第二章 实数 复习讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 知识归纳与题型总结 题型01 认识实数 一、无理数 1. 无限不循环小数叫做无理数． 2. 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 二、实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 3、 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 4、 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 5、 实数的运算 1. 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 2. 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【典例1-1】公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 【典例1-2】如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点． 【典例1-3】如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求得，由点A表示的数即可得到点D表示的数． 【详解】解：由题意知， ∵与数轴垂直，且， ∴， 设点D表示的数为d，则， ∴， 即点D表示的数为． 题型02 平方根与立方根 一、算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 二、算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 三、开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 四、与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 五、算术平方根和平方根的区别与联系 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 6、 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【典例2-1】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合顶点在数轴上，且表示的数为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点表示的数为． 【典例2-2】如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 【典例2-3】如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 题型03 二次根式 1、 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 2、 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 3、 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 4、 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 5、 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 6、 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 7、 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 8、 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 9、 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 10、 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【典例3-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算零指数幂、化简绝对值和二次根式、乘方，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可； （3）先计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【典例3-2】已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【典例3-3】计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分数 B．是分数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】B 【分析】根据有理数与无理数的概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数， 对选项A：中是无理数，因此是无理数，不是分数，A错误； 对选项B：，因此，是分数，B正确； 对选项C：无限循环小数和有限小数是有理数，因此无限小数不都是无理数，C错误； 对选项D：例如是有理数，因此带根号的数不都是无理数，D错误． 2．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．1，， C．0.3，0.4，0.5 D．9，12，15 【答案】A 【详解】解：A选项：∵，，∴，不能组成直角三角形，符合题意； B选项：∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； C选项：∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； D选项：∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意． 3．计算的结果是（     ） A．0 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用二次根式乘法法则计算乘法，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 与不是同类二次根式，不能合并，因此A错误． ， B错误． ，计算正确，因此C正确． ，， D错误． 5．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 对于选项B：，，B错误； 对于选项C：，C正确； 对于选项D：，，D错误． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则和完全平方公式，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 7．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 8．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，从而可得，求出矩形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， ∴该口袋公园的总面积为． 9．对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 10．如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算不同路径长度，比较大小即可． 【详解】解：∵为中点，， ∴； 分三种情况讨论： 将底面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将底面与后侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将前侧面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； ∵， 故最短路程为． 二、填空题 11．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 13．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 14．对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 【答案】 【分析】先整理“星环数”定义得到核心等式，根据的取值范围得到仅两种符合条件的情况：和，求最小四位数时优先让高位数字最小得到最小星环数，再结合完全平方数条件化简，优先让高位数字最大得到满足条件的最大值． 【详解】解 ：由题意得，，满足 代入得 整理得 ∵， ∴，，且均为正整数， ∵和互质， ∴整除，可得或，对应或，仅这两组符合条件； 若最小，则优先让取最小，最小为，当时，得 此时，再让取最小，最小为，得，符合取值要求， ∴最小“星环数”是； 由题意得， 当时，， 当时， ，则，结果不是整数，不可能是完全平方数， ∴该情况无符合条件的； 当时，，， ， 代入得 则 ∴该式是完全平方数，是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，且 ， ∴，， 要最大，优先让取最大，得 ，此时，， ∴，范围内完全平方数为 ，得， 则，，得 验证得，符合条件， ∴满足条件的最大为． 15．我们规定：如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数M为“最优数”．例如：四位数5346，∵，∴5346是“最优数”．按照这个规定，最小的“最优数”是________；将一个“最优数”M的十位数字c去掉，得到新三位数，若为正整数，则满足条件的M的最大值是________． 【答案】 1287 8613 【分析】根据“最优数”定义可推得，，求最小“最优数”时，按照高位数字越小，数越小的原则，结合各数位数字互不相等且不为0的条件求解，求满足条件的最大时，先根据整式运算推导得能被整除，再按照高位数字越大，数越大的原则，从大到小验证得到结果． 【详解】解：由定义可知，，且， ∴， 整理得， ∵均为不为的一位数， ∴，，即，． 求最小的“最优数” 要得到最小的四位数，需千位最小，最小取， 此时，再使百位最小，且， ∴最小取，此时，四个数位互不相等且均不为，符合要求， ∴最小的“最优数”是． 求满足条件的最大 由题意得，，代入得： ∵该式为正整数， ∴能被整除， 即能被整除， 由能被整除，得 能被整除． 要得到最大的，需先取最大的， ∵， ∴，最大取， 此时， 将代入能被整除，得能被整除， ∴只能为或， ∵，，， ∴， 由得 ， 此时四个数位互不相等且均不为，符合所有条件， ∴满足条件的的最大值为． 三、计算题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将化为最简二次根式，再根据二次根式除法法则计算，最后合并同类二次根式即可； （2）先依据二次根式乘法法则计算，把化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用平方差公式展开式子，分别计算平方后做减法运算即可 ． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 19．如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【答案】需要花费元 【分析】先求出通道的面积，再用通道的面积乘以单位造价即可得到答案． 【详解】解：通道的面积为： （平方米）， ∴（元）． 答：需要花费元． 20．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 知识归纳与题型总结 题型01 认识实数 一、无理数 1. 无限不循环小数叫做无理数． 2. 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 二、实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 3、 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 4、 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 5、 实数的运算 1. 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 2. 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【典例1-1】公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【典例1-2】如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【典例1-3】如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 题型02 平方根与立方根 一、算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 二、算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 三、开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 四、与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 五、算术平方根和平方根的区别与联系 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 6、 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【典例2-1】如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【典例2-3】如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 题型03 二次根式 1、 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 2、 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 3、 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 4、 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 5、 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 6、 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 7、 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 8、 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 9、 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 10、 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【典例3-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【典例3-2】已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______的解答是错误的； (2)若，求的值． 【典例3-3】计算： 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分数 B．是分数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数都是无理数 2．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．1，， C．0.3，0.4，0.5 D．9，12，15 3．计算的结果是（     ） A．0 B． C．5 D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 8．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 9．对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 13．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 14．对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 15．我们规定：如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数M为“最优数”．例如：四位数5346，∵，∴5346是“最优数”．按照这个规定，最小的“最优数”是________；将一个“最优数”M的十位数字c去掉，得到新三位数，若为正整数，则满足条件的M的最大值是________． 三、计算题 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．计算：． 19．如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 20．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $