第五章 一元一次方程（5核心+7题型+5难点+复习讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学第五章一元一次方程复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将方程概念、等式性质、解法步骤、应用流程等知识按“概念-性质-解法-应用”逻辑分层呈现，结合细节剖析与要点速测题，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+难点”双维度突破设计，如通过定义辨析题培养抽象能力，含参数方程整数解问题提升推理意识，销售、行程等应用题型强化模型意识。分层练习覆盖基础达标与能力进阶，解题要点指导精准，助力不同层次学生提升，为教师实施精准教学提供有力支持。

第五章 一元一次方程 复习要点 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，能准确区分方程与等式，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 理解等式的基本性质1和性质2，掌握运用等式性质对等式进行变形的方法，明确移项、去分母等操作的理论依据。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能按规范步骤准确求解各类一元一次方程。 4. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整流程（审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答），理解其中蕴含的方程模型思想与转化思想。 复习重难点 重点：一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及用方程解决实际问题的步骤与策略。 难点：灵活运用转化思想解含分母、括号的方程，正确处理去分母时漏乘与符号变化问题；从实际问题中准确抽象等量关系，建立方程模型。 知识点 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 要点速测 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且等号两边均为整式的方程，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．不是整式，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， B．含有、两个未知数，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， C．未知数最高次数为，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， D．符合一元一次方程的定义，故该选项是一元一次方程，符合题意． 知识点 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 要点速测 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 知识点 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点速测 3．（25-26七年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 4.（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤，注意当方程出现小数系数时可先化成整数． （1）根据去分母，去括号，再移项，合并，系数化为1即可求解； （2）先将方程的分子分母化成整数，再按解一元一次方程——去分母解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原方程可化为 ． 知识点 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 要点速测 5．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 【答案】(1)甲店 (2)100支 (3)在甲店购买20本笔记本（获赠20支钢笔），再在乙店购买剩余的20支钢笔，总共需要付款590元 【分析】本题考查列代数式与代数式求值，一元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）根据两店的优惠方案，计算即可． （2）根据甲店和乙店的费用一样，列出方程即可； （3）在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买． 【详解】（1）解：在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元， 当时，在甲店需付款元． 在乙店需付款元，， 所以在甲店购买合算． （2）解：，解得， 当购买钢笔100支时，甲店和乙店的费用一样． （3）解：当时，全部在甲店购买需付款元， 全部在乙店购买需付款元， 在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买， 所需金额为元， 当时，最省方案为：在甲店购买20本笔记本，在乙店购买20支钢笔，总共需要付款590元． 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 要点速测 6．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某织布厂现有工人130人，已知每人每天能织布20米或制衣4件，每件衣服用料1.5米，每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素． (1)要使每天织出的布正好制衣，应安排多少名工人制衣？多少名工人织布？ (2)为获取更高的利润，厂方与外商签订了制衣合同，若直接销售布每米可获利2元，制成衣服后销售，每件衣服可获利30元，若要使一天所获得的利润为10640元，又应如何安排工人？ 【答案】(1)安排20人制衣，110人织布 (2)安排80人制衣，50人织布 【详解】（1）设安排x名工人织布，则人制衣，由题意得20x=1.5×4×(130-x) 解得x=30， 答：安排100人制衣，30人织布． （2）设安排x名工人制衣，则人织布，由题意得 解得， 答：安排80人制衣，50人织布． 题型1 一元一次方程的定义 ▌例1 （25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程． 【详解】解：∵选项A中，只含有一个未知数，且的次数为1，是整式方程，符合一元一次方程定义，∴A正确； ∵选项B中，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，∴B错误； ∵选项C中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴C错误； ∵选项D中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴D错误． 解题要点 1. 严扣三要素：判断方程时，必须同时满足“含一个未知数”、“未知数最高次数为1”、且“分母不含未知数”（如2/x=3不是）。 2. 先化后判断：遇到含括号或分母的式子，先化简合并，若最终可化为ax=b（a≠0）的标准形式，才是一元一次方程。 ▌迁移练1-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）下列方程中一元一次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，逐一判断各选项是否符合要求，即可得到答案．一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程． 【详解】解：A、含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1，所以是一元一次方程，符合要求． B、分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求． C、未知数在指数位置，不是一元一次方程，不符合要求． D、未知数最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程含有两个未知数，不符合条件，错误； B选项：方程中未知数最高次数为2，不符合条件，错误； C选项：方程只含1个未知数，未知数次数为1，两边均为整式，符合一元一次方程定义，正确； D选项：方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，错误． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合定义，错误； 选项B．中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； 选项C．只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，正确； 选项D．中的未知数在分母上，不是整式方程，不符合定义，错误． 题型2 利用一元一次方程的定义求参数 ▌例2 （25-26七年级上·河北唐山·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是做题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不为零，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ，且， 解得，． 故答案为：． 解题要点 1.锁定次数：确保未知数的指数为1，且含未知数的项系数不为0（即二次或更高次项系数必须为0）。 2.排除分母：未知数不能出现在分母或根号内，需保证方程整理后为整式，据此列式求参并验根。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·江西九江·期末）若方程是关于的一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，需满足未知数的指数为1且系数不为0． 【详解】解：因为方程是关于的一元一次方程，因此的指数，解得， 所以或． 又因为的系数，即，所以． 故答案为：． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·山东菏泽·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式的值为____． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的定义，求解代数式的值，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义，方程中未知数x的指数必须为 1 且系数不为 0，由此确定m的值，再进一步求解代数式的值即可. 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴， 故答案为 0 ▌迁移练2-3（25-26七年级上·江苏镇江·期末）若方程是一元一次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不为0，特别容易忽视的一点就是系数不为0的条件．这是这类题目考查的重点． 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且）．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 题型3 已知方程的解求字母或代数式的值 ▌例3 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）是方程的解，则____． 【答案】 【详解】根据方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． ∵是方程的解， ∴将代入方程：， ∴． 解题要点 1.代入法：将解直接代入原方程，转化为关于字母的方程，再求解该字母值。 2.整体代换：若求代数式，先由方程变形出所需整体（如m+n），再整体代入求值，避免解出每个字母。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·江苏南通·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是______． 【答案】/ 【分析】把代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． 【答案】2 【分析】将代入方程，利用等式的性质变形后求出的值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ， 即， 根据等式的性质，等式两边同时加4，得：， 等式两边同时除以2，得：． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若是方程的解，则的值________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义与代数式求值，先根据方程的解的定义得到关于m、n的等式，再将所求代数式变形为含该等式的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解 ∴将代入方程，得 对进行变形，得 将代入上式，得 故答案为：． 题型4 等式的基本性质 ▌例4 （25-26七年级下·山西晋城·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解：∵ ∴选项A，等式左边加2，右边减2，不符合等式性质，，故A变形错误； 选项B，等式两边同时乘，可得 ，符合等式性质，故B变形正确； 选项C，等式两边乘再加5，可得 ，不符合等式性质，故C变形错误； 选项D，等式左边乘2，右边乘3，乘数不同，可得 ，不符合等式性质，故D变形错误． 解题要点 1.同加减：等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍成立。用于移项变号，如由x+3=5得x=5-3。 2.同乘除：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数（或式子），等式仍成立。用于系数化1，如2x=6，两边同除以2得x=3。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·山西长治·期末）在学习等式的性质时，小明做了几道等式变形的题目，下列变形错误的是（     ） A．由得到 B．由得到 C．由得到 D．由得到 【答案】D 【详解】解：对于A，，等式两边同时减，可得，变形正确； 对于B，，等式两边同时乘，可得，变形正确； 对于C，，等式两边同时除以，可得，变形正确； 对于D，，等式两边同时乘，可得，不是，变形错误. ▌迁移练4-2（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．据此逐一判断变形是否正确． 【详解】解：根据等式的基本性质判断： 对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立， ∴无法推出，变形错误； 对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立， ∴，变形正确； 综上，变形错误的是B． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：若，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，可得，因此A错误； 若，不一定等于，例如当时，成立，但，因此B错误； 若，根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，可得，因此C正确； 若，当时，分母为0，分式无意义，等式无意义，因此D错误． 题型5 解一元一次方程 ▌例5 （25-26六年级下·山东东营·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：（1）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解：原方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 解题要点 1.去分母与去括号：若含分数，需乘各分母最小公倍数约分（注意常数项也要乘）；若有括号，由内向外逐层去，注意符号变化。 2.移项与合并：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（移项必变号），合并同类项化简为ax=b（a≠0），最后系数化为1得解。 ▌迁移练5-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． （2）先去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项并合并同类项得，，解得； （2）解： 去分母得，， 去括号得， 移项并合并同类项得，，解得． ▌迁移练5-2（25-26六年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）先将原方程分母化为整数，然后根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型6 解一元一次方程错解复原 ▌例6 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2) 解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）略 解题要点 1.逆推代入：将错误解代入“错误变形式”中，反推出移项或合并时的错误系数，再按正确法则重新解方程。 2.对比筛查：比较错解与正解过程，重点关注移项符号、去分母漏乘及系数化除三处，锁定变号或运算失误点。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·河北唐山·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1) (2) ． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解： （1）观察可知，去分母时，没有乘以； （2）先去分母，再去括号，合并同类项后系数化为1即可求． 【详解】（1）解：观察可知，去分母时，没有乘以， 故． （2）略 ▌迁移练6-2（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2)，正确的解题过程如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； (3)解一元一次方程时，移项时注意变号（答案不唯一） 【分析】（1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号 【详解】（1）本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 解：①第一步的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②第二步开始出现错误；原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解：略； （3）解：解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一） ▌迁移练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 【答案】(1)等式的性质2；乘法分配律 (2)三；移项没变号 (3)，过程如下： ． 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项是解题的关键． （1）第一步等式两边同时乘以6，利用的是等式的性质2，第二步为去括号，使用的是乘法分配律； （2）观察整个过程，在第三步移项出现错误，错误原因为未变号； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：∵第一步等式两边同时乘以6， ∴利用的是等式的性质2， ∵第二步为去括号， 故依据的是乘法分配律． 故答案为：等式的性质2；乘法分配律． （2）解：观察等式变化， 发现第三步应为， 与题干相比发现，移项后符号并未发生改变， 故答案为：三；移项没变号． （3）解：略． 题型7 一元一次方程的应用 ▌例7 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 解题要点 1.审题设元：找准题目中的等量关系（如总和、倍数、差倍），用字母（如x）表示未知量，并明确x的实际意义。 2.列解检验：根据等量关系列方程，按步骤求解后，务必代入原题情境检验（如人数、长度非负），舍去不符合实际的值。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】(1)小亮速度为，叔叔速度为； (2)． 【分析】（1）设小亮的速度为，则叔叔的速度为，根据题意，两人反向出发后第一次相遇，两人路程和为，进而列方程求解即可； （2）设同向出发后，经过两人第一次相遇，根据同向跑首次相遇时，叔叔比小亮多跑1圈跑道长列方程求解即可． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·江西上饶·期末）为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 【答案】(1)；； (2)； (3)小明家1月份用电量为度，选择公司省钱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——分段计费问题，核心是准确理解不同档位的收费标准，分情况计算电费并通过方程求解未知量． （1）根据用电量是否超过度，直接按对应单价计算电费即可； （2）针对超过度的用电量，先计算度的基础费用，再加上超出部分的费用，最后化简得到含的整式； （3）先通过度的电费判断元对应的用电量超过度，再设未知数列方程求解用电量，最后分别计算两家公司的实际费用并比较大小得出结论． 【详解】（1）解：∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； ∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； 故答案为：；． （2）解：∵， ∴该月应付电费为元； 故答案为：． （3）解：∵度对应的电费为元，， ∴小明家1月份用电量超过度． 设小明家1月份用电量为度，根据题意列方程：， 解得； 公司的实际费用元， ∵， ∴可获得元代金券，实际支付元， ∵， ∴选择公司省钱． 答：小明家1月份的用电量是度，选择公司省钱． ▌迁移练7-3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【问题情境】 某家具厂主要负责生产课桌椅．已知生产车间有20名工人，每人每天能生产桌面300个或生产桌腿800个，一张课桌由1个桌面和4个桌腿组成，每张课桌定价200元，每把椅子定价80元． 【问题解决】 (1)若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，要使每天生产的桌面和桌腿恰好配套，应如何安排工人生产？ (2)某学校打算添置100张课桌和把椅子．该家具厂向学校提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． ①按购买方案一需支付费用_____元；按购买方案二需支付费用_____元；（请用含的代数式表示） ②若时，请分别计算出两种购买方案的费用； ③请根据的取值，帮助学校选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)安排8人生产桌面，12人生产桌腿． (2)① ； ；②方案一：36000元；方案二：35200元；③当时，方案一更省钱；当时，两种方案均可；当时，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程与列代数式的应用； （1）设安排人生产桌面，则人生产桌腿，根据桌面和桌腿恰好配套列方程求解； （2）①根据优惠方案解答即可； ②把分别代入①中所列代数式求解即可； ③分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设安排人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意，得． 解得． （人）； 答：安排8人生产桌面，12人生产桌腿． （2）解：①按购买方案一需支付费用元， 按购买方案二需支付费用， 故答案为： ； ； ②当时， 方案一：（元）； 方案二：（元）． ③若购买方案一与方案二支付费用相同，可列方程： 解得， 当时，两种方案费用相同； 结合①可知，当时，方案一更省钱； 当时，方案二更省钱． 答：当时，方案一更省钱；当时，两种方案均可； 当时，选择方案二更省钱． 难点一 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 难点1：参数的“分离”与整除性转化 核心在于将参数从方程中独立出来，用含未知数的代数式表示参数。难点是必须将解为整数的条件，精准转化为“分子能被分母整除”的整除关系。此过程涉及分类讨论分母的正负或是否为零，若忽略分母限制或整除判定不严谨，极易遗漏或错解参数值。 难点2：整数解约束下的“筛选与验证” 参数本身可能也有约束（如整数、正整数或有理数）。难点在于求出的参数需回代验证，确保原方程解确实为整数，且满足题意附加条件。同时需注意参数可能对应多个解，必须完整列举，并排除使方程无意义或不符合范围的取值，做到不重不漏。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）从，，，，，中选一个数作为k的值，使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有的值的积为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解关于的方程，得到，然后根据为整数的条件，从给定数中找出符合条件的值，并计算它们的积。 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为整数， 是偶数， 是偶数， 的值为或， 满足条件的所有的值的积为． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）关于的方程的解为整数，则自然数m的值为_____． 【答案】 ，， 【分析】本题考查含参的一元一次方程，先解方程得到关于的表达式，根据为整数，确定是的约数，结合为自然数，得到的值． 【详解】解：∵， ， ， 解得． 由于为整数，故是的约数．的约数有，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵是自然数， ∴的值为，，． 故答案为：，，． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的所有值的和是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，关键是先将方程的解用含参数的式子表示，再根据解为正整数、为整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些值的和． 【详解】解：解方程，得． ∵是正整数，是整数， ∴是6的正约数1、2、3、6， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 综上，满足条件的整数为2、1、0、，它们的和为； 故答案为：． 难点二 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 难点1：参数与未知数的关系转化 题目给出的是含参方程的解（如关于x的方程解为x=a），难点在于需将“解”代入原方程，先反解出参数（如m或k）的具体值，再将参数代入目标方程。此过程需清晰区分“已知解”与“待求解”两个方程中的未知数，避免混淆。 难点2：整体代换思想的灵活运用 当方程结构复杂时，不必急于求解参数，可将已知方程的解所满足的等式关系进行整体变形，直接构造出目标方程的形式。难点在于能否观察出两方程系数或常数项间的倍数、移项关系，利用整体代入简化解题步骤，减少运算失误。 难点精练 1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的特殊解法，熟练掌握换元法是解题关键．设，根据已知方程的解可得，则，据此求解即可得． 【详解】解：设， 则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 解得， 即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． 先把关于y的一元一次方程写成与方程相同的结构形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程解的关系，解一元一次方程． 根据两个方程的解互为相反数，设第一个方程的解为a，则第二个方程的解为，分别代入方程得到，，将代入求解即可． 【详解】解：设方程的解为，则方程的解为， ∴，， 由第二个方程得：， 将代入得， 化简得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 难点三 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 难点1：准确转化自定义运算规则 难点在于将题目给出的非标准运算符号（如“※”“△”等）严格转化为常规的四则运算。转化时易忽略运算顺序或括号，尤其当新定义中包含多层嵌套或条件分支时，需逐层拆解，确保映射关系无误。 难点2：分类讨论隐含的运算条件 新运算可能涉及绝对值、非负性、除数不为零或特殊数域范围。在解方程过程中，需依据运算定义对参数或未知数进行分段讨论，并检验所得解是否满足新运算的适用前提，避免因扩大定义域而产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，除新运算外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为_________； (2)化简：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照题中给出的新运算规则，将新运算转化为常规的有理数运算，按照对应运算法则计算即可； （2）按照题中给出的新运算规则，将新运算转化为常规的整式的加减运算，按照对应运算法则计算即可； （3）按照题中给出的新运算规则，先将方程左边进行变形，从而将新运算方程转化为常规的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ， 原方程化为， 解得． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 ， ， ， ， 解得． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 解：成立，理由如下： ∵，， 又∵，， ∴； (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，规律探索，解一元一次方程，整式加减运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据给出的式子总结规律：； （2）根据加法的交换律和乘法的交换律进行验证即可； （3）将其代入（1）中所总结的规律，列出方程，解答即可； （4）根据，得出，根据的运算结果与的取值无关，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （4）∵， ∴ ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得：． 难点四 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 难点1：准确理解与转化“新定义” 题目常给出如“”、“⊕”等临时运算符号或新数对规则。核心难点是跳出常规四则运算思维，严格按定义将式子“翻译”为含未知数的普通方程，尤其要注意运算顺序和新符号的可重复嵌套使用。 难点2：参数的分类讨论与解的验证 新定义方程的解常含参数或受条件限制。难点在于，求解后必须根据定义域（如整数、非零）或新运算的成立前提，对参数进行分类讨论，并舍去使新定义无意义（如分母为零、根号下为负）的增根，确保解符合全新定义的约束范围。 难点精练 1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”． (1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________． (2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值． (3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次方程的新定义，理解“互换方程”的定义是解题的关键． （1）根据“互换方程”的定义，即可求解； （2）根据“互换方程”的定义，得，，计算即可求解； （3）根据“互换方程”的定义，分别求出方程的解，根据条件“解都是整数”，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“互换方程”是； 故答案为：； （2）方程的“互换方程”是，方程与方程是“互换方程”， ，， ，； （3）方程（）的“互换方程”为， 解得：， 解得：， 方程与的解都是整数，也是整数， 是3的倍数，也是3的因数， ， 则整数的值． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 【答案】(1)“分” (2) (3)“整” 【分析】本题考查解一元一次方程、“整m”方程和“分m”方程的定义，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确理解“整m”方程和“分m”方程的新定义是解题的关键． （1）解方程得，根据题意给出的新定义得出方程是“分”方程； （2）把代入方程得：，解出的值即可； （3）根据题意得到，根据方程化简得到，据此得到方程的解为，据此解答即可． 【详解】（1）解：解方程得，不是整数， 则方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：根据题意得：方程是“整”方程， 把代入方程得：， 解得； （3）解：根据题意得：关于的方程是“分”方程， 则将代入方程得：， 即， 根据方程得：， 即， 将代入上式得： 解得， 因此方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）略 难点五 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 难点1：距离表达含绝对值 数轴上两点间距离为|a-b|。当动点位置变化时，谁在左谁在右不确定，需根据运动时间分类讨论去绝对值，或直接用“右减左”表示正距离，这对抽象思维要求较高。 难点2：追及与相遇的方向性 不同于普通行程，数轴上的相遇（相向）和追及（同向）需结合数轴正方向。尤其当动点同向但速度不同，或反向运动时，等量关系（路程和或差）的建立极易混淆，必须明确每个点的运动方向与起始坐标。 难点精练 1.（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左边），点O为原点，点B表示的数为，．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点P在数轴上表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若动点P运动的同时，另一个动点Q从点B出发，以5个单位长度/秒的速度沿着数轴向左匀速运动． ①求点P与点Q运动的过程中，它们表示的数恰好互为相反数时的时间t的值； ②求当t为何值时，点P与点Q相距6个单位长度． (3)如图2，点C是数轴上任一点，线段以5个单位长度/秒沿数轴向右匀速运动，线段以3个单位长度/秒沿数轴向左匀速运动，且，点C沿数轴向右运动，已知C在线段上的时间为10秒，C在线段上的时间为6秒，求线段的长． 【答案】(1) (2)； 或 (3)的长为120或． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合解题的关键； （1）先根据与的比例关系求出点A表示的数，再结合P点的运动方向和速度，得出P点表示的数（向左运动，数值减小）． （2）①互为相反数的两数和为0，列方程求解t； ②相距6个单位长度分两种情况（Q在P右、P在Q右），根据两点间距离公式列方程求解． （3）设线段的长为x，点C的速度为v，利用相对速度的思路，分别表示出C相对于和的速度，结合“路程速度时间”（路程为线段长度x），列方程组求解x． 【详解】（1）解：点B表示的数为18，，所以． 因为点A在点B左边，点O为原点，所以点A表示的数为． 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒向左运动，运动t秒后，向左移动了个单位，所以点P表示的数为． （2）解：①动点Q从点B出发，以5个单位长度/秒向左运动，t秒后表示的数为． 当P、Q表示的数互为相反数时，， 解得：，． ②分两种情况： 情况一：Q在P右边，相距6个单位长度，所以， 解得：． 情况二：P在Q右边，相距6个单位长度，所以， 解得：． 所以或． （3）解：设线段的长为x，点C的速度为v． 线段向右运动速度为5，点C向右运动速度为v，所以C相对于的速度为（若）． C在线段上的时间为10秒，根据路程速度时间，  ①． 线段向左运动速度为3，点C向右运动速度为v，所以C相对于的速度为． C在线段上的时间为6秒，，所以  ②． 联立①②：， 解得：，，． 将代入①，得． 若，根据题意得， 解得， ． 所以线段的长为或． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是5． (1)A、B之间的距离为________； (2)若点C是数轴上一点且到A、B两点的距离相等，则点C对应的数是________； (3)若点D在数轴上，且点D到点B的距离为6，则点D对应的数是________； (4)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右移动；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左移动，它们经过几秒后相距4个单位长度？ 【答案】(1)20 (2) (3)11或 (4)6秒或4秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的应用等知识点，理解数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离公式求解即可． （2）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列一元一次方程求解即可； （3）设点对应的数是，然后根据数轴上两点间的距离公式列绝对值方程求解即可； （4）设经过t秒后相距4个单位长度，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 故A、B之间的距离为20． （2）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：， 所以点对应的数是． 故答案为：． （3）解：设点对应的数是， 由题意可得：， 解得：或 所以点对应的数为11或． （4）解：设经过t秒后相距4个单位长度， ， 解得：或4． 即经过6秒或4秒后 蚂蚁和毛毛虫相距4个单位长度． 3．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q． 【答案】(1)；； (2)秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； (3)点P运动15秒时，追上点Q； 【分析】对于（1），利用数轴上两点间的位置关系（B在A左侧，长度已知）确定点B表示的数；根据点P的运动方向、速度和时间，确定其表示的数． 对于（2），先表示出点Q的数，再分相遇前和相遇后两种情况，依据两点间距离公式列方程求解． 对于（3），表示出点Q的数后，根据“追上时两点表示的数相等”这一等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， 点B表示的数为， 动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 设运动时间为秒， 点P表示的数， 故答案为：；； （2）解：设运动秒时， P、Q之间的距离恰好等于4， 根据题意，得或， 解得：或， 答：若点P、Q同时出发，秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设点P运动秒时，追上点Q， 根据题意，得：， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，点P运动15秒时，追上点Q； 基础达标 1、 单选题 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列等式变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质判断各选项变形即可，需要注意等式两边同除以一个数时，该数不能为0． 【详解】解：A、若，两边同时加6得，A变形正确； B、若，两边同时减3得，B变形正确； C、若，两边同时乘任意数得，C变形正确； D、该变形未说明，当时，与无意义，因此变形错误． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的限制条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程、相反数的定义，先求解第二个方程，再根据相反数的定义得到第一个方程的解，代入第一个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 解得，， ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入， 得， 即， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【答案】 【分析】设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程即可． 【详解】解：设有个人， 由题意，得：． 7．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 8．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， 将代入方程得 解得． 9．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设胜场，平局为场，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设胜场，平局为场，由题意得， 解得： 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，用9个等边三角形（边长均相等的三角形）无缝隙不重叠地拼成一个六边形．现将其中两个等边三角形分别标为①②，其周长分别记作，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，构造方程求解． 设等边三角形①的边长为，最中间最小的等边三角形边长为，然后表示出等边三角形③④⑤⑥②⑦⑧的边长，再由等边三角形⑧的边长等于等边三角形①与④的边长之和建立方程求解，即可求解比值． 【详解】解：如图， 设等边三角形①的边长为，最中间最小的等边三角形边长为， 则等边三角形③④⑤⑥②⑦⑧的边长依次为：， 因为等边三角形⑧的边长等于等边三角形①与④的边长之和， 所以， 解得， 所以等边三角形①的边长为，等边三角形②的边长为， 所以， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东威海·期末）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （3）先化整，然后根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·四川广安·期末）下面是洋洋同学解一元一次方程 的过程： 解：去分母（方程两边乘6），得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得 ．⑤ (1)上面的解题过程从第 （填序号）步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)②，去括号时没有变号 (2) 解：去分母（方程两边乘6），得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．掌握一元一次方程解法的一般步骤是解题关键． (1)根据解题步骤发现②开始出现错误，原因为去括号未变号； (2)根据一元一次方程的解题步骤正确求解即可 【详解】（1）根据解题步骤发现②开始出现错误，原因为去括号未变号； （2）略 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）请完成下面商品从包装到销售的问题： (1)某包装车间有21名工人，每人每天可以包装120个甲商品或180个乙商品，按照1个甲商品搭配2个乙商品装箱，要使每天包装的甲商品和乙商品刚好配套，应安排包装甲商品和乙商品的工人各多少名？ (2)某社区超市用6300元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 24 30 售价（元/件） 30 40 求超市将这批商品全部售出一共可获利润多少元？ 【答案】(1)应安排9名工人包装甲商品，12名工人包装乙商品 (2)超市将这批商品全部售出一共可获利润1800元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设应安排名工人包装甲商品，则安排名工人包装乙商品，利用包装乙商品的总数量是包装甲商品总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设超市购进件乙商品，则购进件甲商品，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应安排名工人包装甲商品，则安排名工人包装乙商品， 根据题意得：， 解得：， （名． 答：应安排9名工人包装甲商品，12名工人包装乙商品； （2）解：设超市购进件乙商品，则购进件甲商品， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：超市将这批商品全部售出一共可获利润1800元． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 15．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义一种新运算“平衡数”，对于一个三位正整数（其中，，分别为百位，十位，个位数字，且），规定它的平衡数为：．例如：，则． 请根据以上定义，解决以下问题： (1)求的值； (2)已知一个三位数（其中是十位上的数字，且），若，求的值； (3)若三位数（其中是十位上的数字，且），满足的十位数字等于的个位数字，求所有可能的取值． 【答案】(1)1232 (2) (3)或2 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的应用，有理数的乘方及加法，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义列出方程求解即可； （3）先根据平衡数的定义求出，再分别取，逐一判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：，， 根据题意，， 解得； （3）解：， ∴， ∵的十位数字等于的个位数字， 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 综上，所有可能的取值为或． 能力进阶 1、 单选题 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 3.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，绝对值的性质，掌握好相关知识是关键． 先根据绝对值的性质求出的值，再将代入原方程求出的值，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入方程，得， ， 解得， ∴． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等．右侧的表格是一个未完成的幻方，则a的值为_____． 【答案】10 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是先利用已知行求出幻方和，再根据“每一列和相等”的性质，直接列方程求解． 根据“每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等”列出方程，先通过第二行确定幻方和为18，再根据第二列直接计算出求解即可． 【详解】解：根据幻方性质，每一行的和都等于幻方和 18． 观察第二列，已知数字为 2 和 6， 因此： 故答案为：10 5．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则m的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的同解问题． 分别求出两个方程的解，利用互为相反数的关系列方程求解． 【详解】解：解方程， 去分母得， 整理得， 解得． 解方程， 移项得， 即， 解得． 由于两个解互为相反数， 则， 解得． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 【答案】(1) 解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∴， ∴方程与方程不是“同心方程”； (2)或 (3)或 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再根据“同心方程”的定义求解； （2）先求出方程的解，根据“同心方程”的定义求出的可能值，再将的值代入关于的方程中求出的值； （3）先求出方程的解，再根据无论取任何有理数都成立，得到关于，的方程求解，再代入求值． 【详解】（1）略 （2）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，代入得， 解得； （3）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 复习要点 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，能准确区分方程与等式，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 理解等式的基本性质1和性质2，掌握运用等式性质对等式进行变形的方法，明确移项、去分母等操作的理论依据。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能按规范步骤准确求解各类一元一次方程。 4. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整流程（审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答），理解其中蕴含的方程模型思想与转化思想。 复习重难点 重点：一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及用方程解决实际问题的步骤与策略。 难点：灵活运用转化思想解含分母、括号的方程，正确处理去分母时漏乘与符号变化问题；从实际问题中准确抽象等量关系，建立方程模型。 知识点 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 要点速测 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 要点速测 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 知识点 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点速测 3．（25-26七年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2)． 4.（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 知识点 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 要点速测 5．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 要点速测 6．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某织布厂现有工人130人，已知每人每天能织布20米或制衣4件，每件衣服用料1.5米，每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素． (1)要使每天织出的布正好制衣，应安排多少名工人制衣？多少名工人织布？ (2)为获取更高的利润，厂方与外商签订了制衣合同，若直接销售布每米可获利2元，制成衣服后销售，每件衣服可获利30元，若要使一天所获得的利润为10640元，又应如何安排工人？ 题型1 一元一次方程的定义 ▌例1 （25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严扣三要素：判断方程时，必须同时满足“含一个未知数”、“未知数最高次数为1”、且“分母不含未知数”（如2/x=3不是）。 2. 先化后判断：遇到含括号或分母的式子，先化简合并，若最终可化为ax=b（a≠0）的标准形式，才是一元一次方程。 ▌迁移练1-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）下列方程中一元一次方程是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型2 利用一元一次方程的定义求参数 ▌例2 （25-26七年级上·河北唐山·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______． 解题要点 1.锁定次数：确保未知数的指数为1，且含未知数的项系数不为0（即二次或更高次项系数必须为0）。 2.排除分母：未知数不能出现在分母或根号内，需保证方程整理后为整式，据此列式求参并验根。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·江西九江·期末）若方程是关于的一元一次方程，则___________． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·山东菏泽·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式的值为____． ▌迁移练2-3（25-26七年级上·江苏镇江·期末）若方程是一元一次方程，则______． 题型3 已知方程的解求字母或代数式的值 ▌例3 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）是方程的解，则____． 解题要点 1.代入法：将解直接代入原方程，转化为关于字母的方程，再求解该字母值。 2.整体代换：若求代数式，先由方程变形出所需整体（如m+n），再整体代入求值，避免解出每个字母。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·江苏南通·期末）若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是______． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若是方程的解，则的值________． 题型4 等式的基本性质 ▌例4 （25-26七年级下·山西晋城·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.同加减：等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍成立。用于移项变号，如由x+3=5得x=5-3。 2.同乘除：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数（或式子），等式仍成立。用于系数化1，如2x=6，两边同除以2得x=3。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·山西长治·期末）在学习等式的性质时，小明做了几道等式变形的题目，下列变形错误的是（     ） A．由得到 B．由得到 C．由得到 D．由得到 ▌迁移练4-2（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌迁移练4-3（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型5 解一元一次方程 ▌例5 （25-26六年级下·山东东营·期末）解方程： (1)； (2)． 解题要点 1.去分母与去括号：若含分数，需乘各分母最小公倍数约分（注意常数项也要乘）；若有括号，由内向外逐层去，注意符号变化。 2.移项与合并：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（移项必变号），合并同类项化简为ax=b（a≠0），最后系数化为1得解。 ▌迁移练5-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． ▌迁移练5-2（25-26六年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程 (1) (2) 题型6 解一元一次方程错解复原 ▌例6 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 解题要点 1.逆推代入：将错误解代入“错误变形式”中，反推出移项或合并时的错误系数，再按正确法则重新解方程。 2.对比筛查：比较错解与正解过程，重点关注移项符号、去分母漏乘及系数化除三处，锁定变号或运算失误点。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·河北唐山·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． ▌迁移练6-2（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． ▌迁移练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 题型7 一元一次方程的应用 ▌例7 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 解题要点 1.审题设元：找准题目中的等量关系（如总和、倍数、差倍），用字母（如x）表示未知量，并明确x的实际意义。 2.列解检验：根据等量关系列方程，按步骤求解后，务必代入原题情境检验（如人数、长度非负），舍去不符合实际的值。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ ▌迁移练7-2（25-26七年级上·江西上饶·期末）为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ ▌迁移练7-3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【问题情境】 某家具厂主要负责生产课桌椅．已知生产车间有20名工人，每人每天能生产桌面300个或生产桌腿800个，一张课桌由1个桌面和4个桌腿组成，每张课桌定价200元，每把椅子定价80元． 【问题解决】 (1)若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，要使每天生产的桌面和桌腿恰好配套，应如何安排工人生产？ (2)某学校打算添置100张课桌和把椅子．该家具厂向学校提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． ①按购买方案一需支付费用_____元；按购买方案二需支付费用_____元；（请用含的代数式表示） ②若时，请分别计算出两种购买方案的费用； ③请根据的取值，帮助学校选择哪种方案更省钱？ 难点一 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 难点1：参数的“分离”与整除性转化 核心在于将参数从方程中独立出来，用含未知数的代数式表示参数。难点是必须将解为整数的条件，精准转化为“分子能被分母整除”的整除关系。此过程涉及分类讨论分母的正负或是否为零，若忽略分母限制或整除判定不严谨，极易遗漏或错解参数值。 难点2：整数解约束下的“筛选与验证” 参数本身可能也有约束（如整数、正整数或有理数）。难点在于求出的参数需回代验证，确保原方程解确实为整数，且满足题意附加条件。同时需注意参数可能对应多个解，必须完整列举，并排除使方程无意义或不符合范围的取值，做到不重不漏。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）从，，，，，中选一个数作为k的值，使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有的值的积为_______ ． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）关于的方程的解为整数，则自然数m的值为_____． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的所有值的和是________． 难点二 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 难点1：参数与未知数的关系转化 题目给出的是含参方程的解（如关于x的方程解为x=a），难点在于需将“解”代入原方程，先反解出参数（如m或k）的具体值，再将参数代入目标方程。此过程需清晰区分“已知解”与“待求解”两个方程中的未知数，避免混淆。 难点2：整体代换思想的灵活运用 当方程结构复杂时，不必急于求解参数，可将已知方程的解所满足的等式关系进行整体变形，直接构造出目标方程的形式。难点在于能否观察出两方程系数或常数项间的倍数、移项关系，利用整体代入简化解题步骤，减少运算失误。 难点精练 1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 难点三 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 难点1：准确转化自定义运算规则 难点在于将题目给出的非标准运算符号（如“※”“△”等）严格转化为常规的四则运算。转化时易忽略运算顺序或括号，尤其当新定义中包含多层嵌套或条件分支时，需逐层拆解，确保映射关系无误。 难点2：分类讨论隐含的运算条件 新运算可能涉及绝对值、非负性、除数不为零或特殊数域范围。在解方程过程中，需依据运算定义对参数或未知数进行分段讨论，并检验所得解是否满足新运算的适用前提，避免因扩大定义域而产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，除新运算外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为_________； (2)化简：； (3)解方程：． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 难点四 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 难点1：准确理解与转化“新定义” 题目常给出如“”、“⊕”等临时运算符号或新数对规则。核心难点是跳出常规四则运算思维，严格按定义将式子“翻译”为含未知数的普通方程，尤其要注意运算顺序和新符号的可重复嵌套使用。 难点2：参数的分类讨论与解的验证 新定义方程的解常含参数或受条件限制。难点在于，求解后必须根据定义域（如整数、非零）或新运算的成立前提，对参数进行分类讨论，并舍去使新定义无意义（如分母为零、根号下为负）的增根，确保解符合全新定义的约束范围。 难点精练 1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”． (1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________． (2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值． (3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 难点五 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 难点1：距离表达含绝对值 数轴上两点间距离为|a-b|。当动点位置变化时，谁在左谁在右不确定，需根据运动时间分类讨论去绝对值，或直接用“右减左”表示正距离，这对抽象思维要求较高。 难点2：追及与相遇的方向性 不同于普通行程，数轴上的相遇（相向）和追及（同向）需结合数轴正方向。尤其当动点同向但速度不同，或反向运动时，等量关系（路程和或差）的建立极易混淆，必须明确每个点的运动方向与起始坐标。 难点精练 1.（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左边），点O为原点，点B表示的数为，．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点P在数轴上表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若动点P运动的同时，另一个动点Q从点B出发，以5个单位长度/秒的速度沿着数轴向左匀速运动． ①求点P与点Q运动的过程中，它们表示的数恰好互为相反数时的时间t的值； ②求当t为何值时，点P与点Q相距6个单位长度． (3)如图2，点C是数轴上任一点，线段以5个单位长度/秒沿数轴向右匀速运动，线段以3个单位长度/秒沿数轴向左匀速运动，且，点C沿数轴向右运动，已知C在线段上的时间为10秒，C在线段上的时间为6秒，求线段的长． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是5． (1)A、B之间的距离为________； (2)若点C是数轴上一点且到A、B两点的距离相等，则点C对应的数是________； (3)若点D在数轴上，且点D到点B的距离为6，则点D对应的数是________； (4)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右移动；同时一只毛毛虫从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左移动，它们经过几秒后相距4个单位长度？ 3．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数________；点P表示的数________．（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q． 基础达标 1、 单选题 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列等式变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 7．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 8．（25-26七年级下·山东烟台·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是____________． 9．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 10．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，用9个等边三角形（边长均相等的三角形）无缝隙不重叠地拼成一个六边形．现将其中两个等边三角形分别标为①②，其周长分别记作，，则___________． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东威海·期末）解方程： (1) (2) (3) 12．（25-26七年级上·四川广安·期末）下面是洋洋同学解一元一次方程 的过程： 解：去分母（方程两边乘6），得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得 ．⑤ (1)上面的解题过程从第 （填序号）步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请完整地写出正确的解答过程． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）请完成下面商品从包装到销售的问题： (1)某包装车间有21名工人，每人每天可以包装120个甲商品或180个乙商品，按照1个甲商品搭配2个乙商品装箱，要使每天包装的甲商品和乙商品刚好配套，应安排包装甲商品和乙商品的工人各多少名？ (2)某社区超市用6300元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 24 30 售价（元/件） 30 40 求超市将这批商品全部售出一共可获利润多少元？ 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 15．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义一种新运算“平衡数”，对于一个三位正整数（其中，，分别为百位，十位，个位数字，且），规定它的平衡数为：．例如：，则． 请根据以上定义，解决以下问题： (1)求的值； (2)已知一个三位数（其中是十位上的数字，且），若，求的值； (3)若三位数（其中是十位上的数字，且），满足的十位数字等于的个位数字，求所有可能的取值． 能力进阶 1、 单选题 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 3.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等．右侧的表格是一个未完成的幻方，则a的值为_____． 5．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 6．（25-26七年级上·江西九江·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则m的值是_______． 三、解答题 7．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $