专题6.7 数列的通项公式（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式核心考点，涵盖观察法、定义法、公式法等8种求法，按知识逻辑构建“概念-方法-应用”体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生系统掌握递推关系转化等解题关键，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用“例题-变式”分层设计，如构造法教学中引导学生将递推式转化为等比数列模型，培养数学思维与模型意识。设置基础到综合的练习梯度，配合高考真题再现，助力学生在有限时间内提升推理与应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

专题6.7 数列的通项公式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解数列的通项公式和递推关系 (2)掌握求数列的通项公式的常用方法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 数列的通项公式 全国甲卷（文数）：第17题（1），5分 全国甲卷（理数）：第18题（1），5分 全国一卷：第14题，5分 命题规律分析 1、数列的通项公式 数列是高考的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度中档；有时也会出现在选择题、填空题中，与数列的基本量、数列的求和等内容综合考查，难度较易；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解，高考一轮复习时要加强此方面的训练. 考点1 数列的通项公式 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【题型1 观察法】 【例1】（2026·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【解答过程】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D. 【变式1-1】（2026·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用排除法，取特值检验即可. 【解答过程】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解题思路】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【解答过程】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 【答案】C 【解题思路】先根据递推数列判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【解答过程】因为，所以当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以． 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【答案】A 【解题思路】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【解答过程】由， 所以当时，， 当时，， 所以 ， 当时，满足， 所以， 故选：A. 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【解答过程】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 【变式2-3】（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【题型3 累加法】 【例3】（2026·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【解答过程】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 【变式3-1】（2026·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解. 【解答过程】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 【变式3-2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【解答过程】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 【变式3-3】（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）证明：由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 【题型4 累乘法】 【例4】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【解答过程】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 【变式4-2】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【解答过程】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 【变式4-3】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【解题思路】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【解答过程】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【题型5 加减常数或函数构造法】 【例5】（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解答过程】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二下·广西防城港·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过构造法可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式计算可得结果. 【解答过程】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系及构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 则，由，得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以数列的前项和. 【变式5-3】（25-26高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【解答过程】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）证明：由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 【题型6 同除法或取倒数法】 【例6】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【解答过程】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 【变式6-1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【解答过程】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 【变式6-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 【变式6-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列通项公式列式，再利用构造法，结合等比数列定义求解. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）依题意，，则等差数列的公差， ，因此，数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以. 【题型7 已知数列前n项积求通项】 【例7】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意将表达式化简可得，再利用前 项积的关系式可证明数列是等差数列，即可求得结果. 【解答过程】由已知得，且，，取，由得， 由于为数列的前项积，所以， 则，两式相除，可得， 由于，化简得，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用累加法求得，再由求解即可. 【解答过程】由题意， 当时，，，， 累加得， 所以 又当时，也满足， 所以. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由得，进而得，即是公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得，进而得，即可求解. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以，所以是公差2的等差数列， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高三上·辽宁·阶段检测）记为数列的前项积，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据递推公式，利用累加法求得，再根据关系求得，再求结果即可. 【解答过程】由题意可得，，…，， 累加有时：. 经验证当时满足，故， 则时，， 当时满足，即，令可得. 故选：C. 【题型8 双数列的通项问题】 【例8】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【解答过程】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【变式8-1】（2026·山东潍坊·一模）已知数列的前项和为，等差数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用，求得，设等差数列的公差为，列出方程组，求得，进而得到数列； （2）由（1）得，根据题意，得到，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，所以， 又由， 设等差数列的公差为，可得，即，解得， 所以， 因此，数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，，可得， 因为为在区间内项的个数， 又由，可得，即， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以数列的前项和为. 【变式8-2】（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 【变式8-3】（2026·湖南衡阳·二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）法一：利用等差数列前项和公式、通项公式，联立方程组求解首项和公差，即可得数列的通项公式； 法二：利用等差数列性质，求出中间项的值，再计算公差，即可得数列. 结合和，即可得数列的通项公式. （2）根据（1）中数列，的通项公式，得到数列的通项公式，再结合裂项相消求和，即可得解. 【解答过程】（1）法一：因为数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 即，解得， 所以， 数列的通项公式为． 法二：因为，所以，解得， 所以公差， 所以， 数列的通项公式为． 由，当时，，得， 当时，，所以， 所以，即， 又，所以． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. （2）由（1）知，，， 所以， 所以 ． 故数列的前n项和. 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【解答过程】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以 ，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C. 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【解题思路】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【解答过程】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 故选：A. 3．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用数列递推公式推出数列是等差数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 故选：C. 4．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据数列等式进行变形化简确定数列从第二项起为公比为3的等比数列，从而利用等比数列通项公式求解即可. 【解答过程】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 故选：D. 5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，可求出的值；令，由 得，两式作差推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【解答过程】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 故选：D. 6．（2026·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【解题思路】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【解答过程】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C. 7．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【解答过程】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B. 8．（2026·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【解答过程】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用，求出，故选项C错误，由，应用等差数列求和公式计算选项D正确. 【解答过程】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 故选：BD. 10．（2026·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项. 【解答过程】因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD. 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 【答案】ACD 【解题思路】根据递推关系求出判断A；根据等差数列前项和公式计算判断B；写出数列前10项，计算求和判断C；求得，根据单调性计算判断D. 【解答过程】对于A，当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，， 时，时， 故前10项和为，故C正确； 对于D，， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， ___________. 【答案】 【解题思路】由题设中的递推关系可得，据此可求，求出可得. 【解答过程】因为，故，故， 整理得，当时，有， 故， 而，故，而， 故，故，故， 而，也满足上式，故. 故答案为：. 13．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则___________． 【答案】/ 【解题思路】根据已知得是等差数列，求得的通项公式，再利用即可求得的通项公式，进而求得的值． 【解答过程】由题设，且，则， 所以，两边同时除以，得，且， 所以是1为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 根据且，可得， 所以. 故答案为：. 14．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则___________. 【答案】 【解题思路】先根据为等差数列，求出，再根据的关系求出通项公式，然后检验是否符合即可. 【解答过程】解：由是首项为1，公差为的等差数列，则，所以， 当时，， 当时，， 检验，当时，，所以该公式对也成立， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【解答过程】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 16．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【解答过程】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得 舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和 ， 得， 因此，. 17．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【解答过程】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 19．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【解题思路】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【解答过程】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 数列的通项公式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解数列的通项公式和递推关系 (2)掌握求数列的通项公式的常用方法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 数列的通项公式 全国甲卷（文数）：第17题（1），5分 全国甲卷（理数）：第18题（1），5分 全国一卷：第14题，5分 命题规律分析 1、数列的通项公式 数列是高考的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度中档；有时也会出现在选择题、填空题中，与数列的基本量、数列的求和等内容综合考查，难度较易；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解，高考一轮复习时要加强此方面的训练. 考点1 数列的通项公式 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【题型1 观察法】 【例1】（2026·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 【变式2-1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【变式2-3】（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【题型3 累加法】 【例3】（2026·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【变式3-3】（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【题型4 累乘法】 【例4】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若 ，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【变式4-2】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【变式4-3】（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【题型5 加减常数或函数构造法】 【例5】（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·广西防城港·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式5-3】（25-26高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【题型6 同除法或取倒数法】 【例6】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式6-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和. 【题型7 已知数列前n项积求通项】 【例7】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三上·辽宁·阶段检测）记为数列的前项积，且，，则（   ） A． B． C． D． 【题型8 双数列的通项问题】 【例8】（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【变式8-1】（2026·山东潍坊·一模）已知数列的前项和为，等差数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和，求. 【变式8-2】（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【变式8-3】（2026·湖南衡阳·二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 3．（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 7．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2026·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多选题 9．（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， ___________. 13．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则___________． 14．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则___________. 四、解答题 15．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 17．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 19．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $