第四章 一次函数（4核心+10题型+5难点+复习讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以“函数概念-一次函数概念-图象性质-实际应用”为主线分层构建知识体系，用定义解析、性质对比等呈现知识内在联系，明确k、b作用等核心要点。 讲义亮点在于“题型+难点”双轨训练，设计10类基础题型如动点问题函数图象，5个综合难点如双线共存问题，结合解题要点培养推理能力与模型意识。基础达标与能力进阶分层练习，助力学生掌握待定系数法等方法，教师可据此实施精准教学。

第四章 一次函数 复习要点 1. 理解函数的概念，能根据“对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应”区分函数关系与非函数关系。 2. 掌握一次函数和正比例函数的概念，能依据自变量次数为1、系数不为0等条件，准确区分一次函数与正比例函数。 3. 掌握一次函数的图象与性质，能区分系数k（决定增减性及图象倾斜方向）和b（决定与y轴交点位置）的作用，并据此确定图象经过的象限。 4. 掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，能根据两个独立条件列方程组求解k和b。 5. 理解一次函数与一元一次方程的联系，能运用一次函数模型解决行程、利润等实际问题。 复习重难点 重点：一次函数的图象与性质（k、b的作用），以及用待定系数法求解析式。 难点：灵活运用一次函数图象与性质解决综合问题（如行程分析、方案选择），并应用数形结合思想。 知识点 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） 要点速测 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列图象中，不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意； C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意； D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是学校门口人行道隔离护栏平面示意图，每根立柱宽为0.1米，立柱间距为3米． (1)根据题意，将下列表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 9.4 (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是 ； (3)求护栏总长度为59米时立柱的根数？ 【答案】(1) 表格补充如下： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 6.3 9.4 12.5 (2) (3)20根 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可； （2）由题意得与之间的关系式为，整理可得； （3）当时，代入与之间的关系式，求解； 【详解】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有 5 根立柱时，（米）； （2）解：根据题意得：与之间的关系式为：； （3）解：当时，， 解得， 答：总长度为59米时有20根立柱． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 【答案】(1)时间 (2)1500；4 (3)450 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）利用速度等于路程除以时间，计算出各个区段的速度即可作答． 【详解】（1）解：图中自变量是时间； （2）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了（分钟）； （3）解：在分钟之间，小李花了6分钟走了米， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了：（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了4分钟做了停留，即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 即小李的最快速度为米/分钟． 知识点 一次函数概念 一次函数的概念：形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 要点速测 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 5．（25-26八年级下·上海·期中）下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项：若，该函数不是一次函数，故不符合题意； 选项：，不是整式，不符合一次函数定义，故不符合题意； 选项：可化为，满足一次函数定义，故符合题意； 选项：，的最高次数为，不是一次函数，不符合定义，故不符合题意． 6．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 知识点 一次函数的图象和性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 要点速测 7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．随的增大而增大 C．图象经过第一、二、三象限 D．图象与轴的交点坐标是 【答案】D 【详解】解：对于选项A：当时，，∴图象不经过点，A错误； 对于选项B：∵，∴随的增大而减小，B错误； 对于选项C：∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，C错误； 对于选项D：令，得，解得，∴图象与轴的交点坐标是，D正确． 8．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）画出函数的图象． … … … … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：描点并连接，画出图象如下： （3）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 知识点 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 要点速测 9．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．设两个气球所在位置的海拔分别为和（单位：），上升时间为x（单位：）． (1)用式子分别表示和关于x的函数关系； (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？ (3)当x为多少时，两气球海拔相差10米． 【答案】(1)， (2)两个气球能位于同一高度，这时气球上升了 (3)当为或时，两气球海拔相差米． 【分析】（1）根据“气球海拔=初始海拔+上升速度×上升时间”，结合两个气球总上升时间为，确定自变量的取值范围，即可得到函数关系式． （2）令，解一元一次方程，判断解是否在自变量取值范围内，即可得到结论． （3）分两种情况讨论：比高，比高，分别列方程求解，取符合范围的解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1号气球初始海拔，速度，2号气球初始海拔，速度，上升时间满足． ∴， （2）解：若两个气球位于同一高度，则， ∴ 解得，满足， 因此两个气球能位于同一高度，这时气球上升了 （3）解：两气球海拔相差米，分两种情况： 情况1：，代入得， 化简得， 解得，满足． 情况2：，代入得， 化简得， 解得，满足． 综上，当为或时，两气球海拔相差米． 10．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 【答案】(1)10，20， (2) (3)当为或或时，甲，乙两人相距． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）分三种情况求解即可； （3）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为， ， ∴乙离A地的距离与时间的关系为； （2）解：甲离A地的距离与时间的关系： 去程：，； 停留：，； 返程：； 令， ， ∵直线过点和， 设解析式为， ∴，解得， 得， 令，得， 甲离地的距离与时间的函数关系式为： ∴； （3）解：甲、乙相距时： 由A去B： ， 解得； 由B返A： ， 解得或， 答：当为或或时，甲，乙两人相距． 题型1 函数的概念 ▌例1 （25-26八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 解题要点 1. 判断变量对应关系：函数需满足对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。解题时检查x取值是否对应多个y值，若对应多个则不是函数。 2. 确定自变量取值范围：实际问题中还需考虑自变量实际意义（如时间≥0、人数为正整数）。含分式或根式时，需满足分母不为0、被开方数≥0等条件，确保函数有意义。注意“唯一”是核心。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，有两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数， 故选：D． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·广东梅州·期中）有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． ▌迁移练1-3（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 题型2 变量、常量 ▌例2 （25-26七年级下·全国·课后作业）已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键． 根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：∵ 在公式 中， 和 是固定不变的常数，属于常量；是半径，可以取不同值，属于变量；是周长，随 的变化而变化，也属于变量， ∴ A、是变量，说法错误，不符合题意； B、是变量，说法错误，不符合题意； C、是变量，说法正确，符合题意； D、是常量，说法错误，不符合题意； 故选：C． 解题要点 1. 辨别标准：在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量（如时间t、路程s），数值始终保持不变的量为常量（如π、速度v）。解题时需从实际背景或表达式里区分。 2. 隐含常量识别：常量不一定是具体数字，也可能是特定字母（如圆的周长公式C=2πr中，2和π是常量，r和C是变量）。含参数问题中，若参数在变化过程中不变，则视为常量。注意区分变量与参数。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． ▌迁移练2-2（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量． 根据常量与变量的定义作答即可． 【详解】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额， 故选：A ▌迁移练2-3（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 题型3 用三种方式表示变量间的关系 ▌例3 （25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 解题要点 1. 表格法：通过列出多组对应数据，直观呈现变量间的变化规律。解题时需观察数据增减趋势，估算未列出的值，但精度有限。 2. 解析式法（关系式法）：用含自变量的代数式表示因变量（如y=2x+1），能精确计算任意对应值。解题时需根据已知条件建立方程，化简表达式。图象法作为辅助（描点连线看趋势），用于验证规律。 ▌迁移练3-1（25-26八年级上·四川成都·月考）在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题通过对表格数据的分析，利用给定公式求解函数关系式及相关问题，考查了对函数概念的理解和应用，算术平方根的应用； （1）直接从表格中查找对应数据； （2）利用表格中一组数据代入公式求出，进而得到函数关系式； （3）将的值代入函数关系式求解． 【详解】（1）解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米． 答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米． （2）解：把，代入， 得到，即， 解得， ∴； （3）解：把代入， 得到，即． 因为速度，所以千米/小时． ▌迁移练3-2（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． (1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； (2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 【答案】(1)PQLM，DQB (2)， 【分析】本题主要考查常量与变量： （1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M；将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B； （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，；当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 【详解】（1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M，所以“STOP”加密后的信息是“PQLM”． 将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B， “ANY”在加密前是“DQB”． 故答案为：PQLM    DQB （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，． 当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 故答案为：    ▌迁移练3-3（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 【答案】(1)，甲； (2)， (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系： （1）观察图像即可； （2）根据路程时间速度即可求； （3）观察图像即可得到故障时间，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可． 【详解】（1）根据图像可知，本次比赛全程是， 机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为， 所以机器人甲先到终点； （2）根据图像可知，平均速度为：， 路程和时间的关系式是：； （3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了， ，同一时刻，越大，越大， 图像越为陡峭， 恢复运行后，乙的线比甲陡， 机器人乙的速度机器人甲的速度． 题型4 动点问题的函数图象 ▌例4 （25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动；则，根据题意解答即可； （2）当时，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点P在上，三种情况解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象中获取相关信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 解题要点 1. 分段分析运动过程：根据动点的运动路径和时间节点，将运动过程分段（如点在线段上、在折点上）。每段分别确定因变量（如面积、长度）与时间t的关系式，注意自变量的取值范围。 2. 关注特殊点与趋势：抓住起点、终点、拐点（如动点到达顶点时）对应的函数值。结合图象判断增减性（上升/下降/不变），筛选选项时注意排除不符合变化趋势的图象。分段函数需注意交点处连续性。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积； （1）根据由图2可知，点沿向点运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长， （2）根据三角形面积公式求得与的关系式； （3）把代入关系式即可求得的值，根据与之间的关系式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，在点沿向点运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 故答案为：，． （2）根据三角形的面积公式得： （3）当时， ▌迁移练4-2（25-26七年级下·陕西·期末）已知动点M以每秒的速度沿如图1所示的边框按从的路径移动，相应的的面积与点M的运动时间的图象如图2所示．    (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)观察图2，的面积S最大为多少？ (3)当t取何值时，的面积保持不变？ 【答案】(1)点M的运动时间t；的面积S． (2)的面积S最大为； (3)第4秒至第6秒或第9秒至第11秒； 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，解答本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积； （2）根据图象可知的面积S最大为； （3）根据图象可知，图象平行x轴的部分即为面积不变的部分，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积； 故答案为：时间t；面积S； （2）解：根据图象可知的面积S最大为； （3）解：根据图象可知，第4秒至第6秒或第9秒至第11秒时，的面积保持不变． ▌迁移练4-3（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，画一次函数图像，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据函数图象可得时，，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，进而求得当点在上时，的关系式，即可求解； （3）根据题意画出一次函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象可得当点运动到点，即时，， 设点到的距离为， ∴， ∴ 解得：， 即点到的距离是， 故答案为：． （2）解：当时，； 如图，当点在上时，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，点到的距离是， ∴ 在中， ∴ ∴当时，在上， ∴，， 在中，， ∴ ∴ （3）解：当时，， 如图所示， 题型5 一次函数的识别 ▌例5 （25-26八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、是常数，且）的整式函数叫做一次函数，逐一判断选项． 【详解】解：选项A：中自变量的次数为2，是二次函数，不符合题意； 选项B：是反比例函数，不是整式函数，不符合题意； 选项C：符合一次函数的形式（，），是一次函数，符合题意； 选项D：不是自变量的一次整式，不属于一次函数，不符合题意． 