重难点培优02 数列奇偶项问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦数列奇偶项问题，涵盖连续两项和/积、符号交替、分段定义三大高考核心题型，按知识精讲（核心方法梳理）、题型深研（例题变式解析）、分层进阶（双阶训练）逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题演练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，如通过2k-1或2k替代n求隔项通项，训练抽象与推理能力，结合分组求和、并项求和等通法变式。设巩固过关与创新提升分层练习，适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数列问题解决与应考能力。

重难点培优02 数列奇偶项问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型） 题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型） 题型3 分段定义型（an= 型） 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 奇偶项问题 1. 等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。 2.（1）隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项; （2）求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。 知识点2常见类型 （1），求的值；则 （2），求的值 （3）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （4）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （5）数列中连续两项和或积的问题：或 （6）含有类型 题型深研·通法变式提能力 题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型） 【例1】（2026·福建三明·一模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【答案】A 【解析】由，则， 故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由，则，，则， 故. 故选：A 【变式1】已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，即. 又①，    则②， 由②-①，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列        【变式2】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【解析】， 则、 . 【变式3】已知数列满足，，则数列的通项公式 【答案】 【解析】（1），，， ∴当为奇数时， 当为偶数时， ∴数列的通项公式为 题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型） 【例2】（2026·云南昆明一模）在数列中，若，且，则数列的前20项和为（    ） A．60 B．45 C．35 D．20 【答案】A 【解析】在数列中，若，且， 所以时，，解得，时，， 时，，解得，时，，时，，解得，时，， 时，，解得，时，，时，，解得时，， 同理，，，，，，，， 所以数列的前20项和 . 【变式1】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【答案】D 【解析】当时，， 即有； 当时，； 则，即， 故 . 【变式2】（2026·湖北武汉一模）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【解析】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组， 还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即，故选C. 【变式3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，求. 【解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 题型3 分段定义型（an= 型） 【例3】已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（2026·广东湛江一模）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 【答案】D 【解析】设数列的前n项和为， 因为， 所以 . 【变式2】（2026·河南南阳二模）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【解析】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·河北石家庄一模）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【解析】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得. 故选：B. 2．（2026·安徽芜湖二模）已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 【答案】B 【解析】由题意知数列满足，，， 所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由，知， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列的前20项和为： . 故选：B. 3．（2026·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 4．（2026·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C．1013 D．505 【答案】C 【解析】设公差为，因为，，成等比数列， 所以， 又，所以，整理得， 解得或， 当时，，此时，，不构成等比数列，舍去； 当时，经检验满足题意，故， 所以数列的前2026项和为： . 故选：C 5．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【解析】 当时，． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，，， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 7．（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由是递增数列，得；又，所以， 所以，所以，故A正确； ，故B不正确； 由是递增数列，得，又， 由可得，即，解得，故C正确； 由，可得，则， 即数列和均为公比为的等比数列， 所以 ， 所以，又，所以， 而， 当时，； 当时，可验证， 所以对于任意的，都有，即，故D正确． 故选：ACD． 8．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______． 【答案】103 【解析】由题意得， ． 9．（2026·浙江丽水一模）已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【解析】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 10．（2026·河南新乡二模）已知数列满足，，则__________. 【答案】5 【解析】由，用分别替换， 得，， 联立，解得， 所以，联立,得. 由，，得， 所以， 又因为时，代入，得， 所以，故， 11．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 12．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【解】（1）证明：由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 13．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 【解】（1）因为，所以， 所以， 所以 ； （2）设，则， 当为奇数时，， 因为数列为递减数列，所以，得， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以，得； 故的取值范围是． 14．（2026·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 创新提升 16．（2026·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【解析】，，， ，，……， ， ， 将以上2026个等式左右分别相加， 得， 则． 17．（2026·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，，解得，，故A错误； 对于B，，， 所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 18.（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 19．（2026·陕西宝鸡·三模）已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且． (1)求证：数列为等比数列 (2)若，数列满足，数列满足，求数列的前项和 【解】（1）由，得， 两式相减得：， 又，则， 又，则，其中为常数且， 所以数列为等比数列； （2）当时， 由知： 当时；当时， 所以， 当时，， 当时，， 即. 20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 数列奇偶项问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型） 题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型） 题型3 分段定义型（an= 型） 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 奇偶项问题 1. 等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。 2.（1）隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项; （2）求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。 知识点2常见类型 （1），求的值；则 （2），求的值 （3）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （4）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （5）数列中连续两项和或积的问题：或 （6）含有类型 题型深研·通法变式提能力 题型1 连续两项和/积型（an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型） 【例1】（2026·福建三明·一模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【变式1】已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式3】已知数列满足，，则数列的通项公式 题型2 符号交替型（通项公式中含有(-1)n型） 【例2】（2026·云南昆明一模）在数列中，若，且，则数列的前20项和为（    ） A．60 B．45 C．35 D．20 【变式1】（2026·广东佛山二模）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【变式2】（2026·湖北武汉一模）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【变式3】（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，求. 题型3 分段定义型（an= 型） 【例3】已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东湛江一模）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 【变式2】（2026·河南南阳二模）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【变式3】（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·河北石家庄一模）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 2．（2026·安徽芜湖二模）已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 3．（2026·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C．1013 D．505 5．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 7．（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______． 9．（2026·浙江丽水一模）已知数列的前n项和为，且，则________． 10．（2026·河南新乡二模）已知数列满足，，则__________. 11．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 12．（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 13．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 14．（2026·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 创新提升 16．（2026·河南郑州·期中）记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 17．（2026·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 18.（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 19．（2026·陕西宝鸡·三模）已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且． (1)求证：数列为等比数列 (2)若，数列满足，数列满足，求数列的前项和 20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $