第4章 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第四章　指数函数与对数函数 数学A 必修第一册 4．5　函数的应用(二) 4．5.2　用二分法求方程的近似解 数学A 必修第一册 目录 contents Part 01 学习目标 知识梳理 Part 02 题型探究 Part 03 课时分层作业 Part 06 当堂达标 Part 04 课堂小结 Part 05 数学A 必修第一册 学习目标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 知识梳理 数学A 必修第一册 连续不断 f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 题型探究 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 当堂达标 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课堂小结 数学A 必修第一册 数学A 必修第一册 课时 分层作业 点击进入word 数学A 必修第一册 谢谢观看 数学A 必修第一册 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象__________且__________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思考】　 若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 【解析】　提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2．二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(　　) 2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(　　) 3．用二分法最后一定能求出函数零点．(　　) 4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.×　4.√ 一、二分法概念的理解 　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) 【解析】　二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项C图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，B，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点． 【答案】　C 【反思感悟】　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4，4　　　　　 B．3，4 C．5，4 D．4，3 【答案】　D 【解析】　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 二、用二分法求方程的近似解 　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01) 【解】　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5)． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号 (1，1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0 (1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0 (1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125. 【反思感悟】　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 2．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 【解】　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2， ∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于(　　) A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75 【答案】　C 【解析】　x1＝eq \f(0＋0.5,2)＝0.25. 2．用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(　　) A．(1，2) B．(1.75，2) C．(1.5，2) D．(1，1.5) 【答案】　C 【解析】　由题意知f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－eq \f(5,8)<0，∴零点所在的区间为(1.5，2)，故选C. 3．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　) ①y＝3x2－2x＋5；②y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≥0，,x＋1，x<0，))；③y＝eq \f(2,x)＋1，x∈(－∞，0)；④y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8. A．①③ B．② C．④ D．②④ 【答案】　C 【解析】　由y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值． 4．某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分____________________次后，所得近似值的精确度达到0.1. 【答案】　5 【解析】　由eq \f(3－1,2n)<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5. 5．判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由． 【解】　方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，下面说明理由． 设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0， 又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立， 故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0， 即方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解． 1．知识归纳： (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． 2．方法归纳： (1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点． (2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用． 3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点． $$