专题03 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以（双）A字型与（双）8字型模型为核心，通过图形特征分类、判定方法提炼及阶梯式例题设计，构建相似三角形模型化解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双A字型模型|3题型9典例|公共角+角相等/边成比例判定相似，总结正/反/A双A图形特征与比例关系|从基础A字到反A、双A变式，逐步提升图形分解与模型组合能力| |双8字型模型|4题型12典例|对顶角+角相等/边成比例判定相似，归纳正/反/平行双8及A8综合模型应用|从单一8字到平行双8、A8综合，形成复杂图形中模型识别与转化逻辑|

专题03 相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形中（双）A字型模型 题型1 “A”字模型（重） 题型2 反“A”字模型（高频） 题型3 同向双“A”字模型（高频） 考点二 相似三角形中（双）8字型模型 题型1 “8”字模型（重） 题型2 反“8”字模型（高频） 题型3 平行双“8”字模型（高频） 题型4 “A”字模型与“8”字模型综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形中（双）A字型模型 ◆题型1“A”字模型 “A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 2．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1) 解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． ◆题型2 反“A”字模型 反“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 4．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 6.如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． ◆题型3 同向双“A”字模型 同向双“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 7.如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图在锐角中，，，两动点，分别在，上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为． (1)求出的边上的高． (2)如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值． (3)如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算可求出； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示，再根据公共部分的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 是边上的高， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴，是中边上的高， ∴，即， 解得：， ∴当正方形的边恰好落在边上时，的值为； （3）如图，设交于点，交于点， 由（2）知：恰好落在边上时，， 又∵四边形是正方形，，，两动点，分别在，上滑动， ∴当落在外部时，， ，， 由（2）知：，是中边上的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴当落在外部时，求出与的函数关系式为． 考点二 相似三角形中（双）8字型模型 ◆题型1 “8”字模型 “8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，得，求得，  即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 11．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 12．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． ◆题型2 反“8”字模型 反“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 13．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 14.如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 平行双“8”字模型 平行双“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 条件：如图3，AB∥CD；结论： 16．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 17.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 18．（2026·云南楚雄·一模）如图，在等腰中，，平分，分别过点A，C作，的平行线交于点E，连接，交于点F，G． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）根据题意可知，即四边形是平行四边形，再结合等腰三角形三线合一得到即可得证； （2）先证，得到，则F是的中点，再过点F作的平行线，交于点H，求得，再由求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∴四边形是平行四边形． ∵在中，平分， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F是的中点． 如解图，过点F作的平行线，交于点H， ∴H为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3． ◆题型4 “A”字模型与“8”字模型综合 19．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 20.如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 21.如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得出，，再证明，然后证明，即可作答． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·竞赛）在等腰三角形中，边和的长度相等．在下图中，由平行于的线段形成的中的两个阴影部分具有相同的面积．两个空白部分的高度分别为11和5．问的高h是多少？ A． B． C．15 D． E． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．，得出，求出；证明，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 10．（25-26九年级上·广东清远·期末）有一块两条直角边、的长分别为30厘米和40厘米的的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形．甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）． 【答案】见解析 【分析】在图中设正方形的边长为x，则，，由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值；在图中首先由三角形的面积公式求出的长度，然后由相似三角形的判定定理得出，设，根据相似三角形的对应边成比例求出y的长度，比较出x，y的大小即可得出结论． 【详解】解：在图中设正方形的边长为x，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在图中，， ， ， ，， ， ， 设，则， 解得， ， ， 图方法符合要求． 11．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 13．（25-26九年级上·广东阳江·阶段练习）在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． (2)如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 【答案】(1)，过程见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有，．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 14．（2025·广东佛山·三模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则______；______． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：2；； （2）解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； ②如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模 型 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形中（双）A字型模型 题型1“A”字模型（重） 题型2反“A”字模型（高频） 题型3同向双“A”字模型（高频） 考点二相似三角形中（双)8字型模型 题型1“8”字模型（重） 题型2反“8”字棋型（高频） 题型3平行双“8”字模型（高频） 题型4“A”字棋型与“8”字棋型综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形中（双)A字型模型●一 ◆题型1“A”字模型 1. 【答案】(1)证明：：∠A=40°，∠B=65°， .∠C=180°-40°-65°=75°， ∴.∠C=∠AED, 又∠A=∠A, △ADE-△ABC: 5 ②2 【详解】(1)略 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AD:BD=2:3, AD 22 AB2+35 ·△ADE一△ABC, AD AE AB AC' 25 即5FAC: 25 解得：AC= 2· 2. 【答案】四 (2)3 【详解】(1)解：，DE∥BC, △ADE~△ABC, DE AD BC AB' AD=2,DB=4, AB=AD+DB=2+4=6, DE AD 2 1 BC AB 6 3 DE 1 (2)解：由(1)知BC3,BC=9 .DE=x9=3 3 3. 【答案】(1) 解：DE∥BC, .∠ADE=∠ABC ,在△ADE和△ABC中， A=∠A ∠ADE=∠ABC· .△ADE∽AABC 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理： AB∥EF, ∴∠EFC=LABC ,在△EFC和△ABC中， [∠C=∠C ∠EFC=∠ABC· △EFCn△ABC. .△ADE△EFC (②)△ADE与△ABC的面积比为4：25. 【详解】(1)略 (2):DE∥BC,AB∥EF, :四边形BDEF为平行四边形， .DE=BF. DE:CF=2:3, ∴设DE=2x,CF=3x, :.BC=BF+CF=DE+CF=5x :由(1)得△ADE~△ABC, S&ADE --- ∴.△ADE与△ABC的面积比为4：25 ◆题型2反“A”字模型 4.5 5. 【答案】3 【详解】解：：∠DAE=∠CAB,∠ADE=∠C, .△DAE∽△CAB. 、ADAE AC AB AB=9,AD=2,AC=6, 3/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 AE 69 .AE=3 6. 