解题要点 1. 形式判定：一次函数需满足 y=kx+b（k≠0），自变量x次数为1。若解析式可化为该形式，则是一次函数；若k=0则y=b为常函数，不是一次函数。注意自变量在分母或根号内时不是一次函数。 2. 先化简再识别：含括号或合并项时需先化简（如y=2（x+1）可化为y=2x+2）。正比例函数是特殊的一次函数（b=0）。判断时需排除自变量含绝对值（如y=|x|）等非一次函数形式。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·上海·期中）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：逐一判断各函数： ①中未说明，因此不一定是一次函数； ②，符合（，）的形式，是一次函数； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④，符合（，）的形式，是一次函数； ⑤中自变量的最高次数为2，不是一次函数； 综上，一次函数共有2个． ▌迁移练5-3（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， 指数满足，且系数满足， 由得，， 由得， ， 故选：． 题型6 一次函数的图象和性质 ▌例6 （25-26八年级下·云南红河·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．当时， C．图象经过第一、三、四象限 D．图象必经过点 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性、图象与系数的关系，结合代入验证法判断各选项． 【详解】解：A．∵， ∴随的增大而增大，该选项错误； B．当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，，该选项错误； C．∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，该选项正确； D．当时，， ∴一次函数的图象不经过点，该选项错误． 解题要点 1. 图象位置与k、b关系：k＞0时图象从左下到右上（增函数），k＜0时从左上到右下（减函数）。b＞0交y轴正半轴，b=0过原点，b＜0交y轴负半轴。 2. 与坐标轴交点：令x=0求与y轴交点（0，b），令y=0求与x轴交点（-b/k，0）。利用两点法快速画图，结合图象分析增减性。注意k决定倾斜程度，|k|越大越陡。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·山西大同·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于正半轴 C．它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D．图象过点，，若，则 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一次函数，，， ，， 图象经过第一、三、四象限， 故该选项错误，不符合题意； B、， 图象与轴交于负半轴， 故该选项错误，不符合题意； C、将正比例函数向下平移1个单位长度，得到， 故该选项正确，符合题意； D、， 随的增大而增大， 若，则， 故该选项错误，不符合题意． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【答案】A 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． ▌迁移练6-3（25-26八年级下·河北承德·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．若点，在该函数的图象上，且，则 D．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【详解】解：已知一次函数，其中，． ∵当时，， ∴函数图象与轴交点坐标为，A正确，不符合题意． ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，B正确，不符合题意． ∵， ∴随的增大而减小，若，则，C正确，不符合题意． ∵将函数图象向下平移6个单位长度，根据平移规则“上加下减”，可得新函数解析式为，不是， ∴D错误，符合题意． 题型7 利用一次函数的性质求解 ▌例7 （25-26八年级下·青海西宁·期末）点和在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：直线解析式为，一次项系数， 随的增大而增大． 两点横坐标分别为和，满足， ． 解题要点 1. 增减性求取值范围：由k的符号判断y随x的增减性。若k＞0，则y随x增大而增大；k＜0则减小。据此由x范围求y范围（或由y范围求x范围），注意取端点值。 2. 系数符号与图象位置：利用k、b的符号确定图象过哪些象限，反之由图象位置求k、b符号。常结合与坐标轴交点（0，b）和（-b/k，0）建立方程或不等式，解参数值或范围。注意k≠0。 ▌迁移练7-1（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． ▌迁移练7-2（25-26八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． ▌迁移练7-3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点，此时，周长最小，为线段的长度，根据直线解析式求出交点坐标，得出相关线段的长度，根据轴对称的性质得出相等的边和角，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，作点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点， 此时，，周长最小，为线段的长度， 当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 根据轴对称的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴周长的最小值是． 题型8 求一次函数的表达式 ▌例8 （25-26八年级下·福建南平·期中）已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2) 如图： (3)点不在函数图象上；点在函数图象上 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）过原点和画出函数图象即可求解； （3）分别将，，代入解析式，求得函数值，即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数()的图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）略 （3）将，代入中，得 ， 点不在函数图象上； 将 ，代入中，得， 点在函数图象上 解题要点 1. 待定系数法：设一次函数为 y=kx+b（k≠0）。将已知条件（如两点坐标、一点及k或b值）代入，建立关于k、b的方程（组），解出k、b后回代。 2. 利用特殊条件简化：若为正比例函数，设 y=kx，只需一个非原点条件。若已知图象平行某直线（k相等）或过定点，可减少未知数。注意若已知与坐标轴交点，可直接得b或x轴截距，简化求解。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·江西吉安·期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． (1)根据图象，分别求出，关于的函数表达式． (2)求两车相遇的时间． 【答案】(1)关于的函数表达式为，关于的函数表达式为 (2)两车相遇的时间为 【分析】本题通过考查一次函数的应用，正确从图象上获取信息，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． （1）可根据待定系数法来确定函数关系式； （2）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）设关于的函数表达式为 由图可知，，解得 故关于的函数表达式为 设关于的函数表达式为 由图可知，，，解得 故关于的函数表达式为 （2）当出租车与客车相遇时，由题意，得，解得 故两车相遇的时间为． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的长； (3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的长为 (3)点的坐标为，，， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确分类讨论是解决此题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线与的交点的坐标，再利用勾股定理求解即可； （3）设点，分别求得，分及三种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：正比例函数与一次函数的图象互相平行， ， 一次函数图象经过点， ， ， 一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， ， ， 的长为； （3）解：存在，设点， ， 由勾股定理得：， ， 时， ，解得：，即点的坐标为， 时， ，解得：，即点的坐标为，， 时，，解得：（舍去），即点的坐标为， 综上，点的坐标为，，，． ▌迁移练8-3（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型9 画一次函数的图象 ▌例9 （25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 解题要点 1. 两点法确定直线：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。取两个特殊点：与y轴交点（0，b） 和与x轴交点（-b/k，0）（或另取一整数点），在坐标系中标出。 2. 描点连线标注：用平滑直线连接两点并向两端延长，注意箭头表示延伸方向。标注函数解析式和关键点坐标。k的正负决定直线从左下到右上或左上到右下，b决定与y轴交点位置。 ▌迁移练9-1（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，与x轴交点为A，与y轴交点为B．请完成下列问题： (1)画出这个函数的图象（直接在图中描点、连线，并标注出点A与点B） (2)直接写出A，B两点的坐标：A__________，B__________； (3)观察图象，在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是__________；当时，y的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)，； (3)；． 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）分别将、代入函数表达式，求出点A、B的坐标即可； （3）根据第三象限内点的横、纵坐标都小于0，所以结合A点横坐标，确定x的取值区间；根据一次函数中，y随x的增大而增大，将x的两个端点值分别代入函数表达式，得到对应的y值，即可确定y的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解：令得：， 解得：， 点的坐标为， 令得：， 点的坐标为； （3）解：第三象限内点满足、， 令， 解得：， 在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是； 一次项系数， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． ▌迁移练9-2（25-26八年级下·湖北荆州·期末）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 【答案】(1)①表格如下： ② (2) (3) 【分析】（1）①把、代入求解即可； ②描点作图即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）根据平移规律作答即可． 【详解】（1）解：①把代入，解得； 把代入，解得； 表格略； ②作图略； （2）解：由函数图象可知随增大而增大， 因此当​时，； （3）解：原函数向上平移3个单位得：， 再向右平移1个单位得：， 因此平移后直线表达式为：． ▌迁移练9-3（25-26八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 【答案】(1)①3；② (2) (3)①4；②该函数图象关于 轴对称（答案不唯一） 【分析】（1）①代入x的值即可求出a；②把 代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把 代入 ，得 . ②把 代入 ，得 ， 解得 或10， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 题型10 一次函数的实际应用 ▌例10 （25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 解题要点 1. 建模列式：仔细审题，设自变量和因变量，根据等量关系列出一次函数解析式 y=kx+b（k≠0）。注意标明自变量的实际取值范围（如时间≥0、件数为整数），并代入已知条件确定k、b。 2. 求值验实际：将已知数据代入解析式求值，或利用增减性分析变化趋势。关键要验证结果是否符合实际意义（如人数不能为负、价格不能为小数等），最后作答要带单位。结合图象可直观解决最大/最小值问题。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·河北邯郸·期末）聪聪同学运用所学的一次函数知识探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，用可以显示水量的容器做试验，探究容器内盛水量与滴水时间的关系，并根据试验数据制作了一个表格，结合表格中的相关数据解答下列问题．    时间 水量 (1)容器内原有水_____________． (2)已知与之间满足一次函数的关系，请求出与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满多少瓶容量为的矿泉水瓶． 【答案】(1) (2)；13瓶 【分析】（1）根据表格即可回答问题； （2）设w与t之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解；将代入即可求解． 【详解】（1）解：观察表格知，时，， 即容器内原有水． （2）解：设w与t之间的函数关系式为， 将代入，得：， 解得：， 故w与t之间的函数关系式为； 一天小时是分钟， 当时，一天的滴水量， ， 即这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满瓶容量为的矿泉水瓶． ▌迁移练10-3（25-26八年级下·广东汕头·期末）项目式学习（购车选择） 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用： A型电动车每百公里耗电度电，每度电元； B型燃油车每百公里耗油升，每升油价元； 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 行驶公里数（公里） 每公里耗能费用（元） 购车费用与耗能费用总和（元） A型电动车 B型燃油车 项目任务： (1)计算：每公里耗能费用分别为元、元，购车费用与耗能费用总和分别为元，元：________，________，________，________； (2)购车选择：比较两种车型的总费用，并给出购车建议； (3)追加任务：小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，需要投入多少费用？（备注：．行驶路程超过万公里，网约车强制报废；．网约车每年平均行程万公里；．电动车保险费：元/年；．电动车保养费：元/万公里） 【答案】(1)，，， (2)当时，选择B型燃油车更划算；当时，两种车型总费用相同，选择任意一种均可；当时，选择A型电动车更划算； (3)需要投入的费用是元 【分析】（1）根据题意求得和的值，根据“购车费+每公里耗能费×行驶公里数”分别求得和； （2）分，和，列式计算即可求解； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：（元）， （元）， ， ； （2）解：令，则， 解得，选择B型燃油车更划算； 令，则， 解得，两种车型总费用相同，选择任意一种均可； 令，则， 解得，选择A型电动车更划算； （3）解：1、强制报废最大里程：60万公里，年均行程10万公里→使用年限：年， 2、保险费：5000元/年→总保险费：元， 3、保养费：120元/万公里→总保养费：元， 4、购车费：155000元， 5、能耗费：每公里0.09元，总里程60万公里→元， 总投入费用求和：元． 难点一 两条一次函数图象共存问题 难点1：同一参数对双线特征的协同影响** 若两函数含相同待定系数k 或 b，需同时满足各自在坐标系中的直线形态（倾斜方向、截距正负）。难点在于构建参数不等式组，并确保k、b的取值能同时兼容两条直线的走势，学生常孤立分析单线而忽略参数制约。 难点2：直线位置关系的逻辑冲突** 两直线或相交或平行，与k、b取值直接相关。难点在于依据k的相等或不等关系，验证两直线的相对位置（如是否过同一点）是否与图象特征矛盾。若忽视这种联动验证，极易误选形似实异的错误选项。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．分别根据函数和经过的象限判断中k的符号和中k的符号是否一致，符号一致则正确，符号不一致则不正确． 【详解】解：A、由的图像过二、四象限可知，由的图像过二、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； B、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、二、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； C、由的图像过二、四象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； D、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数中，，的符号，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、由图象可知有一条直线经过原点，则或，不合题意，故选项不正确，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 难点二 利用正比例函数的定义求函数表达式 难点1：定义形式的严格匹配** 正比例函数形如y=kx（ k≠0），自变量指数必须为1且无常数项。难点在于识别并转化含“成正比”“随x增大而增大”等语言条件，将其准确解读为y=kx模型，若误将一次函数（含常数项）代入则导致错误。 难点2：比例系数k的确定与约束** 通过一组x、y值即可求k。难点在于挖掘隐含条件（如图象过原点、k≠0、对应点所在象限），尤其在多组数据或图象信息中精准取值，并排除使k=0或使关系式失效的干扰项。 难点精练 1．（25-26八年级下·天津南开·阶段检测）已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得，解得． 与x之间的函数关系式为； （2）由（1）知，， 则当时，， ． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 难点三 利用一次函数的增减性求实际问题中的最值问题 难点1：实际背景向一次函数模型的转化** 需从文字描述中提取自变量与因变量，建立 y=kx+b关系式。