第28章 相似三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 九年级上册第28章相似三角形单元卷，聚焦能力提升，覆盖位似、相似判定与性质、动态问题等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|位似图形性质（第1题）、相似判定命题辨析（第4题）|基础巩固，考查概念辨析与几何直观| |填空题|12/24|旋转与相似（第7题）、黄金分割应用（第10题）|能力提升，结合实际情境与空间观念| |解答题|8/58|梯形相似证明（第21题）、动态相似分类讨论（第26题）|创新应用，体现推理能力与模型意识，契合真题探究趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 4．对于相似形，小明提出以下命题： 邻边之比为的两个平行四边形是相似形； 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似； 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似； 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似； 其中，正确的个数有（    ） A． B． C． D． 5．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 6．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．    8．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 9．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 10．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 11．如图在中，是上的一点．，与相交于点，若，则的值是___________． 12．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 14．如图，在四边形中，E是上的点，，，，那么__________． 15．已知点是的重心，点在边上，如果，那么______． 16．如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为_______． 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 18．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，，，连接交于点．若，，，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 21．如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 22．解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 23．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 24．如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证： 25．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知，梯形中，，点在上运动（点不与点重合），点在射线上， （1）当时，求的长 （2）当在线段上时，设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）联结，若以点为顶点的三角形与相似，求的长 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，相似三角形的判定及性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质得，，从而，，于是，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上， ∴，， ∴，， ∴ ∵的周长为， ∴的周长为． 故选：B． 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 3．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 4．对于相似形，小明提出以下命题： 邻边之比为的两个平行四边形是相似形； 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似； 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似； 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似； 其中，正确的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，判断各命题的正确性：错误，因相似平行四边形需对应角相等且对应边成比例，仅邻边比相等不足以保证；正确，直角三角形一锐角相等则三角对应相等，故相似；错误，两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形不一定相似；正确，两边及第三边中线对应成比例可推导出第三边成比例，故三边成比例相似；正确，直角三角形两边对应成比例则第三边也成比例，故三边成比例相似，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵邻边之比为的两个平行四边形对应角不一定相等， ∴错误； ∵两个直角三角形有一个锐角相等，则另一个锐角也相等（直角均为）， ∴两角对应相等的两个三角形相似，故正确； 设等腰三角形的顶角为，腰长为，腰上高为，则， 条件意味着两个三角形的顶角正弦值相等，则顶角可能相等或互补，当顶角互补且不相等时，三角形不相似， ∴错误； ∵有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似 ∴正确； ∵直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例， ∴三边对应成比例， ∴正确； ∴正确个数为， 故选：． 5．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，证明，即可判断A选项正确；证明四边形都是平行四边形，则，，即可判断B选项正确；无法证明，即可判断C选项错误；证明，则，证明，即可判断D选项正确． 【详解】∵D、E、F分别是的边、、的中点， ∴， A. ∵ ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴四边形都是平行四边形， ∴，， ∴，故选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故无法证明证得； D. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．    【答案】/0.8 【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 8．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【分析】由点和点的坐标即可求得与的长，然后由勾股定理即可求得的长，继而求得正方形的面积，再利用相似可求得正方形的面积，观察可得规律，最终得到第个正方形的面积． 【详解】解：设正方形的面积为，，…，． 点的坐标为，点的坐标为， ，． 在中，， 正方形的面积． 四边形是正方形， ，． ，， ． ， ， ，即，解得． ， 正方形的面积． 同理可得正方形的面积， 第个正方形的面积为． 9．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 10．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 11．如图在中，是上的一点．，与相交于点，若，则的值是___________． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 12．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．如图，在四边形中，E是上的点，，，，那么__________． 【答案】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识．先证明都是等腰直角三角形，得到，，则，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 15．已知点是的重心，点在边上，如果，那么______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的重心的概念、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点E，由点G是的重心，可得，，再由，可得，最后由相似三角形性质可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵点G是的重心， ，， ， ， ， ， 故答案为： 16．如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键 ．先证，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 18．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，，，连接交于点．若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积计算得边长，，在中，由勾股定理得，过点作，垂足为，根据得，证明，得，设，得，，由图得，则可得，求解即可得，，根据计算即可得的值． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 过点作，垂足为， ，即， 解得，， 在中，，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 设，则， 点在上，且、、 共线， ， ， ∴， 由图形可知，点 位于与之间， ， ， 解得：，即， ， ， 的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； (2) 证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）知：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，求出，进而推出，证明，即可得证； （2）证明，得到，等角的余角相等结合对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 22．解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 23．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵等腰和等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立； （2）取的中点H，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点H，连接，    ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（负值已舍）， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证： 【答案】 证明：∵ 四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ． ∴ ① ∵ ， ∴ ， ∴ ∵， ∴ ② ①+②得， ∴ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据正方形的性质得到， ，进而得到，，利用对应边成比例解题即可． 【详解】略 25．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定及性质，三角形面积；掌握平行线的性质，会根据三角形的面积相等条件求坐标是解题的关键． （1）由几个非负数的和为零，得，，再由点的坐标和三角形的面积，即可求解； （2）过E作，则， 由平行线的性质得，，由角平分线的定义可得，，结合平行线的性质即可求解； （3）设与轴交于点，连接，通过，先求出点坐标，再利用，解得，从而得到在轴上的两个可能位置． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，， 的面积为：． （2）解：过E作，如图所示： 轴，， ，， 轴， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， ，， ∴ ； （3）解：如图，设与轴交于点，连接， 由（1）得，，， ， , ，解得， ， ，且点在轴上， ，即， 解得， 当点在轴下方，如图处时， 点的坐标为，即， 当点在轴上方，如图处时， 点的坐标为，即， 综上所述，在y轴上存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，P点的坐标为或． 26．