4.4.1 对数函数的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学对数函数的概念新授课同步练，以基础题为核心，通过选择、多选、填空、解答题的梯度设计，实现从概念理解到实际应用的进阶，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|对数函数定义、定义域|选择题1-2直接考查概念，填空题12强化定义域求解| |理解应用|性质与简单运算|选择题3-6结合奇偶性、实际情境（如视力记录），多选题10-11辨析概念联系| |综合拓展|综合应用与建模|解答题15-16含参数问题、证明推理，选择题8结合冷却模型培养数学建模能力|

4.4.1 对数函数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知函数f(x)=lg，若f(a)=b，则f(-a)等于 （      ）  A.b B.-b C. D.- 【答案】B 【解析】∵f(a)=lg=b，∴f(-a)=lg=-b. 2.若函数f(x)＝log2(x＋a)的图象过点(－2，0)，则a＝ （      ）  A.3 B.1 C.－1 D.－3 【答案】A 【解析】由已知得f(－2)＝log2(－2＋a)＝0，所以－2＋a＝1，解得a＝3. 故选A. 3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)（      ）  A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【答案】C 【解析】由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1， 得V＝10－＝≈≈0.8， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 故选C. 4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是 （      ）  A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x 【答案】B 【解析】由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x. 5.（2025-2026·海南海口高一上期末）函数的定义域是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数有意义得. 因为对数底数，函数单调递减. 所以. 化简得. 即函数定义域为. 故选：C. 6.（2025-2026·浙江高二下月考）若函数为奇函数，则实数的值为（） A. B.1 C. D.0 【答案】B 【解析】由为奇函数得，代入函数表达式得，整理得，化简得，故. 当时，，函数定义域为，不关于原点对称，故舍去. 当时，，函数定义域为，关于原点对称，满足奇函数条件，故. 故选：B. 7.（2025-2026·山西阳泉高二下期末）已知函数，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令，由得， 有意义的条件为，故. 结合的分段定义，可得或，解得或， 即. 故选：D. 8.（2025-2026·黑龙江高一期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 【答案】D 【解析】由题把，，时，， 代入公式可得：， 即，化简得. 设物体从降至还需冷却时间为分钟， 此时，，， 则 将代入上式得：，所以. 则 即， 将，代入得： . 所以该物体温度降至还需要冷却的时间约为， 答案选D. 二、多选题（共3小题） 9.已知函数f(x)=若f(x)=2，则x= （      ）  A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】AC 【解析】由f(x)=2，得或解得x=0或x=4. 10.既在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点可以是 （      ）  A.(1，1) B.(2，2) C.(2，4) D. 【答案】BD 【解析】对于A，若点(1，1)在函数y＝ax的图象上，解得a＝1，又a≠1，不符合题意； 对于B，若点(2，2)在函数y＝ax的图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx的图象也过点(2，2)，所以符合题意； 对于C，若点(2，4)在函数y＝ax的图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x的图象不过点(2，4)，不符合题意； 对于D，若点在函数y＝ax的图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx的图象也过点，所以符合题意． 故选BD. 11.（2025-2026·福建高一期末）下列各组中的与为同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一个函数. ，定义域为，定义域为，定义域和对应关系都相同，是同一个函数. ，，定义域都是，对应关系相同，是同一个函数. 选项D：定义域为定义域为，定义域不同，不是同一个函数. 所以答案是BC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·云南玉溪高一下期中）函数的定义域为                   ． 【答案】 【解析】要使函数有意义，需满足不等式组，解得. 故答案为：. 13.（2025-2026·河南信阳高一下期中）已知函数为奇函数，则实数的值为                   . 【答案】1 【解析】由，解得，故的定义域为. 因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有. 代入表达式整理得，化简得，由在定义域内的任意性可得. 14.设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2025)＝8，则＋＋…＋的值等于                   ． 【答案】16 【解析】＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝loga(x1x2x3…x2 025)2 ＝2loga(x1x2x3…x2 025) ＝2×8 ＝16． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·新疆喀什高一上期末）已知函数的图像过点． （1）求函数的值，并求的定义域和值域； （2）若，求实数的值． 【答案】解：(1)由函数的图像过点,得，故,. 此时. 由,得或. 因此的定义域为. 因可取遍所有正实数,故的值域为. （2）结合的条件,利用对数恒等式得. 整理得,解得或. 经检验,与均满足定义域的要求. 故实数的值为或. 16.（2025-2026·湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高一下期中）已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，对，均有，求的取值范围； (3)若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 【答案】解：(1)时，，由得，去对数整理得. 令，方程化为，舍去负根得，即，故方程的解为. (2)时，对恒成立，化简得，由单调递增得，令，即对恒成立. 法1：分离参数得对恒成立，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，解得，即的取值范围是. 法2：设，对称轴为，当即时，在单调递增，，满足条件；当即时，需，解得，结合前提得，综上得的取值范围是. (3)对恒成立，即，由，单调递增得对恒成立. 令，不等式两边同除以得对恒成立，由及基本不等式得，当且仅当时取等号，故，即. 由此得，故得证，当时，上述不等式需同时取等号，故，解得，代入得满足条件，故等号成立时的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.1 对数函数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知函数f(x)=lg，若f(a)=b，则f(-a)等于 （      ）  A.b B.-b C. D.- 2.若函数f(x)＝log2(x＋a)的图象过点(－2，0)，则a＝ （      ）  A.3 B.1 C.－1 D.－3 3.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)（      ）  A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是 （      ）  A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x 5.（2025-2026·海南海口高一上期末）函数的定义域是（） A. B. C. D. 6.（2025-2026·浙江高二下月考）若函数为奇函数，则实数的值为（） A. B.1 C. D.0 7.（2025-2026·山西阳泉高二下期末）已知函数，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·黑龙江高一期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 二、多选题（共3小题） 9.已知函数f(x)=若f(x)=2，则x= （      ）  A.0 B.2 C.4 D.6 10.既在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点可以是 （      ）  A.(1，1) B.(2，2) C.(2，4) D. 11.（2025-2026·福建高一期末）下列各组中的与为同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·云南玉溪高一下期中）函数的定义域为                   ． 13.（2025-2026·河南信阳高一下期中）已知函数为奇函数，则实数的值为                   . 14.设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2025)＝8，则＋＋…＋的值等于                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·新疆喀什高一上期末）已知函数的图像过点． （1）求函数的值，并求的定义域和值域； （2）若，求实数的值． 16.（2025-2026·湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高一下期中）已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，对，均有，求的取值范围； (3)若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $