重难点培优01 衍生数列问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优01 衍生数列内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 片段数列问题 题型2 公共项问题 题型3 幷项问题 题型4 增项问题 题型5 减项问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 衍生数列 衍生数列是指由已知数列通过截取一段连续项构成等比（差）等特殊数列；或插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题. 知识点2 片段数列问题求解策略 1. 求原数列通项及前n项和；2.根据分组规则，设出新数列的基本量；3.结合增减、奇偶、分组性质化简，求解未知参数. 知识点3 数列的公共项与并项 两个等差数列的公共项一般是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项一般是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项一般是等比数列； 解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确去掉两个数列的公共项. 知识点4 数列的增减项 对于增加项数或减少项数问题，弄清增加（或减少）的项数及增加（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可解决此类问题. 题型深研·通法变式提能力 题型1片段数列问题 【例1】（2026全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由已知，，，，， 所以数列的前项的和为， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求； 【变式1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 【变式2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 【答案】AC 【解析】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确； 对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误； 对于C，设等差数列的首项为，公差为， 所以， ， ， 所以， 所以，，，，…为等差数列，故C正确； 对于D：设等比数列的公比为， 当时，， 当为偶数时，， 所以，，，，…不是等比数列，故D错误. 题型2公共项问题 【例2】（2026·江西赣州一模）已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列， 通项为，已知，则，解得，故， 故，则是首项为4，公差为3的等差数列， 故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1， 故公共项为，即，则． 【变式1】（2026·山东临沂二模）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【答案】 【解析】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以3为首项，以3为公差的等差数列， 可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 则 ， 则的前10项和为. 【变式2】（2026·浙江杭州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. （1）求与的通项公式； （2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 【解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…， 所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列， 所以， 则. 【变式3】已知数列的前n项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的通项公式为，若由数列与的公共项按从小到大排列得到数列，求数列的前n项和． 【解】（1）因为，所以． 当时，； 当时，． 当时满足，故数列的通项公式为． （2）设，即，． 由，所以， 由，可知，即不是两个数列的公共项． ， 由，可知，所以是两个数列的公共项， 因此，若，则， 所以，且， 所以两数列的公共项所构成的新数列是以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以数列的前n项和． 题型3幷项问题 【例3】（2026·福建厦门一模）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（    ） A． B．数列中与之间共有项 C． D． 【答案】ABD 【解析】数列的前项和，当时，； 当时，， 经检验，当时也满足，所以， 又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以． 则数列为：， 所以，故选项A正确； 数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数， 所以与之间包含的奇数个数为个，故选项B正确； 因为，前面相邻的一个奇数为， 令，解得， 所以数列从1到共有，也即，故选项C错误； 设位于与之间，则有，解得， 所以前1022项中包含的前10项，的前1012项， 即，故D正确．故选：ABD 【变式1】（2026·江苏镇江二模）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 【变式2】已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【解】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 【变式3】已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， . (1)求数列 和 的通项公式； (2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 . 【解】（1）因为数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72， 所以，即， 所以； 因为数列 是公比大于 0 的等比数列， ， 所以，解得（舍去）， 所以. （2）因为， 所以前200项中中有5项，其和为， 中有前有195项，和为， 所以. 题型4增项问题 【例4】已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【解】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 【变式1】（2026·山东聊城一模）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 【变式2】（2026·江苏苏州一模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和． (1)已知，数列是等差数列，证明：是等差数列； (2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和． 【解】（1）因为数列是等差数列，， 所以公差为，首项为, 所以，所以， 则时，，， 两式相减并化简得， 所以， 即，所以，时上式也符合， 所以 ，则， 所以数列是等差数列，得证. （2），由（1）得，， 当数列取项时，设数列中取项，去掉数列中的项， 则有，其中为正整数， 则当时，，不等式组成立， 当时，，不等式组不成立， 所以取，设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和是. 【变式3】（2026·江苏南京·三模）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值. 【解】（1）设等差数列的公差为d， 由题知，， 又，解得， 故. （2）在任意相邻两项与之间插入个2，则与之间的2的总和为，又由（1）易知等差数列是单增数列，故数列的前n项和是单增的，则求满足的的最大值即找到使接近500的n值即可. 当恰取到后的第个项时， ，，， 易知单增，当时，， 当时，，又， 则当时，去掉50个2即可得到的的最大值，即. 题型5减项问题 【例5】（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 前35项和：， 去掉的5个的和：， 因此. 【变式1】（2026·云南曲靖二模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 【解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得， 整理得， 因为， 所以. 又，解得， 所以， 所以，解得， 所以数列和的通项公式为，. （2）由（1）得，， 所以， 又， 所以， 所以. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A．77 B．83 C．87 D．95 【答案】B 【解析】首先两个数列的第一个公共项， 而数列和的公差分别为3和4， 所以其公共项构成的数列公差为3和4的最小公倍数． 所以为首项11，公差12的等差数列，所以．故选B 2.（2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（    ） A．407 B．429 C．465 D．525 【答案】D 【解析】因为数列的通项公式是，所以数列为， 因为数列的通项公式是，所以数列为， 得到的前33项中含有1，8，27这3个中的项， 可得的前30项为数列的前33项除去三项1，8，27， 故前30项的和为. 3.（2026·湖南衡阳一模）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【解析】由的通项公式，得首项， 公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 4.（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【解析】已知前10项成等差数列，设公差为，由得：，， 因为数列各项均为整数，所以是整数， 从第9项起成等比数列，满足，代入得：， 整理得，解得或， 因为为整数，舍去，得， ，求得， 等比数列公比，则， 所以. 5.（2026·黑龙江哈尔滨一模）神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入，将输出；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（     ） （参考数据：） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解析】根据题意，当输入个“”时，会输出个“”，即第个“阶段”的结果是个“”， 因此第个“阶段”的结果是个“”，第个“阶段”的结果是个“”， 则第个“阶段”的结果是个“”， 因此，要使结果为一个正整数，所经历的阶段数要满足，即，此时， 由于满足，即，都取对数可得， 已知参考数据，得，所以，解得， 因此，的值分别为，故A正确. 6.（2026·江西景德镇二模）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（     ） A． B．数列的前20项和为 C． D． 【答案】B 【解析】若的公差为，则，可得， 所以，，A、C对， 若且，则，易知为偶数， 不妨令，所以，于是有，D对， 所以，B错. 7.（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AC 【解析】原数列各项和为. 设新数列首项为，公差为，项数为4， 所以新数列的各项和为， 化简得. 因为原数列各项均为奇数，所以每组的2个数之和一定是偶数，所以必为偶数. 将各选项代入逐一验证： 若 ，，不可能，故选项A正确； 若 ，，满足题意，故选项B错误； 若，，不可能，故选项C正确； 若，，满足题意，故选项D错误. 8.（多选）（2026·江苏宿迁二模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 9．（2026·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则_______. 【答案】557 【解析】设等差数列的公差为和等比数列的公比为， 由，，，，可得，， 解得，， 则，，由， 由和中无公共项，可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项， 则． 10．（2026·广东佛山二模）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________． 【答案】 【解析】由，得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 设数列的前项的和为， 则 . 11.（2026·浙江台州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 创新提升 12.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 【答案】11 【解析】当由1,4构成时，则，，、为2，3的一个排列，故满足条件的数列共有个； 当由2,4构成时，则，，、为1，3的一个排列或，，， 故满足条件的数列共有个； 当由3,4构成时，则，，、为1，2的一个排列或，，、为2，4的一个排列 或，，、为1，4的一个排列，故满足条件的数列共有个； 由题可知，若，则“控制数列”其“阶数”为1，不符合题意； 所以使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为个. 13.（2026·浙江嘉兴二模）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则. 当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误； 对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于， 即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误； 对于C，当时，，因，则化简得，解得或. 当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确； 对于D，当时，，化简得，解得或. 对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误. 故选：C. 14．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 15.（2026·广东梅州一模）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______． 【答案】843 【解析】，即. 数列是以为首项，公比为2的等比数列. ，. 又. 数列的前5项为：，，，， . 数列的前30项中，的项有5项. 数列的前25项是数列的前30项去掉的前5项后余下的项. 数列是以为首项，公差的等差数列，数列的前30项和. 数列的前5项和. 数列的前25项的和为：. 16．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 【答案】1013 【解析】由题意，，，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以，. 17.（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 衍生数列内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 片段数列问题 题型2 公共项问题 题型3 幷项问题 题型4 增项问题 题型5 减项问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 衍生数列 衍生数列是指由已知数列通过截取一段连续项构成等比（差）等特殊数列；或插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题. 知识点2 片段数列问题求解策略 1. 求原数列通项及前n项和；2.根据分组规则，设出新数列的基本量；3.结合增减、奇偶、分组性质化简，求解未知参数. 知识点3 数列的公共项与并项 两个等差数列的公共项一般是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项一般是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项一般是等比数列； 解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确去掉两个数列的公共项. 知识点4 数列的增减项 对于增加项数或减少项数问题，弄清增加（或减少）的项数及增加（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可解决此类问题. 题型深研·通法变式提能力 题型1片段数列问题 【例1】（2026全国一卷T7）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【变式2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 题型2公共项问题 【例2】（2026·江西赣州一模）已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东临沂二模）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【变式2】（2026·浙江杭州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. （1）求与的通项公式； （2）把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 【变式3】已知数列的前n项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的通项公式为，若由数列与的公共项按从小到大排列得到数列，求数列的前n项和． 题型3幷项问题 【例3】（2026·福建厦门一模）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（    ） A． B．数列中与之间共有项 C． D． 【变式1】（2026·江苏镇江二模）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【变式2】已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【变式3】已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， . (1)求数列 和 的通项公式； (2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 . 题型4增项问题 【例4】已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【变式1】（2026·山东聊城一模）已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【变式2】（2026·江苏苏州一模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和． (1)已知，数列是等差数列，证明：是等差数列； (2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和． 【变式3】（2026·江苏南京·三模）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值. 题型5减项问题 【例5】（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【变式1】（2026·云南曲靖二模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A．77 B．83 C．87 D．95 2.（2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（    ） A．407 B．429 C．465 D．525 3.（2026·湖南衡阳一模）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 4.（2026·河北衡水·二模）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 5.（2026·黑龙江哈尔滨一模）神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入，将输出；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（     ） （参考数据：） A．； B．； C．； D．； 6.（2026·江西景德镇二模）已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法错误的是（     ） A． B．数列的前20项和为 C． D． 7.（多选）已知一个数列共有8项，分别为：1，3，5，7，9，11，13，15，将这8个数分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的值不可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8.（多选）（2026·江苏宿迁二模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 9．（2026·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则_______. 10．（2026·广东佛山二模）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________． 11.（2026·浙江台州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 创新提升 12.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 13.（2026·浙江嘉兴二模）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ） A． B． C． D． 14．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 15.（2026·广东梅州一模）在数列中，，，数列满足．若在数列中去掉的项，余下的项按照原来的顺序组成数列，则数列的前25项的和为______． 16．（2026·山东济南·模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 17.（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $