专题01 菱形的性质与判定（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，分10类常考题型系统训练，从性质应用到判定综合，覆盖中考高频考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10题型（含30+例题）|性质应用（角度/长度/面积/动点）、判定（添条件/作图/多结论）|从性质到判定，基础应用到综合证明，形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3类（选择/填空/解答）|跨知识点综合题、实际应用与探究题|深化性质与判定的综合运用，提升空间观念与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01菱形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用菱形的性质求角度（重） 题型2利用菱形的性质求长度（重） 题型3利用菱形的性质求面积（高频） 题型4利用菱形的性质求解动点问题（重） 题型5利用菱形的性质证明和求解综合问题（难） 题型6添一个条件使四边形是菱形（重） 题型7利用菱形的判定与性质求解（难） 题型8利用菱形的判定与性质多结论性问题（难） 题型9利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）（重） 题型10利用菱形的判定与性质解决综合性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用菱形的性质求角度 1,(25-26八年级下·黑龙江七台河期末)如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE E,若∠A=126°，则∠BEC= 2.(25-26八年级下重庆期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交 且DB=DE,若∠ADE=21°，则∠ABD=」 1/13 上好每一堂课 ⊥BC交对角线BD于点 于点O,点E在边AB上， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下海南省直辖县级单位期末)如图，菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点，且 ∠B=∠EAF=60°，若∠DAF=35°，则∠CFE的度数为 ◆题型2利用菱形的性质求长度 4.(25-26八年级下辽宁大连期末)在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，若AC=8,BD=6,则边 AB的长度为 5.(25-26八年级下陕西榆林·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，对角线AC、BD 相交于点O,点E为线段AO上一点，点F为线段CO上一点，连接BE、BF,若OF=2,∠EBF=90°， 则OE的长为 B D 6.(25-26八年级下·山西临汾·期未)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着 人们对美好生活的祈盼.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AB=I5,AC=18,则 菱形ABCD的高AE为 ◆题型3利用菱形的性质求面积 7.(25-26八年级下山东聊城期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，若 BD=12,EF=4,则菱形ABCD的面积为」 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8. (25-26八年级下·云南昆明期末)如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形 ABCD.测得此菱形的对角线AC=8cm,BD=14cm,则这个菱形的面积为 cm 9.(25-26八年级下·北京通州期末)教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着 对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根 据图2，图3中给出的数据，图1的菱形面积是 图1 图2 图3 ◆题型4利用菱形的性质求解动点问题 10.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，M、N分别是AD、 AC上的两个动点，则DN+MN的最小值为. 11.(25-26八年级下湖南张家界期末)如图，菱形ABCD,AB=8,∠D=60°，E是BC上动点，F是 CD中点，G,H分别是AE,BF中点，则菱形ABCD的面积为 ,GH最小值为 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G H B E 12.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA,EB为邻边 作平行四边形AFBE,若AB=10,AC=12,则EF的最小值为， D ◆题型5利用菱形的性质证明和求解综合问题 13.(25-26八年级下·四川宜宾期末)如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作 AF‖BC,交BE的延长线于点F,BF交AC于G,连接CF. B (I)若四边形ADCF是菱形，求证：△ABC是直角三角形： (2)若CG=6,求AG长， 14.(25-26八年级下广东汕头·期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点H,E为对角 线BD上一点，且AE=DE,连接CE. D E H B (I)求证：CE=DE. (2)当BE=4,CE=2时，求菱形的边长， 15.(25-26八年级下浙江杭州期末)在菱形纸片ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得 △FBE,点A的对应点F落在CD边上. 4113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D E (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠A=70°，求∠ABE的度数： (②)如图2，连接AC,若AB=BE,求证：EF‖AC: (3)如图3，若F是CD的中点，求DE:DF的值 ◆题型6添一个条件使四边形是菱形 16.(25-26八年级下·北京石景山期末)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,B0=DO 只需添加一个条件即可证明四边形ABCD是菱形，这个条件可以是 (写出一个即可)· 17.(2026四川凉山中考真题)四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O,且满足A0=C0,请添 加一个适当的条件：，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可） 18.(25-26九年级上：广东深圳期中)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC 上，且AE=CF,添加一个适当的条件，使四边形BEDF是菱形，这个条件可以是一.（填一个正 确条件即可) 刀 ◆题型7利用菱形的判定与性质求解 19.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，以∠M0N的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交∠MON的两边于点A,B;分别以A,B为圆心，OA(或OB)长为半径作弧，两弧相交于点P(非 点O);作射线OP,交前面弧于点D,连接AD,若∠POB=32°，则∠PAD的度数为 M D B 20.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧， 交4D于点F,再分别以点B,P为圆心，大于2BF为半径作弧，两弧交于点G:射线4G交BC于点E: 若BF=10,AB=6,则AE的长为 B G 21.(25-26八年级下·江苏泰州期末)如图，在四边形ABCD中，AB=DC=6,E,F分别是AD,BC 的中点，G,H分别是对角线BD,AC的中点，顺次连接E,G,F,H,则四边形EGFH面积的最大值为 ◆题型8利用菱形的判定与性质多结论性问题 22.(25-26八年级下江苏宿迁期未)如图，菱形ABCD的边BC在直线上，AB=4,∠ABC=45°，点 P是直线l上的动点，下列结论：①菱形ABCD的周长为16；②菱形ABCD的面积为4W2;③ AC2+BD2=32;④AP+PD的最小值为4V5,其中正确结论的个数为() 6113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.(25-26八年级下山东临沂期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠A=60°，E是线段AD上的动 点（不与点AD重合），连接BE,作射线BF,交线段CD于点p,且使∠EBF=∠ABC,给出下面 四个结论： ①BE=BF;②DE+DF=2W3;③E、F两点间的距离的取值范围是1≤EF<2;④连接EF,则△EBF 3V3 面积的最小值为4· 上述结论中，正确结论的序号是() D A.①②③ B.①②④ C.②③ D.①④ 24.(24-25九年级下·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD边 的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF,FG与CD交于点 H有下结论：QC309:2CEc:回FH2；@S=上5，上述结论印 3 其中结论正确() D E A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ ◆题型9利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(25-26八年级下·河北保定期末)如图，己知菱形ABCD,连接AC. B D (I)实践与操作：利用尺规作四边形ABFC,使得四边形ABFC为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图 痕迹，不写作法)； (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接AF,若AB=5,AC=8,求△ABF的面积. 26.(25-26八年级下·福建莆田期末)如图，在△ABC中，AC=BC,CD平分∠ACB,交AB于点D, AE是△ABC的中线，交BC于点E. B ①尺规作图：在4C边上作出点pP,使得4F8C；(保留作图痕迹，不写作法) 2 (②)在(1)的条件下，连接DE,EF,若AE=V3DF,求证：四边形ADEF是菱形. 27.(25-26八年级下·广东深圳期末)在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=6,BD=8 图1 图2 (I)请在BD上找一点E,使得AE=BE,要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 (2)在(I)的条件下，延长AE交BC于点F,如图2，求BF的长， ◆题型10利用菱形的判定与性质解决综合性问题 28.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，在△ABC中，过点A作AD1BC于点D，,在BC右侧作 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBE=∠ACB,BE交AD的延长线于点E,且BE=AC,连接CE. D (I)求证：四边形ABEC为菱形： (2)若AB=5,BC=25,求四边形ABEC的面积. 29.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长BC到E,使CE=BC 连接AC、DE. D 图1 图2 (I)判断四边形ACED的形状，并说明理由. (2)如图2，若CD平分∠ACE ①求证：四边形ACED是菱形： ②若AB=8,BC=5,直接写出四边形ACED的面积 30.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长 线于点F,以EC、CF为邻边作ECFG. G (I)求证：ECFG是菱形. (2)当EF=√2CE时，判断四边形ECFG的形状，并说明理由. (3)若∠ABC=120°，AB=6,AD=8,直接写出四边形ECFG的面积. 9113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·陕西安康期末)如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE、DE, AE=AB,若LB=72°，则∠AED的度数为() D E C A.54° B.56° C.58 D.60° 2.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.下列结论不一定 正确的是() A D C A.AB=BC B.04=OC C.∠ABC=60° D.∠AOB=90° 3.(25-26八年级下·河北秦皇岛·期末)如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长 AB=30cm,∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积等于()cm2 A.450 B.450W2 C.450W5 D.900 4.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)小明利用菱形的性质与判定作∠AOB的平分线，作法如下：① 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D;②分别以点C,D为圆心，OC长为半 径画弧，两弧交于点E.则下列说法错误的是() B A.四边形OCED是菱形 B.OE平分∠AOB C.CE=DE=OC=OD D.OE=30C 二、填空题 5.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识ABCD,已知对 角线AC=4m和BD=9m,则这块警示标识的占地面积为m2. 6.(25-26八年级下广西南宁·期末)如图，将两张宽度均为2cm的纸条交叉重叠在一起，若∠DCE=60° 则AC的长为， 60° B 7.(25-26八年级下·河南安阳期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC0的边长为4，∠0AB=120° ,菱形BNB'M的顶点B是线段OB上一个动点（不与O,B重合），连接AB',当△OAB为直角三角形时， 点B的坐标为 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下北京东城期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4,E是AB的中点.点 F是线段BD上的动点，记线段EF的长为a,有以下三个结论： E B ①若F是线段BD的中点，则a=2: ②a的取值范围是1≤a≤2V7: ③若在菱形ABCD的内部存在点G,使得EG=EF,且∠GEF=90°，则a的取值范围是I≤a<2. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 9.(25-26八年级下广西南宁·期末)在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到 了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究. D C (I)已知口ABCD(AD>AB),点E,F分别在BC,AD上，利用尺规作图构造出菱形ABEF(要求：不 写作法，保留作图痕迹)； (2)根据你的作法，四边形ABEF是菱形的依据是 10.(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点F,点E是BC边 上一点，且BE=AF,连接EF. F D B E (1I)求证：四边形ABEF是菱形： (②)连接AC交EF于点H,若∠CHE=90°，EF=5,CE=8,求AC的长. 11.(25-26八年级下北京期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点B作 BE⊥BC交AC于点E,过点D作DF⊥BC交BC于点F,交AC于点G,连接DE、BG. 12/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G (1)求证：四边形EBGD是菱形： (2)若BE=2,BC=4,求菱形EBGD的面积. 12.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)在菱形ABCD中，点G在对角线AC上，点E、F分别在边 AB和AD上，连接EG,FG,且BE=DF. F F G B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EG=FG (2)如图2，延长EG交BC延长线于点K,连接FK交CD于点M,若M为CD中点，求证： AE+2FD=BK (3)如图3，在(2)的条件下，若AC∥FK,∠BAC-∠BKE=45°，AB=10,求四边形ACKF的面积. 13.(25-26八年级下吉林期末)【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PA0=∠B,AP,A0分别 交边BC,CD于点P,O B Q D D 图① 图② 备用图 (①)【感知】如图①，若点P是边BC的中点，小明经过探索发现了线段AP与A0之间的数量关系，请直接 写出这个关系为 (2)【探究】如图②，当点P为BC边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由： (③)【应用】若菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6cm,在BC边上取一点P,连接AP,在菱形 ABCD内部作∠PAQ=60°，Ag交CD于点Q,当AP=V30cm时，线段D2的长为 cm. 13/13的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01菱形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用菱形的性质求角度（重） 题型2利用菱形的性质求长度（重） 题型3利用菱形的性质求面积（高频） 题型4利用菱形的性质求解动点问题（重） 题型5利用菱形的性质证明和求解综合问题（难） 题型6添一个条件使四边形是菱形（重） 题型7利用菱形的判定与性质求解（难） 题型8利用菱形的判定与性质多结论性问题（难） 题型9利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）（重） 题型10利用菱形的判定与性质解决综合性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用菱形的性质求角度 1.63 2.67 3.35°35度 ◆题型2利用菱形的性质求长度 4.5 6.14.4 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3利用菱形的性质求面积 7.48 8.56 9.16 ◆题型4利用菱形的性质求解动点问题 10.V5 11.325 5 12.8 ◆题型5利用菱形的性质证明和求解综合问题 13. 【答案】(I)证明：：四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线， .AD=DC,BD=CD. .AD=BD=CD, .∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA. :∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA=180°， ∴.∠BAD+∠CAD=90°， 即∠BAC=90°， ∴.△ABC是直角三角形， (2)解：取BG中点M,连结MD,如图所示： M B C ,AD是△ABC的边BC的中线，则D是BC的中点， .DM是△BCG的中位线， :.∠EAG=∠EDM, 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是AD的中点， .AE=DE, 在△AGE和△DME中， [∠EAG=∠EDM AE=DE ∠AEG=∠DEM .AAGE≌△DME(ASA), .AG=MD=3. 14. 【答案】()证明：：四边形ABCD是菱形， .∠ABE=∠CBE,AB=CB, 在△ABE和△CBE中， AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE :△ABE≌ACBE(SAS), .AE=CE, AE=DE :.CE=DE (2)解：四边形ABCD是菱形， .AH⊥BD,BH=DH,AH=CH, .CE=DE=AE=2, .BD=BE+DE=4+2=6, :.BH-BD=3,EH-BE-BH=1' ..CH=CE2-HE2=3, .BC=BH2+CH2=23, 菱形的边长为23. 15. 【答案】(1)解：，四边形ABCD是菱形， ∴.∠A=∠C=70°，AB=BC,AD‖BC, 3/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠ABC=180°， ∠ABC=110°， ,将△ABE沿BE折叠得△FBE, .∠ABE=∠FBE,AB=FB, .AB=FB=BC, ∴.∠BFC=∠C=70」 :.∠FBC=180°-∠BFC-∠C=40° :.∠ABE=∠FBE=110°-40)=350， ∠ABE的度数为35°： (2)证明：：四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD=BC=AB,∠BAD=∠BCD 2D4C-080-2D)=0-D. ,将△ABE沿BE折叠得△FBE, ∴，∠ABE=∠FBE,AB=FB,∠AEB=∠BEF,∠BAD=∠BFE, .AB=BE, ∴.AB=BE=BF=BC, .∠BAD=∠AEB=∠BFE=∠BEF=∠BFC=∠BCD, .△ABE≌aCBF(SAS). .AE=CF, AD-AE=CD-CF,即DE=DF .∠DEF=∠DFE, 2DEr=080-∠D)=90-D. ∴.∠DAC=∠DEF, .EF Il AC: (3)解：如图，延长BCEF,交于点H, 4/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B :四边形ABCD是菱形， .AD=CD=BC,ADII BC. .∠AEB=∠CBE,∠DEF=∠H,∠EDF=∠HCF, ,将△ABE沿BE折叠得△FBE, ∴.AE=FE,∠AEB=∠BEF, ∴.∠AEB=∠BEF=∠CBE, .'BH=EH, ,F是CD的中点， .DF=CF, .△EDF≌aHCF(AAS). .EF=HF,DE=CH, AD=CD=BC=2m,DE =CH=n,DF =CF=m,AE=EF=HF=2m-n, .EH=2(2m-n）=4m-2n,BH=2m+n, BH EH, ∴.4m-2n=2m+n, .2m=3n, DE n 2 ∴DFm3' ·DE:DF的值为3： ◆题型6添一个条件使四边形是菱形 16.AO=CO(或OA=OC或ABICD或AD‖BC或AB=BC等) 17.OB=OD(答案不唯一) 18.DE=DF(答案不唯一) 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7利用菱形的判定与性质求解 19.42° 20.211 21.9 ◆题型8利用菱形的判定与性质多结论性问题 22.B 23.D 24.A ◆题型9利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 25. 【答案】(I)如图，四边形ABFC即为所求作的平行四边形， B F (2)解：连接BD交AC于点O,连接AF, D ,四边形ABCD为菱形，AB=5,AC=8, ∴.AO=CO=4,AC⊥BD 在Rt△ABO中，由勾股定理得： B0=VAB2-A02=V52-42=3, ,四边形ABFC是平行四边形， 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BF∥AC,BF=AC, ∴.△ABF与△ABC等底等高（高为BO),则面积相等. w=e=方x4Cx0-8x3=12 即△ABF的面积为12. 26. 【答案】(I)如图，点F即为所求： F B (2)证明：AE=V3DF, 设DF=k,AE=V3k, D 平分 B 的 C..AC=BC CD ∠ACB .AD=DB, AF=CF, :.BC=2DF=2k, :AE是中线， 六BE=EC=BC=k, ny .AC=BC=2k, .AC2=AE2+EC2, .∠AEC=90°，即AE⊥BC, .BE=EC, :AB=AC, .AB=AC=BC, 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC是等边三角形， D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， .AD=DE EF=AF, 四边形ADEF是菱形. 27. 【答案】(1)如图，点E即为所求， E 图1 (2)解：：四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD, 0-4c=3,80-90=4 ∠ABD=LCBD' .BC=AB=A02+BO2=5, 如图，作AQ⊥BC于点O, D B OHF SE形cD=)AC·BD=BCA0, 2 1 AC.BD 1 A0=2 ×6×824 2 BC 5 5 作EG⊥AB于点G,作EH⊥BC于点H,则EG=EH, 设AE=BE=x,则OE=4-x, 由勾股定理可得AE2=A0+OE2, x2=32+(4-x)}2, 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得空 BE=25 8, AE=BE,EG⊥AB, 8c-48-. EH EG=BE2-BG =15 8, S-A0-Fx4-号F,S=Sm+5m号4BBG+号ar-EH, 2 2 55 1 X5X15BEx15 28F 82 85 BF=125 39· ◆题型10利用菱形的判定与性质解决综合性问题 28. 【答案】(I)证明：，∠CBE=∠ACB, .BEI‖AC, 又：BE=AC, ∴四边形ABEC为平行四边形， 又：AD⊥BC,即AE⊥BC, ∴四边形ABEC为菱形： (2)解：四边形ABEC为菱形， 0-ac-5,40=4, 在RteADB中，由勾股定理，得AD=VAB2-BD=2V5, ..AE=2AD=45, 1 一S菱形ABEc=)BC·AE=20, 29. 【答案】(I)四边形ACED为平行四边形，理由： 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,即AD∥CE, CE=BC, .AD=CE, ∴.四边形ACED为平行四边形； (2)①证明：根据(1)可得四边形ACED为平行四边形， .ADCE ∴.∠DCE=∠ADC. :CD平分∠ACE, .∠DCE=∠ACD .∠ACD=∠ADC, .AC=AD. ∴.平行四边形ACED为菱形： ②解：如图，连接AE交CD于点O, D B 根据①可得四边形ACED为菱形， ..AE LCD,CO=-CD 2 AE=20E' ~四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=8, .C0=-CD=4 .CE BC=5, ..0E=CE2-CO2=3, .AE=2OE=6, 6×8=24 、菱形ACED的面积为 30」 【答案】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， 10/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD∥BC,AB∥DF, ∴.∠CEF=∠DAF,∠BAF=∠DFA, :AF是∠BAD的平分线， ∴∠DAF=∠BAF, ∴.∠CEF=∠DFA, :.CE=CF, ,四边形ECFG是平行四边形， .平行四边形ECFG是菱形： (2)四边形ECFG是正方形，理由如下： 由(1)知CE=CF, 在△ECF中，CE2+CF2=CE2+CE2=2CE2, EF =2CE, .EF2=2CE2, ∴.CE2+CF2=EF2, ∴△ECF是直角三角形，且∠ECF=90°， :四边形ECFG是菱形， ∴.四边形ECFG是正方形： (3)解：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=8.ADIl BC, .·∠DAE=∠AEB 由(I)知，∠DAE=∠BAE, ∠AEB=∠BAE, .BE =AB=6, ∴CE=BC-BE=8-6=2 由(1)知，四边形ECFG是菱形， ..CF=CE=2, 过点E作EH⊥CD于点H, 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H F:.∠EHC=90 AB∥DC, .∠DCE=180°-∠ABC=180°-120°=60°， 在RtEHC中，∠CEH=90°-∠ECH=90°-60°=30°， :.CH=CE=1x2=1, 2 .EH=VCE2-CH2=V22-1?=V5, .四边形ECFG的面积为S=CF×EH=23 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.A 2.C 3.C 4.D 二、填空题 5.18 4 3cm 6.3 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.（-25,0)或 5 8.①②1②① 三、解答题 9 【答案】(1)如图， A D B E C (2)邻边相等的平行四边形是菱形. 【详解】(I)在BC上取点E使得BE=AB,在AD上取点F使得AF=AB,连接EF,则四边形ABEF 是菱形 (2)解：依据如下： 由点E,F的取法可知AF=BE, 四边形ABCD是平行四边形， .AF∥BE, ∴四边形ABEF是平行四边形， 又：AB=AF, 四边形ABEF是菱形. 10. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ADI‖BC, .BE=AF, “.四边形ABEF是平行四边形， 又：AD‖BC, .∠AFB=∠CBF, ,BF是∠ABC的平分线， .∠ABF=∠CBF, .∠ABF=∠AFB, .'AB=AF, 13/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形ABEF是菱形. (2)解：由(1)已证：四边形ABEF是菱形， ∴.AB∥EF,AB=BE=EF, .EF=5,CE=8, .AB=5,BC=BE+CE=EF+CE=13. 又，AB∥EF,∠CHE=90°， .∠BAC=∠CHE=90°」 在Rt△ABC中，AC=VBC2-AB2=V132-52=12 11. 【答案】(1)证明：~四边形ABCD是菱形， .BD⊥AC,OB=OD BE⊥BC,DF⊥BC, ,BE∥DF, .∠BEG=∠DGE, ∠BOE=∠DOG, :△BOE≌aDOG(AAS), .BE=DG. ∴.四边形EBGD是平行四边形， BD⊥AC, ∴四边形EBGD是菱形： (2)解：BE=2,BC=4,BE⊥BC, :CE=VBE2+BC2=V22+4?=2V5, ·CE⊥BD 5m2C6-08=386C,即x250B-×2x4, 1 OB=45 5 .BD=20B=85,0E=VBR-08-,2:45 25 5 5 5 :BG=20E=45 5, 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 菱形FBGD的面积为2EGBD5x4V5x8V5-16 2x5x5=5 12. 【答案】(I)证明：在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC,AB=AD, .:BE =DF, .AE=AF, .AG=AG. .△AEG≌△AFG(SAS). ..EG=FG (2)证明：在菱形ABCD中，AD‖BC,AB=BC, M为CD中点， .DM=CM. DF∥CK, .∠FKC=∠DFK ·.'∠CMK=∠FMD :.△FMD≌△CMK(AAS), .FD=CK ·.·BC+CK=BK, .AB+FD=BK AE+BE+FD=BK. BE =FD. ∴.AE+2FD=BK. (3)解：如图，取AC中点O,连接E0,连接EF交AC于点N, .'∠BAC-∠BKE=45°，∠BAC=∠BCA, ∴.∠AGE=∠CGK=∠BCA-∠BKE=45 由(1)知△AEG≌△AFG, .∠AGF=∠AGE=45°， 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EGF=90°， 由(I)AE=AF,∠BAC=∠DAC, .EF⊥AC,EN=FN, ∴.△ENG和△FNG均为等腰直角三角形，EN=NG :AC‖FK,AF IICK, 四边形ACKF为平行四边形， 六AF=CK=DF=AE=BE= 2B=5, E为AB中点， P∥BC,EO=二BC=AE=CK=5,AN= .'∠EGQ=∠CGK,∠QEG=∠GKC. .aEQG≌aKCG(AAS), 0c=6c-c0-0=N=0-w, 在RtAEN中，∠ANE=90°，EN=2AN, .AE2=AN2+EN2=25, .AN=V5,EN=NF=2√5，AC=45, ∴S四边形4CKr=AC.FN=4V5×2V5=40」 13. 【答案】(1)解：连接AC,如下图所示： B A C 9 D ,四边形ABCD为菱形，且∠B=60°， .∠BAD=120°，∠D=60°. :AC为菱形的角平分线， ∴.∠BAC=∠DAC=60°」 故△BAC与△DAC为等边三角形， 即BA=AC=AD 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P为BC中点，∠PAQ=∠B=60°」 故AP平分∠BAC, ∴.∠BAP=∠PAC=∠CAQ=∠QAD=30° 在△ABP和△ADQ中， ∠B=∠D AB=AD ∠BAP=∠QAD '△ABP=△ADQ(ASA)」 ∴.AP=AQ (2)(2)成立，理由如下： 连接AC,如下图所示： B D 由(I),同理可得△BAC与△DAC为等边三角形， .AC=AD,∠PCA=∠D :∠PAQ=∠CAD=60° .∠PAC+∠CAQ=∠DAQ+∠CAQ=60° ·.∠PAC=∠DAQ 在△PAC和△QAD中， ∠PCA=∠D AC=AD ∠PAC=∠DAQ .△PAC=aOAD(ASA)」 ∴.AP=AQ (3)解：过点A作AE⊥BC交BC于点E,连接AC, 当点P在点E上方时，如下图所示： 17/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由()(2)得PC=D0,E为BC中点， BC=AB =6cm, .BE=CE=3cm 由勾股定理得AE=√AB2-BE2=3V3cm, AP=30cm, ..PE=AP2-AE2 =3cm. 故PC=CE+PE=3+V5(cm). ∴.DQ=PC=3+V3(cm) 当点P在点E下方时，如下图所示： B -- OD 同理可得PE=√5cm, 故PC=CE-PE=3-V5(cm)」 .Dg=PC=3-V3(cm)」 综上，D0的长度为3+V5(cm)或3-V3(cm). 18/18 专题01 菱形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用菱形的性质求角度（重） 题型2 利用菱形的性质求长度（重） 题型3 利用菱形的性质求面积（高频） 题型4 利用菱形的性质求解动点问题（重） 题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题（难） 题型6 添一个条件使四边形是菱形（重） 题型7 利用菱形的判定与性质求解（难） 题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题（难） 题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）（重） 题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用菱形的性质求角度 1．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 【答案】63 【分析】根据菱形的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，菱形，E、F分别为、上的点，且，若，则的度数为________． 【答案】/35度 【分析】连接，先得出，，再证出，则，进而可得是等边三角形，则，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型2 利用菱形的性质求长度 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，再用勾股定理计算边长． 【详解】解：设，交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，由勾股定理得． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点为线段上一点，点为线段上一点，连接、，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】设，在和中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即的长为． 6．（25-26八年级下·山西临汾·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． ◆题型3 利用菱形的性质求面积 7．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 【答案】48 【分析】根据中位线定理求得，则菱形面积即可求． 【详解】解：在菱形中，，分别为，的中点，若，， ∴, ∴． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入已知数据计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， 这个菱形的面积 ． 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． 【答案】 【分析】设直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据题意列出二元一次方程组，求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵如图，根据裁剪，得到四个全等的直角三角形，设直角三角形的短直角边为，长直角边为， 据题意，，解得， ∴菱形面积为． ◆题型4利用菱形的性质求解动点问题 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】连接、、，作于点，由菱形的性质容易证明，则，因此．由线段公理可得，当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 11．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为_________，最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，，取中点，连接，过点作于点，根据菱形的性质可得，即可求出，，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”得到菱形的面积为，易得点G的轨迹是定线段，将求最小值转化为求的值即可． 【详解】解：连接，交于点，连接，，取中点，连接，过点作于点， ， 四边形为菱形， ，，，，，，， ，， 在中，，， ， ， 是中点，，分别是，中点，是中点，，， ，，，，，， 、G、O三点共线，即，，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当G与N重合时，最小，值为． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． ◆题型5 利用菱形的性质证明和求解综合问题 13．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． (2)3 【分析】（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， 是的中点， ， 在和中， ， ∴． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． (1)求证：． (2)当，时，求菱形的边长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论； （2）先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， ， 菱形的边长为． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】由四边形是菱形，则，，，所以，通过折叠性质可知，，所以，根据等边对等角得，所以，最后由角度和差即可求解； 由四边形是菱形，则，，所以，由折叠性质可得，，，，证明，所以，可得，则，得，所以，通过平行线的判定方法即可求证； 延长，交于点，证明，所以，，设，，则，，则有，，求得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）略； （3）解：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． ◆题型6 添一个条件使四边形是菱形 16．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 17．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型7 利用菱形的判定与性质求解 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，， ∴四边形是菱形，且是菱形的对角线， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【答案】 【分析】设交于点． 根据作图痕迹可知，， 结合平行四边形性质证明四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ∵在中，，， ， ． 21．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线可得，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使四边形的面积最大，则需满足， ∴四边形面积的最大值为． ◆题型8 利用菱形的判定与性质多结论性问题 22．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵， 菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 23．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质、勾股定理，逐一判断各个结论的正误． 【详解】解：连接， 在菱形中，，， 则，，， ∴和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确， ， 故结论②错误， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 当点无限接近时，趋近于，但不与重合， ∴， 当时，最小， ∴，， ∴， ∴， 故结论③错误， ∵是等边三角形，设的边长为，作， ，， ∴， ∴， 当的边长取最小值时，即时，最小，最小值为， 故结论④正确． 24．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在菱形纸片中，，点是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为与交于点，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，其中结论正确（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，根据以上性质逐一判断即可，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 和是等边三角形， 是边的中点， ， 将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 如图，设与交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故③正确； 如图，过作于， ， ，， ， ， ， ， ，故④错误， 故选：A． ◆题型9 利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 25．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，已知菱形，连接． (1)实践与操作：利用尺规作四边形，使得四边形为平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)如图，四边形即为所求作的平行四边形， (2)12 【分析】（1）如图，以B为圆心、长为半径画弧，再以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F，依据“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定方法尺规作图； （2）先由菱形性质结合勾股定理算出对角线一半长度，求出面积，再利用平行线间距离相等得到与面积相等． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点，连接． ∵四边形为菱形，，， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ，， 与等底等高（高为），则面积相等． ．   即的面积为12． 26．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，，平分，交于点，是的中线，交于点． (1)尺规作图：在边上作出点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，．若 ，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)证明：， 设，， ，平分， ， ， ， 是中线， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ，，分别是，，的中点， ，， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再证明△是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 27．（25-26八年级下·广东深圳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，，． (1)请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧交于点、，作直线交于点，连接，点即为所求； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可得，作于点，由菱形的面积公式计算可得，作于点，作于点，则，设，则，由勾股定理可得，求出，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， 如图，作于点， ∵， ∴， 作于点，作于点，则， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型10 利用菱形的判定与性质解决综合性问题 28．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又，即， 四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）利用菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 29．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是平行四边形，延长到，使，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图，若平分． ①求证：四边形是菱形； ②若，，直接写出四边形的面积________． 【答案】(1)四边形为平行四边形，理由： 四边形是平行四边形， ，即， ， ， 四边形为平行四边形； (2)①证明：根据（1）可得四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ∴， ， 平行四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到四边形为平行四边形； （2）①利用平行线的性质得到即可解答； ②连接，根据菱形的性质和勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，连接交于点， ， 根据①可得四边形为菱形， ，，， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， 菱形的面积为． 30．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． (1)求证：是菱形． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； (2)四边形是正方形，理由如下： 由（1）知， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是菱形， 四边形是正方形； (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线条件，推导，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）已知是菱形，结合的条件，对使用勾股定理逆定理，判断的度数，再根据正方形判定定理即可确定四边形形状； （3）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质推导，进而求出长，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出长，再利用勾股定理求出长，最后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）小明利用菱形的性质与判定作的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则下列说法错误的是（     ） A．四边形是菱形 B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的判定及性质和勾股定理判断即可． 【详解】解：由题意得，， ，故C正确； 四边形是菱形，故A正确； 平分，故B正确； 如图，连接，则、相互垂直平分， ，化简得， ， 这里不知道的度数，无法推出，即无法推出，故D错误． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识，已知对角线和，则这块警示标识的占地面积为_____． 【答案】18 【详解】解：菱形的面积为：． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明四边形是菱形，则可得是等边三角形，进一步即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴， 解得：， ∴. 7．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，菱形的顶点是线段上一个动点（不与O，B重合），连接，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出，分两种情况进行讨论求解．①当时，先求出，再运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标；②当时，设，则，同理运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴． ①当时， ∵，， ∴， ∵菱形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴ ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②/②① 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 三、解答题 9．（25-26八年级下·广西南宁·期末）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究． (1)已知（），点，分别在，上，利用尺规作图构造出菱形（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作法，四边形是菱形的依据是________． 【答案】(1)如图， (2)邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】（1）在上取点使得，在上取点使得，连接，则四边形是菱形． （2）解：依据如下： 由点的取法可知， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 10．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)12 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出即可； （2）先得出的长，进而可得的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 11．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，得到，，由，，得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，进而求出，，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，即， ， ，， ， 菱形的面积为． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在菱形中，，， ， ． ， ， ． (2)证明：在菱形中，，， 为中点， ． ， ． ， ， ．     ， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ，     由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，．   ，， ∴四边形为平行四边形， ，     为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 【答案】(1)； (2)成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1），同理可得与为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． (3)或． 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点A作交于点E，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，分当点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况进行讨论，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ． 为菱形的角平分线， ． 故与为等边三角形， 即． ∵点P为中点，， 故平分， ． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：过点A作交于点E，连接， 当点P在点E上方时，如下图所示： 由得，E为中点， ， ． 由勾股定理得， ， ． 故． ． 当点P在点E下方时，如下图所示： 同理可得， 故． ． 综上，的长度为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $