第五章 二元一次方程组（5核心+12题型+4难点+复习讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学二元一次方程组单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，分知识点构建“定义-解法-应用-函数关系”的完整体系，结合思维导图呈现概念、解法与一次函数的内在逻辑，突出代入消元法、加减消元法的适用场景及实际问题等量关系建立等核心内容。 讲义亮点在于分层练习设计，“要点速测”夯实基础，“迁移练”强化题型应用，如古代问题“林下牧童闹如簇”培养模型意识，错解复原题提升运算能力与推理意识。难点突破聚焦参数问题与新定义探究，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第五章 二元一次方程组 复习要点 1. 理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解的概念，能区分方程的解与方程组的解（公共解），并准确判断给定数值是否为方程（组）的解。 2. 掌握代入消元法和加减消元法，能区分两种方法的适用场景（系数为1选代入，系数相等或相反选加减），并能灵活选择最优解法求解。 3. 理解二元一次方程与一次函数的关系，能区分方程组解的情况与两条直线位置关系的对应（唯一解⇔相交，无解⇔平行，无数解⇔重合）。 4. 掌握用待定系数法通过图象上两点坐标确定一次函数表达式的方法。 5. 掌握列二元一次方程组解决实际问题的完整步骤（审、设、找、列、解、验、答），能从实际问题中找出两个等量关系建立方程组模型。 复习重难点 重点：二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），以及利用二元一次方程组解决实际问题。 难点：从实际问题中准确抽象出两个等量关系，建立方程组模型并检验解的合理性；以及方程组与一次函数关系的灵活运用，包括利用图象法求交点坐标和判定方程组解的情况。 知识点 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点速测 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故A错误； 对于选项B：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故B错误； 对于选项C：符合二元一次方程的定义，故C正确； 对于选项D：是分式，不符合二元一次方程的定义，故D错误． 2．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 3．（25-26七年级下·北京·期末）已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（     ） A．19 B．29 C． D．1 【答案】C 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 4．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 知识点 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 要点速测 5．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）解方程组： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②，得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 故原方程组的解为 （2）解： ，得 ，得 ，得 把代入①，得 解得 故原方程组的解为 6．（25-26八年级上·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3) 解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）略 （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 知识点 二元一次方程（组）的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 要点速测 7．（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． 知识点 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 要点速测 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知一次函数与（为常数，且）的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先利用交点P在已知解析式上求出点P的坐标，再根据一次函数与二元一次方程组的关系，即方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，得到最终结果． 【详解】解：∵一次函数与（为常数，且）的图象交于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， ∴关于的二元一次方程组的解是． 知识点 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 要点速测 9．（25-26八年级下·云南红河·期末）已知，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线交于点，直线与轴交于点 (1)求的解析式； (2)点在上且在轴上方，若的面积为6，求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1） 使用待定系数法，把直线上两个已知点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可； （2）先求出交点的坐标，算出的面积，根据相对于的位置分两类，利用共底三角形面积差表示的面积，列方程求解参数进而求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为（）， 将，代入得， ， 解得，， 直线的解析式为． （2）解：设， ，，， ， ， ①当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，   ②当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 题型1 二元一次方程（组）的概念 ▌例1 （25-26七年级下·山东聊城·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 解题要点 1. **方程判定**：二元一次方程需满足①**含有两个未知数**；②**含未知数项的次数为1**；③**整式方程**。如 xy=1（次数为2）不是，1/x+y=2（分式）也不是。 2. **方程组判定与解**：方程组由两个二元一次方程组成。共解指**同时满足两个方程**的x、y值。验证时需代入两个方程均成立。注意化简后判断（如2x+y=x+1可化为x+y=1）。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·湖北武汉·月考）下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 题型2 二元一次方程（组）的解 ▌例2 （25-26七年级下·吉林长春·月考）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将选项中的值代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A、把代入方程，得，所以不是方程的解； B、把代入方程，得，所以是方程的解； C、把代入方程，得，所以不是方程的解； D、把代入方程，得，所以不是方程的解． 解题要点 1. **代入验证法**：将给出的x、y值分别代入每个方程，若**两个方程都成立**，则是该方程组的解；若仅满足一个，则不是。注意代入时需将x、y对应正确位置。 2. **由解求参数**：若已知方程组的解，将解**代入原方程组**，得到关于参数的方程（组），解出参数值。含参问题中，需检验解是否满足所有方程及隐含条件（如未知数系数不为0）。注意解的书写格式（用大括号联立）。 ▌迁移练2-1（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的概念． 将选项中的分别代入方程的左边，将计算结果与方程右边的值对比，相等则为解，否则不是，选出符合条件的选项即可． 【详解】选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，A不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，B不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，C符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，D不符合题意； ▌迁移练2-2（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·四川内江·月考）以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 题型3 解二元一次方程组 ▌例3 （江苏无锡市东林集团2025-2026学年七年级下学期4月期中学业质量测试数学试卷）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ①②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： （2）解： ②①得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 解题要点 1. **消元法选择**：代入法适用于一个方程已化为**x=…或y=…**形式；加减法适用于两方程中同一未知数系数**相等或互为相反数**。若系数为分数，先乘公倍数化整。 2. **规范求解验根**：消元后解一元一次方程求出一个未知数，再代入求另一个。将解代入原方程组**检验**，确保两边相等。注意符号（移项变号）和运算细节，结果用大括号联立表示。 ▌迁移练3-1（广西南宁市2024—2025学年下学期第二阶段素质评价试题七年级数学）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入①得， 所以原方程组的解为：； （2）解：， 由②得③， ③①得， 解得， 把代入①得， 解得 ， 所以原方程组的解为． ▌迁移练3-2（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由得，解得． 把代入得 解得． 原方程组的解为. （2）整理得 得，解得． 将代入得， 解得． 故原方程组的解为. ▌迁移练3-3（25-26七年级下·山东青岛·月考）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原方程组化简整理为标准形式，再用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组化简整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：整理原方程组，得 ， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解：整理原方程组，得 ， 由①②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 题型4 二元一次方程组-错解复原问题 ▌例4 （25-26七年级下·广东肇庆·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③    第一步 得：        第二步 将代入②得：．    第三步 所以该方程组的解是    第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第 步开始出现了错误，错误的原因是： ． (2)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)二，计算减法时没有把负号转变为正号 (2)解：得：③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【分析】（1）根据二元一次方程组的运算即可解答． （2）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （2）略 解题要点 1. **分析错因归位**：明确谁看错了哪个系数（如看错a），则他得出的解只满足**未看错系数**的方程。将错误解代入未看错的方程，建立关于参数的正确方程。 2. **联立正确方程求参**：分别对两个错解进行分析，得到关于参数的两个方程，联立求解即可复原原方程组。注意区分“看错”与“抄错”，解出参数后回代验证是否满足原方程。 ▌迁移练4-1（2026·河北·一模）下面是嘉琪解方程组的过程，老师判断后说其中有错误． 解： ，得，                         第一步 把代入①，得，          第二步 所以方程组的解为             第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； (2)在（1）的基础上，化简：． 【答案】(1) 从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下 ： ， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； (2) 【分析】（1）原解题过程第一步做减法时左边运算错误，重新计算即可得到正确结果． （2）把（1）得到的和的值代入原式，利用零指数幂的性质和完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：将代入得 原式 ． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 ▌迁移练4-3（25-26七年级下·广东肇庆·期末）老师留的作业中有这样一道解方程组的题：，小明同学完成的过程如下： ……………………………………第一步 得，……………………………………第二步 把代入得，……………………第三步 解得，…………………………………………第四步 则方程组的解为，……………………………第五步 (1)老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第________步开始出现错误． (2)请写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) ①②得 解得 把代入②得 解得 则方程组的解为 【分析】（1）第二步计算错误，应该结果为； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：小明同学的解答从第二步开始出现错误． （2）略 题型5 二元一次方程组中同解问题 ▌例5 （25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 解题要点 1. **联立不含参方程**：从两个方程组中各选一个**不含参数**的方程，联立成新方程组，解出x、y（公共解）。 2. **代入含参方程求参**：将求出的公共解代入**含参数**的方程中，建立关于参数的方程（组），解出参数值。注意若参数在两个方程中，需分别代入求解并验证一致性。结果需代入原方程组检验。 ▌迁移练5-1（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． ▌迁移练5-2（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． ▌迁移练5-3（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 题型6 构造二元一次方程组求解问题 ▌例6 （25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 解题要点 1. **找等量关系设未知数**：审题找出两个独立的等量关系，设两个未知数（如x、y），分别列出两个二元一次方程，组成方程组。 2. **解方程组验证实际**：用代入法或加减法解方程组，求出的x、y值必须**代入原方程验证**，并检验是否符合**实际意义**（如人数为正整数、长度为正数）。最后作答要带单位，注意解的取舍。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． ▌迁移练6-2（25-26八年级上·全国·课后作业）已知代数式，当时，它的值是；当时，它的值是17． (1)求的值． (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组和求代数式的值，掌握代入消元法与加减消元法及整体思想的应用是解题的关键． （1）将“值为-1，；时，值为”代入得方程组，即可解得答案； （2）用整体代入的方法可得答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ②，得．③ ①+③，得，解得． 将代入①，得，解得． （2）因为，所以． ▌迁移练6-3（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 题型7 二元一次方程组的应用之古代问题 ▌例7 （25-26七年级下·江苏泰州·期末）列二元一次方程组解决问题．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．求牧童多少人，竹竿多少根？ 【答案】 牧童7人，竹竿56根. 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组，进而即可求解 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为 解得：， 答：牧童7人，竹竿56根 解题要点 1. **古文翻译建模**：将文言文描述转化为现代数学语言，抓住“共”、“盈”、“不足”、“相和”等关键词，设两个未知数列出两个等量关系，构造方程组。 2. **解方程验题意**：用消元法解出方程组，将解代入原题情景验证（如“人数为整数”、“物品数量为正”），结果需符合古代计量单位（如“钱”、“石”）。注意古文中“之”、“其”指代的对象。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”．每头牛、每只羊各值多少“金”？ 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得： ，解得：； 答：每头牛值金两，每只羊值金两． ▌迁移练7-2（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． ▌迁移练7-3（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 题型8 二元一次方程组的应用之几何问题 ▌例8 （25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 解题要点 1. **根据几何性质列方程**：利用几何公式（如周长、面积公式）或图形性质（如长与宽的关系、角度互补）找出两个等量关系。设未知数表示边长、角度等，构造二元一次方程组。 2. **解方程验几何条件**：用消元法求解，将解代回几何条件验证（如边长是否为正、角度是否在合理范围）。注意单位统一，结果需满足图形存在性（如三角形两边之和大于第三边）。 ▌迁移练8-1（25-26七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 【答案】(1)木箱的体积为立方厘米 (2) 【分析】（1）先表示出甲乙丙三块木板面积，再由题意列二元一次方程组求解即可； （2）由木板的利用率为，列出等式，恒等变形得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得甲块木板的面积为；乙块木板的面积；丙块木板的面积； 由题意可得， 整理得， 解得， 则木箱的体积为（立方厘米）， 答：木箱的体积为立方厘米； （2）解：由题意可得， 整理得， ∴， ∴． ▌迁移练8-2（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． ▌迁移练8-3（25-26七年级下·山东临沂·期末）项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1) 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个 (3)甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板 【分析】（1）分析两种无盖纸盒构造，数出各自所需长方形、正方形纸板数量填表； （2）设工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个，根据长、正方形纸板总量列二元一次方程组，求解得纸盒数量； （3）设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，结合总人数和竖横的配套比例列方程组，算出工人分配方案． 【详解】（1）解：据图可知，竖式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板，底面需要个正方形纸板， 横式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板和个正方形纸板，底面需要个长方形纸板． （2）解：设乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个， 根据题意可得， 解得， 故乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个． （3）解：设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 根据题意可得， 解得， 故甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板． 题型9 二元一次方程组的应用之销售问题 ▌例9 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 解题要点 1. **明确基本关系建模**：理清**单价、数量、总价**关系（总价=单价×数量），及**利润=售价-进价**、**利润率=利润/进价×100%**。设两个未知数列出两个等量关系，构造方程组。 2. **解方程验实际意义**：用消元法求解，将解代入原题验证（如单价为正数、数量为正整数）。注意打折时售价=标价×折扣率，结果需符合生活实际（如售价不能为负），最后作答要带单位。 ▌迁移练9-1（25-26七年级下·云南曲靖·期末）项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． ▌迁移练9-2（25-26七年级下·浙江衢州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 2025年12月31日“浙BA”城市争霸赛，衢州队vs丽水队在江山李宁体育馆公开售票，门票分优享座、超值座、亲民座三档，分别记作A，B，C．学生购票情况为：购买1张C档门票需要4元；购买1张A档门票和3张B档门票需要41元；购买3张A档门票和1张B档门票需要51元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 七（1）班组织40名学生观赛，每人1张门票． 问题解决： (1)求A档门票和B档门票的单价． (2)购买A档门票5张，B档门票15张，所有学生都手持一张门票，最少花费多少钱？ (3)若购票共花费300元，要求至少购买一张A档门票且赠送的C档门票全部用完，求出所有符合条件的购票方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是14元，B档门票的单价是9元 (2)265元 (3)设购买张A档门票，张B档门票，则购买张C档门票， 根据题意得： ， 又，，均为非负整数， 或或 ∴共有三种购买方案， 方案1：购买5张A档门票，22张B档门票，8张C档门票（赠送5张C档门票）； 方案2：购买10张A档门票，16张B档门票，4张C档门票（赠送10张C档门票）； 方案3：购买15张A档门票，10张B档门票（赠送15张C档门票） 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据优惠方案，且学生手持C档门票时，花费最少，列出算式进行计算即可； （3）设购买张A档门票，张B档门票，则购买张C档门票，由题意，列出方程，求出非负整数解即可. 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元． 根据题意得：， 解得： 答：A档门票的单价是14元，B档门票的单价是9元． （2）解：根据题意得：元． 答：门票至少需要265元． （3）略 ▌迁移练9-3（25-26七年级下·浙江杭州·期末）杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务． 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里． 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元． 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里． (1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少． 【答案】(1) 甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. (2) 方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 方案一：甲型20架，乙型1架，总费用为（万元）； 方案二：甲型12架，乙型4架，总费用为（万元）； 方案三：甲型4架，乙型7架，总费用为（万元）； ， 采购甲型4架，乙型7架时总费用最少. 【分析】 （1）设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元，根据给定的两种采购总价信息列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设采购甲型a架，乙型b架，根据总续航里程要求列等式，结合a,b为非负整数，找出所有可行方案，再分别计算各方案的总费用，比较后得到费用最少的方案. 【详解】（1） 解 ：设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元， 根据题意得，解得； 答：甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. （2）解：设采购甲型无人机架，乙型无人机架，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， ∴， 又∵均为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 故有三种方案：方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 略. 题型10 二元一次方程组的应用之方案问题 ▌例10 （25-26七年级下·云南曲靖·期末）某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 【答案】羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元 【分析】设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元， 根据题意，可得，解得， 答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元． 解题要点 1. **设列方程组**：审题弄清条件和要求，设两个关键量（如人数、单价、数量）为未知数。找出两个**等量关系**（如总量、总价），列出二元一次方程组。注意统一单位。 2. **解方程组与方案比较**：用消元法求解，验证解是否符合实际（正数、整数）。若题目要求选择最优方案，需在解的基础上，根据附加条件（如费用最少、效率最高）进行比较取舍，并清晰作答。 ▌迁移练10-1（25-26七年级下·四川广元·期末）为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． ▌迁移练10-2（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． (1)求绿萝、兰草每盆分别是多少元． (2)若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）． ①用含的代数式表示． ②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多． 【答案】(1)绿萝每盆元，兰草每盆元． (2)①；方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二购买的绿植总数量最多． 【分析】（1）设绿萝每盆元，兰草每盆元，列出方程，进行解答，即可； （2）①由题意可得，，化简式子，即可；②当元全部买绿萝，求出的取值范围，根据，均为偶数，分类讨论，的值，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设绿萝每盆元，兰草每盆元， ∴， 解得：， 答：绿萝每盆元，兰草每盆元． （2）解：①由题意可得，， 整理得，； ②结合总花费120元及的要求，可得， ∵，均为偶数 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆； ∵，，， ∴方案二购买的绿植总数量最多． ▌迁移练10-3（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． 题型11 二元一次方程组的应用之配套问题 ▌例11 （25-26七年级下·福建泉州·期末）七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 解题要点 1. **找配套比例列方程**：明确两种零件的配套比（如甲:乙=3:2），设每天生产甲x件、乙y件。根据**总量关系**和**配套比例**分别列方程，组成方程组。 2. **代入消元求解验整**：用代入法或加减法求解，检验x、y是否为**正整数**（零件数量必须为整数）。若需分配工人数，将产量换算成人数，按比例列式。结果需满足生产计划。 ▌迁移练11-1（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． ▌迁移练11-2（25-26七年级下·重庆万州·期中）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． ▌迁移练11-3（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． 题型12 二元一次方程组与一次函数问题 ▌例12 （25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，已知过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设直线的解析式为，先利用直线求出点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先根据直线和的解析式求出点和点的坐标，然后利用即可求出结果． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点在直线上， ∴在直线中，令，得：， ∴点为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴令，得：， ∴， ∵直线， ∴令，得：，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴，， ∴． 解题要点 1. **数形转化**：方程组中的每个方程对应一条直线，方程组的解即为**两直线的交点坐标**。解题时通过联立解析式或观察图象交点求公共解。 2. **图象法解方程组**：画出两直线图象，交点的横纵坐标即方程组的解。若两直线平行（k相等，b不等）则**无解**；若重合（k、b均相等）则**无数解**。代数法可验证图象法结果。注意交点坐标的准确性。 ▌迁移练12-1（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）相交于点． (1)求关于，的二元一次方程组的解； (2)若将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得交点P的坐标，则交点的横纵坐标即为该方程组的解； （2）先求得直线对应的函数解析式为，再根据平移规律“上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 点的坐标为， 关于，的二元一次方程组的解为； （2）解：将点代入，得， 解得， 直线对应的函数解析式为， 直线对应的函数解析式为，即． ▌迁移练12-2（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线，和变于点， ∴方程组的解为； （2）解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，，则， ∴， ∴． ▌迁移练12-3（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，且满足． (1)求直线的解析式； (2)直线与x轴交于点D，与直线交于点E，交的延长线于点F，且； ①求k的值； ②若过点D的直线与直线，直线不能构成三角形，请直接写出所有满足条件的n值． 【答案】(1) (2)①；②n的值为1或或6 【分析】（1）首先求出，，然后根据得到，然后利用待定系数法求解； （2）①首先求出．然后分别联立方程组求出点E和点F的横坐标，然后根据点D是的中点列方程求解； ②根据题意分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B ∴当时， ∴ 当时， 解得 ∴，即 ∴ ∴ 设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：①∵直线与x轴交于点D， ∴当时， ∴ 联立直线与得， 整理得， 解得 ∴点E的横坐标为， 联立直线与得， 整理得， 解得 ∴点F的横坐标为， 如图，连接， ∵ ∴，即点D是的中点 ∴ 解得； ②∵过点D的直线与直线，直线不能构成三角形， 当直线与直线平行时， ∴ ∴ 将代入得， 解得； 当直线与直线平行时， ∴ 将代入得， 解得； 当直线经过点时， 将代入得，； 综上所述，n的值为1或或6． 难点一 已知二元一次方程（组）的解求代数式的值 难点1：解的代入与隐含条件的挖掘** 将解代入原方程组可得到含参数的方程（组）。难点在于从多个方程中提取足够信息，尤其当参数多于方程时，需挖掘解本身的约束（如非零、整数性）来弥补条件不足，否则参数无法唯一确定。 难点2：整体化简替代冗长代入** 求出具体参数后，代入目标式需运算技巧。难点在于不盲目直接代入，而利用“整体代换”或“降次”简化目标式，学生易拘泥于解出每个参数再进行复杂运算，导致过程冗长易错。 难点精练 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知是方程的一组解，则______． 【答案】10 【分析】将方程的解代入原方程得到, 再对所求代数式变形, 整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于、的方程的一组解， 代入得：， ． 2．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·吉林四平·期末）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： (1)当时，方程组的解为__________； (2)当时，请求出的值； (3)请说明不论取什么有理数，的值始终不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将代入，通过加减消元法进行计算即可； （2）先求出关于的表达式，再进行计算即可； （3）通过化简即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故； （2）解：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故， ， ， 解得； （3）解：由（2）得， ， 故的值始终不变． 难点二 二元一次方程组中特殊解法问题 难点1：非常规形式的识别与适配** 当方程组含 + = c或 (x+y)整体出现时，需识别其对称性或比例关系，选择整体代入或换元简化。难点在于快速判断变形方向，若照搬常规消元则运算量大增。 难点2： 参数构造的等价性保障** 设参法（如令x = k a、y = k b）需确保参数设定不丢失原方程约束。难点在于保持变形前后的完全等价性，并利用新增参数统一消元，学生易因跳步或参数替换不当导致比例关系错位。 难点精练 1．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 2．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 3．（25-26八年级下·山东淄博·月考）解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， r， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 难点三 二元一次方程组中新定义型探究问题 难点1：新运算向标准方程组的等价转化** 新定义常构造“关联解”“共生系数”等非常规规则，需将其精准还原为含 \( x、y \) 及参数的线性方程。难点在于准确把握运算对整体结构的约束，若转化偏差则方程组模型失真。 难点2：新定义与解的条件互洽** 探究解的性质时，需将新定义与方程组的唯一解、无解、无穷多解判定相结合，通过系数比或代入分类讨论。难点在于兼顾新规则与参数范围的兼容性，分类极易遗漏边界情形导致解集不完整。 难点精练 1．（25-26七年级下·浙江金华·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即． 难点四 利用二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 难点1：方程与函数的等价转化衔接** 方程组可视为两个一次函数图象的交点。难点在于准确识别题目条件是更适合列方程组还是求函数交点，并灵活切换两种表征方式。学生常拘泥于代数解法，未能善用图象直观检验结果的合理性。 难点2：实际意义与数学解的双重约束** 求解后需将解代入实际问题背景进行检验（如数量非负、整数性、范围限制）。难点在于同时兼顾方程组的精确解与实际情境的约束条件，忽视任何一方都会导致答案不合现实逻辑，尤其在方案优化类问题中更需反复校核。 难点精练 1．（2026·贵州黔东南·二模）2024年，随着《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》等政策的出台，一系列优惠政策接踵而来．为此，某商场购进A，B两种型号的冰箱，据了解1台A型号冰箱、2台B型号冰箱进价共计9000元；2台A型号冰箱比1台B型号冰箱进价多500元． (1)求A，B两种型号的冰箱每台的进价； (2)由于需求不断增大，该商场准备购进两种型号的冰箱共100台，已知A型号冰箱的售价为2500元/台，B型号冰箱的售价为4100元/台，若购进A型号冰箱的数量不少于40台，设购进a台A型号冰箱，100台冰箱全部售完获利W（元），该商场应购进A，B两种型号的冰箱各多少台才能使W最大？W最大为多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为2000元，3500元 (2)A，B两种型号的冰箱分别购进40台、60台时W最大，W最大为56000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程组和函数关系式是解答的关键． （1）设A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为x元、y元．根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为x元、y元． 依题意得，解得． 答：A，B两种型号的冰箱每台的进价分别为2000元，3500元； （2）解：依题意得． ，， 当时，（元）． 即A，B两种型号的冰箱分别购进40台、60台时W最大，W最大为56000元． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元． (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台（），设销售这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式； ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元 (2)①（且为正整数）；②购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大 【分析】（1）设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元，根据题意建立二元一次方程组解决问题； （2）①设购进A型复读机a台，则购进B型复读机台，根据（1）的结论以及总利润等于每台复读机的利润乘以总数列出函数关系式； ②根据①的结论，以及一次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：设每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元， 根据题意，得：，解得， 答：每台A型复读机销售利润为元，每台B型复读机销售利润为元． （2）解：①设B型复读机购进a台，则购进A型复读机台，依题意得： ， 即， ∵ 关于a的函数关系式为：（且为正整数）； ②， ∵， 随的增大而减小， 又∵且为正整数 当时，取得最大值， 则购进A型复读机（台）， 答：商店购进A型复读机104台和购进B型复读机36台的销售利润最大． 3．（2025·河南·模拟预测）如图，是隐形第五代战斗机的模型．国庆节前夕，某商场购进A，B两种材质的模型共120架．已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元；购进4架A种模型和2架B种模型共需花费780元． (1)求A，B两种材质的模型每架的进价． (2)已知A，B两种材质的模型每架的售价分别为150元和200元．采购信息记录如下： 采购要求 A种模型数量m的范围为 采购优惠 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元 (2)当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用和一次函数的实际应用，理解题意列出二元一次方程组和一次函数表达式是解题的关键． （1）设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元，根据题意列方程即可； （2）设总利润为w元．根据m的取值范围分别列出w关于m的表达式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元． 根据题意，得， 解得 答：A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元． （2）解：设总利润为w元． 当时，， ， ∴w随着m的增大而减小． ∴当时，w最大，获得最大利润（元）． 当时，， ，w随着m的增大而增大． ∴当时， ∴w最大，获得最大利润（元）． ∵， ∴w的最大值为5360，此时（架）． 即当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元． 基础达标 一、选择题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 根据定义依次判断即可． 【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；   B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；   C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；   D、符合二元一次方程定义，故此选项正确． 故选D． 2．是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把代入各个选项的方程，验证即可． 【详解】解：A、把代入方程，得左边右边， ∴是方程的解； B、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； C、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； D、把代入方程，得左边右边， ∴不是方程的解． 故选：A． 3．若方程组的解与相等，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键． 根据题意可得，可求出x，y的值，再把x，y的值代入，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解与相等， ∴， 解得：， 把代入得： ， 解得：． 故选：C 4．已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（   ） A． B． C．4，5 D．5，4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由新定义得：，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由新定义，得 ①-②，得 解得： 把代入②，得 解得： ∴方程组的解为 故选： C． 二、填空题 6．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求出、的值后即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ， ， ． 故答案为：． 7．已知：，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，有理数的乘方运算，根据非负性，列出方程组，求出的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴； 故答案为：1． 8．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 9．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得， 令， 则化简为：， 方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴ ∴， 解得． 10.定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． 三、解答题 11．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用代入法进行求解即可； （2）先将原方程组变形为，再利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得，， 解得：， 将代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． 12．已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：解方程组，得． 所以， 解得：． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与交于点，直线与y轴的交点为B． (1)求直线与的解析式： (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【分析】（1）把点代入直线，确定b；把点，分别代入解答即可． （2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． 本题考查了运用待定系数法求直线解析式以及直线围成图形面积问题，勾股定理的逆定理，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， 解得， 故直线； 把点，分别代入，得， 解得， 故． （2）解：由，得， 由点，，得，， ， 故， 故是直角三角形， 故的面积为：． 14．茶叶促销活动前后，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同． A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元 (2)七折 (3)三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 【分析】（1）通过设A、B茶叶原价，依据打折前的销量与销售额关系以及A茶叶打折后价格和B茶叶打折前价格的关系列方程组求解． （2）设B茶叶折扣，根据打折后的销量与销售额关系列方程求解． （3）设购买A、C茶叶的数量，依据花费金额列方程，结合正整数条件确定购买方案． 本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系并列出方程（组）是解题的关键． 【详解】（1）解：设每两A茶叶的原价为元，每两B茶叶的原价为元， 由题意，得 解得 所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元． （2）解：设B茶叶打折销售， 由题意，得， 解得， 所以B茶叶打七折销售． （3）解：设王阿姨购买A茶叶两，C茶叶两， 由题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以可取 所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶． 能力进阶 1．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】解：∵， 解得． ∴． 点为和谐点， ∴，． 又， ∴． ∴， 故答案选：C． 2．已知关于x，y的方程组     给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可． 此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解． 【详解】解： 得：， 即， 把代入①得：， 当，即时，， 把代入， 此时， ∴，不是方程组的解；选项①错误； 假设x与y互为相反数，， 无解，选项②正确； 当时，代入，中， 解得， 代入中，成立， ∴也是方程的解，选项③正确； 由x与y都为自然数， ∴，都为自然数， ∴， 解得， ，为整数，故和为偶数， 为奇数， ∴， 自然数解有4对，选项④正确． ∴不正确结论的个数为1个； 故选：A． 3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：第一列与对角线上的三个数之和相等， ∴； 第二行与第三列上的三个数之和相等， ∴． 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 4．若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于s、t的二元一次方程组的解是． ∴． 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 5．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． （1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出； （2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 6．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___，__； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)，3， (2)见解析； (3)14； 【分析】本题主要考查了运用整体思想求代数式的值，解题的关键是找到合适的整体式子； （1）求时，可以把两个二元一次方程直接相减；求可以把两个二元一次方程直接相加，再化简即可解决问题； （2）要求不论a取什么实数，的值始终不变，即想办法把a消去，得到的式子可以保证的值不变； （3）先设出未知数，列出方程，再运用整体思想解决问题即可； 【详解】（1）解：∵， 得：， 得： 则； （2）解：， 得：③， ∴得： ， 故不论a取什么实数，的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元； 则 得：， ∴购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元. 7．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 (2)①；②10860元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； （2）解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 8．阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组 的解为_______． (3)在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程组即可； （2）仿照题意利用换元法解方程组得到的值，进而求出x、y的值即可； （3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴或． 9．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章二元一次方程组 复习目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解的概念，能区分方程的解与方程组 的解（公共解），并准确判断给定数值是否为方程（组）的解。 2.掌握代入消元法和加减消元法，能区分两种方法的适用场景（系数为1选代入，系数 相等或相反选加减)，并能灵活选择最优解法求解。 复习要点 3.理解二元一次方程与一次函数的关系，能区分方程组解的情况与两条直线位置关系的 对应（唯一解÷相交，无解÷平行，无数解台重合）。 4.掌握用待定系数法通过图象上两点坐标确定一次函数表达式的方法。 5.掌握列二元一次方程组解决实际问题的完整步骤（审、设、找、列、解、验、答）， 能从实际问题中找出两个等量关系建立方程组模型。 重点：二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法），以及利用二元一次方程组 解决实际问题。 复习重难点 难点：从实际问题中准确抽象出两个等量关系，建立方程组模型并检验解的合理性；以 及方程组与一次函数关系的灵活运用，包括利用图象法求交点坐标和判定方程组解的情 况。 理脉络 知识体系构建 1/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二元一次方程定义 二元一次方程组定义 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 代入消元法 解方程组方法 加减消元法 元 知识梳理 审题 消元时漏乘项 一 找等量关系 设未知数 代入时符号错误 次 二元一次方程组应用 易错点 列方程组 方程组解写错组 方 解方程组 实际应用设未知数不当 学法指导 检验作答 解方程组计算 组 定义 代入消元法应用 三元一次方程组 高频考点 解法 加减消元法应用 实际应用建模 过主千 核心内容整合 知识点 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫 「x+y=2, 做二元一次方程组.如：把x+y=2和xy=0合在一起写成 (x-y=0 3.二元一次方程（组）的解 (1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解， (2)二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 要点速测 2/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下·云南曲靖期末)下列方程中，是二元一次方程的是() 1 A.x2+y=5 B.xy-1=0 C.3x-2y=7 D. 二+y=2 2.(25-26七年级下河北保定·期末)下列方程组中，属于二元一次方程组的是（) x+y=1 y-2-2 x+y=2 y=4 x+y=2 A. B y=3 y=1 D x2-1=0 x=m 3.