V2, .AE=4, .∠EAG+∠BAE=45° .∠DAB+∠BAE=45°， .∠DAE=45°， 如图，作EM⊥DA于点M, D Mh G 图4 ∴.△AEM为等腰直角三角形， W-W号e-wa, .DM AD-AM=22, ∴.DM=AM,即EM垂直平分AD ∴.DE=AE=VEM2+AM2=4,∠EAD=∠EDA=45°， .∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 33/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEG=180°-∠AED=90°， .∠ADB=∠AEG=90°， .BD=VAB2-AD2=3√2. 12. 【答案】(I)BE=DG,BE⊥DG (2)①V2,45°，②5 【详解】(1)解：四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90° ∴.∠BCD+∠DCE=∠GCD+∠DCE, 即∠BCE=∠DCG, 在△BCE和△DCG中： BC=CD ∠BCE=∠DCG, CE=CG .aBCE≌△DCG(SAS), .BE=DG, 延长BE交CD于M,交DG于N, 由△BCE≌aDCG得∠CBE=∠CDG, :∠BMC=∠DMN,∠CBE+∠BMC=90°， .∠CDG+∠DMN=90°， .∠DWM=90°. 即BE⊥DG A 图1 (2)解：①连接CF, :四边形ABCD、CEFG是正方形， ∴.AC=N2BC,CF=V2CE,∠ACB=∠FCE=45°， 34136 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB+∠ACE=∠FCE+∠ACE」 即LBCE=∠ACF, AC_CF-, 且BCCE △ACF∽△BCE, :4g-4C=V2,∠CAF=∠CBE, BE BC 设BE交AC于Q, :∠BQC=∠AQP,∠CBE+∠BQC=135°， .∠CAF+∠AQP=135° ∠APB=45° D G 图2 ②连接CF,如图3所示， BC=3N5,正方形ABCD, 4C=BD=V2BC=3i0,0A=0B=0C=0=30 2Γ 由①得△ACFBCE,=V2,即FV5B, BE :∠AOH=∠ACF=90°，∠HAO=∠CAF, ∴△AOH∽△ACF, 又AC=2A0, .AF=2AH =10PF,AP=9PF, ∠ABH=∠APB=45°，∠BAP=∠BAH :∴△APB∽△ABH, .AB2 AP.AH =9PF.5PF =45PF2, .AB=35PF, 又AB=3V5, 35/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PF=1, .AF=10, 在R△4CF中，CF=VAF2-AC=V02-(3iO=I0, c =V5 D B 图3 36/36 专题05 相似三角形中的手拉手模型 常考题型·精准突破 题型1 三角形中的手拉手模型（重） 题型2 矩形中的手拉手模型（难） 题型3 正方形中的手拉手模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 1．（2026·山东临沂·二模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，延长至点，使，连接，与交于点．求证：． 【答案】(1)证明：由旋转性质得：， ∴​， ∵由旋转性质得知，， ∴， ∴； (2) (3)证明：由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质得出相等的边和角，然后利用相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据勾股定理求出直角三角形斜边长度，利用相似三角形的性质得出线段之间的数量关系，设为，则，，根据勾股定理列出方程求解； （3）根据旋转的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的角，然后利用邻补角的定义得出，即可得出平行线． 【详解】（1）证明：略； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由，得，， 即， ∵， ∴， 设为，则，， 在中， ， 即，​ 解得或(舍去)， ∴； （3）证明：略． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可得解． （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解． （3）根据，，可证，可得 ，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设，， 在中，根据勾股定理得， 设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【答案】(1) (2)解：，证明如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； （4）解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时． 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． ◆题型2 矩形中的手拉手模型 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点、、的对应点分别为、、，延长交于点，连结． (1)求证：平分； (2)如图2，，，当在的延长线上时，求的值； (3)如图3，连结，，当点落在上时，、、共线，求的值． 【答案】(1)证明：由旋转性质知，， ， 在和中， ， ， ， 即平分； (2) (3) 【分析】（1）证明即可解答； （2）由旋转性质可得，，根据等腰三角形三线合一性质可得，设，则，，在中，根据勾股定理可列方程，解方程即可； （3）先证明为的中位线，设，则，，进而得到，，，设，，分别在、、中，利用勾股定理得到关于、、的方程，计算可得，，从而求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， 在矩形中，，，， 由旋转性质得，， 当在的延长线上时，， 根据等腰三角形三线合一性质可得， ， 由旋转性质知，， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 即的值为； （3）连接交于点，连接交于点，延长交于点，连接交于点，连接， ，， 为等腰底边上的高， 点为的中点，， 又在矩形中，， ， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， 设，则，， ， 由（1）知，垂直平分， 则，， 设，， 在中，， 在中，， 则， 在中，， 联立①②可得，， 即，， 所以． 5．（2026·广东汕头·二模）在矩形中，，．将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，点D的对应点为点G，的延长线交于点H． (1)如图1，求证：； (2)连接，连接并延长交于点P． ①如图2，求证：平分； ②如图3，连接，交于点Q，若平分的面积，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，， ，． ， ． ； (2)①证明：如图2，过点C作交的延长线于点M， ． ， ． 又， ． ． 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形， ． ． 又， ． ． 平分； ② 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）①利用等腰三角形的判定和性质，得出，再结合旋转的性质，证明即可； ②连接、，根据旋转和三线合一的性质可得，再证明，得到，根据三角形面积平分，得出，进而求出，． 【详解】（1）证明：略 （2）解：①略； ②如图，连接、， 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形， ，，． ， ． ． ， ． ． 平分的面积， ． 在中，． ． ． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对图形旋转过程中的相似进行了深入研究． (1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形，则_________； (2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． (3)【解决问题】如图3，中，，点在线段上运动，以为直角边构造且，连接，点为线段的中点，连接． ①求的度数，并说明理由； ②在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)证明：仍然成立．理由如下： ， ， ， ， 将图1中的矩形绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， (3)① 的度数是，理由如下： 在中，， ， ． 又， ． ， ， ， 即， ， ． ， ， ； ② 【分析】（1）根据，证明，，根据平行线分线段成比例，得到，继而得到，解答即可； （2）首先证明，得到，再证明，转化为（1）的情境，求解即可； （3）①首先证明，得到．结合，继而得到，即可得证； ②首先证明，然后根据点在线段上运动，时，线段长度最小，根据直角三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：（1）由题意得，在矩形中，四边形为矩形， ，， （平行线分线段成比例） ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①略； ② 点为线段的中点 在中，， ， 点在线段上运动时，时，线段长度最小，如图， 此时，在中， 线段的最小值为； ◆题型3 正方形中的手拉手模型 7．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； (2)【类比探究】：如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； (3)【拓展延伸】：如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，请写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， (2) (3)的长为或 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）证明即可求出结论； （3）分两种情况：当E在线段上时，或当E在延长线上时，分别根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点C，点E，点，点在为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆， ，， ，， ． ， ， ， ； （3）解：当E在线段上时，由（2）知： ， ， ． ， 为的中点， ． 由（2）知， ． ， 又是直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 时，； 当E在延长线上时，如图，设，则， ． 同理 ， ， ， （不合题意，舍去），， 综上所述，的长为或． 8．（2026九年级下·河南商丘·学业考试）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得，以为边作正方形，连接． (1)问题发现：的值是_________；直线所夹锐角的度数是________； (2)拓展探究：如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； (3)解决问题：在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， （2）解：结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （3）解：如图③，当点E在直线的左侧时，过点E作于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图④，当点E在直线的右侧时，过点E作于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述：或． 9．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·天津河北·二模）如图，已知矩形，，，把矩形绕点旋转得到矩形，点的对应点分别是点，当点在线段上时，交于点，连接，线段的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】在矩形中，根据勾股定理得到，结合旋转的性质可证，得到，解出，再由勾股定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，，， ， 由旋转可知，，， 又， ， ，即，解得， ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接，若，则线段的长度为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接，，证明，得，由求出，证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：连接，， 的延长线与边相交于点D， ，，， ， ∴ ∴， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正方形中，，点是上一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．当取最小值时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，旋转的性质，以及三角形的面积公式，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 在上取一点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在正方形中，， ∴，， ∴， 化简得，故A正确，不符合题意． 延长，过作延长线垂线， ，， ∵， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， 即，故B正确，不符合题意． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意． 由B选项可知，， ∴, 整理得：， ∴当取最小值时，，故C错误，符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，将绕点B旋转，使点C的对应点恰好落在的中线上，此时，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解决本题的关键是利用旋转的性质找到边之间的关系． 根据题意得出可知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据旋转的性质可证，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，确定，继续利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：点C的对应点恰好落在的中线上，， ，， 又在中，， ， ， ， 由旋转可知：，，， 又， ， ， 由旋转可知：， ， ， ∴， ， 又， ， ． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． ∴， 故答案为： ． 5．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在正方形中，点P在上，，连接，将绕点B顺时旋转得线段，连接交于点E， 若，则的长是_________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得，，则，由点P在上，，求得，由旋转得，则，所以，由，证明，推导出，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， 点P在上，， ， ， 将绕点B顺时针旋转得线段交于点E， ， ， °， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 6．（2026·河南三门峡·二模）如图，在矩形ABCD中，．将矩形绕点旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G，连接．若直线恰好经过点，则的长为__________． 【答案】或 【分析】首先连接，证明，进而得出，接下来只要求出即可解决问题；结合图形和已知条件，对于直线恰好经过点，分线段经过点和线段的延长线经过点两种情况求解即可 【详解】如图1，连接，由旋转的性质，得， ， ， ， ． 分以下两种情况： ①如图2，当线段经过点时， 在中，，由勾股定理，得， ， ， ． ②如图3，当线段的延长线经过点时， 同理可得， ， ， ． 综上可知，的长为或． 三、解答题 7．（2026·广东深圳·二模）【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 8．（25-26九年级上·四川达州·期末）（1）如图，正方形与等腰直角有公共顶点A，，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，则；_________； （2）如图2，矩形与有公共顶点A，，且，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点A，且，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的锐角的度数为β，则： ①； ②请直接写出α和β之间的关系式：__________． 【答案】（1）1，；（2）； （3）①；②或 【分析】（1）延长分别交于点G，交于点M，先根据正方形和等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得，即可得出，然后说明则此题可解； （2）延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的性质得，然后根据四边形的内角和等于得出，则此题可解； （3）①延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，可得； ②先根据相似三角形的对应角相等得，再根据四边形的内角和定理得，然后分两种情况讨论得出答案即可． 【详解】解：（1）如图，延长分别交于点G，交于点M， 在正方形和等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴； （2）如图，延长交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图，延长交于点H， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或， 由得， ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． 若为锐角，即为锐角，如图，则为钝角， ， ∴，即； 若为钝角，如图， 则． 故或． 9．（2026·辽宁锦州·三模）数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知矩形中，，． (1)如图1，纸片绕点旋转，当点的对应点在射线上时，求证：． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当与矩形对角线重合时，与交于点，连接并延长交于点，过点作，垂足为点，求的长． (3)如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点的对应点在矩形对角线上时，与交于点，延长交于点，求的面积． 【答案】(1)证明：如图1，四边形是矩形， ，， ， ， 由旋转得，， （） (2)的长为 (3)的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可知，，利用即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质可以求出，利用勾股定理即可求出，证明，利用相似三角形的性质求出，利用即可求出结果； （3）连接，延长交于点，根据矩形的性质和旋转的性质可得，根据内错角相等，两直线平行，可证，根据平行线的性质可知，根据等角的余角相等可证，可证，根据全等三角形的性质可证点、、共线，设，则，利用勾股定理列方程求出，证明，利用相似三角形的性质求出，证明，利用相似三角形的性质求出，利用三角形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）略； （2）解：如下图所示， 由旋转知，，， 则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为； （3）解：如下图所示，连接，延长交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 点、、共线， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， ， ，， ， ，即， ， 过点作，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 的面积为． 10．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） (2)如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2) 解：，，理由如下： 如图，设与交于，与交于点， ∵，，， ∴，， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】（）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （）连接，，由（）知，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； （2）略 （3）解：如图，连接，， 由（）知，，，， ∴，， 由（）知， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·江西南昌·期末）定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 【答案】(1)①是；②；③， (2) ①证明：∵，， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与有公共顶点， ∴和互为“旋转相似图形”； (3)， 【分析】（1）①先证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果；②由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；③由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质计算得出，连接，， 由相似三角形的性质可得，，从而得出，，即可推出，再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①由对顶角相等可得，再结合题意即可得证；②由，得出，从而可得，再证明，得出，最后再证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，，结合题意可得，由“旋转相似图形”的定义可得，由相似三角形的性质可得，，，则，求出，作于点，则为等腰直角三角形，求出，证明垂直平分，由勾股定理可得，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵与有公共顶点， ∴是的“旋转相似图形”； ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴； ③∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 连接，，如图： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②略 （3）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·山东济南·二模）【问题发现】 在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图1摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点顺时针旋转． (1)小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________； (2)【类比探究】 连接、，延长交所在直线于点，小明进一步研究发现，无论如何旋转，线段与线段的比值及的度数也是固定的．如图2，当正方形 旋转至正方形外侧且、、三点共线时． ①求线段与线段的比值及的度数； ②如图3，连接交于点，交于点，当，时，求的长． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）利用正方形性质得，，，证，推出线段相等；再利用角的代换证垂直； （2）①证,得到线段比值；利用相似三角形对应角及三角形内角和求角度； ②连接，先求正方形对角线，利用相似得，用、求、，最后由勾股定理求． 【详解】（1）解： 四边形、是正方形， ，，， ， 即， 在和中： ， ， ， 延长交于，交于， 由得， ， ， ， 即． （2）解：①连接， 四边形是正方形， , ，， ， 即， 且， ， ， 设交于， ，， ， ． ②连接，如图3所示， ，正方形， ， 由①得, 即， ， ， 又， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $