6.1 平均数与方差同步讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦平均数与方差核心知识点，系统梳理算术平均数（加权平均数特殊情况）、众数（集中趋势）、方差与标准差（离散程度）的概念及计算，构建统计量从基础到综合的学习支架。 资料以题型为单元，通过解题知识梳理、典例解析及变式训练，将统计概念与生活情境结合，培养学生数据意识与运算能力。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

第6章 6.1 平均数与方差 内 容 导 航 题型1 算术平均数 题型2 加权平均数 题型3 众数 题型4 方差 题型5 标准差 考 点 演 练 题型1 算术平均数 解｜题｜知｜识 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【解答】解：x1+x2+x3+x4＝16， x5+x6+x7+x8+x9+x10＝36， 则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为： ＝5.2， 故选：C． 【变式1】如果一组数据6，x，2，4的平均数是3，那么x是（　　） A．0 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解答】解：根据平均数的定义可知：， 解得x＝0． 故选：A． 【变式2】有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C．墨水污染的数据有一个是15 D．这组数据的平均数是10 【答案】D 【解答】解：有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，则： A．由图可知这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．由箱线图可知最小值是3，最大值是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； C．由B可知其中两个★分别为3和18，将最后一个未知的★外的数据进行排列，得3，4，4，4，7，10，11，14，15，17，18， 由上四分位数是15，共12个数据，则从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，只有当最后个未知的★＝15时，从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，则被墨水污染的数据有一个是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．这组数据的平均数是，说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3】已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在函数y＝2x﹣5的图象上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差是2，则另一组数据y1、y2、y3的平均数是　1　 ，方差是　8　 ． 【答案】1；8； 【解答】解：当每一组数据的每一个数据发生变化其平均数也会发生变化， ∵y＝2x﹣5， ∴y1＝2x1﹣5，y2＝2x2﹣5，y3＝2x3﹣5， ∴另一组数据y1，y2，y3的平均数是数据x1，x2，x3的平均数的2倍并减去5， ∵数据x1，x2，x3的平均数为3， ∴数据y1，y2，y3的平均数是1， 设这组数据x1，x2，x3的平均数为，则另一组新数据2x1﹣5，2x2﹣5，2x3﹣5的平均数为，方差为， ∵， ∴ ＝4S2＝4×2＝8， 故答案为：1；8； 题型2 加权平均数 解｜题｜知｜识 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息. 【典例1】学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹 92 80 90 若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（　　） A．86 B．87 C．88 D．89 【答案】C 【解答】解：根据题意得： 88（分）， 答：小莹的个人总分为88分； 故选：C． 【变式1】学生体育成绩的计算方法是将日常、期中、期末三项成绩，分别按2：3：5的比例计算出学期的最终成绩．若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育最终成绩为　93　 分． 【答案】93． 【解答】解：由题意可得， 小明本学期的体育最终成绩为：909096 ＝909096 ＝18+27+48 ＝93（分）， 故答案为：93． 【变式2】在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为70分，80分和90分，求该班卫生检查的总成绩 　80　 分． 【答案】80． 【解答】解：该班卫生检查的总成绩＝70×30%+80×40%+90×30%＝80（分）． 故答案为：80． 【变式3】某校“五四青年节”举办演讲比赛，其中综合内容分占40%，现场演讲分占60%，小明参加了比赛，并在综合内容和现场演讲中分别取得95分和80分的成绩，则小明的最终成绩为　86　 分． 【答案】86． 【解答】解：根据加权平均数的计算方法可知： 小明的最终成绩为95×40%+80×60%＝38+48＝86（分）， 故答案为：86． 题型3 众数 解｜题｜知｜识 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 【典例1】一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：∵一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4， ∴x＝4， 故选：C． 【变式1】水是生命之源．为了倡导节约用水，物业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，数据为7，8，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：数据7，8，6，8，8，9，10，9中， ∵8出现次数最多， ∴众数为8． 故选：B． 【变式2】已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　） A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3 【答案】C 【解答】解：∵数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1， ∴1+0﹣3+5+x+2﹣3＝7×1， 解得x＝5， 则这组数据为1，0，﹣3，5，5，2，﹣3， ∴这组数据的众数为﹣3和5， 故选：C． 【变式3】某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是10名决赛选手的成绩．这10名决赛选手成绩的众数是（　　） 分数 100 95 90 85 人数 1 4 3 2 A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】C 【解答】解：95分出现了4次，出现的次数最多， 所以这10名决赛选手成绩的众数是95． 故选：C． 