4.4 对数函数 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习按基础、综合、培优分层设计，覆盖对数函数概念、图象性质及应用，通过梯度题型深化数学思维与运算素养，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础练|对数函数概念、定义域、单调性|基础题型，对应单一知识点，夯实概念理解| |B综合练|比较大小、解不等式、函数性质综合|高考模拟题，跨知识点应用，培养逻辑推理| |C培优练|新定义（正对数）、函数建模|创新题型，提升数学抽象与综合应用能力|

高一数学●2024人教A版必修一 4.4 对数函数 本节理解对数函数的概念，掌握其图象与基本性质，能进行简单应用；借助图象探究性质，体会数形结合思想，发展直观想象与数学运算素养。 第四章 指数函数与对数函数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括133张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 对数函数的概念 1 对数函数的概念 一般地，函数,且叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 . 4 2 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如 ； （2）底数满足，且 ; （3）真数是 . 例如：是对数函数，而, 都不是对数函数，可称为 对数型函数． 5 特别提醒 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量 恰好是指数函数的函数 值，所以对数函数的定义域是 . 例1 ［多选题］下列函数中为对数函数的是( ) CD A. B. C. D.（ 是常数） 【解析】对于A,真数是 ,故A不是对数函数； 对于B，，真数是 ,故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是 ,故C是对数函数； 对于D，底数，真数是 ,故D是对数函数. 6 知识点2 对数函数的图象与性质 底数 图象 定义域 值域 性质 过定点,即时， 增函数 减函数 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称 7 知识剖析（1）讨论对数函数的性质时，若底数的大小不确定，必须分 和 两种情况讨论. （2）利用“三点法”作对数函数的图象：对数函数,且 的图象都 经过点 ,,, ，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出大致 图象. 巧学妙记 对数<m></m>符号的判定 即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负，简记为：同大异小. 9 例2 (2026·湖南省娄底市期末)函数 的定义域是( ) B A. B. C. D. 【解析】使函数有意义的条件是 解得 , 故所求函数的定义域是 . 10 例3 函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 【解析】，在上单调递减，且图象过定点 ， 故A正确. 11 知识点3 几类函数的增长差异 1 几类不同函数模型的增长比较 （1）一次函数模型 一次函数模型 的增长特点是直线上升，其增长速度不变. （2）指数函数模型 指数函数模型 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越 来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. （3）对数函数模型 对数函数模型 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度 越来越慢，即增长速度平缓. 12 （4）幂函数模型 当，时，幂函数是增函数，且当时， 越大其函数值的增长 速度就越快. 13 2 几类函数的增长差异 一般地，在区间上，尽管函数, ， 都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上. 随着的增大， 的增长速度越来越快，最终会超过并远远大于 的增长速度（即使的值远远大于 的值也是如此），而 的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个，使得当时，有 . 14 辨析比较 一次函数、指数函数、对数函数的增长趋势比较 函数 图象 在 上 的单调性 单调递增，且 越 大，增长越快. 单调递增，且 越大，增 长越快. 单调递增，且 越小，增 长越快. 增长速度 固定不变. 越来越快. 越来越慢. 图象的变化 匀速上升. 随着 的增大越来越陡. 随着 的增大逐渐变缓. 15 选取模型时，应注意： （1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； （2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函 数模型. 16 例4 某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长 迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 与产 量 的关系，则可选用( ) D A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 【解析】根据各个函数模型的特点，可知只有对数函数模型最符合题意，先快速增 长，后来增长越来越慢. 17 图4.4-2 例5 函数, 的图象如图4.4-2所示. （1）指出曲线, 分别对应的函数； 【答案】对应的函数为, 对应的函数为 . （2）比较两函数增长的差异（以两图象交点为分界点，对, 的大小进行比较）. 【答案】当时， ； 当时， ; 当时， ； 当或时， . 18 例6 下列说法中正确的是( ) D A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B., C., D.不一定存在,当时，总有 【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响， 幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较. 对于B，C，当 时，显然不成立. 对于D，当,时，一定存在,使得当时，总有 ，但 若去掉限制条件“, ”，则结论不成立. 19 知识点4 底数 对对数函数图象的影响 在同一平面直角坐标系中作出几个常见对数函数的图象,如图4.4-1所示，观察此图， 我们有如下结论:#1 图4.4-1 20 1.函数与,且的图象关于 轴对称. 2.底数的大小决定了图象的相对位置. 直线与函数图象交点的横坐标即为底数，因此由直线 与各对 数函数图象交点的左右位置即知底数的大小.#1.3 21 图4.4-3 例7 如图4.4-3所示的曲线分别是对数函数 ， ，，的图象，则,,, ， 1,0的大小关系为______________________（用“ ”号 连接）. 【解析】由题图可知,， , . 过点作平行于轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 , ,,，显然 . 22 知识点5 反函数 1 反函数的定义 一般地，对于函数，设它的值域为.我们根据这个函数中, 的关系， 用把表示出来，得到.如果对于在中的任何一个值，通过, 在 中都有唯一的值和它对应，那么就表示是自变量 的函数.这样的函数 叫做函数的反函数，记作 . 例如，对数函数,且是指数函数,且 的反函数. 23 2 反函数的性质教材深挖 对教材第135页【探究与发现】的深挖. （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.如的图象与 的图象关于直线 对称. （2）若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线 对称. （3）若函数图象上有一点，则 必在其反函数的图象上；反之， 若点在反函数的图象上，则 必在其原函数的图象上. （4）互为反函数的两个函数的单调性相同. （5）互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换. （6）单调函数必有反函数. 24 特别提醒（1）并非任意一个函数 都有反函数，只有定义域和值域满足“一 一对应”的函数才有反函数. （2）求反函数的步骤： ①求出函数的值域；②由解出;③把 改写成 ,并写出函数的定义域（原函数的值域）. 例8 设函数与的图象关于直线对称，则 ( ) C A.4 B. C.1 D. 【解析】方法1：令，可得，即在指数函数 的图象上，则 在反函数的图象上，所以 . 方法2：因为同底的指数函数和对数函数互为反函数，所以 ，则 . 25 例9 函数 的反函数为________________. 【解析】,,即反函数为 . 在原函数中由知 . 故的反函数为 ． 26 方法帮丨解题突破 题型1 对数型函数的定义域、值域问题 类型1 求定义域 例10 ［教材改编P131 T1］求下列函数的定义域： （1） ； 【解析】要使函数式有意义， 需 解得，且 . 故函数的定义域是,且 . 27 （2） . 【解析】要使函数式有意义， 需 解得,且 . 故函数的定义域是,且 . 28 解题通法 求对数型函数的定义域问题的注意点 ①求对数型函数的定义域，首先要使得对数式有意义，即真数大于0，底数大于0且 不等于1；②实际应用问题中的自变量要有实际意义. 练变式1 函数 的定义域为( ) B A. B. C.， D. 【解析】由题意，得，即，即 ， 或的定义域为 ． 29 类型2 求值域 例11 求下列函数的值域: （1） ; 【解析】函数的定义域为，且 , , 故函数的值域为 . 30 （2） ； 【解析】设，则,由 ,（真数大于0）知 . 又在 上单调递减， . 故函数的值域为 . 31 （3） . 【答案】 【解析】设 ， 令，因为，所以 ， 将化为 ， 所以当时，；当时， . 则， ， 所以函数的值域为 . 32 解题通法 解决对数型函数值域问题的思路 1.对于形如的对数型函数，首先由 确定函数的定义域；然 后确定函数的值域；再由函数的单调性及 的取值范围 （即函数 的值域）确定所求函数的值域. 2.对于形如的函数，通常利用换元法，即令 ，将其化归为熟悉 的函数求值域，求解时不可忽视新元 的取值范围. 33 练变式2（1）已知函数，求函数 的定义域及值域. 【答案】由，可得，解得 ， 所以函数的定义域为 . 因为 . 所以 . 又函数 为增函数， 所以 . 故函数的定义域为，值域为 . 34 （2）已知函数，函数，，求 的值域. 【答案】 ， 设，由得 ， 所以设， . 当时，；当时， . 所以，即的值域为 . 35 类型3 定义域、值域的逆向问题 例12 已知函数 . （1）若的定义域为,求实数 的取值范围; 【解析】由题意知，在 上恒成立. 当时， 不合题意； 当时，则解得 . 故的取值范围是 . 36 （2）若的值域为,求实数 的取值范围. 【解析】的值域为等价于函数的值域包含 . 当时,的值域为 ，符合要求; 当时,若的值域包含,则,解得 ； 当 时,显然不可能. 综上，可知的取值范围是 . 37 【解析】令 . （1）函数的定义域为等价于函数在 上 恒成立，由此确定的取值范围；（2）函数的值域为 等价于函数 能取遍上的所有值，即函数 的值域包含 ，由此确定 的取值范围. 38 解题通法 （1）的定义域为,等价于对任意实数恒有 ,特别是当 时，要使的定义域为,则有 （2）若已知的值域为,则必须取遍 内的所有值（一个也不 能少），即对于函数，必须有的值域包含 ，否则，若 ,则当时,有;当 时,有 ,此时其值域不是.特别是当 时， 要使的值域为，则有 39 练变式3 已知命题的值域为，命题 的定义域为，则是 的( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 40 【解析】对于命题, 可以取到所有大于0的数. 显然成立； 时，解得 ， 所以 . 对于命题,在 上恒成立. 显然成立； 时，解得 ， 所以 . 所以是 的充分不必要条件，故选B. 41 题型2 对数函数图象的应用 类型1 过定点问题 例13 (2026·黑龙江省大庆市期末)若函数,且 的图象 恒过点，则点 的坐标为______. 【解析】令，可得,当时，,所以函数图象恒过点 . 42 解题通法 由于对数函数，且的图象过定点 ，则求函数 ，且的图象所过的定点时，只需令 ,求出方 程的根,即得定点为.（本质： ） 43 类型2 利用对数函数图象作有关函数图象 例14 作出函数 的图象． 思路1： 利用函数的图象变换，将对数函数 的图象变为函 数 的图象. 思路2： 将函数解析式写成分段函数的形式，再分段作图. 44 【解析】方法1：第一步：作出 的图象，如图4.4-4（1）. 图4.4-4 第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位长度，得到 的图 象，如图4.4-4（2）. 第三步：将的图象在轴下方的部分以 轴为对称轴翻折上去，得 的图象，如图4.4-4（3）. 第四步：将的图象沿 轴向上平移2个单位长度，便得到所求函数的 图象，如图4.4-4（4）． 方法2： 分别作出函数在和上的两段图象，即得 的图象 （如图4.4-4（4））． 解题通法 对数型函数的作图方法——图象变换 对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、对称、翻折 变换得到所要求的函数图象.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 图4.4-5 （1） 的图象 的 图象（如图4.4-5（1））. （2） 的图象 的 图象（如图4.4-5（2））. 47 （3）的图象 的图象（如图4.4-6）. 图4.4-6 48 （4）的图象 的图象（如图4.4-7）. 图4.4-7 49 练变式4 作出函数 的图象. 【答案】第一步：作函数 的图象； 第二步：将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数 的图象； 第三步：保留函数的图象，再将其以 轴为对称轴翻折过去，得到函 数 的图象； 50 图D 4.4-1 第四步：保留函数的图象在轴及 轴以上的部分，将轴下方的图象沿 轴翻折上去，即 得函数 的图象，如图D 4.4-1所示. 51 类型3 图象的识别问题 例15 (2026·山东省临沂一中期末)函数与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 52 【解析】若，（先根据底数的范围进行判断）则函数 的图象为选项 A，B中过点的曲线，且，则在区间 ,或, 内，又函数 的图象的对称轴为直线 ，故A,B都不正确； 若，则函数的图象为选项C,D中过点 的曲线，且 ，则在区间或（0，内，又函数 的图象的对称 轴为直线 ，则结合选项易知C不正确，D正确. 53 解题通法 函数图象的识别，主要是依据函数的性质（定义域、奇偶性、单调性、最值等），再 结合函数图象的特殊点（与坐标轴的交点等）的函数值等排除错误选项，做出判断. 练变式5 若函数，且是减函数，则函数 的图象 大致是( ) C A. B. C. D. 【解析】是减函数，， 是 减函数，（排除B，D）且定义域为 .（排除A）故选C. 54 类型4 图象的应用——数形结合 例16 函数，若正实数，满足，且 在区间 上的最大值为2，则 __. 给什么得什么 由且得，,且 . 求什么想什么 求的值，即求出与的值或建立与 的关系. 差什么找什么 由,知，且，则函数 在 上的最大值为 . 55 图4.4-8 【解析】， 正实数， 满足 ， 结合图象（如图4.4-8所示）可得 ,且 ， ，，解得 . 由在区间 上的最大值为2，易知 ，，， 最大值 为此时， ， . 56 一般地，对于函数，若 ， 则，且，分别在， 内. 57 解题通法 数形结合是解决函数问题的重要思想，利用函数的图象可以研究函数的相关性质， 还可以解决与函数有关的方程与不等式等问题. 58 练变式6 (2026·江苏省如东高级中学期末)若不等式在上有解，则 的 取值范围是( ) C A., B., C. D., 59 【解析】若，则当,时，,而 ,此时显然符合题意. 图D 4.4-2 若，单调递增， 单调递减，在同一平 面直角坐标系内画出和在 上的图象，如图D 4.4-2所示，若在 上有解，则需满足 ，即，解得，故 的取值范围为 . 60 题型3 对数型函数的单调性及应用 类型1 研究对数型复合函数的单调性 例17 求下列函数的单调区间： （1） ; 【解析】由 ,（定义域优先原则） 解得或,即函数的定义域为 . 令（内层函数）, , 易知在上单调递减，在 上单调递增. 又（外层函数）是 上的减函数， 故所求函数的单调递增区间是,单调递减区间是 （复合函数的单调性 遵循“同增异减”的原则）. 61 （2） . 【解析】令,且在 上单调递减. 易知在上单调递增，在 上单调递减， 由，得,由，得 . 故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（单调区间是 的 区间，不是 的区间） 62 例18 (2026·安徽省皖南片区月考)函数在区间 上单 调递减的必要不充分条件是( ) C A. B. C. D. 先求出函数在上单调递减时变量 的取值范围，即函数 在区间上单调递减的充要条件，再判断 的取值集合是哪个选项的真子 集即可. 63 【解析】设 . 在 上单调递减， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且 在 上恒成立（【明易错】注意对数的真数在 上大于0）. 又在 上单调递减， 解得 . （【明易错】若函数在上单调递减，则 ） 即函数在区间上单调递减的充要条件是 . 而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，故只需看[- , 是谁的真子集，易知选C. 64 解决此题，既要确保函数在给定区间上的单调性 ，又要 使得函数在给定区间上有意义，即真数在给定区间上大于0恒成立 ，两 者缺一不可. 65 解题通法 解决对数型复合函数的单调性问题的关键 一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二 是运用复合函数的单调性法则来判断单调性；三是要注意函数的定义域. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外层函数，即 ,且 型；另一类是对数函数为内层函数，即 ,且 型. 对于,且 型的函数的单调性，有以下结论：函数 ,且的单调性与函数的单调性在 时 相同，在 时相反. 研究,且 型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法 则判定即可，即令,则只需研究及 的单调性即可.#2.1.4 66 练变式7 (2026·天津市新华中学期末) 若函数在上单调递增，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】令，其图象的对称轴为直线，因为在 上单调递增，所以在上单调递增，且 （勿忽略真数大于0这一条 件）, 即解得 .故选B. 67 类型2 比较大小 例19 比较下列各 组中两个值的大小： （1）, ； 【解析】函数的底数为常数 ， 所以该函数在 上是增函数， 又，所以 .（【厘思路】所给两对数的底数相同，可直接利用对数 函数的单调性比较大小） （2）， ； 【解析】, ,（【巧转化】转化为同底数的两数比较大小） 因为，所以 . 68 （3）, ； 【解析】因为 （【会变形】注意体会“1”的变形.）, （【会变形】注意体会“1”的变形.）, 所以 . （4） , . 【解析】因为 （【会变形】注意体会“0”的变形.）, （【会变形】注意体会“0”的变形.）, 所以 . 69 70 例20 (2026·浙江省杭州学军中学期末)已知, , ,则( ) B A. B. C. D. 【解析】,,且 , . 71 子题 (2026·河南省濮阳市第一高级中学月考)设,, ,则( ) A A. B. C. D. 【解析】方法1：， .又 ， . 方法2：,,,, , , . 72 解题通法 比较对数式大小的常用方法 （1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性. （2）比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用 对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限 内利用对数函数图象的位置关系比较大小. （3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量（如1，0， 等） 进行比较. （4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个式子的结构特征，以及它们与中间量 （0和1等）的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可. 73 （5）比较含参数的两个对数式的大小，若底数中有参数，要注意对底数进行分类讨 论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件.例如：比较与 的大小时，要注意隐含条件 .#4.1.5 练变式8 (2026·陕西省渭南市瑞泉中学期末)设,, ,则 , , 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为, , ,所以 .故选D. 75 练变式9 (2026·辽宁省沈阳市第一中学一模)设, ,则( ) B A. B. C. D. 【解析】由得，由得，（比较, ,发 现共有的数为 ，因此统一化为以0.3为底数的对数）所以 ，所以，则 . 又,，所以，所以 . 76 类型3 解对数不等式 例21 解下列不等式： （1） ; 【解析】由题意可得 解得．所以原不等式的解集为 . 77 （2） ; 【解析】当 时（对底数分类讨论）， （化为底数相同）, 解得 ,此时不等式无解. 当时，,解得 , 所以 . 综上所述，原不等式的解集为 . 78 （3） . 【解析】当时，由题意得解得 . 当 时（注意对底数进行讨论）， 由题意得解得 . 综上所述，当时，原不等式的解集为;当 时，原不等式的解 集为{ . 79 解题通法 对数不等式的三种类型及解法 （1）形如的不等式，利用函数 的单调性对不等式作 同解变形. 当时，原不等式等价于即 . 当时，原不等式等价于即 . 80 特别地，当不等式的一端为常数时，常化为同底的代数式，再利用函数的单调性求 解. （2）形如,且不等于1， 的不等式，可利用换 底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. （3）形如的不等式，等价于 或 #2.1.3 注意:底数中若含有参数，一定注意底数大于0且不等于1，同时要注意对底数是大于 1还是大于0且小于1进行分类讨论. 82 练变式10 已知函数在区间上总有,求实数 的 取值范围. 【答案】, . 当时，,即 . 对任意的, 恒成立, 解得 . 当时，,即 . 对任意的, 恒成立, 解得 . 综上可得，实数的取值范围是 . 83 题型4 对数型复合函数的奇偶性及应用 例22 (2026·广东省深圳市期末)已知函数 . （1）若为奇函数，求 的值； 【解析】方法1：为奇函数，，解得 ， ，则 , 为奇函数，故 的值为1. 方法2：为奇函数， ， 即， ， 解得时，函数 无意义，故舍去）. 84 （2）在（1）的条件下，若在上的取值范围为，求, 的值. 【解析】由（1）知，则 , 解得，即函数的定义域为 ， . 令，则在 上单调递减， 又在上的取值范围为 , 函数在上的取值范围为 ， （结合的图象，可得的值）解得 85 （1）思路1 思路2 86 解题通法 对数函数本身不具有奇偶性，但对数函数与其他函数构成的复合函数可能具有奇偶 性，如（1）为偶函数；（2） 为奇函数；（3） 为奇函数； （4） 为偶函数等.在相关题目中， 一般利用函数奇偶性的定义来判断这类函数的奇偶性，且需利用奇偶性来求变量的 取值. 87 练变式11 (2022·全国乙卷)若是奇函数，则____, _____. 【解析】方法1：（通法） . 为奇函数， ， 当时， 对任意 的恒成立，则解得 88 当时， 对任意 的恒成立，则 无解. 综上，, . 方法2:要求的参数有两个， 利用函数的代数特征，寻找两个关于参数的方程，列 方程组求解. 是奇函数， , . 故,解得,从而 . 方法3：（秒解） 考虑到定义域的对称性，注意到不在定义域中， 可由定义 域先确定的值，再得到 的值. 是奇函数，注意到 不在定义域中， 由图象对称性知,即，解得 ,再由 得 . 题型5 不同函数增长速度的比较 例23 ［多选题］(2026·福建省厦门市杏南中学期中)设, , ，当 时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中， 错误的是( ) ACD A.的增长速度最快， 的增长速度最慢 B.的增长速度最快， 的增长速度最慢 C.的增长速度最快， 的增长速度最慢 D.的增长速度最快， 的增长速度最慢 91 【解析】画出函数,, 的图象，如图4.4-9所示. 图4.4-9 结合图象，当时，函数的增长速度最快， 的增长 速度最慢. 故 错误. 92 题型6 反函数的应用 类型1 反函数的定义域、值域 例24 函数的反函数 的定义域为________. 【解析】因为，所以，所以函数 的值 域为 . 因为的定义域即为函数的值域，所以 的定 义域为 . 93 例25 (2026·辽宁省沈阳市第一中学段考)已知函数过点 ，若 ，的反函数为，则 的值域为( ) D A. B. C. D. 【解析】函数过点，则，解得 ， 所以，的反函数为，得 ， 又，所以的定义域为，当时，有，则 的值域为 . 94 类型2 反函数求值 例26 设函数的图象关于点对称，且存在反函数, ,则 ____. 【解析】由，可知函数的图象过点.而点关于点 的对称点 为.由题意知点也在函数的图象上，即有,所以 （4） . 此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称 问题.反函数求值问题经常要用到这条性质：当函数存在反函数时，若 , 则 . 95 高考帮丨考向追踪 考向1 比较大小 例27（1）(2024·天津)若,,,则,, 的大小关系为 ( ) B A. B. C. D. （2）(新高考全国Ⅱ卷)若，， ，则( ) C A. B. C. D. 96 （1） 97 （2） 98 考向2 对数函数单调性的应用 例28 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知函数在 上单调递增，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为函数在上单调递增，且当时， ，所 以在上单调递增，所以，（对称轴在 右侧） 即 . 又函数在上单调递增，则 ，（注意分段点处函数值的关系）即 . 综上，实数的取值范围是 .故选B. 99 例29 (2024· 新课标Ⅱ卷)设函数.若,则 的最小 值为( ) C A. B. C. D.1 【解析】由及,在定义域上单调递增，可得 与 同正、同负或同为零，（题眼）所以当时， ，即 所以，则 ，故选C. 100 考向3 对数型函数的奇偶性与对称性 例30 (2023· 新课标Ⅱ卷)若为偶函数，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 【解析】方法1：设，易知的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数.若 为偶函数，则应为奇函数，所以 ，故选B. 方法2：因为 为偶函数， , ,所以 ,解得 ,故选B. 101 例31 (2024· 新课标Ⅰ卷节选)已知函数 .证明：曲线 是中心对称图形. 【解析】方法1：由，得,所以 的定义 域为 .（要找对称，一定要在定义域的中点处寻找） 将的图象向左平移一个单位长度，得到新函数 的图 象， 则的定义域为，且是奇函数，是奇函数， 为奇函 数， 再将函数的图象向下平移个单位长度 102 （或向上平移个单位长度），得到函数 的图象， 且为奇函数，即的图象为中心对称图形，对称中心为 ， 所以曲线也为中心对称图形，对称中心为 . 方法2： ， 故曲线关于点中心对称.（【归纳总结】若 ，则 函数的图象关于点 中心对称） 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】要使函数式有意义，则解得 ，即函数的定义域为 . 104 2.指数函数（,且）的反函数的图象过点，则 ( ) B A.3 B.2 C.9 D.4 【解析】方法1：函数（,且)的反函数即，故 的 图象过点,则, . 方法2：由题意得，函数（，且)的反函数的图象过点 ,则函数 （,且)的图象过点,即,故 . 3.已知函数，则函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 【解析】易知，，即函数 的值域是 . 105 4.(2026·陕西省西安市高陵区第三中学期末)在同一直角坐标系中，函数 , 的图象可能为( ) D A. B. C. D. 【解析】由，可知函数在上单调递减,且其图象过点 ， 函数在上单调递增，且其图象过点 ，由图可知选项D符合. 106 5.(2026·天津市第一中学月考)已知，， ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】方法1： 107 方法2： 108 6.［多选题］(2026·江西省赣州市期末)对于函数 ，下列说法 正确的是( ) BCD A.的定义域为 B.的图象关于点（ ,0）对称 C.在区间上单调递增 D. 109 【解析】对于A,由得且，所以的定义域为 且 ，A错误； 对于B，，所以 的图 象关于点（ ,0）对称，B正确； 对于C，当时， ， 因为在上单调递增，单调递增，所以在 上单调 递增，C正确； 110 对于D，当时, ，因为 在上单调递减，单调递增，所以在 上单调递减，因 为，所以，所以，又 ，所以 ，D正确. 故选 . 111 7.(2026·湖南省常德市期末)已知函数在区间 上单调递减，则 实数 的取值范围是______. 【解析】当时，由函数与函数 都是减函数，得函数 为增函数，故不符合题意； 当时，由函数为增函数且 为减函数，得函数 为减函数，符合题意. 由题意可得，解得，综上可得 . 112 8.(2026·河南省许昌市期末)已知函数 为奇函数. （1）求 的值. 【答案】由为奇函数，得 , 即,解得 , 当时，无意义，所以 . 113 （2）已知函数 . ①用定义法证明： 是减函数； 114 【答案】由（1）知 , , 由得,即的定义域为 . 任取 , 则 , 由,得,则 , 即,因此,即 ,所以函数 在 上单调递减. 115 ②求不等式 的解集. 【答案】不等式,即,故 解得 , 所以不等式的解集是 . 116 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·浙江省绍兴市期末)已知,, ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】因为,,所以 , ,所以 , 又函数是增函数，所以； , 因为,所以函数在 上单调递增， 又,所以,即,所以 . 117 10.(2026·山东省德州市期末)设函数,则 ( ) D A.是偶函数，且在(, )上单调递增 B.是奇函数，且在(, )上单调递减 C.是偶函数，且在( ， )上单调递增 D.是奇函数，且在( ， )上单调递减 118 【解析】由得函数的定义域为 ,其关 于原点对称，因为 ,所以函数 为奇函数，排除A,C．当,)时， ,易知函 数单调递增（,在(, )上均单调递增），排除B． 当 ,时， ,易知 函数 单调递减，故选D． 119 11.［多选题］(2026·陕西省安康市期末)若函数 ，则( ) AB A. B. C.在)上单调递增 D. 为偶函数 120 【解析】对于选项A,因为 ,且 ,所以 ,所以 ,A正确； 对于选项B,因为 ,B正确； 对于选项C,因为在)上单调递减，且 在定义域内单调递增， 所以在 )上单调递减，C错误； 对于选项D,由题可知，的定义域为,因为 ,即 ,所以 , 若为偶函数，则 , 即,解得 , 即不恒成立，所以不为偶函数，故D错误.故选 . 121 12.［多选题］(2026·河北省易县中学期末)已知函数 ， ，则下列结论正确的是( ) ACD A. 是奇函数 B.， C.若，则 为定值 D.若,,是三条边的边长，则 122 【解析】对于A，因为 恒成立， 所以的定义域为 ， 又 ， 所以 ，所以 ， 所以 是奇函数，故A正确； 对于B，因为是奇函数，所以 ， 所以 ， 123 因为在)上单调递增，且 恒成立，所以由复合 函数单调性可知在 )上单调递增， 又为奇函数，所以在 上单调递增， 由平移变换可知在上单调递增（将 的图象向右平移一个单位长度，即 得的图象，平移并不影响单调性），因为当时， 2恒成立，所以，所以 ，所以 恒成立，故B错误； 对于C，由可知，当 时， ，所以 ，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，且 为增函数， 所以在上单调递增，若,,是三条边的边长，则 ，所 以 ，故D正确. 故选 13.(2026·安徽省宣城市期末)已知函数 是偶函数，则函 数 的取值范围是__________. 【解析】，因为 为偶函数， 所以 ， 即 , 所以，解得 . 所以，由,解得 . 所以， . 令，，由二次函数的图象和性质可知，当 时，,因为对数函数在上单调递增，所以 .综上， 函数的取值范围是 . 126 14.(2026·湖北省蕲春县第一高级中学周练)已知函数, . 【答案】令,则，即,,即 . （1）如果，求函数 的值域； 【答案】,即 ． 当时， ， 故当时， 取得最大值，为2， 当时， 取得最小值,为0， 的值域为 ． 127 （2）求函数 的最大值； 【答案】函数 ， 当时，， . 当时，， . 即 当时，最大值为1；当时， ． 综上,当时， 取到最大值,为1． 128 （3）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】 对任意，不等式 恒成立， 即 . ， ， 对一切 恒成立． ①当时， ． ②当，，令（对勾函数） ， 则在( 上单调递减， ， ． 综上所述，的取值范围为 ． 129 C 培优练丨能力提升 15.［多选题，新定义·正对数］(2026·广东省中山市三鑫学校期末)定义“正对数”： 若， ，则下列结论中正确的是( ) AD A. B. C. D. 130 【解析】对于A，当，时，有，从而 ， ，,当，时，有 ，从而 , , 当，时， ,故A正确. 对于B，当，时，满足， ， 而， ， ,故B错误. 对于C，令，，则， ， ，故C错误. 131 对于D，由“正对数”的定义知，当时，有 ， 当，时， ， 从而 , , ； 当，时，有 ， ； 当，时，有 ， ， ， ； 当，时，有 ， ， ， ， , . 综上，当，时， ，故D正确． 故选 ． $