专题27.8 相似三角形的判定与性质（专项练习）（培优练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.8 相似三角形的判定与性质（专项练习）（培优练） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，平分，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，，，与交于点，，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 6．（内蒙古包头市昆区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题）如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·中考真题）如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C．3 D．9 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点E．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为（    ） A．5 B． C．7 D． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，已知，则与的面积比是 ． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则 ． 13．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 14．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，点E是上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F．若，，，则的长度是 ，的长度是 ．    15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则 ； （2）连接，交于点，则 ． 16．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）在正方形中，点E是的中点，连接，过B点作交于点F， 连接，若 ， 则的长为 17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点K，则的最小值为 18．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长 ．（n为正整数） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，，点，分别在边，上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据你的作图结果，求证：． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于、两点，轴，垂足为．   (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧的点，且满足． ①求点的坐标； ②过点作轴，垂足为，判断以点，，为顶点的三角形与是否相似，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，． (1)求证：平行四边形为菱形； (2)求的值； (3)若，，求平行四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·四川成都·期中）在四边形中，，且．将绕点A顺时针旋转一定角度得线段，点E在四边形内部，连接，，连接并延长交于点F． (1)如图1，若，过点A作延长线的垂线，垂足为G，求的度数； (2)如图2，若E为的中点，求的值； (3)如图四：若，连接并延长交于点G，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D A B A B B C 1．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等角对等边，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由角平分线得，结合平行线的性质得，进而得，证明，得，，进而得，代入即可得解． 【详解】解：∵平分，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 3．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，首先设点的坐标为，则有，，根据相似三角形对应边成比例列出关于的分式方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解， 点的坐标为， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．首先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，进而可以解决问题． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7．A 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确的作出辅助线，技巧性较强． 延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据菱形的面积，求出的面积，然后可得出的面积． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵点F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点是中点， ∴， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴的面积为6， ∴的面积为， 故选：A． 8．B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，过点D作于N，过点B作于M，则，，证明得到，再证明求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M， ∵，与之间的距离为3，与之间的距离为7， ∴与之间的距离为4， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 10．C 【分析】过点P作交于点M，根据正方形的性质，三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点P作交于点M， ∵正方形中，对角线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，即：相似三角形的面积比等于相似比的平方．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．根据题意求出相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用因式分解化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵为的边长，则都为正数， ∴， ∴， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查翻折变换，相似三角形的判定与性质．首先根据等边对等角及翻折的性质、平行线的性质得出，从而判断出，根据相似三角形对应边成比例得出，再进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平面直角坐标内点的坐标，勾股定理， 根据点A和点的坐标，结合，可得，再作轴，作轴，可知，，根据勾股定理求出，然后证明，可得，可求出，再根据勾股定理求出，进而求出，最后根据点在第四象限得出答案． 【详解】∵点A的坐标是，点的坐标是， ∴． ∵， ∴． 如图所示， 过点B作轴，过点作轴， ∵点B的坐标为，点A的坐标是， ∴，， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14． 【分析】先证明，得出，则，求出，再由勾股定理求得，即可由勾股定理求得的长；然后连接，证明，得出，再由求解． 【详解】解：是的直径， ， ∵是的直径，是的切线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 解得：或(不符合题意，舍去)， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：； 如图所示，连接，   ， ， ，， ， ， ； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 15． / 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示：    ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 如图：过点D作交于M，先证明，再结合已知条件可得，再证明可得，进而说明垂直平分，即，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点D作交于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和和中， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据抛物线函数解析式求出坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交直线于点，根据三角形相似可得，根据二次函数求出的最大值，从而求出答案． 【详解】解：过点作轴交直线于点， 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 设解析式为 则 的解析式为： 轴 ， 设点 纵坐标相等， 当时， 解得 当时，有最大值为 则有最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 18． 【分析】由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，再由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图（2）四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形的边长为：， 第4的个正方形的边长为：， ..... 第n个内接正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质及规律的探索，解题的关键是得出规律． 19．(1)尺规作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图作角平分线的步骤、角平分线的性质、外角、相似三角形的证明等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答本小题即可； （2）先求出，然后证明出，进而可证得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作． （2）解：平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 20．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2)2或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； (2)直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， （2）解：， 由(1)知，， 即， 或4， 答：或4． 22．(1) (2)①②相似，理由见解析 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，以及相似三角形的判定与性质． （1）用待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解；②由，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令则；令则，解得，； ∴点A、B的坐标分别为：， 当时，，则， 点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； （2）①设点， 则， 则， 即点； ②以点M，E，F为顶点的三角形与相似，理由： ∵， ∴ 由勾股定理得, 由①得，点、点， ∴ ∴    则， ∴， 又 ∴， ∴以点M，E，F为顶点的三角形与相似． 23．(1)见解析 (2) (3)平行四边形的面积为． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定可证得结论； （2）利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设，则，，则有，进而求解即可； （3）设，则，利用勾股定理列方程求解x值，再根据、，进一步计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：∵平行四边形对角线的交点为O， ，，， ， ， ∵P为的中点， ， 设， 则，， ， 解得：， ， ， ； （3）解：设，则，， 在中， ， 在中， ， ， 解得：负值舍去， ，， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 24．(1) (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到全等三角形的性质，从而得到，然后利用全等三角形的判定与性质即可求解； （2）由点E向作垂线，垂足为M，向作垂线，垂足为N，由A点向的延长线交于G点，证明，得到，即可解答； （3）由点E向，作垂线，垂足为M，N；由A向作垂线，垂足为H；由G向下作垂线，垂足为I；连接，设，，，证明，相似比为，从而根据线段成比例，求解的长度． 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转一定角度得线段， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由点E向作垂线，垂足为M，向作垂线，垂足为N，由A点作的垂线，交的延长线交于G点，如图， 设，， ∵，， ∴， 同理， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，由点E向，作垂线，垂足为M，N，由A向作垂线，垂足为H，由G向下作垂线，垂足为I，连接， 设，，， 由题意可知，，， 则， ∵， ∴A，D，E，H四点共圆， ∴， ∴，相似比为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$