难点在于审题时准确把握“单位变化量”对应的k值，并正确区分固定成本与可变成本，若关系式偏差则后续增减分析失去意义。 难点2：自变量范围的约束与端点处理** 实际问题中自变量受数量、时间、长度等现实条件限制。难点在于根据题中“不超过”“至少”等词精准确定闭区间，并理解一次函数最值必在区间端点取得。学生常忽略端点取值或区间开放性，导致最值误判。 难点精练 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 2．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 难点四 一次函数与几何图形的综合问题 难点1：几何特征的点坐标转译** 图形中的“中点”“垂直”“面积”等几何条件需转化为点坐标间的距离、斜率或方程组关系。难点在于灵活设元表示交点，并利用待定系数法建立方程，若设元不当则运算量激增。 难点2：多个几何条件的协同筛选** 问题常同时涉及三角形、四边形等多种图形，需将各约束条件联立为方程组，并结合函数图象象限与图形实际范围剔除不合理解。难点在于保持各条件逻辑一致，筛选过程极易因忽略区域限制而保留增根。 难点精练 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解：， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 难点五 一次函数中的新定义型综合问题 难点1：新运算向一次函数解析式的等价转化** 新定义常构造“关联点”“对称变换”等非常规规则，需将其精准转化为y=kx+b中k、b的约束关系。难点在于剥离文字表象，建立含参方程，若转化偏差则后续求解失真。 难点2：新定义与函数性质的交叉验证** 探究结论时，需将新定义与增减性、象限分布、交点等固有性质结合，并以参数分类讨论。难点在于兼顾双重规则的兼容性，逆向推理时易忽视定义域或取值范围限制，导致增解或证伪不全。 难点精练 1．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解：， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 2．（25-26八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) ①证明：∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ； ②或 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①略 ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 基础达标 一、选择题 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 3．已知一次函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．图像必经过点 C．当时，图象经过第一、二、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数的性质，分析各选项是否符合条件． 【详解】解：A．若，则，一次函数，随的增大而增大；当时，不是一次函数，该选项错误． B．∵一次函数，∴，即，将代入，得，解得，与题意矛盾，该选项错误． C． 当时，，且，此时函数图像经过第一、二、四象限，该选项正确． D． 当时，当，即，则；当，即，y随着x增大而减小，即y小于2，即该选项错误． 故选C． 4．若实数满足，且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法法则，一次函数的图象，由，且，可得，，进而得到一次函数的图象经过一、三、四象限，即可判断求解，由题意判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：． 5．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键． 先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案． 【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， 则， ∴， ∴， ∵点M是直线上的“姐妹点”， ， ∴， ∴点， 故答案为：D． 6．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②甲出发后被乙追上； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④不正确． 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确，不符合题意； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴甲出发后被乙追上，故②正确，不符合题意； ③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意； ④设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则 解得； 当乙车到达地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④不正确，符合题意； 综上所述，错误的个数是1个． 故选：B． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 8．已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的定义，即函数形式应为，其中和为常数，且，通过比较给定函数形式与一次函数的标准形式，列出关于的方程，然后求解．本题主要考查了一次函数的定义及其性质，熟练掌握一次函数的定义，即函数形式为（其中和为常数，且），是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 由，可得或， 考虑，可得， ∴． 故答案为： 9．晋中市日间出租车价格规定：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，根据题意表述：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．可表示出与的函数关系． 【详解】解：由题意可知，总费用等于2千米以内的费用与超出2千米部分的费用之和， 因此可列式，化简后得 故答案为：． 10．一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符号特征进行取舍．先表示出一次函数与轴、轴交点坐标，再根据图象信息确定取值范围，最后根据“一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 一次函数与轴的交点为，与轴的交点为 一次函数经过第一象限，且 一次函数图象与轴、轴交点均在正半轴，即 一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2 即 或（舍） 故答案为：2． 11．已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y的最大值是． 故答案为： 12．如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 13．若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值： （1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把点代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成正比例， ∴设，     ∵当时，，则， ∴，     ∴函数的表达式． （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴m的值为． 14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距 ， ； (2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； (3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【答案】(1)540，6 (2)；甲、乙出发3h后在距离B地处相遇 (3)或 【分析】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． （1）根据图象和题意直接得出结论； （2）先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义； （3）根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式； 【详解】（1）解：由图象可知：两地相距， 乙在时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到地， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意知：（）， ∴（， ∴， ∴， ∴， 点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地处相遇； （3）解：当时，图象过原点和E点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，设， 把和代入得， ， 解得：， ∴， 综上：； 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 16．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可； （2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可； （3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格，x增加，y减小， 则， 关于x的函数解析式为， 当时，， 当时，的值为2； （2）解：根据题意，得，即， 解得， 答：此时单层部分的长度是； （3）解：， 当时，得， 解得， ， ， 的取值范围为． 能力进阶 1．已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵，， ∴y值随x值的增大而减小，故C错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D错误 当时， ∴函数图象与y轴的交点为，故B正确，当时，，故A错误， 故选：B． 2．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，此时，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点， ． 为的中点， ，即， 解得． 在中，， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 4．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据建立等式． 利用解析式求出点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：直线交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为， 点是轴上一点（不与点A重合），且， 点在点右侧， 设点的坐标为， 则， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 5．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案： 甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本； 乙方案：所有商品按总价的9折出售． (1)分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式； (2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱． 【答案】(1)甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为，乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为； (2)当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，分三种情况讨论，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得 ； ； 答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为； （2）解：当时，则有： ， 解得， ∴当时，两种方案花费都一样， 当时，则有：， 解得， ∴当时，选择乙方案更省钱， 当时，则有：， 解得， 又∵， ∴当时，选择甲方案更省钱， 答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),， (2), (3)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）令，求出；令，求出；继而求出； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 7．阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理解题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键． （1）根据“和谐点”的概念，计算，即可求解． （2）先由“和谐点”的定义求解点P的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可． （3）①先由“和谐点”的定义表示出x和y，再根据t的表达式求解即可； ②根据点、点的横坐标相同，可求解x的值进而可求解t的值，即可求解点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点，， 设点， ∴有，， ∴点的坐标； 故答案为：． （2）解：设， ∵点是点，的“和谐点”， ∴， ∴， ∴点向左平移3个单位的像点的坐标为． （3）①解：∵点是点，的“和谐点”， ； ， ， 即； ②解：∵直线交轴于点，， 点、点的横坐标相同， ， ， ， 故． 8．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 复习要点 1. 理解函数的概念，能根据“对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应”区分函数关系与非函数关系。 2. 掌握一次函数和正比例函数的概念，能依据自变量次数为1、系数不为0等条件，准确区分一次函数与正比例函数。 3. 掌握一次函数的图象与性质，能区分系数k（决定增减性及图象倾斜方向）和b（决定与y轴交点位置）的作用，并据此确定图象经过的象限。 4. 掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，能根据两个独立条件列方程组求解k和b。 5. 理解一次函数与一元一次方程的联系，能运用一次函数模型解决行程、利润等实际问题。 复习重难点 重点：一次函数的图象与性质（k、b的作用），以及用待定系数法求解析式。 难点：灵活运用一次函数图象与性质解决综合问题（如行程分析、方案选择），并应用数形结合思想。 知识点 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） 要点速测 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列图象中，不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是学校门口人行道隔离护栏平面示意图，每根立柱宽为0.1米，立柱间距为3米． (1)根据题意，将下列表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 0.1 3.2 9.4 (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是 ； (3)求护栏总长度为59米时立柱的根数？ 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 知识点 一次函数概念 一次函数的概念：形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 要点速测 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海·期中）下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南信阳·期末）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点 一次函数的图象和性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 要点速测 7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．随的增大而增大 C．图象经过第一、二、三象限 D．图象与轴的交点坐标是 8．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）画出函数的图象． … … … … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)若点在函数的图象上，求出的值． 知识点 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 要点速测 9．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．设两个气球所在位置的海拔分别为和（单位：），上升时间为x（单位：）． (1)用式子分别表示和关于x的函数关系； (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？ (3)当x为多少时，两气球海拔相差10米． 10．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围） (2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围； (3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果） 题型1 函数的概念 ▌例1 （25-26八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 解题要点 1. 判断变量对应关系：函数需满足对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。解题时检查x取值是否对应多个y值，若对应多个则不是函数。 2. 确定自变量取值范围：实际问题中还需考虑自变量实际意义（如时间≥0、人数为正整数）。含分式或根式时，需满足分母不为0、被开方数≥0等条件，确保函数有意义。注意“唯一”是核心。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·广东梅州·期中）有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌迁移练1-3（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2 变量、常量 ▌例2 （25-26七年级下·全国·课后作业）已知圆的周长C与半径r的计算公式为，则下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 解题要点 1. 辨别标准：在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量（如时间t、路程s），数值始终保持不变的量为常量（如π、速度v）。解题时需从实际背景或表达式里区分。 2. 隐含常量识别：常量不一定是具体数字，也可能是特定字母（如圆的周长公式C=2πr中，2和π是常量，r和C是变量）。含参数问题中，若参数在变化过程中不变，则视为常量。注意区分变量与参数。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 ▌迁移练2-2（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（　　） A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量 ▌迁移练2-3（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 题型3 用三种方式表示变量间的关系 ▌例3 （25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 解题要点 1. 表格法：通过列出多组对应数据，直观呈现变量间的变化规律。解题时需观察数据增减趋势，估算未列出的值，但精度有限。 2. 解析式法（关系式法）：用含自变量的代数式表示因变量（如y=2x+1），能精确计算任意对应值。解题时需根据已知条件建立方程，化简表达式。图象法作为辅助（描点连线看趋势），用于验证规律。 ▌迁移练3-1（25-26八年级上·四川成都·月考）在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） (1)当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ (2)据了解 ，请求出与的函数关系式； (3)若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ ▌迁移练3-2（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． (1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； (2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． ▌迁移练3-3（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 题型4 动点问题的函数图象 ▌例4 （25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 解题要点 1. 分段分析运动过程：根据动点的运动路径和时间节点，将运动过程分段（如点在线段上、在折点上）。每段分别确定因变量（如面积、长度）与时间t的关系式，注意自变量的取值范围。 2. 关注特殊点与趋势：抓住起点、终点、拐点（如动点到达顶点时）对应的函数值。结合图象判断增减性（上升/下降/不变），筛选选项时注意排除不符合变化趋势的图象。分段函数需注意交点处连续性。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·陕西·期末）已知动点M以每秒的速度沿如图1所示的边框按从的路径移动，相应的的面积与点M的运动时间的图象如图2所示．    (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)观察图2，的面积S最大为多少？ (3)当t取何值时，的面积保持不变？ ▌迁移练4-3（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图①，在四边形中，，，点从出发沿着“”匀速运动，到停止．的面积随点运动的路程变化的部分函数图象如图②所示： (1)点到的距离是__________； (2)求的面积关于点运动路程的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围； (3)在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）． 题型5 一次函数的识别 ▌例5 （25-26八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 形式判定：一次函数需满足 y=kx+b（k≠0），自变量x次数为1。若解析式可化为该形式，则是一次函数；若k=0则y=b为常函数，不是一次函数。注意自变量在分母或根号内时不是一次函数。 2. 先化简再识别：含括号或合并项时需先化简（如y=2（x+1）可化为y=2x+2）。正比例函数是特殊的一次函数（b=0）。判断时需排除自变量含绝对值（如y=|x|）等非一次函数形式。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26八年级下·上海·期中）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练5-3（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 题型6 一次函数的图象和性质 ▌例6 （25-26八年级下·云南红河·期末）关于函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．当时， C．图象经过第一、三、四象限 D．图象必经过点 解题要点 1. 图象位置与k、b关系：k＞0时图象从左下到右上（增函数），k＜0时从左上到右下（减函数）。b＞0交y轴正半轴，b=0过原点，b＜0交y轴负半轴。 2. 与坐标轴交点：令x=0求与y轴交点（0，b），令y=0求与x轴交点（-b/k，0）。利用两点法快速画图，结合图象分析增减性。注意k决定倾斜程度，|k|越大越陡。 ▌迁移练6-1（25-26八年级下·山西大同·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于正半轴 C．它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D．图象过点，，若，则 ▌迁移练6-2（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 ▌迁移练6-3（25-26八年级下·河北承德·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．若点，在该函数的图象上，且，则 D．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数的图象 题型7 利用一次函数的性质求解 ▌例7 （25-26八年级下·青海西宁·期末）点和在直线上，则________．（填“”“”或“”） 解题要点 1. 增减性求取值范围：由k的符号判断y随x的增减性。若k＞0，则y随x增大而增大；k＜0则减小。据此由x范围求y范围（或由y范围求x范围），注意取端点值。 2. 系数符号与图象位置：利用k、b的符号确定图象过哪些象限，反之由图象位置求k、b符号。常结合与坐标轴交点（0，b）和（-b/k，0）建立方程或不等式，解参数值或范围。注意k≠0。 ▌迁移练7-1（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． ▌迁移练7-2（25-26八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． ▌迁移练7-3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______． 题型8 求一次函数的表达式 ▌例8 （25-26八年级下·福建南平·期中）已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 解题要点 1. 待定系数法：设一次函数为 y=kx+b（k≠0）。将已知条件（如两点坐标、一点及k或b值）代入，建立关于k、b的方程（组），解出k、b后回代。 2. 利用特殊条件简化：若为正比例函数，设 y=kx，只需一个非原点条件。若已知图象平行某直线（k相等）或过定点，可减少未知数。注意若已知与坐标轴交点，可直接得b或x轴截距，简化求解。 ▌迁移练8-1（25-26八年级上·江西吉安·期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． (1)根据图象，分别求出，关于的函数表达式． (2)求两车相遇的时间． ▌迁移练8-2（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的长； (3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标． ▌迁移练8-3（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 题型9 画一次函数的图象 ▌例9 （25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 解题要点 1. 两点法确定直线：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。取两个特殊点：与y轴交点（0，b） 和与x轴交点（-b/k，0）（或另取一整数点），在坐标系中标出。 2. 描点连线标注：用平滑直线连接两点并向两端延长，注意箭头表示延伸方向。标注函数解析式和关键点坐标。k的正负决定直线从左下到右上或左上到右下，b决定与y轴交点位置。 ▌迁移练9-1（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，与x轴交点为A，与y轴交点为B．请完成下列问题： (1)画出这个函数的图象（直接在图中描点、连线，并标注出点A与点B） (2)直接写出A，B两点的坐标：A__________，B__________； (3)观察图象，在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是__________；当时，y的取值范围是__________． ▌迁移练9-2（25-26八年级下·湖北荆州·期末）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． ▌迁移练9-3（25-26八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 题型10 一次函数的实际应用 ▌例10 （25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 解题要点 1. 建模列式：仔细审题，设自变量和因变量，根据等量关系列出一次函数解析式 y=kx+b（k≠0）。注意标明自变量的实际取值范围（如时间≥0、件数为整数），并代入已知条件确定k、b。 2. 求值验实际：将已知数据代入解析式求值，或利用增减性分析变化趋势。关键要验证结果是否符合实际意义（如人数不能为负、价格不能为小数等），最后作答要带单位。结合图象可直观解决最大/最小值问题。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·河北邯郸·期末）聪聪同学运用所学的一次函数知识探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间的关系，用可以显示水量的容器做试验，探究容器内盛水量与滴水时间的关系，并根据试验数据制作了一个表格，结合表格中的相关数据解答下列问题．    时间 水量 (1)容器内原有水_____________． (2)已知与之间满足一次函数的关系，请求出与之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天（24小时）的滴水量最少可以装满多少瓶容量为的矿泉水瓶． ▌迁移练10-3（25-26八年级下·广东汕头·期末）项目式学习（购车选择） 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用： A型电动车每百公里耗电度电，每度电元； B型燃油车每百公里耗油升，每升油价元； 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 行驶公里数（公里） 每公里耗能费用（元） 购车费用与耗能费用总和（元） A型电动车 B型燃油车 项目任务： (1)计算：每公里耗能费用分别为元、元，购车费用与耗能费用总和分别为元，元：________，________，________，________； (2)购车选择：比较两种车型的总费用，并给出购车建议； (3)追加任务：小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，需要投入多少费用？（备注：．行驶路程超过万公里，网约车强制报废；．网约车每年平均行程万公里；．电动车保险费：元/年；．电动车保养费：元/万公里） 难点一 两条一次函数图象共存问题 难点1：同一参数对双线特征的协同影响** 若两函数含相同待定系数k 或 b，需同时满足各自在坐标系中的直线形态（倾斜方向、截距正负）。难点在于构建参数不等式组，并确保k、b的取值能同时兼容两条直线的走势，学生常孤立分析单线而忽略参数制约。 难点2：直线位置关系的逻辑冲突** 两直线或相交或平行，与k、b取值直接相关。难点在于依据k的相等或不等关系，验证两直线的相对位置（如是否过同一点）是否与图象特征矛盾。若忽视这种联动验证，极易误选形似实异的错误选项。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B．C．D． 3．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C． D． 难点二 利用正比例函数的定义求函数表达式 难点1：定义形式的严格匹配** 正比例函数形如y=kx（ k≠0），自变量指数必须为1且无常数项。难点在于识别并转化含“成正比”“随x增大而增大”等语言条件，将其准确解读为y=kx模型，若误将一次函数（含常数项）代入则导致错误。 难点2：比例系数k的确定与约束** 通过一组x、y值即可求k。难点在于挖掘隐含条件（如图象过原点、k≠0、对应点所在象限），尤其在多组数据或图象信息中精准取值，并排除使k=0或使关系式失效的干扰项。 难点精练 1．（25-26八年级下·天津南开·阶段检测）已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 2．（25-26八年级上·安徽池州·期末）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 难点三 利用一次函数的增减性求实际问题中的最值问题 难点1：实际背景向一次函数模型的转化** 需从文字描述中提取自变量与因变量，建立 y=kx+b关系式。难点在于审题时准确把握“单位变化量”对应的k值，并正确区分固定成本与可变成本，若关系式偏差则后续增减分析失去意义。 难点2：自变量范围的约束与端点处理** 实际问题中自变量受数量、时间、长度等现实条件限制。难点在于根据题中“不超过”“至少”等词精准确定闭区间，并理解一次函数最值必在区间端点取得。学生常忽略端点取值或区间开放性，导致最值误判。 难点精练 1．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 2．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 难点四 一次函数与几何图形的综合问题 难点1：几何特征的点坐标转译** 图形中的“中点”“垂直”“面积”等几何条件需转化为点坐标间的距离、斜率或方程组关系。难点在于灵活设元表示交点，并利用待定系数法建立方程，若设元不当则运算量激增。 难点2：多个几何条件的协同筛选** 问题常同时涉及三角形、四边形等多种图形，需将各约束条件联立为方程组，并结合函数图象象限与图形实际范围剔除不合理解。难点在于保持各条件逻辑一致，筛选过程极易因忽略区域限制而保留增根。 难点精练 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 难点五 一次函数中的新定义型综合问题 难点1：新运算向一次函数解析式的等价转化** 新定义常构造“关联点”“对称变换”等非常规规则，需将其精准转化为y=kx+b中k、b的约束关系。难点在于剥离文字表象，建立含参方程，若转化偏差则后续求解失真。 难点2：新定义与函数性质的交叉验证** 探究结论时，需将新定义与增减性、象限分布、交点等固有性质结合，并以参数分类讨论。难点在于兼顾双重规则的兼容性，逆向推理时易忽视定义域或取值范围限制，导致增解或证伪不全。 难点精练 1．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 2．（25-26八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 基础达标 一、选择题 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．图像必经过点 C．当时，图象经过第一、二、四象限 D．当时， 4．若实数满足，且，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是； ②甲出发后被乙追上； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 8．已知函数是关于的一次函数，则 ． 9．晋中市日间出租车价格规定：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为 ． 10．一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 11．已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 12．如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 三、解答题 13．若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距 ， ； (2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； (3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 16．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 能力进阶 1．已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 2．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 4．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ． 5．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案： 甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本； 乙方案：所有商品按总价的9折出售． (1)分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式； (2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 8．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 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