专题02 相似三角形的判定和性质（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与性质，按“基础判定-性质应用-综合拓展”逻辑分层设计题型，覆盖中考高频考点与难点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类/18题|含判定（重）、性质求解（高频）、多解/多结论（难）、综合应用（难）、测高（高频）|从判定概念到性质应用，逐步递进至复杂综合问题，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3类/15题|包含选择、填空、解答题，融合动态几何、跨图形综合|结合中考真题，强化知识迁移与实际应用，培养推理能力与应用意识|

专题02 相似三角形的判定和性质 常考题型·精准突破 题型1 判定两三角形是否相似（重） 题型2 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3 利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4 利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5 相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6 利用相似三角形测高问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． ◆题型2 利用相似三角形的性质求解 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【答案】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，则，，，由勾股定理求出，再证明和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 利用相似三角形的性质多解问题 7．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】过点作于点，先由等腰三角形的性质求出，则，然后分点在点的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ 当点在左侧时，记作点， ∴ ∴， ∵平分 ∴ 过点作于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在右侧时，记作点，则同理， ∴ 过点作交延长线于点，则， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 同理可得， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的长为或． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，E为延长线上一点，且O为对角线的中点，连接交于点F，连接．若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或 【分析】过点O作，交于点G．分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：过点O作，交于点G． ∵四边形矩形， ∴， ∴，． ∵，O为的中点， ∴，， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴若为等腰三角形，只有两种情况： ①当时，如图1． 在中，，， ∴． 由三角形中位线定理，得； ②当时，如图2． 在中，，， ∴． 由三角形中位线定理，得． 综上所述，的长为或． 9．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【分析】分类讨论，，，，由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：①若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ②若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ③若， ∴， ∴， ∴ ∴． ◆题型4 利用相似三角形的性质多结论问题 10．（2026·广东广州·三模）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】过点G作，分别交、于点M、N，可知四边形为正方形，可判断①，且和为等腰三角形，设，则，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得x，再利用，可求得、和，则可求得，容易判断②③④，可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，过点G作，分别交、于点M、N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， 又由折叠的可知， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 又和为等腰直角三角形，且， ∴， ∴的周长， ∴，故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③④． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，为正方形的对角线，点E在上，延长取，延长交于点M，连接，交于点N．给出下列结论： ①连接，； ②； ③； ④若，点P在上，过P作于点K，连接，则的最小值是． 以上结论正确的是_____．（填写序号） 【答案】 【分析】首先利用正方形的性质和全等三角形的判定证明，进而得出，再证明，可得，即可判断①；通过计算线段，的长度关系，即可判断 ②；利用面积割补法和勾股定理即可判断③；通过取点的特殊位置即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②设正方形边长为，则， ∵在正方形中，， ∴，， ∵的长不确定， ∴的长不确定， ∴不一定成立，故②错误； ③如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵点E在上， 如图，当点与点重合时，由题意可得点都重合，此时当点与点重合时，的最小值为0，故④不一定成立； 综上所述，正确的是． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在菱形中，，，点在边上，且，连结交对角线于点，连结．给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④的面积是的面积的倍； 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】利用菱形的性质得到，，结合推出是等边三角形，可判断①；利用全等三角形的判定证明，可判断②；利用全等三角形的性质得到，通过证明得到，得出，可判断③；由得到，再利用全等三角形的性质可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ，故①正确； ，，， ，故②正确； ， ，， ， 解得：， ∵在菱形中，，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确结论的是①②④． ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 14．（2026·湖北武汉·模拟预测）在中，（），D为上一点，过点D作交于点E． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接，过点D作，若，连接和， ①求证：； ②若平分，，请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) 证明：， ， ， ； (2)①证明：， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）①证明，推出，从而证明，得到，进而证明，由此得到，根据三角形外角性质得到结论； ②设、交于点M，根据角平分线得到，由，推出，进而得到，设，由，得，勾股定理求出，由，得，结合，得到，由此得到答案． 【详解】（1）略； （2）①略； ②设、交于点M， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，于点E，点F在上，． (1)如图（1），连接，． ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图（2），点H是的中点，连接，，交于点M．若，，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ． ， ， ． ， ． ． ② (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，根据已知结合可得，再证明，进而证明； ②根据相似三角形的性质可得，由得出，如图，过作于．证明，根据相似三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，进而求得的长； （2）过点作于点，延长交的延长线于点，证明得出，设，，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求得，证明得出，结合平行四边形的性质求得，证明，得出，代入比例式，即可求解． 【详解】（1）解：①略； ②∵四边形是平行四边形，，， ． ， ． ， ， ． 如图，过作于． ， ，，． ， ． ． ∵在中，由勾股定理得． ． （2）解：如图，过点作于点，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ,, ， ， ． ， ． ． ∴ ∴ 即 设，则， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 在中， ∴ 解得： ∵ ∴ ∴． ◆题型6 利用相似三角形测高问题 16．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 17．（2026·山西阳泉·三模）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 18．（2026·山东枣庄·模拟预测）学校数学兴趣小组开展了测量物体高度的实践活动．相关信息如下： 活动主题 测量校园内信号塔高度 活动工具 标杆、皮尺、激光仪等工具 示意图 测量说明 如图，线段表示被测量信号塔，位于一个围栏内，不能到达信号塔的正下方．具体方案是：先在水平面上竖直放一根高的标杆，调整点处的激光仪，确保从点处发出的激光束恰好同时经过，；再在点处竖直放一根同样高度的标杆，再将激光仪移动到点处，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，． 测量数据 测得线段，． 数据提示 ，，都垂直于水平地面，即，，．所有点都在同一平面内，点，，，在一条直线上． 问题解决 请运用所学的知识以及表中的测量数据，求被测信号塔高度是多少米？ 【答案】被测信号塔高度是 ． 【分析】设信号塔高度 ， 通过两次构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立方程组求解信号塔的高度． 【详解】解：设信号塔高度 ， ，， ． ． ． ， ， ， ． ， ． ． ． ， ， ， ． ， 解得． 将代入①，得． ． 解得． 答：被测信号塔高度是 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 7．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 10．（追梦中考模拟演练卷（二））如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 三、解答题 11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 13．（2026·河北保定·三模）如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵等边， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明，，进一步证明即可； （2）证明，求解，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等边中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知：正方形和正方形，点为线段上一点，且，延长，分别与边，交于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴； (2) (3)证明：由（2）可知：，， ∴， ∴， ， ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，结合，即可得证； （2）由（1）可得，设正方形的边长为，，则，设与交于点，证明，得到，进而得到，推出，求出，即可得出结果； （3）由（2）的结论，得到，求出，的值，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：，， ∴，， ∴， 设正方形的边长为，，则，设与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴或（舍去）； ∴； （3）略 15．（2026·广东揭阳·模拟预测）【定义】如图1，点O是的对角线的交点，过点O作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； 【答案】(1)证明：当时，则， ， 在和中，， ， ． ， 是菱形 (2)有， (3) 【分析】（1）当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； 【详解】（1）略 （2）解：有， ， ， ． （3）解：如图，过点作，， 在矩形中，， ，，，， ， 设，， ，解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定和性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判定两三角形是否相似（重） 题型2利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6利用相似三角形测高问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1.D 2.D 3.D ◆题型2利用相似三角形的性质求解 4. 8 5.7.2 646 5 ◆题型3利用相似三角形的性质多解问题 72w09 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.V5或2√2 16 9.2,3,3 ◆题型4利用相似三角形的性质多结论问题 10.①③④ 11.①③ 12.①②④ ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13, 【答案】(1)证明：，∠A=40°，∠B=65°， .∠C=180°-40°-65°=75°， .∠C=∠AED 又，∠A=∠A, △ADE~△ABC; 5 ②2 【详解】(1)略 (2)解：AD:BD=2:3, .AD=2=2 AB2+35 △ADE一△ABC, AD AE ABAC' 25 即5AC’ 解得：4C=25 · 14. 【答案】(1) 证明：DE⊥AC, 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDE=∠ABC=90°， :LC=∠C, .AABC∽△EDC; (2)①证明：DF⊥BD,DE⊥AC, .∠BDF=∠EDC=90°， ∠BDE=∠FDC, 又：∠ABC=∠BDF,AB=BD BC DF' AABC∽△BDF, .∠ACB=∠DFB △EDC∽aBDF, ED DC ED BD BD-DF,即DCDF, ..EDBACDF, .∠BED=∠DCF, :∠BED=∠DCE+∠EDC, ∠DCF=∠DCE+∠ECF, :∠ECF=LEDC=90°： ②+n 1-n 【详解】(1)略： (2)①略； ②设BC、DF交于点M, C.. 平分 DE ∠BDF .∠BDE=∠FDE=45° ∠CDF=45°， :△ABCr△BDF, 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=∠DFB, .∠DMC=∠BMF. .∠CBF=∠CDF=45°， .∠BCF=90°， .∠BFC=45°， :BC=CF, 设BC=CF=x, .△ABCAEDC, :BC,即DE=nDC DE AB :.EC=VDE2+DC2=1+DC, ,△EDBACDF BE DE ·CFDC 三n .'BE =nCF nx, .BC=BE+EC, ..x=nx+v1+n2DC, :Dc=1-n) V1+n2, CF V1+n2 :CDx(1-n)1-n. V1+n2 15. 【答案】(1)解：①四边形ABCD是平行四边形， .AB//CD. .∠B+∠C=180° ∠B=∠BFE, .∠BFE+∠C=180°， .∠AFE=∠C. :∠AEC=∠DEF=90°， .∠AEF=∠CED, 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AFE∽△DCE. ②5√5 @, 【详解】(1)解：①略： ②·四边形ABCD是平行四边形，AF=9,BF=6, ∴.AB=CD=15 ·△AFE∽△DCE, AF_EF3 DCCE5· :∠B=∠BFE, ∴EF=EB, BE 3 CE 5 如图，过E作EG⊥AB于G. .∴∠AGB=∠AGE=90° ∴∠B=∠AEG,BG=3,AG=12 .△EGB∽△AGE, EG GB AGEG· .EG=6 ,在Rt△BGE中，由勾股定理得BE=VBG2+GE2=3V5. ..CE=5/5 (2)解：如图，过点E作EP⊥AB于点P,延长EH交AD的延长线于点Q, D Q M 图2 ,四边形ABCD是平行四边形， 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B+∠BCD=180°，AQ∥EC ∠B=∠BFE, ∴.∠BFE+∠BCD=180°，EF=BE .∠AFE=∠BCD '∠AEC=∠HEF=90°， .∠AEF=∠CEH .△AFE∽△HCE. 能匿 AE EH EF CE .=n 即EH=nCE 设EF=1,则AE=nEF=n,BE=EF=1 H是CD的中点， ∴.CH=HD 又.AQ∥EC ∴.∠DQH=∠CEH,∠QDH=∠ECH :.△HDQ≌△HCE(AAS) ∴.DQ=EC .EH=nCE, ∴.EQ=2EH=2nCE. 在ABCD中，AD=BC=BE+EC=I+CE ..AO=AD+DO=AD+EC=1+2CE 在Rt△AEQ中，EQ=AE2+AQ ∴.(2nCE)）2=n2+(1+2CE)2 解得：CE= n2+1 2(n2-1 .·AQ∥EC ∴.△AMOACME =9-+20E=2+2+2m-24r ∴CM=ECCE CE n2+1n2+1: 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6利用相似三角形测高问题 16: 【答案】(I)证明：由题可知∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE, :.∴△ABCAEDC (2)72m 【详解】(1)证明略 (2)解：由题可知，BC=45m,DC=20m,DE=32m, △ABC∽△EDC, BC AB45AB DC=DE,即20=32， AB=72, 答：河宽AB为72m. 17. 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示. B 测量数据：标杆CD=a,标杆影长CE=b; ab 3b-a 【详解】(1)解：选用的测量工具是①一根标杆：③一卷足够长的皮尺： (2)略 (3)解：AB⊥BC,∠ACB=45° “△ABC为等腰直角三角形， .AB=BC, :∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC, ·.△ABE∽△DCE. 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BE AB AB+b DCCE,即 a b ab ..AB= b-a ab 答：飞云楼的高度B为6-4·（答案不唯一） 18.【答案】被测信号塔高度是15m 【详解】解：设信号塔高度AB=xm,BC=ym. AB⊥BG,CD⊥BG, AB∥CD」 .∴AECDAEBA .CD CE AB BE .CD=2.5m CE=3m BE=BC+CE=(y+3)m ,2.53① x y+3 :AB⊥BG,EF⊥BG, .AB‖EF .GEFAGBA」 EF_GE ABGB· .EF=2.5m,GE=3.6m GB=BC+CE+GE=(y+6.6)m, .25-3.6②. xy+6.6 33.6 y+3y+6.6? 解得y=15 2.53 将y=15代入①，得x=15+3 :25-3 x18· 解得x=15 答：被测信号塔高度是15m. 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 二、填空题 6.∠ABC=∠D(答案不唯一) g对 8.6 9.3或4.8 10.2或410-8 3 三、解答题 11. 【答案】路灯AB的高度为10.2m 【详解】解：如图 M H N FD OEPB 令AB交CD于点H,设CH=x, :AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥PQ ∴.PC∥AB,AB∥MN ∴，AEPC∽△EBA,△MNFP△AHF, .EP-PC FN MN EB AB'FH AH' 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD∥PQ ∴.四边形PBHC是平行四边形， ∴.PB=CH=x,BH=PC=1.2 ∴EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, 0.41.231.8 0.4+xAB’18-xAB-1.2' 0.41.2 由0.4+x=AB,得AB=1.2+3x: 3 1.8 18-x1.2+3x-1.2' 解得x=3, 经检验，x=3是原方程的解， .AB=1.2+3×3=10.2(m) 答路灯AB的高度为102m. 12. 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， .∠A=∠BCD ,E是BC的中点， 六06=c80, .∠ECD=∠EDC, .∠EDC=∠A, ∠F=∠F, △FCD∽△FDA: 房 【详解】(1)略； (2)解：2AD=3CD. .CD_2 ∴AD3' .△FCD∽△FDA, 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC FD CD 2 ·FD-FA AD3' 设FD=6k, 则FC=4k,FA=9k, .AC=FA-FC=5k, FC 4k 4 CA5k5 B 13 【答案】(1)证明：，等边△ABC, .∠A=∠B=∠C=60°， ∴.∠ADE+∠AED=180°-60°=120°， ,由旋转可得：∠EDF=60°， .∠ADE+∠CD0=120°， .∠AED=LCD0, .△ADE∽△CQD aco 【详解】(1)略 (2)解：在等边△ABC中，AB=12,AE=4, .AC=AB=12, AD=5, .CD=12-5=7, .△ADE∽△CQD AD AE .CO CD' 54 C07 CQ=35 4· 11/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14. 【答案】(1)证明：正方形AMND和正方形MBCN, .AD=DN=AM=MN=NC=BC=MB,∠ABC=∠BCD=90°， .·∠AGB=90°=∠ABC .∠BAE=∠CBF=90°-∠ABG. .△ABEn△BCF: (2)V2-1 (3)证明：由(2)可知： -2-1:BC=d.CE=a-26.85=2b2 :.b=（2-1a, BE2=(2b=[2(2-1a]=(2-82)a, 4cE.CB=4(a-2b)a=4a2-8ab=4a2-8ab=4a2-8(V2-l）a2=(12-8v2)a2, .'BE2=4CE.CB. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知：△ABEABCF,AM=BM=BC, CF BC 1 AB=AM+BM BC+BC=2BC'BE AB 2' CF-2BE 设正方形的边长为a,CF=b,则BE=2b,设MN与AE交于点H, D M AM BM=BC=a,CE=BC-BE=a-2b .·MNIIBC,CNIlAB .△AMH∽aABE,△MHGn△CEG,ACFG△MBG. MH AM 1 CE CG CF CG .BE=AB-2'M丽MG'BMMG' w-E= CE CF MH BM' 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MH =BE=b,- 1 CE CF MH BM a-2b b :b a' ∴.a2-2ab-b2=0 12662 a a2 0 85-181法)： CG_cF=b=2-1; MG BM a (3)略 15. 【答案】(1)证明：当元=1时，则OM=ON, 在ABCD冲，OA=OC, 0A=OC 在Rta4NO和RtCMO中，ON=OM' ∴.Rt△ANO≌RtACMO(HL), ∴.∠BAC=∠BCA ∴BA=BC, 口ABCD是菱形 ON BC (2)有，OMAB 50 3 【详解】(1)略 (2)解：有， 在ABCD中，OA=OC, .S△AOB=S△cOB, :.AB.ON=1BC.OM, 2 2 ∴1=ON、BC 「OMAB: (3)解：如图，过点O作OM⊥BC,ON⊥CD, 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 M E 在矩形ABCD中，BD=10, ∴AD=BC,AB=CD,∠BCD=90°，OB=OD=OC=5, A=ON_BC 4 OM AB 3 ∴.设BC=4x,CD=AB=3x, :BD=VBC2+CD2=5x=10,解得：x=2, ..BC=8.CD=AB=6. :OB=OD=OC,OM⊥BC,ON⊥CD, :.CN-CD-3,CM-1BC-4, 2 2 :∠OMC=∠MCN=∠ONC=90°， 四边形OMCN是矩形， ∴.∠MON=90°，OM=CN=3,ON=CM=4, ∠MON=∠EOF=90°， ∴.∠MOE=∠NOF, .△MOE∽△NOF」 ·=ON4 ME OM 3 ∴.设FN=4t,ME=3t, .CF=CN+FN=3+4t CE=CM-ME=4-3t, SACOF =2SACOE, 6+40k4=2×4-303，解得：1=9 ∴.CE=4-3t=4-3× 6=50 1717 14/14可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定和性质 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1判定两三角形是否相似（重） 题型2利用相似三角形的性质求解（高频） 题型3利用相似三角形的性质多解问题（难） 题型4利用相似三角形的性质多结论问题（难） 题型5相似三角形的判定和性质综合问题（难） 题型6利用相似三角形测高问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1判定两三角形是否相似 1.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，下列给出的条件不能判定 △ABE∽△DEA的是()· D E A.∠B=∠AED B.∠BAE=LDEC 。能治 BE AB D.AE DE 2.(25-26八年级下·上海青浦期中)下列条件中，不能判定△ABC∽△AB'C'的是() AB BC AC A.∠A=LA,∠B=∠B B.4B-BC-4C Q胎瓷，且BB AB AC D.ArB=AC,且∠C=∠C 3.(25-26九年级上山西晋中·期末)能判定△ABC∽△DEF的条件是() AB BC AC A.DEDF EF B.∠A=∠F'∠B=∠E AB AC ABAC C.DEDF,∠B=∠E D.DE-DF'ZA=ZD 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2利用相似三角形的性质求解 4.(25-26八年级下山东威海期末)如图，DE∥BC,AD:DB=1:3,S四边形D8CE=8,则SADe= 5.(25-26八年级下重庆期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE, 垂足为点F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= D B E C 6.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，过点B作BE⊥AD, 交DA的延长线于点E,连接CE分别交AB,BD于点F,G,则FG的长为 D G B ◆题型3利用相似三角形的性质多解问题 7.(2026河南中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点E为边BC上 一点，连接AE,交CD于点F,连接BF.若AE=2W5,则BF的长为一· D 8（2026河南平顶三模)如图.在矩形ABCD中，46=2B为MD延长线上一点，且DE-4D0 2111 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为对角线BD的中点，连接OE交CD于点F,连接OC.若aOCF为等腰三角形，则BC的长为 D 9.(2026江西上饶三模)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=12,D是BC边上一点，CD=4, 过点D的直线I将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似，若直线I与△ABC另一边的交点为 点P,则DP的长为 D ◆题型4利用相似三角形的性质多结论问题 10.(2026广东广州三模)如图，有一张矩形纸片ABCD,已知AB=10,AD=12,现将纸片进行如下 操作：先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上：然后将纸片沿折痕 DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上，下列结论：①四边形 BG 2 ABEF是正方形：②ABGH的周长为18：③GF3:④GH的长为5·其中正确的结论是 (填 写所有正确结论的序号) H E 图1 图2 图3 11.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，AC为正方形ABCD的对角线，点E在AB上，延长CB取 BF=BE,延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N.给出下列结论： D M E B ①连接BM,∠BMD=90°： 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②AC=FC: ③-(ME+Mr: ④若BC=4,点P在MC上，过P作PK⊥AC于点K,连接NP,则NP+PK的最小值是2V2. 以上结论正确的是 一·（填写序号） 12.(2026吉林长春模拟预测)如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠BAD=60°，点E在边AD上，且 AE=2DE,连结CE交对角线BD于点F,连结AF,给出以下四个结论： ①BD=3; ②△ABF≌aCBF: ③AF:EF=3:2: ④△ABF的面积是△CDF的面积的3倍； 上述结论中，正确结论的序号有 D ◆题型5相似三角形的判定和性质综合问题 13.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°， ∠B=65°，∠AED=75° D B (I)求证：△ADE一△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长 14.(2026湖北武汉：模拟预测)在Rt△ABC中，∠ABC=90°(AB<BC),D为AC上一点，过点D作 DE⊥AC交BC于点E. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) 备用图 (1)如图(1)，求证：△ABC∽△EDC: AB BD (②)如图(2)，连接BD,过点D作DF⊥BD,若BCDF,连接BF和CF, ①求证：∠BCF=90°： CF ②若DE平分∠BDF,AB=mBC,请直接写出CD的值（用含n的式子表示）· D B C 平分 DE ∠BDF .∠BDE=∠FDE=45 15.(2026湖北武汉·二模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,点F在AB上，∠BFE=∠B. D H 图1 图2 (1)如图(1)，连接DE,∠DEF=90° ①求证：△AFEADCE ②若AF=9,BF=6,求EC的长. (2)如图(2)，点H是CD的中点，连接AC,EH,AC交EH于点M.若∠HEF=90°，AE=nEF,直 AM 接写出CM的值（用含n的式子表示）· ◆题型6利用相似三角形测高问题 16.(25-26八年级下·山东烟台·期末)受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继 续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A,C,E恰好在同一条直线上，此时量得DE=32m。 B (1)求证： △ABC∽△EDC (2)求河宽AB的长. 17.(2026山西阳泉三模)飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应 县木塔并称为“南楼北塔”.1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保 护单位.昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度AB,简化示意图如图所示，昕昕 在地面上的点C处测得飞云楼顶端A的仰角∠ACB=45°，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案： 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行： 条件二：听昕备有的测量工具：①一根标杆：②一面平面镜：③一卷足够长的皮尺：④测角仪， (1)你所选用的测量工具是 ； (填序号) (②)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用a,b,C表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度AB.(用含a,b,C的代数式表示) 18.(2026山东枣庄·模拟预测)学校数学兴趣小组开展了测量物体高度的实践活动.相关信息如下： 活动主题 测量校园内信号塔高度 活动工具 标杆、皮尺、激光仪等工具 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 示意图 F GE C 1.B/ 如图，线段AB表示被测量信号塔，位于一个围栏内，不能到达信号塔 的正下方.具体方案是：先在水平面上竖直放一根高2.5m的标杆CD, 测量说明 调整点E处的激光仪，确保从点E处发出的激光束恰好同时经过D,A 再在E点处竖直放一根同样高度的标杆EF，再将激光仪移动到G点 处，使它从点G处发出的激光束恰好同时经过F，A. 测量数据 测得线段CE=3m,GE=3.6m AB,CD,EF都垂直于水平地面BG,即AB⊥BG,CD⊥BG, 数据提示 EF⊥BG.所有点都在同一平面内，点B,C,E,G在一条直线上. 问题解决 请运用所学的知识以及表中的测量数据，求被测信号塔高度是多少米？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(26-27九年级上全国课后作业)在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定 能判断△ABC和△DEF相似的是() AB AC ABAC A.DEDF B.DE EF C.∠B=D D.∠A=∠D 2.(26-27九年级上·全国课后作业)若△ABC∽△DEF,且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的周长 比为() A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:16 3.(25-26八年级下山东东营期末)如图，在ABCD中，E是BC上一点，连接DE,交对角线AC于点 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE 2 R,若CE5,AF=4:则cF的长为（） B 12 A.5 c. 4.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,正方形DEFG的顶点 E、F在△ABC内，顶点D、G分别在AB、AC上，AD=AG=2.5,则DG的长为() A.3 B.2 D 5.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD,垂足为F,交BC于 点E,CE=3BE,下列结论： ①△BEF∽△DBA;②3BF=DF: ③EFCD=!2V5;④S四边形CDFE S△Ar=92, 其中正确的结论有() D B E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个条件，使得 △ABCP△ADB 8111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(26-27九年级上·北京课堂例题)如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG,阴影 BF 1 部分面积记为s,若FD2,S.c=16,则S=一· E D G B 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)邢窑是河北著名瓷窑.如图，小明用两根长度一样的木棍AC,BD AC_BD=4, 制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径4B的长.若两木棍交于点E,CEDE CD=2cm,则AB的长为 cm Di-- A------)B 9.(第三十一章相似2相似三角形)如图所示，在三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,点D从点A 出发以lcm/s的速度运动到点B停止，点E从点C出发以2cm/s的速度运动到点A停止，如果两点同时开始 运动，那么以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s. B E←C 10.(追梦中考模拟演练卷（二）)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点E,F分别在边 AC,BC上，连接EF,把aCEF沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上.若aBDF是以BF为腰的 等腰三角形，则CF= 9111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(2026陕西宝鸡模拟预测)在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了 路灯.如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PO高l.2m(即CP=l.2m),小军站在点N处. 在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP=0.4m,小军留在路面上的影长NF=3m.已知小军的身 高MN=1.8m,CN=15m,AB⊥CD,MW⊥CD,CP⊥P2,CD∥Pp.求路灯AB的高度. A M 用用 O EP B 12.(25-26八年级下·上海阶段检测)己知，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB,E是BC的中点，DE交 AC的延长线于点F.若2AD=3CD E F C (I)求证：△FCD∽△FDA: FC (②求CA的值. 13.(2026河北保定·三模)如图，在等边△ABC中，AB=12,点D,E分别是边AC,AB上的点， AE=4,将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F,射线DF交BC于点O. B (I)求证：△ADE△CQD, (2)当AD=5时，求CQ的长. 14.(2026安徽合肥模拟预测)已知：正方形AMND和正方形MBCV,点G为线段CM上一点，且 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AGB=90°，延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. D N U 心 (I)求证：△ABEABCF; CG (②)求GM的值： (3)求证：BE2=4CE.CB 15.(2026广东揭阳模拟预测)【定义】如图1，点O是口ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC, ON⊥AB· 套足分别为MN若ON≥OM时，我们称=W =OM是。ABCD的中心距比. D D B M (图1) (图2) (图3) (I)【概念理解】如图2，当九=1时，求证：ABCD是菱形： ON BC (②【性质探究】在图1中，。4BCD的中心距比入=OM与其相邻两边比B是否存在某种关系？若有，求 出这种关系；若没有，请说明理由： 银应用如图3，在矩形ABCD中4D>4B,其中心连比子，0为对角线D中点 边上一点，连接OE,作OF⊥OE交CD边于点F,若BD=10,S△cor=2S△coE,求CE的值： 11/11