(25-26七年级下·北京期末)已知y=n是关于x、y的方程3x-2y-5=0的解，则代数式4n-6m+9 的值是() A.19 B.29 C.-1 D.1 x=2 4.(25-26七年级下河北廊坊期末)若y=1是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是() x-3y=5 y=x-3 2x-y=5 [x=2y A. 2x+y=5 B y-2x=5 C.x+y=1 D.x-1=3y 知识点 解二元一次方程组 (1)消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的 一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.像这种将未知数的个数由多化少、 逐一解决的思想，叫做消元思想. (2)代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. （3)加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法 3/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口要点速测 5.(25-26七年级下西藏昌都期末)解方程组： [3x-2y=5 (1)x-y=-1 2x+3y=12 (2)3x-2y=5 6.(25-26八年级上山西太原·期末)下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 的任务、 2x-y=6① 解方程组： 3x+2y=9② 解：①×2得： 4x-2y=6.③第一步 ②+③得：7x=15第二步 15 解得：x= 1 第三步 15 12 将x=气代入①，得：y= 1 第四步 .15 x21 所以原方程组的解为 12 第五步 y=- 7 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作 (填“加减消元法”或“代入消元法”)； (2)年年同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 (3)请写出正确的求解过程： (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提 一条建议： 4/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 二元一次方程（组）的应用 一。 解题步骤 1.审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系： 2.设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数： 3.列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程 步组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的： 4.解方程组： 5.检验：检验方程的根是否符合题意： 6.作答：检验后作出符合题目要求的答案. 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 利润 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率=成本×100 要点速测 7. (25-26六年级下·上海·期末)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工α吨原材 4a+1) 料，加工时间为 小时；B生产线共加工b吨原材料，加工时间为 2b+3)小时， (1)当a=b=1时，A生产线的加工时间是_小时，B生产线的加工时间是_小时： (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时 间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给 B生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相 同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则l和n的值分别为多少？ 知识点 二元一次方程组与一次函数的关系 5/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1)一元一次方程可转化为一般式：+b=0 2)一次函数为：y=kx+b的形式：当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直 线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解。 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 要点速测 1 8。(25-26八年级下陕西榆林期末)己知一次函数y=2x+2与y=-5(。为常数，且a≠0)的图象 *2 交于点P(m,3)则关于xy的二元一次方程组ax-y=5的解是 知识点 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1)两点法：设函数的解析式为：y=x+b,当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于 k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2)图形：观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 要点速测 9.(25-26八年级下·云南红河期末)已知，在平面直角坐标系中，直线： 线，y=2x+2与轴交于点4， 6/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线与直线5交于点8(4 ,直线与*轴交于点9 (3,0) y=2x+2 y=2x+2 B(1,4) B(1,4) 备用图 (1)求的解析式： (②)点M在上且在X轴上方，若△MMB的面积为6，求出此时点M的坐标： 研题型 高频题型突破 题型1二元一次方程（组）的概念 ■例1(25-26七年级下山东聊城月考)下列方程中，属于二元一次方程的是() A.x+y=2 x2+y=0 B C.y=2 D.x-y=22 解题要点 1.*方程判定*：二元一次方程需满足①*含有两个未知数*；②*含未知数项的次数为1*；③* 整式方程*。如xy=1(次数为2)不是，1/x+y=2(分式)也不是。 2.*方程组判定与解*：方程组由两个二元一次方程组成。共解指**同时满足两个方程*的x、y值。 验证时需代入两个方程均成立。注意化简后判断（如2x+y=x+1可化为x+y=1)。 迁移练11(25-26七年级下湖北武汉月考)下列方程：①4x+5=1:②3x-2y=1,③x-2=1:④ y+y=14 其中二元一次方程的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-2(25-26七年级下河南南阳月考)下列方程组中，是二元一次方程组的是() r+6=13@Jx+y=15 (11=3 一十 ② y-x=2 ③ x y /r-1 4y-3x= x+y=2 y=2 A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③ ■迁移练1-3(25-26七年级上山东济南期末)下列方程组中，是二元一次方程组的是() [x-2y=3 x=-3 xy=5 x-z=-2 A B L+1=5 C D x+4y=2 x y 3y+z=0 题型2二元一次方程（组）的解 例2(25-26七年级下吉林长春·月考)下列选项中，是二元一次方程x+y=7的解的是() x=-2 x=3 x=-1 「x=-2 A y=5 B y=4 C.y=7 D y=-5 解题要点 1. *代入验证法**：将给出的X、y值分别代入每个方程，若*两个方程都成立*，则是该方程组的 解：若仅满足一个，则不是。注意代入时需将x、y对应正确位置。 2.*由解求参数*：若已知方程组的解，将解*代入原方程组*，得到关于参数的方程（组），解出 参数值。含参问题中，需检验解是否满足所有方程及隐含条件（如未知数系数不为O)。注意解的书写 格式（用大括号联立)。 ■迁移练21(25-26七年级下河南周口月考)下列各组数中，是方程2x-y=5的解的是(）· x=1 x=2 x=3 x=4 A.y=3 B.y=1 y=1 D y=-3 x=2 】迁移练2-2(25-26七年级下·四川内江·月考)若y=-1是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为 8/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x+3y=5 2x-y=5 [x=2y x=y-3 A.x+y=1 B.x+y=1 C.x=3y+1 D.x+2y=5 [x=1 ■迁移练2-3(25-26七年级下·四川内江·月考)以y=2为解的方程组是() x-y=3 x-y=-1 A. 3x-y=1 B.3x+y=-5 x-3y=-3 x-y=-1 C.3x+y=-5 D.3x+y=5 题型3解二元一次方程组 ■例3（江苏无锡市东林集团2025-2026学年七年级下学期4月期中学业质量测试数学试卷）解下列方程 组： x+y=-4 (1)3x-y=8 [5x-2y=4 (2)7x-2y=8 解题要点 1.*消元法选择*：代入法适用于一个方程已化为*x=…或y=…*形式：加减法适用于两方程中同 未知数系数*相等或互为相反数*。若系数为分数，先乘公倍数化整。 2.*规范求解验根*：消元后解一元一次方程求出一个未知数，再代入求另一个。将解代入原方程组 *检验*，确保两边相等。注意符号（移项变号）和运算细节，结果用大括号联立表示。 ■迁移练3-1（广西南宁市2024一2025学年下学期第二阶段素质评价试题七年级数学）解下列二元一次方 程组： [y-2x=-5① (1)3x+4y=2②： 9/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-7y=0① x+y-y=1②. 2)26 】迁移练3-2(25-26七年级下·江苏南通期中)解方程组： [2x+3y=-7① (1)x-3y=8② x-1_y+1① 2 3 (2)2(x-y)=8-3y② ■迁移练3-3(25-26七年级下山东青岛·月考)解方程组 y-1=3(x-2) (1)y+4=2(x+1): [x+y+x-y=6 3 2 (2)3(x+y)-2(x-y)=28· 题型4二元一次方程组错解复原问题 4x+3y=5① ■例4(25-26七年级下广东肇庆·期末)下面是小华同学解方程组2x-y=-5②的过程，请你观察计算 过程，回答下面问题. 解：②×2得：4r-2y=-10③第一步 ①-③，y=15 得： 第二步 将y=15代入②得：x=5.第三步 10/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=5 所以该方程组的解是y=15 第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第步开始出现了错误，错误的原因是：一· (2)请你帮小华同学写出正确的解题步骤 解题要点 1.*分析错因归位*：明确谁看错了哪个系数（如看错），则他得出的解只满足*未看错系数*的 方程。将错误解代入未看错的方程，建立关于参数的正确方程。 2.*联立正确方程求参*：分别对两个错解进行分析，得到关于参数的两个方程，联立求解即可复原 原方程组。注意区分“看错”与“抄错”，解出参数后回代验证是否满足原方程。 x+y=2 ■迁移练41(2026河北一模)下面是嘉琪解方程组x-2y=-4的过程，老师判断后说其中有错误. x+y=2① 解：x-2y=-4② ①-② y=6 得 第一步 把y=6代入①，得x=-4, 第二步 x=-4 所以方程组的解为y=6 第三步 ()请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； (2)在(1)的基础上，化简： 2026-(2a+1)' ■迁移练42(25-26七年级下湖北荆州·期末)下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并 完成相应的任务： 3x-y=4① 解方程组： 6x-3y=10② 解：①×2，得6x-2y=8③第一步 11/38 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②-③ y=2 得 .第二步 将y=2代入①， 得x=2.第三步 [x=2 所以，原方程组的解为y=2.第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 以上求解步骤中，第一步的依据是 (2)第 步开始出现错误，具体错误是 (3)求出该方程组的正确解. 3x+2y=13 ■迁移练43(25-26七年级下·广东肇庆·期末)老师留的作业中有这样一道解方程组的题： 3x-y=7, 小明同学完成的过程如下： 3x+2y=13① 3x-y=7②…第-步 ①-②y=6 得 …第二步 把y=6代入②得3x-6=7,…第三步 13 解得x= 3, …第四步 13 x= 则方程组的解为y=6,…第五步 ()老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第 步开始出现错误. (2)请写出此题的正确解答过程。 题型5二元一次方程组中同解问题 x-a=y 2x+y=5 例5(25-26七年级下·山东聊城月考)已知关于x,y的方程组3x+2y=8与方程组x+by=10同解， 12/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则(a+b}= 解题要点 1.米*联立不含参方程*：从两个方程组中各选一个*不含参数*的方程，联立成新方程组，解出x、y (公共解)。 2.*代入含参方程求参*：将求出的公共解代入*含参数*的方程中，建立关于参数的方程（组）， 解出参数值。注意若参数在两个方程中，需分别代入求解并验证一致性。结果需代入原方程组检验。 ax+by=2 [x=2 ■迁移练5-1(25-26七年级下·福建泉州月考)已知方程组cx+d少=3的解是y=3,则方程组 a(x+2)+b(y-1)=2 c(x+2)+d(y-1)=3的解为 [3x-5y=36 ■迁移练5-2(25-26七年级下河南周口·月考)已知关于x,y的二元一次方程组bx+y=-8与方程组 [2x+5y=-26 ax-by=-4有相同的解. (1)求这两个方程组的相同解： ②求2a+b 的值。 3(2x+y)-2(x-2y)=26 ■迁移练5-3(25-26八年级上江西景德镇·期末)数学方法：解方程组：2(2x+y)+3(x-2y)=13,若设 [3m-2n=26 m=8 2x+y=8 2x+y=m,x-2y=n,则原方程组可化为2m+3n=13,解方程组得n=-1,所以x-2y=-1,解方程 x=3 组得y=2,我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法， 13/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ax+by=11 [x=5 (1)直接填空：已知关于x,y的二元一次方程组bx+ay=25的解为y=-1那么关于m、n的二元一次方 a(m+n)+b(m-n)=11 程组b(m+n)+a(m-n)=25的解为： x+y_x-y=2.5 2 (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 2(x+y)+x-y=6.5 ax+by=c x=6 (3)拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组a2x+by=c2的解为y=-3,求关于x,y的二元一次方 (2ax+3by=5c 程组2a2x+3b2y=5c2的解. 题型6构造二元一次方程组求解问题 1 1例6(25-26七年级下河南鹤壁月考)若单项式2x2”y与3y“是同类项，则m-n=一 解题要点 1.*找等量关系设未知数*：审题找出两个独立的等量关系，设两个未知数（如x、y),分别列出两 个二元一次方程，组成方程组。 2. *解方程组验证实际*：用代入法或加减法解方程组，求出的X、y值必须*代入原方程验证*， 并检验是否合*实际意义*（如人数为正整数、长度为正数）。最后作答要带单位，注意解的取舍。 【迁移练61（25-26八年级上全国课后作业)定义：数对任，川经过运算可以得到数对区，），记作 [x'=ax+by p(x,y)=(x,y),其中y=ax-by(a,b为常数).如当a=1,b=1时，p(-2,3)=(1,-5). (1)当4=26=1时，p0) 14/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （2若2,1)=(0，)，则a= b= 迁移练6-2(25-26八年级上全国课后作业)已知代数式r+by,当x=3,y=5时，它的值是-1；当 x=5,y=-1 时，它的值是17. (1)求a,b的值. (2)当4y-6x=3时，求代数式ar+by的值. 1迁移练6-3(25-26八年级上·陕西西安·月考)对于任意实数x、y,定义新运算：x#y=2x-y, x⊕y=2x+y x=1,y=2x#y=2×1-2=0,x⊕y=2×1+2=4 ·例如： 时， (1)若x#y=4,x⊕y=8,求x、y的值： x#y=4-m (2)若关于x、y的方程组x⊕y=5m(m为常数)的解也满足方程x+y=3,求m的值。 题型7二元一次方程组的应用之古代问题 1例7(25-26七年级下·江苏泰州期末)列二元一次方程组解决问题.有一首古算诗：“林下牧童闹如 簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有 多少人和竹竿.每人6竿，多14竿：每人8竿，恰好用完.求牧童多少人，竹竿多少根？ 解题要点 1.*古文翻译建模*：将文言文描述转化为现代数学语言，抓住“共”、“盈”、“不足”、“相 和”等关键词，设两个未知数列出两个等量关系，构造方程组。 2.*解方程验题意*：用消元法解出方程组，将解代入原题情景验证（如“人数为整数”、“物品数 量为正”)，结果需符合古代计量单位（如“钱”、“石”）。注意古文中“之”、“其”指代的对 象。 ☐迁移练7-1(25-26七年级下·黑龙江大庆期中)列方程组求解古算题： 15/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》）题目大意： 5头牛、2只羊共值10两“金”：2头牛、5只羊共值8两“金”.每头牛、每只羊各值多少“金”？ ■迁移练7-2(25-26七年级下·辽宁大连阶段检测)《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样 一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各 几何？题目大意：甲、乙两人各带了若千钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到 2 甲所有钱的3，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ ■迁移练7-3(2026北京石景山·二模)《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的 “材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的1份的实际长度（单位： 寸)不同，具体如表： 三 材等 一等 二等 四等 五等 六等 等 1份实际长度 0.6 0.55 0.5 0.48 0.44 0.4 (寸) 书中记载：栌斗的长度为32份，高度为20份：华棋的长度为72份， 高度为21份；散斗的长度为16份，高 度为10份.图1为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华棋等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态， 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华棋、散斗三种 构件的完整标本.经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华棋实际高 度之和为24.4寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为5：4 判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由， 散 华棋 图1 16/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8二元一次方程组的应用之几何问题 ■例8(25-26七年级下江苏南京期末)某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量， 该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或 裁法二裁下A型与B型两种板材.如图所示，（单位：Cm) 170 170 裁法 裁法二 图1 图2 (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值。 (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成 图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 解题要点 1. *根据几何性质列方程*：利用几何公式（如周长、面积公式）或图形性质（如长与宽的关系、角 度互补)找出两个等量关系。设未知数表示边长、角度等，构造二元一次方程组。 2.*解方程验几何条件*：用消元法求解，将解代回几何条件验证（如边长是否为正、角度是否在合 理范围)。注意单位统一，结果需满足图形存在性（如三角形两边之和大于第三边）。 ■迁移练81(25-26七年级下·浙江金华·期中)用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别 为x厘米，'厘米和20厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板 刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计， x>y). 箱底 短 长侧面 长侧面 !短侧面 箱盖 侧 面 甲 乙 丙 (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大300平方厘米，乙块木板面积为1500平方厘米，求木箱的体积： 4 (2)如果购买一块长为10厘米，宽为(x+y)厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为5，试求 17/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (20-x)(20-y） 的值。 ■迁移练8-2(25-26七年级下·浙江台州期中)用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的 边长相等)作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器. 横式 竖 图1 图2 (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则a= b= (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长 方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个.若五金店老板计划支付1000元用于采 购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ ■迁移练8-3(25-26七年级下·山东临沂·期末)项目主题：探究纸盒配套的最优方案 甲车间的工人负责生产如图1所示的长方形纸板和正方形纸板. 素材一 图1 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图2所示的竖式和横式两种不同长方体 素材二 形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）· 18/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 竖式纸盒 横式纸盒 图2 ()任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板张 所需正方形纸板张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板310张，正方形纸板140张，且乙车间工人在制作竖式、横式 两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ 3)任务三：若甲车间共有60名工人，每名工人一天能生产55张长方形纸板或60张正方形纸板，已知2个 竖式纸盒与1个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车 间应该如何安排工人生产两种纸板？ 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 4 1 横式 3 2 题型9二元一次方程组的应用之销售问题 例9(25-26七年级上湖南湘潭期末)【综合与实践】： 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B 背景 两种款式的中国结布置教室. 19/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若购买10个A款中国结，5 个B款中国结，共需160元： 素材 若购买15个A款中国结，10 个B款中国结，共需270元. A款 B款 问题解决 (I)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各 多少个？ 解题要点 1.冰明确基本关系建模**：理清*单价、数量、总价*关系（总价=单价X数量），及*利润=售价 进价*、*利润率=利润/进价×100%*。设两个未知数列出两个等量关系，构造方程组。 2.*解方程验实际意义*：用消元法求解，将解代入原题验证（如单价为正数、数量为正整数）。注 意打折时售价=标价X折扣率，结果需符合生活实际（如售价不能为负），最后作答要带单位。 ■迁移练91(25-26七年级下·云南曲靖期末)项目化学习 校园社团器材采购规划 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购 费用如下表： 每套需管理志愿者人 素材 器材类型 单套采购费用（元） 数 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材 本次采购分配志愿者共34名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材：两类 二 器材采购总花费12800元. ()求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共40名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于9套.若要 20/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ ■迁移练9-2(25-26七年级下·浙江衢州期末)根据以下素材，探索完成任务. 如何设计门票购买方案？ 素 2025年12月31日“浙BA”城市争霸赛，衢州队心丽水队在江山李宁体育馆公开售票，门票分优享 材 座、超值座、亲民座三档，分别记作A,B,C.学生购票情况为：购买1张C档门票需要4元；购 1 买1张A档门票和3张B档门票需要41元：购买3张A档门票和1张B档门票需要51元. 素 材 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票， 2 素 材 七(1)班组织40名学生观赛，每人1张门票. 3 问题解决： (1)求A档门票和B档门票的单价. (2)购买A档门票5张，B档门票15张，所有学生都手持一张门票，最少花费多少钱？ (3)若购票共花费300元，要求至少购买一张A档门票且赠送的C档门票全部用完，求出所有符合条件的购 票方案，并写出解答过程. ■迁移练9-3(25-26七年级下·浙江杭州期末)杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流 领域持续发力.某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务.现需采购两种型号的 冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务： 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续 航里程80公里， 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机 总价为136万元. 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里. ()任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购 21/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少 题型10二元一次方程组的应用之方案问题 ■例10(25-26七年级下·云南曲靖·期末)某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球 拍.已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元.求 每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格。 解题要点 1.*设列方程组**：审题弄清条件和要求，设两个关键量（如人数、单价、数量）为未知数。找出两 个*等量关系*（如总量、总价），列出二元一次方程组。注意统一单位。 2.*解方程组与方案比较*：用消元法求解，验证解是否符合实际（正数、整数）。若题目要求选择 最优方案，需在解的基础上，根据附加条件（如费用最少、效率最高）进行比较取舍，并清晰作答。 ■迁移练101(25-26七年级下·四川广元·期末)为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设 备(A类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；B类含画架画板、颜料画笔、美术教具等)，据了解，购 买1套A类设备和3套B类设备共需55万元；购买2套A类设备和1套B类设备共需60万元. (1)A、B两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案. ■迁移练102(25-26七年级下·浙江绍兴·期末)某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室，为 此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息1：购买5盆绿萝和1盆兰草共需38元. 信息2：购买3盆绿萝和1盆兰草共需26元. ()求绿萝、兰草每盆分别是多少元. (2)若该班同学购买共花费l20元，设绿萝、兰草分别购买m盆，n盆(m≥1，n≥1)， ①用含m的代数式表示n, ②若m,均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多。 ■迁移练103(25-26八年级下·云南红河期末)请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣， 22/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某市建立了综合实训基地.该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客 车，接送学生前往实训基地 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元， 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需 素材三 租赁、 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐， 且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案. 题型11二元一次方程组的应用之配套问题 ■例11(25-26七年级下·福建泉州期末)七年级有400名学生到厦门参加研学活动，己知用3辆小客车 和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人. (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：已知小客车每辆租金150元，大 客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金. 解题要点 1.*找配套比例列方程*：明确两种零件的配套比（如甲：乙=3：2），设每天生产甲x件、乙y件。根 据*总量关系*和*配套比例*分别列方程，组成方程组。 2.； *代入消元求解验整*：用代入法或加减法求解，检验x、y是否为*正整数*（零件数量必须为 整数)。若需分配工人数，将产量换算成人数，按比例列式。结果需满足生产计划。 ■迁移练11-1(25-26七年级下·陕西榆林：阶段检测)工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮， 该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个.已知2个大齿轮与3个小 齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责 生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 23/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练11-2(25-26七年级下·重庆万州期中)“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红.”茶作为中国传统 文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验.某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个 茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套， ()该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成.现计划由一部分人先做10小时， 然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多 少人制作茶具？ ■迁移练11-3(25-26六年级下·上海·期末)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加 工a吨原材料，加工时间为4和+)小时，B生产线共加工b吨原村料，加工时间为 2b+3) 小时 (1)当a=b=1时，A生产线的加工时间是_小时，B生产线的加工时间是_小时. (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时 间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了吨原材料，给 B生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相 同，则m和n有怎样的数量关系？若此时l与n的和为9吨，则和n的值分别为多少？ 题型12二元一次方程组与一次函数问题 1例12(2526八年级下天津东丽期末)如图，己知过点8.0的直线与直线：y=2r+4相交于点 P(-1,a) 24/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B (1)求直线的解析式； ②若与y轴交于点C,与x轴交于点4，则点A的坐标为 一，点C的坐标为」 四边形 PAOC的面积是 (直接写出答案即可)· 解题要点 1.**数形转化*：方程组中的每个方程对应一条直线，方程组的解即为*两直线的交点坐标*。解题 时通过联立解析式或观察图象交点求公共解。 2.*图象法解方程组*：画出两直线图象，交点的横纵坐标即方程组的解。若两直线平行(k相等，b 不等)则*无解*；若重合(k、b均相等)则*无数解*。代数法可验证图象法结果。注意交点坐标 的准确性。 迁移练121(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：y=x+1与直线 l2:y=-x+m(m为常数)相交于点 P(1,b) y=x+1 (1)求关于x,y的二元一次方程组y=-x+m的解； ②若将直线？向下平移3个单位长度后得到直线，求直线对应的函数解析式。 迁移练12-2(25-26八年级下·甘肃平凉期末)如图，直线：y=+5分别交y轴，x轴于A,B两点，直 25/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线：y=2x-1分别交y轴，x轴于C,D两点，直线1，，交于点P(4,), 1 B米 -4D y=x+5 1 (1)观察图象，写出方程组 y=2x-1的解： (2)求直线 山与'轴围成的△6P 的面积。 ■迁移练12-3(25-26八年级下·福建福州期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.直线 y=-x+6与x轴，y轴分别交于点A,B.点C在x轴负半轴上，且满足OC=0A VA (1)求直线BC的解析式； (②直线'=“-太与X轴交于点D,与直线B交于点B,交BC的延长线于点R,且氵 SABDE -SBDF ①求k的值： ②若过点D的直线y=mr+n与直线AB,直线BC不能构成三角形，请直接写出所有满足条件的n值. 26/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 破难点 方法聚焦透析 难点一已知二元一次方程（组）的解求代数式的值 难点1：解的代入与隐含条件的挖掘* 将解代入原方程组可得到含参数的方程（组）。难点在于从多个方程中提取足够信息，尤其当参数多于方 程时，需挖掘解本身的约束（如非零、整数性)来弥补条件不足，否则参数无法唯一确定。 难点2：整体化简替代冗长代入** 求出具体参数后，代入目标式需运算技巧。难点在于不盲目直接代入，而利用“整体代换”或“降次”简 化目标式，学生易拘泥于解出每个参数再进行复杂运算，导致过程冗长易错。 难点精练 [x=2 1.(25-26七年级下湖南衡阳·月考)已知y=1是方程ax+by=3的一组解，则4a+2b+4= [3x+2y=m+2 2.(2026八年级上山东青岛·专题练习)已知关于x、y的方程组2x+3y=3m的解满足x=y,则m的 值是一 x+y=1-a 3.(24-25七年级下·吉林四平·期末)已知关于x、y的二元一次方程组x-y=3a+5,给出下列结论： (1)当a=1时，方程组的解为 (2)当x+2y=0时，请求出a的值： (3)请说明不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变. 难点二二元一次方程组中特殊解法问题 难点1：非常规形式的识别与适配* 当方程组含。+，年©或8)整体出现时，需识别其对称性或比例关系，选择整体代入或换元简化。难 27/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点在于快速判断变形方向，若照搬常规消元则运算量大增。 难点2：参数构造的等价性保障* 设参法（如令x=k、y=kb)需确保参数设定不丢失原方程约束。难点在于保持变形前后的完全等 价性，并利用新增参数统一消元，学生易因跳步或参数替换不当导致比例关系错位。 难点精练 [3(2x+y)-2(x-2y)=26 1.(25-26七年级下山东聊城月考)我们在解二元一次方程组2(2x+y)+3(x-2y)=13时，若假设 2x+y=m 3m-2n=26. [m=8 [2x+y=8 x=3 x-2y=n,则原方程组可化为2m+3n=13,解之得n=-1,即x-2y=-1,解之得y=2,在上面 的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换 元法. ax+by=6 x=-2 (1)已知关于x、y的二元一次方程组bx+ay=3的解为y=4,求关于m、n的二元一次方程组 a(m+n)+b(m-n)=6 b(m+n)+a(m-n)=3的解： [x+y_x-y=4 23 (2)请用上面的换元法解方程组2(x+y)+x-y=16· [(a-1)+2b+2)=6 2.(25-26七年级下·河南南阳月考)阅读探索：解方程组2(a-1)+(仍+2)=6 x+2y=6 「x=2 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可以化为2x+y=6解得y=2 a-1=2,a=3 即b+2=2“b=0【此种解方程组的方法叫做换元法】 28/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [(x-2)+3(y+1)=6 (1)运用上述方法解方程组2(x-2)+(y+1)=2 ax+by=c x=6 a(m-2)+b(n+3)=c (2)已知关于x,y的方程组a2x+by=c2的解为y=7,求关于m,n的方程组a,(m-2)+b(n+3)=c2 的解 3(2x+y)-2(x-2y)=26 3.(25-26八年级下山东淄博月考)解方程组2(2x+y)+3(x-2y)=13时若设2x+y=m,x-2y=n, [3m-2n=26 m=8 [2x+y=8 「x=3 则原方程组化为2m+3n=13,解得n=-1,所以x-2y=-1,解得y=2,我们把某个式子看成一个 整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法. x+y x-y=4 23 (1)知识迁移：请用这种方法解方程组 2(x+y)+x-y=16: ax+by=c x=4 (2)拓展应用：己知关于x,y的二元一次方程组42x+b2y=c2的解为y=-3,求关于x,y的方程组 2ax+3by=5c 2a2x+3b2y=5c2的解. 难点三二元一次方程组中新定义型探究问题 难点1：新运算向标准方程组的等价转化* 新定义常构造“关联解”“共生系数”等非常规规则，需将其精准还原为含(x、y)及参数的线性方程。 难点在于准确把握运算对整体结构的约束，若转化偏差则方程组模型失真。 难点2：新定义与解的条件互洽* 探究解的性质时，需将新定义与方程组的唯一解、无解、无穷多解判定相结合，通过系数比或代入分类讨 论。难点在于兼顾新规则与参数范围的兼容性，分类极易遗漏边界情形导致解集不完整。 29/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 难点精练 1.(25-26七年级下·浙江金华月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ar+by,x⊕y=ax-by,其 中a,b是常数，已知l#1=1,3田2=8. (1)求a,b的值： x#y=4-m (2)若关于x,y的方程组x⊕y=5m的解x,y互为相反数，求的值： 2.(25-26七年级上湖南娄底期末)新趋势·新定义对于未知数为x,y的二元一次方程组，如果方程 组的解y满足r-1 我们就说方程组的解x与》具有“邻好关系”。 (1)请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组： x+2y=7 (2)方程组x-y=1的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： 2x-y=6 (3)若方程组4x+y=6m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值 3.(25-26七年级下山东聊城月考)我们把关于，y的两个二元一次方程+=b与血+y=b+)叫 x+ky=b 作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组x+y=b叫作共轭二元一次方程组. x+(b+1)y=4+a (1)若关于x,y的二元一次方程组(1-a)x+y=b+2为共轭二元一次方程组，则a=-,b=-: (2)若二元一次方程x+=b中x,y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是_； 0 0 30/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+ky=b x=m (3)发现：若共轭二元一次方程组c+y=b的解是y=n，,则L,之间的数量关系是_ 难点四利用二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 难点1：方程与函数的等价转化衔接* 方程组可视为两个一次函数图象的交点。难点在于准确识别题目条件是更适合列方程组还是求函数交点， 并灵活切换两种表征方式。学生常拘泥于代数解法，未能善用图象直观检验结果的合理性。 难点2：实际意义与数学解的双重约束* 求解后需将解代入实际问题背景进行检验（如数量非负、整数性、范围限制）。难点在于同时兼顾方程组 的精确解与实际情境的约束条件，忽视任何一方都会导致答案不合现实逻辑，尤其在方案优化类问题中更 需反复校核。 口一难点精练 1.(2026·贵州黔东南·二模)2024年，随着《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》等政策的 出台，一系列优惠政策接踵而来.为此，某商场购进A,B两种型号的冰箱，据了解1台A型号冰箱、2台 B型号冰箱进价共计9000元：2台A型号冰箱比1台B型号冰箱进价多500元. (I)求A,B两种型号的冰箱每台的进价： (2)由于需求不断增大，该商场准备购进两种型号的冰箱共100台，已知A型号冰箱的售价为2500元/台，B 型号冰箱的售价为4100元/台，若购进A型号冰箱的数量不少于40台，设购进a台A型号冰箱，100台冰 箱全部售完获利W(元)，该商场应购进A,B两种型号的冰箱各多少台才能使W最大？W最大为多少元？ 2.(25-26七年级下·四川成都·期末)某电子产品商店销售A、B两种型号的复读机，已知销售A型复读机 30台和B型复读机20台的总利润为6500元，销售A型复读机10台和B型复读机30台的总利润为4500元. (1)求每台A型复读机和B型复读机的销售利润分别为多少元？ (2)若该商店计划购进A、B两种型号的复读机共140台，其中B型复读机购进a台(36≤a≤80)，设销售 这140台复读机的总利润为y元， ①求y关于a的函数关系式： ②该商店购进A型、B型复读机各多少台，才能使销售总利润最大？ 3.(2025河南模拟预测)如图，是隐形第五代战斗机J20的模型.国庆节前夕，某商场购进A,B两种 31/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 材质的J20模型共120架.已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元：购进4架A种模型和2 架B种模型共需花费780元. (1)求A,B两种材质的J20模型每架的进价. (2)已知A,B两种材质的J20模型每架的售价分别为150元和200元.采购信息记录如下： 采购要 A种模型数量m的范围为50≤m≤80 求 采购优 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不 患 打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有J20模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润. 验成果 综合达标检测 基础达标 一、选择题 1.下列方程中，属于二元一次方程的是() x+=5 A. B.y+5z=-4x C.3x-3x(x-y)=8 D.x+Y=2 4 x=5 2.y=3是下面哪个二元一次方程的解() 32/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2x-y=7 B.y=-x+2 C.x=-y-2 D.2x-3y=-1 x+y=2 3.若方程组(k-1)x+(k+1)y=4的解x与y相等，则k的值为() A.1 B.0 C.2 D.4 x=-2 [2x+3y=m 4.已知y=1是关于x,y的二元一次方程组x-y=3的一组解，则m-2n的值为() A.3 B.-5 C.5 D.-3 a c =ad-bc 2- =2×1-3×(-1)=5 5.规定bd ,如31 x,y的值分别为() A.4,-5 B.-4,-5 C.4,5 D.5,4 二、填空题 6.已知2x=0是关于x、y的二元一次方程，则m一 7.已知：Bx-y-13+(x+y-3旷=0，则y的值为 y=kx+b 8.如图，直线y=kx与y=kx+b的图象交于点(1,2)，则关于x,y的二元一次方程组y=kx的解是- 2 y=kx+b y=kxl ax+by=e x=3 a(x-1)+by+1)=2e 9.若关于x,y的方程组cx+少=∫的解是y=-2则关于x,y的方程组C(x-l)+d(y+I)=2f的解是 33/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10定义：在平面直角坐标系中，若m-1≠-2，称点m0)与点a-2m+2） 互为友好点.若直线1上存在 友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线1的表达式为 三、解答题 11.解方程组： 3x-4(x-2y)=5 (1)x-2y=1 xy=1 (2)134 3x-4y=2 [x+3y=1 [y-x=3a-2b 12.已知方程组x+y=4a-b和方程组2x-y=-5有相同的解，求a,b的值. 13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=与直线：)=m+”交于点1(22），直线5与交于点 C(4,0) 直线：y=x+ 与y轴的交点为B. (1)求直线与的解析式： (2)求△ABC的面积. 14.茶叶促销活动前后，A,B两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表.己知 促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同. A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 34/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 打折后 500 400 9360 (1)每两A,B茶叶的原价分别是多少？ (2)B茶叶打几折销售？ (3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若 所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案， 能力进阶 [2x+3y=4 1.当实数m,n满足m+3n=1时，称点P(m,n)为和谐点，若以关于x,y的方程组2x-3y=4a的解为 坐标的点 (x,)为和谐点，则的值为（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 x+3y=4-a [x=5 2.已知关于x,y的方程组 x-5y=3a’给出下列结论：①y=-1是方程组的解：②无论a取何值， x,y的值都不可能互为相反数：③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解；④x,y都为自然数 的解有4个.其中不正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、 图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示)中， 根据寻找出的关系，可列方程组为 9 4 3 8 16 y 图① 图② 图③ 35/38 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 mx-ny =5 「x=7 4.若关于x,y的二元一次方程组mx+y=6的解是y=4,关于a,b的二元一次方程组 m(2a+b)-2nb=5 m(2a+b)+2nb=6的解是 2x+y-6=0① 5.已知关于x,y的二元一次方程组2x-2y+my+8=0②. (1)若方程组的解满足x-y=0,求m的值： (2)无论数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解。 6.阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数 式的值.如以下问题：己知实数x、y满足3x-y=5,2x+3y=7,求x-4y和7x+5y的值.本题常规思 路是将3x-y=5①，2x+3y=7②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案.常规 思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代 数式的值，如由①-②可得x-4y三-2，由①+②×2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的 “整体思想”· 解决问题： [2x+y=4 (1)已知二元一次方程组x+2y=5,则x-y=一，x+y=一 x+3y=4-a (2)试说明在关于x、y的方程组x-5y=3a中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1 本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 7.国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象.某文创店老板打算从批发商处 购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销 其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元. 36/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 进货单 序号 名称 规格 单位 进货 数量 进价/元金额/元售价/元 1 太乙真人手办 套 0 25 0 30 2 哪吒手办 套 260 25 7900 3 敖丙手办 套 200 35 徐 根 合计金额 佰拾万仟佰拾元角分￥ 主管 仓库 记帐 经手人 (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价： (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手 办，己知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等.但每套“哪吒”手办的进价 比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低40%，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进 a套“太乙真人”手办，b套“哪吒”手办. ①试推算a与b应满足的数量关系： ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获 得利润的最大值. 8.阅读下列材料： 2x+3y+2x-3y=7 4 3 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 2x+3y+2x-3y=8 小亮发现， 3 2 如果把方程组中的 2x+3y),(（2x-3少)看成一个整体，通过换元，可以解决问恩，以下是他的解题过程： 解：令m=2x+3y,n=2x-3y (m+=7 43 原方程组化为 g+号-8 解得〔m=60 n=-24 m=60 2x+3y=60 x=9 把n=-24代入m=2x+3y,n=2x-3y,得2x-3y=-24,解得y=14 37/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [x=9 所以原方程组的解为y=14 x+y+x-y=-3 2 5 (1)运用上述方法解方程组 2(x+y)-3(x-y)=26 x+68,D+13x-7 4 3 (2)直接写出方程组 +68+少+13r-8的解为 3 2 2025 (②的条作下a=+=,求匠-( 的值 ax+by=c 9.对于关于x,y的二元一次方程组a,x+by=c2（其中a,b,c,a2:b,c2是常数)，给出如下定义： 若该方程组的解满足K一 ,则称这个方程组为“郡一”方程组. (1)下列方程组是“郡一”方程组的是 一（只填写序号）： x+y=0 [x+y=1 x-y=-1 ①2x-y=2②2x-y=2③3x+5y=7 [x-3y=a (2)若关于x,y的方程组2x-4y=4a是“那一”方程组，求a的值； 2amx+(b-1)y=m (3)若对于任意的无理数m,关于x,y的方程组x+2y=4 都是“郡一”方程组，求ab的值. 38/38