第四章 一次函数（4大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

第四章 一次函数 教学目标 1. 理解函数、一次函数及正比例函数的概念，能辨别其关系，会确定简单实际问题中自变量的取值范围并求函数值。 2. 掌握一次函数表达式y=kx+b（k≠0），能通过已知条件确定表达式，会绘制其图象并探索k、b对图象的影响。 3. 能用一次函数解决简单实际问题，体会数形结合与模型思想，发展应用意识与几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）核心概念与表达式：明确一次函数和正比例函数的定义、关系，熟练用待定系数法求表达式。 （2）图象性质与应用：掌握一次函数图象特征及k、b的意义，能运用其解决实际问题与基础综合题。 2.难点 （1）性质理解：难以深度关联一次函数表达式中k、b的取值与图象变化趋势、函数增减性的关系。 （2）建模应用：难以将分段计费、方案选择等实际问题抽象为一次函数模型并求解。 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 题型01 函数概念的理解 【典例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意； C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·四川内江·期末）下列各图中表示y是x的函数的是（　  　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列曲线中．表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，选项C中的图象表示y是x的函数． 故选： 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列关于的图表或图象能表示y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的对应关系为每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，即对应关系为一对一或多对一，不能是一对多，据此进行判断即可。 【详解】解：由图可知：（1）（2）（5）能表示y是x的函数，（3）（4）存在一个的值对应多个值，不能表示y是x的函数； 故选C。 题型02 从函数图象中获取信息 【典例2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(单位∶cm)与注水时间t(单位∶min)的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图像得到在自变量增大的时候，函数是增大、减小、还是不变是解题的关键． 分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：圆柱形小水杯盛有部分水,故开始时小水杯水面的高度h(单位∶cm)大于0，故排除AD； 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度不变，； 当水面高度和小水杯一样高时，继续注水，水流入小水杯，小水杯水面的高度开始升高； 当小水杯注满水时，大圆柱形容器水面的高度继续升高，但此时小水杯水面的高度已达最大值，故不变，排除C， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期末）小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为x（h），两人离家的距离y（）与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示．结合图象信息下列结论正确的有（    ）个 ①爸爸的速度为 ②公园与家的距离为 ③小明到公园时，爸爸走了 ④爸爸出发或后两人相距 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，根据函数图象所提供的信息，分别对四个结论进行分析判断．根据图②可知，爸爸先出发后，小明才出发，此时两人相距，即可得出爸爸的速度；由图①可知，爸爸骑行到达公园，根据路程等于速度乘以时间，爸爸的速度为，即可求出公园与家的距离；由图①可知，小明骑行到达公园，小明的速度为．小明到公园时，爸爸骑行的时间为，即可求出爸爸走的路程；当爸爸出发后两人相距时，分小明出发前和出发后讨论：小明出发前：两人相距，此时爸爸骑行的时间为，根据，可知不符合题意；小明出发后：分为相遇前和相遇后相距两种情况，得出或；当小明已经到了公园，爸爸还在路上，他们相距时，根据题意可得：，求解可得得出答案． 【详解】解：根据图②可知，爸爸先出发后，小明才出发，此时两人相距，爸爸的速度为：，所以①正确． 由图①可知，爸爸骑行到达公园，根据路程等于速度乘以时间，爸爸的速度为，则公园与家的距离为：，所以②错误． 由图①可知，小明骑行到达公园，小明的速度为． 小明到公园时，爸爸骑行的时间为，爸爸走的路程为：，所以③正确． 当爸爸出发后两人相距时，分情况讨论： 小明出发前：两人相距，此时爸爸骑行的时间为． 因为， 所以小明出发前，爸爸出发后两人相距，不符合题意； 小明出发后：分为相遇前和相遇后相距两种情况， 设爸爸出发后两人相距，小明骑行的时间为． 根据路程关系可列方程或， 解得或（不符合题意）． 当小明已经到了公园，爸爸还在路上，他们相距时，根据题意可得：， 解得 所以爸爸出发或后两人相距，故④正确．    综上，①③④正确， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ）． A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从慧慧出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的分析． 根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A正确，不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B正确，不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C错误，不符合题意， D、从慧慧出发直至送餐结束，共需，故D正确，不符合题意； 故选：C． 题型03 一次函数的识别 【典例3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤； A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不合题意； ④不是一次函数，不合题意； ⑤是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②⑤， 故选：． 【变式3】（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如（，是常数，），其中是自变量，是因变量‌。． 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，不是一次函数， 综上所述，②③④是一次函数，共3个， 故选：C． 题型04 利用一次函数的定义求参数 【典例4】（24-25七年级下·山东东营·期末）若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数定义：形如的函数，由一次函数定义得到，且，求解即可得到答案．熟记一次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件． 根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 【变式3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件：自变量次数为1，且自变量系数不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 题型05 一次函数的图象和性质 【典例5】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象经过点 B．随增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．将的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、一次函数图象的性质等知识点，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质以及平移变换逐项判断即可解答． 【详解】解：A、当时，，故图象不经过，不符合题意； B、一次函数，y随x增大而减小，不符合题意； C、一次函数，，图象经过第一、二、四象限，不符合题意； D、将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过 B．图象可由直线向上平移个单位长度得到 C．图象经过第一、二、四象限 D．随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括图象经过的点、平移规律、象限分布及增减性，通过对一次函数的图象经过的点、图象的平移、图象经过的象限以及函数的增减性这几个方面进行分析是解题的关键． 【详解】解：选项A：将点代入，得，故图象不经过该点，A错误． 选项B：函数由向上平移3个单位长度得到（平移后解析式为），B正确． 选项C：，图象从左下向右上延伸，经过第一、三象限；，与y轴交于正半轴，故图象经过第一、二、三象限，C错误． 选项D：，故随的增大而增大，D错误． 【变式2】（24-25八年级下·天津·期末）下列关于一次函数的说法，错误的是(   ) A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴交于点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；由，可知图象经过第一、二、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，； 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、二、四象限，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，选项B正确，不符合题意； 令时，， ∴图象与轴的交点为，选项C不正确，符合题意； 令时，， 当时，，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）关于的一次函数，下列说法： ①若，则函数图象经过第一、二、三象限； ②若函数图象经过原点，则； ③无论为何实数，函数的图象总经过点． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把代入即可判断②；把代入解析式求得，即可判断③． 【详解】解：①， 一次函数为， 函数图象经过第一、二、三象限，故正确； ②函数图象经过原点， 且， ，故正确； ③， 时，， 函数的图象总经过，故正确． ∴①②③都正确．正确个数为3， 故选D． 题型06 利用一次函数的性质求解 【典例6】（24-25八年级下·重庆·期末）若点和在一次函数的图象上，则 （用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， 又∵点和在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．根据平移规律写出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 【详解】解：∵直线可以看作由直线向下平移2个单位长度而得到， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线与轴交点坐标为． 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数性质，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及函数性质解答即可． 【详解】解：由条件可知， ， 随x的增大而增大， ， ， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）若点是某函数图象上的一点，则把称为该点的“纵横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数的“娇小值”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，将代入，可得出，由，利用一次函数的性质，可得出的值随x的增大而减小，再结合，即可求出一次函数的“娇小值”，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴的值随x的增大而减小， 又∵， ∴当取得最小值，最小值为． 故答案为：． 题型07 求一次函数的表达式 【典例7】（24-25八年级下·吉林·期末）拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 【变式2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）周末，张华和李明相约去北坡公园锻炼，张华家、李明家及北坡公园大门顺次在一条直线上，张华家和李明家之间的距离为，两人分别同时从家出发，均保持匀速行走．如图，分别表示李明、张华两人到张华家的距离与两人的行走时间之间的关系． (1)求对应的函数表达式； (2)出发几分钟后，张华追上李明？ 【答案】(1)直线的函数表达式为的函数表达式为 (2)出发后，张华追上李明 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据题意，设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，进行求解即可。 【详解】（1）解：由图象，可设直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为：． 过点过点， ， 解得． 故直线的函数表达式为：的函数表达式为：； （2）由题意，得当时，张华追上李明，即， 解得， 出发后，张华追上李明． 【变式3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没有优惠． (1)若购进甲种跳绳条，付款元，求关于的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳绳的购进量，才能使付款总金额（元）最少． 【答案】(1) (2)当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）分和两种情况，再根据题意分别列出关系式即可； （2）设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条，根据题意得到，再利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条， 由题意得：， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值1020元， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值900元， ∵， ∴当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少． 题型08 画一次函数的图象 【典例8】（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 【变式1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）已知一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A点坐标：__________，B点坐标：________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求写步骤）； (3)求出的面积． 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3)的面积是 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，明确题意，利用一次函数的性质和数形结合思想进行解答是解题的关键． （1）根据题目中的一次函数解析式，利用“轴上所有点的纵坐标均为，轴上所有点的横坐标均为”即可求出点和点的坐标； （2）在平面直角坐标系中，根据、两点的坐标画出直线即可； （3）由点、点的坐标可以求得、的长度，然后根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 解得， 一次函数与轴的交点的坐标为； 令，得， 一次函数与轴的交点的坐标为； （2）解：一次函数的图象是一条直线， 在平面直角坐标系中，根据、两点的坐标画出直线，即可得到该函数的图象， 函数图象如图所示； （3）解：由点、点的坐标可知： ，， ， 的面积是． 【变式2】（24-25八年级上·广东河源·期末）已知函数． x 0 0 (1)填表，并画出这个函数的图象； (2)若将函数的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）将代入即可求出y的值，将代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象； （2）先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得：． 填写表格如下， x 0 0 图象见下图： ； （2）解：平移后的直线为， 即， 当时，， 当时，， 解得：， 则点A的坐标为，点B的坐标为． 所以的面积． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中________，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：________； 结论2：________ 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，画一次函数图象是解决问题的关键； （1）将，代入解析式求出、值即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图像，写出两个性质即可． 【详解】（1）解：将，分别代入得： ，， 解得：，． 故答案为：1；1； （2）解：如图， （3）解：根据题意得：（答案不唯一） 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论2：函数的图象关于直线对称． 题型09 一次函数的实际应用 【典例9】（24-25九年级上·吉林长春·期末）某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数图象如图所示， 据此回答以下问题： (1)乙复印社复印800页材料时收费 元； (2)求乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式； (3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是 页． 【答案】(1)320 (2) (3)1000 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）根据“甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同”求解即可； （2）先由（1）中数据求得a值，再根据乙复印社收费标准列函数关系式即可； （3）求出甲复印社中y与x的函数关系式，根据“甲复印社比乙复印社每月收费多50元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乙复印社复印800页材料时收费为（元）， 故答案为：320； （2）解：由（1）得，解得， 根据题意，乙复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即； （3）解：根据题意，甲复印社每月收费（元）与复印材料页数（页）之间的函数关系式为，即， 由得， 故该学校复印材料的页数是1000页． 故答案为：1000． 【变式1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【答案】(1)320；640 (2) (3)720元；8天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，进而可以判断得解； （3）由函数的图象可得，当时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于660元的天数． 【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是（件）， ∴这天销售利润是（元）， 故答案为：320，640； （2）解：设直线的函数关系式为，将代入， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 当，； 当，， ∴过，， 设直线的函数关系式为， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为， 令， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， 综上，y与x的函数关系式； （3）解：由函数的图象可得，当时，日销售为， 此时日销售利润最大为：（元）； 又∵每件利润为：（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件， ∴令，则有或， ∴或， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间， ∴（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2)米/秒，； (3) (4)秒 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒）， 提速后速度为（米／秒）． 段经过的时间为（秒）， ； 安安警官的速度为（米／秒）， ； （3）解：由题意得点，点． 设线段所在直线的函数解析式为， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段所在直线的函数解析式为， 当时，，当时，． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官后方120米时，， 解得； 当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，， 解得． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）． 【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 【答案】(1)16；； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，求出速度和，然后计算出点的速度，故可判断得解； （2）先求解，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴， ∴木块Q的运动速度． 故答案为：16；； （2）解：由（1）得：， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ，又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 题型10 一次函数与几何图形的综合 【典例10】（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离， （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点P的坐标为，结合点A，B的坐标可得出，的长，结合可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标． （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将A、B代入，得，解得， ∴直线AB所对应的函数表达式为； （2）解：设点P的坐标为．因为点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为 （3）解：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交x轴于点． (1)求直线的表达式． (2)如图，已知． ①D为直线上一点，若，求点D的坐标； ②点P为直线上一动点，连接、，，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为为或；②点P的坐标为或 【分析】（1）将点A的坐标代入函数表达式得，即可求解； （2）①由题意可分当D在x轴上方时，设直线交x轴于点H，然后可得，进而可得直线的表达式为：，则联立方程可求解；同理可求当D在x轴下方时，点D的坐标； ②由可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入函数表达式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：①如图，当D在x轴上方时，设直线交x轴于点H， 令时，则有， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 则，则点， 设直线的解析式为，由点C、H的坐标得， ，解得：， ∴直线的表达式为：； 联立，解得，即点D的坐标为； 当D在x轴下方时，同理可得直线的表达式为：； 联立，解得，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为为或； ②∵， ∴，即， 则， 解得：或3， 即点或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到面积的计算、一次函数的性质，分类求解是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______． (2)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点 (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； （2）存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数值y随自变量x的增大而减小 B．图象与x轴交于点 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大， 故选项A错误，选项C正确； 当时，，得， ∴图象与x轴交于点， 故选项B错误； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，， 故选项D错误； 故选：C． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，O为坐标原点，则的周长为（　　　） A．12 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出，，的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用勾股定理，可求出的长，再结合三角形的周长公式，即可求出的周长． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 在中，，，， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数与正比例函数（其中为常数，且）在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断正比例函数的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知，；即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【答案】D 【分析】根据速度＝路程时间求出出发第1小时汽车的平均速度，并写出y与x之间的函数表达式即可判断A、B；写出出发后y与x之间的函数关系式可判断C；根据C选项中求出的函数关系式，当时，求出对应x的值即可判断D． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：第一小时内汽车的平均速度为，则y与x之间的函数表达式是， ∴A、B不正确，不符合题意； 出发后汽车的速度为，则y与x之间的函数表达式是，可由直线向上平移75个单位得到， 不正确，不符合题意； 当时，解得， 小凡从家到黄果树景区的时间共用了， ∴D正确，符合题意． 故选：D 二、填空题 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）当时，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键． 根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三象限． ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴． ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 7．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位置不可能在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了两直线相交问题，熟记一次函数图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果． 【详解】解：直线过第一、二、三象限； 当时，直线过第一、二、四象限， 两直线交点可能在第一或第二象限； 当时，直线过第二、三、四象限， 两直线交点可能在第二或第三象限； 当时，直线过第二、四象限， 两直线交点可能在第二象限； 综上所述，直线与直线的交点不可能在第四象限， 故答案为：四． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）一次函数的图像经过点，，则 （填“，或”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 由得随的增大而减小，再求解即可． 【详解】， 随的增大而减小， 又， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度， 则平移后的图象所对应的函数表达式为，即， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 12．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意（2）中C的坐标是两种情况． （1）分别令和，可求得A、B的坐标； （2）设C点的坐标为，然后分两种情况求得C的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得，解得， ，； （2）解：，， ，， ， 设C点的坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 或， 解得：或4， 或， 设直线的解析式为， 或， 解得或 直线的解析式为或． 13．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水吨，应交水费元． (1)请写出与的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费30元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)这个月该户用了12吨水 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）根据每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水吨，结合费用等于单价乘以数量列函数关系式即可； （2）先判断该户当月用水超过6吨，再结合（1）中的函数关系式可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得①当时，； ②当时 综上所述，与的函数关系式为： ． （2）解：当时，，的最大值为（元），， 该户当月用水超过6吨． 令中， 则， 解得：． 答：这个月该户用了12吨水． 14．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知A，B两地公路长，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发后，甲、乙距离A地的距离分别为和，它们的函数图象分别是折线和线段． (1)求A、C两地之间的距离； (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？ 【答案】(1)A、C两地之间的距离是 (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由图象和题意可得，甲行驶的总的路程，从而可以求得甲接到电话返回C处的距离，从而可以得到A、C两地之间的距离； （2）根据题意和图象，可以得到的解析式和的解析式，从而可以求得两车相遇时的时间和距离A地的距离． 【详解】（1）解：由图象可知， 甲车行驶的路程是，可以得到甲行驶的速度是， 甲行驶的总路程是， 故甲从接到电话到返回C处的路程是， 故A、C两地之间的距离是， 即A、C两地之间的距离是； （2）解：由图象和题意可得，甲从接到电话返回C处用的时间为：小时， 故点Q的坐标为， 设过点的直线解析式为， 则， 解得， 即直线的解析式为， 设过点，的直线的解析式为， 则，得， 即直线的解析式为， 则， 解得． 即甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 【答案】(1) (2)点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”及中点坐标计算公式计算即可； （2）设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度，用含t的代数式分别把点P、Q的坐标表示出来，利用待定系数法分别求出直线、的解析式，根据直线与坐标轴的交点可得点P、Q的坐标，再得到关于v和t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是线段的中点， ∵，， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （2）解：设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度， 根据题意，，， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 解得， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， ∴， ∴， 解得． 答：点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度． 16．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，直线分别交轴、轴于、两点． (1)点坐标为__________，点坐标为__________； (2)如图1，若点的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值不发生改变， 【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）分别计算和，对应的坐标即可求解； （2）根据题意证明，进而求解即可； （3）连接，则，证明，利用三角形的面积进一步即可求解； 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 故点坐标为； 当时，， 故点坐标为：； 故答案为：， （2）解：， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， 的坐标为， ； （3）解：的值不发生改变， 理由如下： 连接， 则，， ， ， 在和中， ， ， ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章一次函数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01函数的概念 知识点02一次函数的表达式 知识清单 知识点03一次函数的图象与性质 知识点04一次函数的实际应用 题型01函数概念的理解 题型02从函数图象中获取信息 一次函数 题型03一次函数的识别 题型04利用一次函数的定义求参数 题型05一次函数的图象和性质 题型精讲 题型06利用一次函数的性质求解 题型07求一次函数的表达式 题型08画一次函数的图象 题型09 一次函数的实际应用 题型10一次函数与几何图形的综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解函数、一次函数及正比例函数的概念，能辨别其关系，会确定简单实际问题中 教学目标 自变量的取值范围并求函数值。 2.掌握一次函数表达式y=+b(k≠0)，能通过已知条件确定表达式，会绘制其图象并 1/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 探索k、b对图象的影响。 3.能用一次函数解决简单实际问题，体会数形结合与模型思想，发展应用意识与几何 直观。 1.重点 (1)核心概念与表达式：明确一次函数和正比例函数的定义、关系，熟练用待定系数 法求表达式。 (2)图象性质与应用：掌握一次函数图象特征及k、b的意义，能运用其解决实际问题 教学重难点 与基础综合题。 2.难点 (1)性质理解：难以深度关联一次函数表达式中k、b的取值与图象变化趋势、函数增 减性的关系。 (2)建模应用：难以将分段计费、方案选择等实际问题抽象为一次函数模型并求解。 知识清单 知识点O1函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那 么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02一次函数的表达式 形如y=a+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=(k≠0)叫做正比例函数。 知识点O3一次函数的图象与性质 一次函数y=a+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(O,b)和(，O)画出。当0时，y随x的增大 而增大；当<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 知识点04一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合 图象或性质求解。 题型精讲 题型01函数概念的理解 【典例1】(24-25八年级下·湖南长沙期末)下列式子中y不是x的函数的是() A.y=5-4x B.y=x2 C.y=v2x+1 D.y2=-3x 【变式1】(24-25八年级下四川内江·期末)下列各图中表示y是x的函数的是( 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 卡$： 【变式2】(24-25八年级下·湖南长沙期末)下列曲线中.表示y是x的函数的是( 【变式3】(24-25八年级下·湖北武汉·期末)下列关于x,y的图表或图象能表示y是x的函数的个数是() 9, 4) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02从函数图象中获取信息 【典例2】(24-25八年级下·黑龙江佳木斯期末)将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱 形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度（单位：cm)与注水时 间（单位：min)的函数图象大致为(） ◆h/cm Ah/cm A. B t/min t/min ◆h/cm ◆h/cm C D t/min t/min 【变式1】(24-25八年级下，河北石家庄期末)如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每 秒2cm的速度沿路线G一C一→D一→E一F→H运动，到点H停止，相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t(s的函数图象如图2所示，若AB=6cm,则下列结论正确为() ylcm H M D E G 0247 12t/s 图1 图2 ①图1中BC长8cm; ②图1中DE的长是6cm; ③图2中点M表示4时y值为24cm2: ④图2中点N表示12s时y值为15cm2. A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 【变式2】(24-25八年级下·天津期末)小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园.爸爸先出发，一段时间后 小明再出发，设爸爸骑行的时间为x(h),两人离家的距离y(k)与x的关系如图①所示，两人之间的距 离s与x的关系如图②所示.结合图象信息下列结论正确的有()个 y/km y/km 00.251.752.25x/h 00.25 2.25x/h ① ② ①爸爸的速度为12km/h ②公园与家的距离为30km ③小明到公园时，爸爸走了21km ④爸爸出发h或好后两人相距35水m 24 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3】(24-25八年级下·山西临汾·期中)随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机 器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出 发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x(s),聪聪和慧慧行走的路程分别为y(cm), y2(cm),y,关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(). 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/cm 310 30 0 1517 37 nx/s A.聪聪的速度为10cm/s B.慧慧比聪聪晚出发15s C.客人距离厨房门口400cm D.从慧慧出发直至送餐结束，共需16s 题型03一次函数的识别 【典例3】(24-25八年级下·上海浦东新期末)下列四个函数中属于一次函数的是() Ay=x学0B.y C.y=x2+1 D.y=1 【变式1】(24-25八年级上·贵州贵阳·期末)下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是() A.y=2x B.y=2x+1 C.y=1 D.y=x2 【变式2】(24-25八年级上·广西百色·期末)下列函数为一次函数的有() ①y=2x+4;②y-4x=8x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x; A.①②④ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①② 【变式3】(24-25八年级上·安徽池州·期末)在下列函数解析式中，①y=c;②y=-2x;③y=7-3x;④ y=x-(x+2x-3):⑤y=,y一定是x的一次函数的有()个 A.5 B.4 C.3 D.2 题型04利用一次函数的定义求参数 【典例4】(2425七年级下山东东营期末)若函数y=(a-)x-2是一次函数，则a的值为 【变式1】(24-25八年级上江西吉安期末)当m=时，函数y=(m+2)xm-3是次函数. 【变式2】(23-24七年级上山东泰安期末)已知y=(k-1)x+k2-4是一次函数，则(3k+2)224的值是 【变式3】(23-24八年级上·安微阜阳·阶段练习)若y=mxm+-2是关于x的一次函数，则m的值 为 题型05一次函数的图象和性质 【典例5】(24-25八年级上·甘肃酒泉·期末)关于一次函数y=-2x+3,下列结论正确的是() A.函数图象经过点-1,1) B.y随x增大而增大 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.图象不经过第二象限 D.将y=-2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y=-2x+6 【变式1】(2425八年级下·广西南宁.期末)关于一次函数y=x+3,下列说法正确的是() A.图象经过(3,0) B.图象可由直线y=x向上平移3个单位长度得到 C.图象经过第一、二、四象限 D.y随自变量x的增大而减小 【变式2】(24-25八年级下·天津期末)下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法，错误的是() A.图象经过第一、二、四象限 B.y随的增大而减小 c图象与)轴交于点0) D.当x>-6时，y<0 【变式3】(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)关于x的一次函数y=ax+4a-1,下列说法： ①若a=2,则函数图象经过第一、二、三象限； ②若函数图象经过原点，则a=4: 1 ③无论a为何实数，函数的图象总经过点(-4，-1). 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 题型06利用一次函数的性质求解 【典例6】(24-25八年级下·重庆期末)若点A(-1,y)和B(2,y2)在一次函数y=m2+1x+3的图象上，则 一（用>”、“<”或“=”连接) 425八年级上安徽合肥期末)已知直线y=+b可以看作由直线y三向下平 长度而得到，那么直线y=+b与x轴交点坐标为一 【变式2】(24-25八年级下·广东汕头期末)一次函数y=m-1)x+m的图象过点(0,4)，且y随x的增大 而增大，则m= 【变式3】(24-25八年级下·四川资阳·期末)若点P(x,y)是某函数图象上的一点，则把y-x称为该点的“纵 横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数 y=-3x+1-2≤x≤2)的“娇小值”是 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型07求一次函数的表达式 【典例7】(24-25八年级下·吉林·期末)拖拉机开始工作时，油箱中有油40L,每小时耗油5L· (I)写出油箱中的剩余油量？(L)与工作时间t(h)之间的函数表达式，并求出自变量t的取值范围； (2)当拖拉机工作3h时，油箱内还剩余油多少升？ 【变式1】(24-25八年级下广西来宾期末)己知y+2与x成正比，且x=2时，y=6. (1)求y关于x的函数表达式： 2当x=-时，求y的值： 4 (3)将所得函数的图象平移，使它过点(-2,1)，求平移后图象的表达式. 【变式2】(24-25八年级上·贵州毕节期末)周末，张华和李明相约去北坡公园锻炼，张华家、李明家及北 坡公园大门顺次在一条直线上，张华家和李明家之间的距离为800，两人分别同时从家出发，均保持匀速 行走.如图，4,2分别表示李明、张华两人到张华家的距离sm)与两人的行走时间tmin)之间的关系 S/m 189 400 02 (/min (1)求L,l2对应的函数表达式： (②)出发几分钟后，张华追上李明？ 【变式3】(24-25八年级上安微合肥期末)某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价 为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没 有优惠， ()若购进甲种跳绳x条，付款y元，求y关于x的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳 绳的购进量，才能使付款总金额w(元)最少. 题型08画一次函数的图象 【典例8】(24-25八年级下·福建泉州·期末)在平面直角坐标系中，己知一次函数y=-2x+4,完成下列问 题： 7/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y本 4 3 2 -5-4-3-2-10 2345大 =1 2 3 -4 =5 (1)画出一次函数y=-2x+4的图象； (②)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； (3)将直线y=-2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标. 【变式1】(23-24八年级下·广西南宁期末)己知一次函数y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B. 6 -1 6543-210123456x -2 3 -4 -6 (1)写出A点坐标： B点坐标： (②)在平面直角坐标系x0y中画出该函数的图象（不要求写步骤）： (3)求出AOB的面积 【变式2】(24-25八年级上·广东河源·期末)己知函数y=-2x-4. 0 y=-2x-4 0 8/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 1 -5-4-3-2-19 1 2345主 -2 -4 -5 (①)填表，并画出这个函数的图象； (②)若将函数y=-2x-4的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,求 △ABO的面积. 0 -2 y=-2x-4 -4_ 0 【变式3】(24-25八年级上·内蒙古包头期中)综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数y=2x+1-3的图象. (1)列表： -4 -3 -2 … 表格中m n= (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论 结论1： ； 结论2： 题型09一次函数的实际应用 【典例9】(24-25九年级上吉林长春期末)某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费， 再按每复印100页材料收费Q元计费.已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两 复印社（针对该校）每月收费y（元)与复印材料页数x(页)之间的函数图象如图所示， y(元) 600 400 200 02004006008001000x(页) 据此回答以下问题： (1)乙复印社复印800页材料时收费_元； (2)求乙复印社每月收费y(元)与复印材料页数x(页)之间的函数关系式： (3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是_页 【变式1】(24-25八年级下·湖北咸宁期末)某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/ 件，销售人员对该产品一个月(30天)销售情况记录绘成图象.图中的折线ODE表示日销量y(件)与销 售时间x(天)之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件， 个（件） 340 172230x(天) (1)第26天的日销量是 件，这天销售利润是 元 (②)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【变式2】(24-25八年级下·陕西安康期末)随着人工智能的发展，智能机器人警察己经陆续出现、图1是 机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处(A,B在同一直线上)巡逻， 安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.已知 安安警官、麦克警官行走的路程y(米)，（米）与安安警官行走的时间x(秒)之间的函数关系图象如 图2所示. 10/17