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【详解】(1)解：：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AD=AB-BD=4,AE=AC-CE=3, AE AD1 AB AC2, 又：∠DAE=∠CAB、 △AED∽△ABC; (2)解：由(I)可知，△AED∽△ABC, DE AD 1 BC AC2 DE=5, .BC=10 ◆题型3同向双“A”字模型 7. 【答案】()见解析 (2)见解析 【详解】(I)证明：~∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠AED=∠B, ∠ADE=∠C, AD DF 又 AC CG AADF∽AACG, ÷∠DAF=∠CAG, AG平分∠BAC. (2)∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG .÷△AEFP△ABG, 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF AF BG AG 由(I)知△ADF△ACG, DF AF CGAG' EF DF BGCG· 8. 【答案】()证明：DF/BE, AF AD FE DB' AF AE FE CE AD AE DB CE' AD AE ABAC· 又∠DAE=∠BAC, .△ADEAABC, ∠ADE=∠ABC, ∴.DEl/BC. 125 ②4 【详解】(1)略 AF_2 (2)解：“FE3 EF 3 AE5 :△DEF与△ADE同高， S.DEE EF 3 S.ADE AE 5 SADEF =3 ∴.S4DE=5, 5/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AE FE CE AE2 CE 3' AE 2 AC 5' ,△ADEP△ABC SADE 4 SABC 、AC 25 25 ∴.SAABC= 4 9. 【答案】(1)4 、12 (25 ③)y=- 【详解】(1)解：：SBc=12,BC=6,AD是BC边上的高， .12-SA -7BC.AD-x6x AD, ∴.AD=4: (2)解：如图，设AD交MN于点G, M :四边形MPON是正方形，MN=x, .∠NMP=∠MPg=90°，MP=MN=x, ,AD是BC边上的高， .AD⊥BC, .∠ADB=90°=∠NMP=∠MPQ. ∴.四边形MPDG是矩形， .DG=MP=x, 6125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AG=AD-DG=4-x, :MN∥BC, ∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,∠AGM=∠ADB=90°即AG⊥MN, :.△AMN△ABC,AG是△AMN中MN边上的高， MN AG .x 4-x ·BC=AD,即6=4， 12 解得：x= 5 12 ·当正方形MPON的边PQ恰好落在边BC上时，x的值为5： (3)如图，设MP交BC于点H,N№交BC于点K, G H D K 由2如：Pp检济在边C上，-号， 又：四边形MPQN是正方形，MN=x,BC=6,两动点M,N分别在AB,AC上滑动， 当PO落在C外部时.号s6, ∠NMP=∠MNg=90°，MP=MN=x, 由(2)知：∠AGM=∠ADB=90°，AG是△AMN中MN边上的高， .∠NMP=90°=∠MGD=∠ADB, ∴.四边形MHDG为矩形， :.GD=MH,∠MHK=90°=∠NMH=∠MNK, ∴四边形MHKN为矩形， :MN∥BC, ∴.∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB. .△AMNr△ABC, C8闻后40 MN AG 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：GD= 3+4 .'MH=GD= 3+g 2 y=MmN-气x+4x= 22+4x 当P0落在。1BC外部时，求出，与，的雨数关系式为号+ 5xs6 ●考点二相似三角形中（双）8字型模型 ● ◆题型1“8”字模型 10. 【答案】12cm 【详解】解：，ABIIDE, .△ABCADEC, AC BC 4 3 ·DcCE,即DC6,解得cD=8cm 、.AD=AC+CD=4+8=12(cm)】 11. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】(1)证明：，AB⊥BC,EF⊥BC, .EF∥AB, :.△CEF∽△CAB, EF CF ·ABBC' 同理可得，△BEF∽△BDC, EF BF ∴CDBC' 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EFEF CF BF BC 六aB+CDBC+BC-BC=1 (2)证明：：AB⊥BC,CD⊥BC, AB∥CD, .△ABEACDE, AB BE ·CDDE' EF L BC,CD⊥BC, .EF∥CD BF BE ·CFDE· AB BF ∴CDCF' ,∠ABF=∠DCF=90°， ,△ABFADCF, ∴∠AFB=∠DFC. ,∠BFE=∠CFE=90°， ∴.∠BFE-LAFB=LCFE-LDFC, 即∠AFE=∠DFE, ∴，EF平分∠AFD 12. 【答案】(1)证明：，0A=0C=51cm,OE=OF=34cm, OA OC OEOF' :∠AOC=∠EOF, ∴.△AOC∽△EOF, ∴∠A=∠OEF, .ACI EF (2)连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上 【详解】(1)证明：略 (2)解：如图，过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M, 9125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B MD .OE OF=34cm,ON L EF,EF =32cm, EN -FN-EF-16cm, .0N=V0E2-EW2=V342-162=30cm, AB=CD=136cm,OA=OC=51cm, .AB-OA CD-OC,OB=OD=136-51=85cm, OE OF :.OB OD' ∠EOF=∠BOD, ∴.AOEFAOBD ·.∠OEF=∠OBD :∠ONE=∠AMB=90°， ∴.△OEN△ABM. OE ON 34_30 ÷ABMM,即136AM, 解得：AM=120cm. ∴，连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上. ◆题型2反“8”字棋型 13. 【答案】1.5 【详解】解：，AD与BC交于O点， ∴.∠AOB=∠COD .∠A=∠C, ∴.△AOB∽aCOD 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BO CD-DO B0=4,D0=2,AB=3, ∴.CD=l.5 14. 【答案】(1)见解析 (2)DF=5 【详解】(I)证明：：∠ADE=∠ACB,∠ADE+∠BDF=180°，∠ACB+∠ECF=180°， :.ZBDF=ZECF,DFB=ZCFE, .△DBF∽aCEF: (2)解：△DBF∽aCEF, DB CE DF=CFBD=10 CE=6 CF=3 .DF DB.CF_10×3=5 CE 6 15. 【答案】 (1)证明：如图， B B AB∥AB ∴.△AC'O∽△AC0,△B'CO∽△BC0, CO A'C C'O B'C CO AC COBC A'C'B'C' .ACBC· A'C'B'C .AC BC: AC'、AC (2)解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即C8>8C 则能拍出大长腿的效果 理由：过点B作B'E∥AB交A'O于点E,连接CC交B'E于点F, 摄影师仰拍， 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEB是△EOF的外角， .∠A'EB'>∠EFO ∴过点E作CC的平行线交线段A'B'于点G. B EA G B ∴.A'C>GC EF AC 由(1)得F 'BC· EG∥CC', EF GC .FB'C'B' GC'AC .C'B'BC' A'C">GC', AC'、AC .C'BBC· ◆题型3平行双“8”字模型 16.c 故选：C 17. 【答案】(1)AF-8 (2)证明见解析 【详解】(1)解：，四边形ABCD是平行四边形，BC=12, ∴.AB=CD,AB∥CD,AD=BC=12. ∴AEAF∽aCDF, AFAE DE DC .BE=3CD=3AB. ∴.AE=2CD 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AE 2CD DF DC CD -2, .AF =2DF, 2 2 4F=54D=5x12=8: 3 (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC, ∴△DCGn△BEG,△BCGn△DFG, △DCGABEG, GC GD GE GB' .ABCGADFG. GF GD GC GB' GC GF GE GC' ∴GC2=GE.GF 18. 【答案】(1)见解析： (2)3 【详解】(1)证明：根据题意得AE∥CD,CE∥AD, ∴四边形ADCE是平行四边形. 在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, ∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°， 四边形ADCE是矩形： (2)解：由(1)得，四边形ADCE是矩形，AB=AC,AD⊥BC, AE=DC=BD,AE∥BD, ∠AEF=∠DBF, ,∠AFE=∠DFB, ÷△AEF≌aDBF(AAS), .AF=DF, ∴F是AD的中点 如解图，过点F作AC的平行线，交BC于点H, 13/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H为DC的中点。 BH 3 BC4 .GC∥FH, ∴.△BFH∽△BGC, BF BH 3 ·BGBC4 GF 1 BF3' BE ÷GF的值为3， ◆题型4“A”字模型与“8”字棋型综合 19. 【答案】(1)6 2 (②5 【详解】(1)解：由题意得：∠EFB=∠ACB=90°， EF∥AC .△EFB∽△ACB, EF:FB=AC:BC=15:10=3:2, 设EF=3x,FB=2x,则CF=EF=3x, BC=BF+CF=5x=10. x=2, .EF=3x=6, 即正方形CDEF的边长为6： (2)解：由(I)得：CD=CF=EF=DE=6. 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=AC-CD=9; ∠ADE=∠ACB=90°， .DG∥CF, ∴△ADG∽△ACF .DG:CF=AD:AC=9:15=3:5, :DG=18 .GE=AE-DG-12 20. 【答案】(1)见解析 a时 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,AB∥CD .△AED AGEB,△DEF∽ABEA, AE DE EF DE ·EGBE'AEBE' ∴EGAE,即AE2=EF,EG: ∴AE是EG、EF的比例中项. (2)解：，四边形ABCD是菱形， .AD=CD=BC=6. DF=4, .CF =CD-DF=2. :AD∥BC, ∴△ABE∽△FDE, BE AE AB 6 3 ∴DEEF=DF=42, :AD∥BG, △ADE∽AGBE, AEDE3即：E=GB GE BE 3 3 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 =EF.EG, 4 &。GE=F:G,即Se E .'.EF 9 4 EG GE9 21. 【答案】(1)见解析 (23 (3)15 【详解】(I)证明：：ABCD中，AB∥CD, AB∥CG. ∴∠ABF=∠G, 又：∠ABF=∠ACF, ∴∠ECF=LG, 又，∠CEF=∠CEG, △ECF∽aEGC: (2)解：：平行四边形ABCD中，AB=CD, 又DG=DC, .'AB=CD=DG, 1 :.AB=CG, 2 :AB∥CG, ∴△ABEACGE, AB BE 1 ·cGGE2 61 即EG2' .EG=12, .BG=BE+GE =18. :AB∥CG, .ABF ADGF, 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF AB GF DG =1, 00=9 ,EF=BF-BE=9-6=3: (3)解：过点A作AH⊥BF于点H, G F B 由(2)知BE=6,EF=3, SAAEF-2 F.AH=3, .AH=2, S.A=BE-AH=6, △ABF∽aDGF, BF AB AF ∴.GF DG DE =1, .AF DF, AD∥BC, .△AEF∽△CEB, AF 1 .BC2, S△4BE=1 S△cEB4' .SACE8 =12 SAABC=SACEB+SAARE =18, S△4cn=S△MBr+S四边形cDrE=18, :S四边形cDFE=15 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.c 2.D 3.A 4.B 二、填空题 5.5 6.15 7.5 6 8.512 三、解答题 9. 【答案】0.8秒和2秒 【详解】解：设经过1秒钟△PB与△ABC相似. 已知点P从点A开始沿边AB向点B以2Cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿边BC向点C以4Cm/s的速度移动. 可得AP=2tcm,BQ=4icm 因为AB=8cm,所以PB=(8-2I)cm 分两种情况讨论： PB BO 情况一：当AB-BC时，△PBQAABC: PB BO 将PB=8-21,AB=8,BQ=4,BC=16代入ABBC, 8-2t4t 可得：816，可得28-20)=4 解得t=2: PB BO 情况二：当BC=AB时，△PBO∽aCBA· 18/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB BO 将PB=8-21,AB=8?B0=41,BC=16代入BC=AB, 8-2t4t 可得：16=8，可得8-21=8： 解得t=0.8 8 因为点从点4移动到点B所需时间为)=4s, 6=4s 点Q从点B移动到点c所需时间为 而t=2和t=0.8都在0<t<4这个范围内，所以这两个值都符合题意. 综上所述：0.8秒和2秒后△PBO和△CBA相似. 10. 【答案】见解析 【详解】解：在图1中设正方形的边长为x,则DC=x,AD=40-x, :∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°， .∴，△ADE△ACB. AD DE 40-xx AC BC, 即40 30 120 解得x= 7, ·.BC=30,AC=40 ∴.AB=V√AC2+BC2=50, 在图2中，.c-4C-BC=BCH, 1 :CH=4C:BC.30×40=24, AB 50 DE∥AB, ∴.∠CDG=∠A,∠CGD=∠B, .△CDE∽ACAB, DE CM ABHC· y24-y 设DB=y,则50=24， 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 600 解得y= 37 600,120 37 7 :.y<x, 图1方法符合要求. 11. AG 2 【答案】（四）AF3 5 ②2 AD 2 【详解】(1)解：DE∥BC,AB=3, AG AD 2 .AF AB 3 AG 2 即AF3: AD 2 (2):DE∥BC,AB=3 AE AD 2 .AC AB 3' :AE=5, 05. 12. 【答案】(I)FOB;EOD:CDB;FBA:FCE CE 2 (②)BF=10'DC5 【详解】(1)解：“四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AB∥CD .△AODP△FOB,△AOB∽△EOD,△ABDACDB,△ADEP△FCE,△ADE∽△FBA,△FCE∽AFBA ∴.△ADEAFBAAFCE: 故答案为：FOB;EOD;CDB;FBA;FCE; (2)解：，四边形ABCD是平行四边形 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AB=CD,AD=BC, AD=6, BC=6, CF 2 :BC3’ CF=4, .BF=BC+CF=6+4=10, ,EC∥AB .△FECr△FAB, CE FC .AB FB' FC 42 FB105 CE 2 AB5' CE 2 DC-3' CE 2 即BF=10'DC5· 13. 【答案】（四2，过程见解析 【详解】(I),AF∥BC, .∠F=∠EBC, ,BE是AC边上的中线， .AE=EC, :∠AEF=∠BEC, △AEF≌aCEB(AAS), .'AF =BC, 设CD=K,则DB=2k,AF=BC=3k AF∥BC, 21/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△APF∽△DPB, PA AF 3 ·PDBD2 (2)解：如图：过点A作AF∥DB,交BE的延长线于点F, E B CD 1 设DC=k'由BC2得BC=2k,DB=DC+BC=3k· E是AC中点， ..AE=CE. ,AF∥DB, ∴.∠F=∠PBD, 在△AEF和△CEB中， ∠F=∠PBD ∠AEF=∠BEC, AE=CE :.△AEF≌aCEB(AAS), ∴.AF=BC=2k, AF∥BC, ∴.△APF△DPB, PA AF 2k 2 ·PDBD3k3 14. 【答案】()2：V3 (②)BD=2BC,理由见解析 (3)35或3W6 【详解1山解：DE-CD,DE-7 22/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=3DE=37, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD=3V7. .△DEP△BAP, DE DP DP :ABBP即N7=6, .DP=2 AE⊥BD, :在RtABP中，AP=VAB2-BP=3万}-6=35， 在Rt4DP中，AD=VAP2+DP-V35+22=3I 故答案为：2：V31: (2)解：BD=2BC,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, 写 2 2 BE=三AB=二CD 3 3 AB‖CD, ∴.△BEPADCP, BP EP BE 2 ∴.DP CP DC3' ∴.设EP=2a,则CP=3a,CE=CP+EP=5a, :.BC=CE=5a, CE⊥BD, 在Rt△BCP中，BP=VBC2-Cp2=V5a)2-3a2=4a, BP 2 DP 3' DP=÷BP=6a. ..BD=DP+BP=10a, 23/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BC=5a, ..BD=2BC: (3)解：分两种情况讨论： ①如图，若DE=}CD=AB=3, 在矩形 中， B ABCD AB∥CD ∴.△DEPABAP, EP DE 1 .APAB=3 设EP=a,则AP=3EP=3a,AE=AP+EP=4a, AE⊥BD, ∴.∠DPE=90°， 在矩形ABCD中，∠ADC=90°， .∠DPE=∠ADE, ·∠DEP=∠AED, .△DEPSAAED, DE EP 3= :AEED,即43： 解得a= 2（负值舍去)， .AE=6, :.在Rt△ADE中，AD=√AE2-DE2=3V3; ②如图，若DE=cD=名4B=6 3 3 在矩形 中， B ABCD AB∥CD .△DEPn△BAP, 24/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EP DE 2 ∴.APAB3 设EP=2b,则AP=3b,AE=AP+EP=5b, AE⊥BD, .∠DPE=90°， :在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∠DPE=∠ADE, ·∠DEP=∠AED ∴.△DEP△AED, DE EP 16-2b :.AEED,即66， 解得6=310 5 (负值舍去)， .AE=3V10 .在Rt△ADE中，AD=√AE2-DE=3N6: 综上所述，AD的长为3V3或3V6 25/25函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形中（双）A字型模型与（双）8字型模 型 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形中（双）A字型模型 题型1“A”字模型（重） 题型2反“A”字模型（高频） 题型3同向双“A”字模型（高频） 考点二相似三角形中（双)8字型模型 题型1“8”字模型（重） 题型2反“8”字棋型（高频） 题型3平行双“8”字模型（高频） 题型4“A”字棋型与“8”字棋型综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一相似三角形中（双)A字型模型。 ◆题型1“A”字模型 “A”字棋型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应 角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 条件：如图，DEBC;结论：△ADE一△ABC一=三 1.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°， ∠B=65°，∠AED=75° 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△ADE一△ABC: (2已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长. 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=2,DB=4,BC=9. DE (①求BC的值： (2)求DE的长 3.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边 上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. B (I)求证：△ADE∽△EFC: (2)若DE:CF=2:3,求△ADE与△ABC的面积比. ◆题型2反“A”字模型 反“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对 应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. D E C 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图2，∠AED=∠B:结论：△ADE~△ACB一== 4.如图，△ADE△ACB,DE=3,S△ADE:S四边形BCD=9:16,则BC的长 D 5.(25-26八年级下福建福州期末)如图，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C,若AB=9, AD=2,AC=6,求AE的长 D B 6.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. B (1)求证：△AED∽△ABC (2若DE=5,求BC的长 ◆题型3同向双“A”字模型 同向双“A”字模型总结：“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一 个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以 判定这两个三角形相似. EG FGAG 条件：如图，EF列BC;结论：△AEF-△ABC,△AEG-△ABD,△MGF-△MDC≌BD CD AD 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G, AD DF 且ACCG (1)求证：AG平分∠BAC: EF DF (2)求证： BGCG· 8.(25-26九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DFIIBE, FECE (L)求证：DE∥BC: AF 2 (②如果FE=3,SADEF=3,求Sc的值. 9.(25-26九年级上江苏扬州开学考试)如图在锐角△ABC中，BC=6,SBc=12,两动点M,N分 别在AB,AC上滑动，且MN∥BC,以MN为边长向下作正方形MPON,设MN=x,正方形MPON与 △ABC公共部分的面积为'. M A D D O (图1) (图2) (I)求出△ABC的边BC上的高AD (②)如图1，当正方形MPON的边PD恰好落在边BC上时，求x的值. (3)如图2，当PQ落在△ABC外部时，求出y与x的函数关系式. 4/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点二相似三角形中（双)8字型模型 ● ◆题型1“8”字模型 “8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. D 条件：如图1，AB‖CD;结论：△AOB一△COD-== 10.(26-27九年级上全国课后作业)如图，已知AB/DE,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm.求AD 的长. E D 1l.如图，己知：AB⊥BC,CDLBC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF L BC,垂 足为F. EFEF ①)求证：AB+CDl; (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD 12.(25-26九年级上广东茂名·阶段检测)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB,CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测得EF=32cm. B 图1 图2 ()晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF； (②)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ ◆题型2反“8”字模型 反“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似， 条件：如图2，∠A=∠D:结论：△AOB一△DOC==三 13.(25-26九年级上北京房山期中)如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C,B0=4,D0=2,AB=3, 求CD的长. D 14.如图∠ADE=∠ACB,BD=10,CE=6,CF=3, D B (I)求证：△DBFACEF: 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求DF的长. 15.(25-26九年级上广东深圳期中)综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图()，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条. 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图(b),由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成 A'C AC 像分别在A,B处，线段AB的像是线段A'B,AB上点C的像是点C.若AB∥AB'求证：BC=BC: 【数学语言】(2)如图（©），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为AB',腿部 AC的像为AC'.试说明能拍出大长腿效果的理由. 、a (b) (c ◆题型3平行双“8”字模型 平行双“8”字模型总结：“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两 边对应成比例就可以判定这两个三角形相似. AE BE AB 如图3，ABCD:结论：DF CF CD 条件： I6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点G,交CD的延长线于 EG 点R,若DC=2DF,则BG的值为() 7/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B 1 A.3 c n} 17.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G. D E B (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE 18.(2026云南楚雄一模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,分别过点A,C作BC, AD的平行线交于点E,连接BE,交AD,AC于点F,G. D (I)求证：四边形ADCE是矩形： BF (②)求GF的值. ◆题型4“A”字模型与“8”字模型综合 19.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形， AC=15,BC=10,AF交DE于点G. 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R D (I)求正方形CDEF的边长； (2)求EG的长. 2O.如图，在菱形ABCD中，点F在边CD上，连接AF并延长，交对角线BD于点E、BC的延长线与点 G (I)求证：AE是EG、EF的比例中项： EF (2)若BC=6,DF=4,求EG的值. 21.如图，AC是ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长 线于点G. G F D B (I)若LABF=∠ACF,求证：△ECF∽aEGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. (3)在(2)的条件下，若S△MBr=3,求S边形CDFE. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2025江苏南京三模)如图，ABI/CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点E,F,若AB=2,CD=4,则下列关系正确的是() E B F AE 1 A0 1 c积 AD 1 A. B. C02 D.BC2 2.(25-26九年级上·全国期末)如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长， 交BC边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F,已知AF=2,则线段AE的长是() D A.16 B.12 c.10 D.6 3.(2025八年级下·全国竞赛)在等腰三角形ABC中，边AB和BC的长度相等.在下图中，由平行于 AC的线段形成的△ABC中的两个阴影部分具有相同的面积.两个空白部分的高度分别为11和5.问 △ABC的高h是多少？ B B 11 5 A A.14.6 B.14.8 C.15 D.15.2 E.15.4 AD AE 1 4.(25-26九年级上四川巴中期中)如图，△4BC中，点D、B分别在4BAC上，且DB=EC=2, 下列结论正确的是() D 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.DE:BC=1:2 B.△ADE与△ABC的面积比为1：9 C.△ADE与△ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则△ADE与△DEC的面积比为l:3 二、填空题 5.(25-26九年级上全国期中)如图，AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD 的长为 A B AD AE 3 6.(2025:云南模拟预测)如图，在。4BC中，点D,E分别在边AB'AC上，且ACAB5,若 DE=9,则BC= 7.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，△ABC,EG∥BC,BD=CD,EF=5,则FG=一 E D 8.(25-26九年级上广东江门期未)如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD交于点G, AB=2,BG:DG=2:3,则GH的长为 D 三、解答题 9.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AB=8Cm,BC=16Cm,点P从点A出发沿 AB边向点B以2Cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4Cm/s的速度移动，如果P、Q同时 出发，经过几秒后△PBO和△ABC相似？ 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上：广东清远·期末)有一块两条直角边BC、AC的长分别为30厘米和40厘米的 Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个面积尽量最大的正方形.甲、乙两位师傅的加工方案分别如图1和 图2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）· G D H M B E 图1 图2 11. (25-26九年级上·上海课后作业)如图，在△ABC中，DE∥BC,交AB于D,交AC于E,F为 AD=2 BC上的一点，DE交AF于G'AB=3,AE=5求： DG E B ①AF (2)AC的长. 12.(25-26九年级上四川眉山期末)如图，平行四边形ABCD中，点E为CD边上任意一点（不与点 C、D重合)，连接AE并延长与BC的延长线交于点F, D F C (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来. △AOD∽△_，△AOB∽△_，△ABD∽△_，△ADE△_I△_ 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE ②若BC=3,AD=6,求BF的长及DC的值. 13.(25-26九年级上：广东阳江阶段练习)在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射 线BC上. 1 图1 图2 CD 1 (①如图L,点D在BC边上，BD2,AD与BE相交于点P,过点A作AF∥BC:交BE的延长线于点 AP F, 易得PD的值.请你写出求解过程。 CD1 AP (②)如图2，点D在BC的延长线上，4D与4C边上的中线BE的延长线交于点P,BC-2,求PD的值. 14.(2025广东佛山·三模)综合与实践 如果从一个平行四边形的一个项点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该 点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”， D E D B B B 图1 图2 图3 (1)理解应用 如图I,在口ABCD中，AE⊥BD于点P,交CD于点E,若E为CD的三等分点，则口口ABCD是垂对三等 分平行四边形，P是垂三等分点.若DE-CD,DE=万，BP=6~则DP=一： AD (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形4BCD巾，P是垂三等分点，且满足E=号4B.若CE:C8:试精租 BD与BC的数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸 13/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P,交CD于点E,AB=9,当四边形ABCD是垂对三 等分平行四边形时，直接写出AD的长度. 14/14