如图，已知，梯形中，，点在上运动（点不与点重合），点在射线上， （1）当时，求的长 （2）当在线段上时，设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）联结，若以点为顶点的三角形与相似，求的长 【答案】（1）3；（2）；（3）2或或 【分析】（1）先根据已知证明∠APB＝∠C，再根据三角函数的知识得出PE＝CE时，BP的长度； （2）延长PE与AD的延长线交于点F，根据平行线的性质即可得出与x之间的函数关系； （3）若△APD与△PCE相似，则有两种情况：（ⅰ）∠ADP＝∠C时，△APD∽△PEC，根据相似三角形的性质得出BP的长度；（ⅱ）∠APD＝∠C时，△APD∽△DCP，根据相似三角形的性质得出BP的长度． 【详解】解：（1）根据已知，得BC＝8，∠APB＝∠EPC ∵PE＝CE∴∠EPC＝∠C ∴∠APB＝∠C ∴AP∥DC ∴PC＝AD＝5 ∴BP＝3 即当PE＝CE时， BP＝3 （2）延长PE与AD的延长线交于点F， ∵BP＝x，相当于光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射， ∴PC＝8﹣x，AF＝2x ∵DE＝y，DC＝AD＝5， ∴EC＝5﹣y，DF＝2x﹣5 ∵AF∥BC ∴ 即 ∴ ∵点E在线段CD上 ∴x的取值范围为 （3）∵AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠APB＝∠EPC， ∴∠DAP＝∠EPC 若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况： （ⅰ）∠ADP＝∠C时， 推出BP＝2时，△APD∽△PEC； （ⅱ）∠APD＝∠C时 又∵∠ADP＝∠DPC∴△APD∽△DCP ∴PD2＝AD•PC ∵PD2＝42+（5﹣x）2 ∴16+（5﹣x）2＝5（8﹣x） 解得，经检验，均符合题意 故时，△APD∽△PCE； ∴当BP为2，时，△APD与△PCE相似．       【点睛】本题主要考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质以及函数知识的综合应用，要根据对应角的不同进行分类求解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章 相似三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 4．对于相似形，小明提出以下命题： 邻边之比为的两个平行四边形是相似形； 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似； 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似； 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似； 其中，正确的个数有（    ） A． B． C． D． 5．某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 6．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．    8．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 9．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 10．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 11．如图在中，是上的一点．，与相交于点，若，则的值是___________． 12．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 14．如图，在四边形中，E是上的点，，，，那么__________． 15．已知点是的重心，点在边上，如果，那么______． 16．如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为_______． 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 18．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，，，连接交于点．若，，，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 21．如图，在梯形中，，，是边上一点，与交于点，如果平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 22．解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 23．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 24．如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证： 25．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知，梯形中，，点在上运动（点不与点重合），点在射线上， （1）当时，求的长 （2）当在线段上时，设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）联结，若以点为顶点的三角形与相似，求的长 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第28章相似三角形·能力提升（参考答案） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分) 4 7.510.8 9.（3-) 10. 34.38 55.62 11.36 .3或2 83 13.4 14.V2:2 1 15.3 16.8 17.6 18君 三、解答题（本大题共8小题，第1925每小题7分，第26题9分，共58分） 19.(1)证明：，∠ECB=∠DCA, .∠ECB+∠ECA=∠DCA+∠ECA,即∠ACB=∠DCE,.1分 DC EC 又：ACBC, ∴.△ABC∽△DEC:…2分 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知△ABC∽aDEC, .∠CDE=∠CAB, 又，∠DFC=∠AFE, .△DFC AAFE,…2分 SAFE AE216 :S.DCF CD 25, ac) .CD=10 …2分 20.(1) 证明：：EE ∠AEB=∠CED CE DE :.△AEB∽△CED ，1分 ∴.∠ECD=∠BAD=90°，∠ABE=∠ADC 又：在RtAECD中，点F为ED中点， ∴.CF=DF ∴.∠ADC=∠FCD .∠ABE=∠FCD:…2分 (2) 证明：：DA平分∠BDC, ∴.∠ADC=∠ADB :∠ABE=∠FCD=∠ADC ∠ABE=∠ADB,…1分 又F点是DE中点，∠ECD=90°， .DE =2CF,FC=FE, .∠FEC=∠FCE,…1分 ∠FEC+∠BED=∠FCE+∠BCG=18O° ∠BED=∠BCG,…1分 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BED∽△GCB, BG BCBC BDDE2CF· .1分 21.(1) 证明：：AD川BC,AB⊥BC, .AB⊥AD,∠B=90°， LBEC+LBCE=90°，1分 DE⊥CE .∠AED+∠BEC=90°， .∠BCE=∠AED CE平分LACB, .∠BCE=∠ACE. .AED=LACE,1分 又：∠EAG=∠CAE .△AEGAACE, AE AG ACAE .AE2=AG·AC;1分 (2) 证明：由(1)知：BA⊥AD,∠AED=∠ACE, 又.CE⊥DE, .∠DAE=∠CEG=90°，1分 ∴.△AED∽AECG EG CG …ADDE' …1分 .AD.CG=EG.ED .∠ECG+∠EGC=90°，∠AED+∠ADE=90° .∠EGC=∠ADE,1分 .∠EGC=∠AGD, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADE=∠AGD, ..AG=AD ..AG.CG=EG.ED …1分 22.(I)证明：在△ACD和△ABC中， 「∠ACD=∠B ∠A=∠A ,…1分 .△ACD∽△ABC,1分 AC AD .AB AC .AC2=ADAB.1分 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠A=∠C, .∠BFE=∠A, .∠BFE=∠C,…1分 在△BCF和△BFE中， I∠C=∠BFE ∠FBC=∠EBF, .△BCF∽aBFE,1分 BC BF BE BE' BF=6,BE=4. BC_6 .64 解得BC=9,.1分 又AD=BC, .AD=9.…1分 23.(I)证明：：等腰△ACD和等腰△BCE, .AD=CD,EC=EB,∠A=∠DCA, ,∠A=∠CBE. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DCA=∠CBE,1分 .CD∥BE, .∠DCE=∠BEF, EF=AD, .EF=CD,…1分 CD=EF ∠DCE=∠FEB 和 中， ADCE△FEB EC=EB △DCE≌AFEB(SAS) .DE=BF:1分 (2)解：取CE的中点H,连接GH, E G D H B :点G是DE的中点， .GH是△FCD的中位线，…1分 GH-CD-TAD-1.GH/CD. 2 2 设BE=a,则CH=EH-)CE=BE= 2 2 0, .EF=AD=2, Ft= 20-2 ,…1分 .CD∥BE, .GH∥BE, .△FGH△FBE,1分 g 1 a2, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得a2-4a-4=0, 解得a=2+2V2 (负值己舍)， 经检验0=2+2V2 是所列方程的解，且符合题意， BE=2+2V2 …1分 24. 证明：：四边形EFGH是正方形， EF1AB,1分 :CD⊥AB, .EF II CD ，1分 ∴.△AEF∽△ACD EF AE ·CDAC ①.1分 .EHI∥AB, .△CEHACAB,….1分 EH CE AB AC ...1分 ..EH EF, EF CE AB AC ②.1分 EF EF _AE CE=1, ①+②得，CD AB ACAC 111 AB CD EF.1分 25.(1)解：：(a+2}+V3-b=0 a+2=0.b-3=0. a=-2,b=3,….1分 :CB⊥AB, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴A(-2,0)B(2,0)C(2,3) AABC的面积为：2×3×4=6.1分 (2)解：过E作EF‖AC,如图所示： 人6 轴， FO B D CB∥y BD∥AC ∠CAB=∠5，∠ODB=∠6， :CB上x轴， ∴.∠ABC=90° .LCAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，…1分 :AE,DE分别平分∠CAB,，∠ODB, BD∥AC, .BD∥AC∥EF. .∠3=∠1，∠4=∠2， .∠AED=∠1+∠2 =CMB+∠0D8) =45°；1分 (3)解：如图，设AC与'轴交于点F,连接BF, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 'F 、、 B 由4)得4-2,0).B2,0)c2,3) 8m4B-8C-=x4x3=6 2 …1分 S△MBE+SARCE=S△MBC 4x0r+分3x2=6,or- :S.e=Sc,且点P在'轴上， Sr+S.c5.mwex2xx2xPF-6 解得PF=3, P 当P点在轴下方，如图处时， 点P的坐标为 1分 当P点在轴上方，如图处时， 3 l分 综上所述，在y轴上存在点P,使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等，P点的坐标为 2)或 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ) 26.(1)根据已知，得BC=8,∠APB=∠EPC PE=CE..LEPC=∠C LAPB=∠C.1分 .APIIDC PC=AD=5.1分 .BP=3 即当PE=CE时，BP=3.1分 (2)延长PE与AD的延长线交于点F, BP=x,相当于光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射， .PC=8-x,AF=2x .DE=y,DC=AD-5, EC=5-y,DF-2x-5 .AFIBC DF DE ·PCEC 2x-5_y 即8-x5-y y=52r-5 x+3 1分 ,点E在线段CD上 区的取值范围为r<81分 (3).ADIIBC, LDAP=∠APB, LAPB=∠EPC, LDAP=∠EPC.1分 若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况： (i)∠ADP=∠C时， 推出BP=2时，△APD△PEC;….1分 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)∠APD=∠C时 又∠ADP=∠DPC△APD∽△DCP PD2=AD-PC PD2=42+(5-x)2 16+(5-x)2=5(8-x)….1分 解得25±v21 2,经检验，均符合题意 故25±v21 2时，△APD△PCE;…1分 5±V21 ∴.当BP为2,2时，△APD与△PCE相似. H Q P E B E F ! 10/10