题型4 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】C 【解答】解：原数据的平均数为（190+194+198+200+202）＝196.8（cm）， 新数据的平均数为（196+194+198+200+202）＝198（cm）， 原数据的方差为[（190﹣196.8）2+（194﹣196.8）2+（198﹣196.8）2+（200﹣196.8）2+（202﹣196.8）2]＝15.464， 新数据的方差为[（196﹣198）2+（194﹣198）2+（198﹣198）2+（200﹣198）2+（202﹣198）2]＝8， 所以平均数变大，方差变小， 故选：C． 【变式1】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：∵乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， ∴乙同学平均数最高且方差最小， 故选：B． 【变式2】甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解答】解：根据方差、平均数的意义进行判断如下：甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定； 甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 【变式3】求一组数据方差的算式为：s2[]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解答】解：∵这组数据为6、6，7、8、8， ∴n的值是5，故选项A说法正确，不符合题意； 该组数据的平均数是7，故选项B说法正确，不符合题意； 众数为6，8，故选项C说法错误，符合题意； 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型5 标准差 解｜题｜知｜识 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 【答案】A 【解答】解：（2+3+4+5+6）＝4， ∴s2[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， 则标准差为， 故选：A． 【变式1】（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年1～5月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 【答案】（1）； （2）①A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ②A品牌方差为2，B品牌方差为10.4，A品牌的销售量更稳定． 【解答】解：（1）， ＝8； ∴， 即这组数据的标准差为； （2）①（台），（台）， 答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ② ＝2 ＝10.4 ∵， ∴A品牌的销售量更稳定． 过 关 验 收 1．射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　8.6　 环． 【答案】8.6． 【解答】解：该选手的平均成绩是（10×3+9×4+8+6×2）＝8.6（环）， 故答案为：8.6． 2．为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给801班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则801班平均得分是　8.9分　 ． 【答案】8.9分． 【解答】解：根据题意统计图中人数污损部分为20﹣7﹣5＝8， 根据平均数的计算方法可得： （分）． 故801班平均得分是8.9分． 故答案为：8.9分． 3．某校规定学生综合素质评价成绩满分为100分，其中思想品德占15%，学业水平成绩占30%，艺术素养占10%，身心健康占20%，社会实践占15%，劳动教育占10%．小兵这学期的六项成绩依次为80分，90分，85分，95分，90分，85分，则小兵这学期的综合素质评价成绩是 　88.5　 ． 【答案】88.5． 【解答】解：小兵这学期的综合素质评价成绩是： 15%×80+30%×90+10%×85+20%×95+15%×90+10%×85＝88.5（分）． 故答案为：88.5． 4．学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有30%的同学选择了8元/份的盒饭，有60%的同学选择了10元的盒饭，有10%的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费 　9.6　 元． 【答案】9.6． 【解答】解：30%×8+60%×10+10%×12＝9.6， 故答案为：9.6． 5．“最是书香能致远，腹有诗书气自华”，2023年4月23日是第28个世界读书日，某校举行了“读书遇见美好”演讲大赛，小玉的演讲内容、语言、表达、效果四项得分分别是86分、88分、90分、94分，若将四项得分依次按4：4：1：1的比例确定最终成绩，则小玉的最终比赛成绩为 　88　 分． 【答案】88． 【解答】解：小玉的最终比赛成绩为：88（分）． 故答案为：88． 6．某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 A 80 78 82 B 78 86 79 C 79 87 74 （1）计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B、C两同学的平均分； （2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 【答案】（1）B的平均分81分；C的平均分80分．（2）B将成功应聘． 【解答】解：（1）B的平均分：81（分）， C的平均分：80（分）． （2）A的加权平均分是：80×0.3+78×0.3+82×0.4＝80.2（分）， B的加权平均分是：78×0.3+86×0.3+79×0.4＝80.8（分）， C的加权平均分是：79×0.3+87×0.3+74×0.4＝79.4（分）， 因为B的加权平均分最高，所以B将成功应聘． 7．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） （1）请算出三人的民主评议得分； （2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； （3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】（1）甲50分；乙80分；丙70分； （2）乙将被录用； （3）丙将被录用． 【解答】解：（1）组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）， 甲的民主评议得分为：200×25%＝50（分）， 乙的民主评议得分为：200×40%＝80（分）， 丙的民主评议得分为：200×35%＝70（分）， （2）甲的平均成绩是：（分）， 乙的平均成绩是：（分）， 丙的平均成绩是：（分）， 根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么乙被录用； （3）将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例， 则甲得分：（分）， 乙得分：（分）， 丙得分：（分）， 77.4＞77.3＞73.3， ∴丙将被录用． 8．某校为了提开初中学生学习数学的兴趣，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从准备工作、研究报告、小组展示、答辩四个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙两个小组各项得分如下表： 小组 准备工作 研究报告 小组展示 答辩 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 （1）计算各小组的平均成绩，哪个小组的成绩高？ （2）如果按2：1：3：4的比来计算，求各小组的成绩，哪个小组的成绩高？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）甲组的平均值为：80.25； 乙组的平均值为：79.5； 所以甲组的成绩高； （2）甲组的成绩为：8578857379.5； 乙组的成绩为：73880828380.4， 故乙组的成绩高． 9．一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的平均数是 　3.5　 ． 【答案】3.5 【解答】解：∵2，4，x，2，4，7的众数是2， ∴x＝2， ∴该组数据的平均数为（2+4+2+2+4+7）÷6＝3.5； 故答案为3.5． 10．已知一组数：3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为M，方差为N，那么数组：x1，x2，x3，x4的平均数及方差分别是（　　） A．3M+2，9N B．， C．， D．， 【答案】C 【解答】解：设x1，x2，x3，x4的平均数为a，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为3a+2＝M， 解得a； 设x1，x2，x3，x4的方差为b，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的方差为32×b＝N， 解得， 故选：C． 11．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ∴， ， ， ， ∴，． 故选：B． 12．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 【答案】C 【解答】解：∵小亮的成绩和其他49人的平均数相同，都是9（0分）， ∴该班50人的测试成绩的平均分为9（0分）， ∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1， ∴新数据方差变小． 故选：C． 13．已知样本x1、x2，…，xn平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差是（　　） A．5，3 B．20，3 C．20，27 D．5，27 【答案】C 【解答】解：∵样本x1、x2，…，xn平均数是5，方差是3， ∴样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数为5×3+5＝20，方差为32×3＝27， 故选：C． 14．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如下： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【解答】解：∵这组数据的平均数是37， ∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）＝36； 被遮盖的方差是：[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4； 故选：B． 15．如图是甲、乙两地11月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为　＞　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【解答】解：根据折线统计图可知：甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差， 则， 故答案为：＞． 16．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　11　 ． 【答案】11 【解答】解：∵s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]， ∴11， 故答案为：11． 17．已知4个数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为　2　 ． 【答案】5.2． 【解答】解：数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6． 第一组数据的平方和：4×4＝16，第二组数据的平方和：6×6＝36， 总平方和：16+36＝52， 故总方差：． 故答案为：5.2． 18．一组数据的方差，则该组数据的总和是　21　 ． 【答案】21． 【解答】解：由方差公式可知该组数据的平均数为3，数据个数为7， 故总和为3×7＝21． 故答案为：21． 19．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是2， ∴数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是2×22＝8． 故答案为：8． 20．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是　2　 ． 【答案】2 【解答】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为1， 则原来的方差[（x1）2+（x2）2+…+（x5）2]＝2， 现在的方差[（x1+11）2+（x2+11）2+…+（x5+11）2] [（x1）2+（x2）2+…+（x5）2]＝2， 所以方差不变． 故答案为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.1 平均数与方差 内 容 导 航 题型1 算术平均数 题型2 加权平均数 题型3 众数 题型4 方差 题型5 标准差 考 点 演 练 题型1 算术平均数 解｜题｜知｜识 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式1】如果一组数据6，x，2，4的平均数是3，那么x是（　　） A．0 B．3 C．4 D．2 【变式2】有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C．墨水污染的数据有一个是15 D．这组数据的平均数是10 【变式3】已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在函数y＝2x﹣5的图象上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差是2，则另一组数据y1、y2、y3的平均数是　 　 ，方差是　 　 ． 题型2 加权平均数 解｜题｜知｜识 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息. 【典例1】学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹 92 80 90 若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（　　） A．86 B．87 C．88 D．89 【变式1】学生体育成绩的计算方法是将日常、期中、期末三项成绩，分别按2：3：5的比例计算出学期的最终成绩．若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育最终成绩为　 　 分． 【变式2】在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为70分，80分和90分，求该班卫生检查的总成绩 　 　 分． 【变式3】某校“五四青年节”举办演讲比赛，其中综合内容分占40%，现场演讲分占60%，小明参加了比赛，并在综合内容和现场演讲中分别取得95分和80分的成绩，则小明的最终成绩为　 　 分． 题型3 众数 解｜题｜知｜识 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 【典例1】一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【变式1】水是生命之源．为了倡导节约用水，物业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，数据为7，8，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　） A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3 【变式3】某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是10名决赛选手的成绩．这10名决赛选手成绩的众数是（　　） 分数 100 95 90 85 人数 1 4 3 2 A．85 B．90 C．95 D．100 题型4 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【变式1】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【变式3】求一组数据方差的算式为：s2[]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 题型5 标准差 解｜题｜知｜识 （1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度． 公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2] （2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（　　） A．2， B．3， C．，2 D．，3 【变式1】（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年1～5月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 过 关 验 收 1．射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　 　 环． 2．为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给801班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则801班平均得分是　 　 ． 3．某校规定学生综合素质评价成绩满分为100分，其中思想品德占15%，学业水平成绩占30%，艺术素养占10%，身心健康占20%，社会实践占15%，劳动教育占10%．小兵这学期的六项成绩依次为80分，90分，85分，95分，90分，85分，则小兵这学期的综合素质评价成绩是 　 　 ． 4．学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有30%的同学选择了8元/份的盒饭，有60%的同学选择了10元的盒饭，有10%的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费 　 　 元． 5．“最是书香能致远，腹有诗书气自华”，2023年4月23日是第28个世界读书日，某校举行了“读书遇见美好”演讲大赛，小玉的演讲内容、语言、表达、效果四项得分分别是86分、88分、90分、94分，若将四项得分依次按4：4：1：1的比例确定最终成绩，则小玉的最终比赛成绩为 　 　 分． 6．某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）． 知识积累 人文素养 实践经验 A 80 78 82 B 78 86 79 C 79 87 74 （1）计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B、C两同学的平均分； （2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？ 7．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） （1）请算出三人的民主评议得分； （2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； （3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 8．某校为了提开初中学生学习数学的兴趣，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从准备工作、研究报告、小组展示、答辩四个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙两个小组各项得分如下表： 小组 准备工作 研究报告 小组展示 答辩 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 （1）计算各小组的平均成绩，哪个小组的成绩高？ （2）如果按2：1：3：4的比来计算，求各小组的成绩，哪个小组的成绩高？ 9．一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的平均数是 　 　 ． 10．已知一组数：3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为M，方差为N，那么数组：x1，x2，x3，x4的平均数及方差分别是（　　） A．3M+2，9N B．， C．， D．， 11．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 12．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 13．已知样本x1、x2，…，xn平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差是（　　） A．5，3 B．20，3 C．20，27 D．5，27 14．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如下： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 15．如图是甲、乙两地11月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 16．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　 ． 17．已知4个数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为　 　 ． 18．一组数据的方差，则该组数据的总和是　 　 ． 19．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是 　 ． 20．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $