4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，系统讲解二分法原理、适用条件及实施步骤，课堂导入可先复习函数零点存在定理，明确二分法需连续函数且零点变号的前提，搭建从理论到近似解求解的学习支架。 其亮点在于结合概念辨析题、函数值表格计算及线路故障排查等实例，培养数学眼光（发现实际问题中的区间二分关系）、数学思维（程序化推理与逐步逼近）和数学语言（规范步骤表达）。资料结构清晰，例题与检测题结合，助力学生理解思想，教师可高效开展教学。

第四章　指数函数与对数函数 4.5.2　用二分法求方程的近似解 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.了解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 学习目标 基础知识 【说明】　(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． f(a)f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 f(a)f(b)<0 c c (a，c) (c，b) 【说明】　(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分. 判一判 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) (4)达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(　　) × × × √ 例题 类型一　二分法的概念　　　　　　　　　 1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　 　) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex+1－2 解析　A、C、D选项，在定义域内都连续且单调递增，并且在零点两侧的函数值异号，故能用二分法求函数零点；B选项，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故选ACD. ACD 2．(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有(　 　) BCD 解析　根据二分法的概念，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对于A，因为零点左、右两侧的函数值同号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A错误．对于B、C、D，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故B、C、D正确．故选BCD. 3．若函数f(x)＝x2＋ax＋4有零点，但不能用二分法求出该零点，则a的值为 ． 解析　由题意知Δ＝a2－16＝0，解得a＝±4. ±4 方法总结 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 类型二　利用二分法求函数零点的近似值 【例1】　已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示： 那么f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.07)为(　　) A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 B x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 －0.107 0.278 0.090 －0.007 [解析]　因为y＝x，y＝－e－x在R上均单调递增，所以函数f(x)＝x－e－x在R上单调递增，由题表知f(0.5)<f(0.562 5)<0<f(0.625)<f(0.75)<f(1)，由函数零点存在定理知，函数f(x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，又0.625－0.562 5＝0.062 5<0.07，所以函数f(x)的一个零点的近似值为0.57. 方法总结 [跟踪训练1]　设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0的近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　) A 类型三　二分法的实际应用 【例2】　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在区域的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)? [解]　如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，   方法总结 二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等． [跟踪训练2]　在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量比真币的略小)，现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，至多几次就一定可以找出这枚假币？ 解　利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币． 第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组：6，6，1，把有6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，那么剩下的一枚是假币(称量结果)，如果不平衡，那么轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币平均分成两组，放在天平上称，轻的一组含假币；第四次把含假币的3枚金币分成3组：1，1，1，取其中的两枚金币放在天平上称，如果平衡，那么剩下的一枚是假币，如果不平衡，那么轻的一枚是假币．因此，最多四次就可以找出假币. 课堂小结 1．知识清单 (1)二分法的概念及应用． (2)二分法在实际生活中的应用． 2．核心提示 (1)二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． (2)方法归纳：化归、逼近(如例2)． 当堂检测 1．如图，函数f(x)的图象与x轴交于M(x1，0)，N(x2，0)，P(x3，0)，Q(x4，0)四点，则不能用二分法求出的f(x)的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 解析　由题图可知，在x＝x2附近，函数f(x)均大于0， 故x2不能用二分法求出．其他零点附近函数值均不 同号，可以用二分法求解． B 2．用二分法求y＝x2－6的零点时，初始区间可取 (　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　f(0)＝02－6＝－6；f(1)＝12－6＝－5；f(2)＝22－6＝－2；f(3)＝32－6＝3；f(4)＝42－6＝10，所以f(2)·f(3)<0，故零点在区间(2，3)内． 3．用二分法求方程x2－2x－5＝0在区间(2，4)内的实根，首先取区间中点x0＝3进行判断，那么下一个有根区间是 ． 解析　令f(x)＝x2－2x－5，则f(2)＝－5<0，f(3)＝－2<0，f(4)＝3>0，∵f(2)f(3)>0，f(3)f(4)<0，故下一个有根区间是(3，4)． C (3，4) 4．在用二分法求方程x2＝3的近似解(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 7 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 填一填 1．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 ； (2)求区间(a，b)的中点 ； (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则 就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈ )，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈ )，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． $