专题16 二元一次方程组的应用（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组的应用这一核心知识点，衔接方程组解法，构建“六步解题步骤（审设列解验答）—五大常考模型（和差倍分、行程、配套、利润、数字问题）—易错点提醒”的学习支架，帮助学生从理论解法过渡到实际问题解决。 该资料以模型化教学为特色，通过行程追及、配套生产等典例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的等量关系，在列方程组过程中培养数学思维（推理与运算能力），以规范答题格式强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后通过分层训练助力学生查漏补缺，提升应用能力。

专题16 二元一次方程组的应用 1. 掌握列二元一次方程组解应用题完整步骤； 2. 会识别常见实际问题模型：和差倍分、行程、配套、利润、数字问题； 3. 能找准题目中两组等量关系，列出方程组； 4. 会检验结果，结合实际意义取舍答案； 5. 解决期中大题，规范书写答题格式。 一、列二元一次方程组解应用题六步： 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 1. 审：读题，找出两个等量关系； 2. 设：设两个未知数，一般设直接未知数； 3. 列：根据两组等量关系列出二元一次方程组； 4. 解：用代入或者加减消元法解方程组； 5. 验：①检验是否满足方程组；②检验结果是否符合现实实际； 6. 答：完整写答句，带上单位。 关键点：题目必须找到两个独立等量关系，才能列二元一次方程组。 二、五大常考模型 模型1：和差倍分问题（基础必考） 关键词：一共、比…多、比…少、几倍。 数量关系： 模型2：行程问题 1.相遇：路程甲+路程乙=总路程 2.追及：快路程−慢路程=路程差 3.顺水逆水： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 − 水流速度 模型3：配套问题（工厂生产题型） 核心：配套比例相等 例：1个A配2个B，则： 2 A总数=1B总数 模型4：利润、费用问题 总利润=单件利润×数量 总费用=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量 模型5：数字问题 两位数：十位数字 x，个位数字 y，这个两位数 = 10x+y 交换位置后新两位数：10y+x 三、易错点提醒 1. 设未知数、答句一定要带单位； 2. 解出来的数要符合实际：人数、零件个数不能是小数、负数； 3. 找不准两个等量关系，就不能硬列方程组； 4. 配套问题比例容易写反，仔细看清谁配几个； 5. 顺水逆水不要记反加减。 题型01 和差倍分基础应用题 【典例】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【变式】我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 题型02 行程‑相遇追及 【典例】两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（    ）． A． B． C． D． 【变式】作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 题型03 顺水逆水 【典例】一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2 【变式】甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时.若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则所列方程组为______. 题型04 配套问题（考试大题高频） 【典例】小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒． (1)现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？ (2)在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由． 【变式】用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为______.（用含a，b的式子表示） 题型05 利润购买方案问题 【典例】某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（    ） A． B． C． D． 【变式】某商店卖出两件衣服，每件600元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这件衣服售出后商店是（    ） A．赚80元 B．亏80元 C．不赚不亏 D．以上答案都不对 题型06 数字问题 【典例】已知甲、乙两数的和是7，甲数比乙数的2倍少2，设甲数为x，乙数为y，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】一个两位数，十位数字与个位数字之和为8，把十位个位交换，新数比原数大18，求原来两位数。 一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型07 图表信息题（表格给条件） 【典例】某一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 5 3 零售价/（元/千克） 7 4 他卖完这些黄瓜和茄子共赚了__________元． 【变式】某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为______元． 【巩固训练】 1．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　） A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g 2．两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（    ）． A． B． C． D． 3．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的考试中性笔，则小明选择的购买方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 7．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（    ） A． B． C． D． 8．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（    ）题 A． B． C． D． 9．某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 10．天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【强化训练】 1．某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 2．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品． （1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？ （2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？ 3．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元． （1）求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 4．某市教育局捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节省运费，该教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省运费是多少元？ 5．甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h填写下表并求x，y的值． 甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和 第一种情况 （甲先走2h） 第二种情况 （乙先走2h） 6．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，我校初中学生每个年级各自分别捐助的贫困中学生和小学生的人数情况如下表： （1）求a,b的值. （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求九年级学生可捐助的贫困生中、小学生人数. 7．由于近期出现新冠肺炎疫情，口罩出现热卖．某药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后宫获利2800元．进价和售价如下表： 品名 价格 甲种口罩 乙种口罩 进价（元/盒） 20 25 售价（元/盒） 26 35 求该药店购进甲、乙两种口罩各多少盒？ 8．甲、乙两人从相距34km的两地相向而行，甲先走2h后乙再出发，在乙出发2h后两人相遇；若乙先走9.5km，则在甲出发2.5h后两人相遇.求甲、乙两人的速度. 9．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共.求火车的速度和长度. 10．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为元，资助一名小学生的学习费用为元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 年级 捐款数额（元） 资助贫困中学生人数（名） 资助贫困小学生人数（名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 (1)求、的值； (2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少． 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二元一次方程组的应用 1. 掌握列二元一次方程组解应用题完整步骤； 2. 会识别常见实际问题模型：和差倍分、行程、配套、利润、数字问题； 3. 能找准题目中两组等量关系，列出方程组； 4. 会检验结果，结合实际意义取舍答案； 5. 解决期中大题，规范书写答题格式。 一、列二元一次方程组解应用题六步： 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 1. 审：读题，找出两个等量关系； 2. 设：设两个未知数，一般设直接未知数； 3. 列：根据两组等量关系列出二元一次方程组； 4. 解：用代入或者加减消元法解方程组； 5. 验：①检验是否满足方程组；②检验结果是否符合现实实际； 6. 答：完整写答句，带上单位。 关键点：题目必须找到两个独立等量关系，才能列二元一次方程组。 二、五大常考模型 模型1：和差倍分问题（基础必考） 关键词：一共、比…多、比…少、几倍。 数量关系： 模型2：行程问题 1.相遇：路程甲+路程乙=总路程 2.追及：快路程−慢路程=路程差 3.顺水逆水： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 − 水流速度 模型3：配套问题（工厂生产题型） 核心：配套比例相等 例：1个A配2个B，则： 2 A总数=1B总数 模型4：利润、费用问题 总利润=单件利润×数量 总费用=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量 模型5：数字问题 两位数：十位数字 x，个位数字 y，这个两位数 = 10x+y 交换位置后新两位数：10y+x 三、易错点提醒 1. 设未知数、答句一定要带单位； 2. 解出来的数要符合实际：人数、零件个数不能是小数、负数； 3. 找不准两个等量关系，就不能硬列方程组； 4. 配套问题比例容易写反，仔细看清谁配几个； 5. 顺水逆水不要记反加减。 题型01 和差倍分基础应用题 【典例】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【变式】我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，需正确理解题意并转化为方程，根据数量关系列式即可． 【详解】解： “一人一个多一梨”：若每个老头分1个梨，梨的数量比人数多1，即 ， “一人两个少两梨”：若每个老头分2个梨，梨的数量比所需少2，即所需梨数 比实际梨数 多2，故 ，整理得 ， ∴方程组为：， 故选：C． 题型02 行程‑相遇追及 【典例】两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米， 根据题意得出：， 故选D． 【变式】作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此可列等式． 【详解】解：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程， a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为， 从山顶回到家所用时间为， 上山比下山多用时间为：， ， 故选：C． 题型03 顺水逆水 【典例】一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2 【答案】B 【详解】解：设船的逆水速度为a，水流速度为x，则顺水速度为3a，那么： a+x=3a﹣x 解得：x=a 静水速度=顺水速度﹣水流速度，所以静水速度为：3a﹣a=2a 所以船的静水速度与水流速度之比为2：1． 故选B． 【变式】甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时.若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则所列方程组为______. 【答案】 【分析】两个等量关系为：顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，把相关数值代入即可求解． 【详解】根据题意得：顺水行船速度，逆水行船速度，所以可列方程组 故答案为. 题型04 配套问题（考试大题高频） 【典例】小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒． (1)现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？ (2)在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由． 【答案】(1)不能否使做成的盒身与盒底正好配套，理由见解析 (2)最多可做包装盒10个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和方程组求解． （1）设用x张纸板作盒身，y张纸板做盒底，根据题意列出方程求解，根据x和y都是整数，即可得出结论； （2）设用a张纸板作盒身，b张纸板做盒底，根据题意列出方程，得出，根据a、b均为非负整数，且，求出a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解：设用x张纸板作盒身，y张纸板做盒底， ， 解得：， ∵、不是整数， ∴不能否使做成的盒身与盒底正好配套． （2）解：设用a张纸板作盒身，b张纸板做盒底， ， 整理得：， ∵a、b均为非负整数，且， ∴或， 当时，可制作包装盒个数为， 当时，可制作包装盒个数为， ∵， ∴最多可做包装盒10个． 【变式】用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为______.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 题型05 利润购买方案问题 【典例】某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【详解】依题意，得，解得.故选A. 【变式】某商店卖出两件衣服，每件600元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这件衣服售出后商店是（    ） A．赚80元 B．亏80元 C．不赚不亏 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】先列方程分别求出两件衣服的进价，然后计算即可． 【详解】设这两件衣服的进价分别是x元和y元， 则列方程可得， 解得x=480，y=800， 2×600-（480+800）=-80， 因此商店亏了80元， 故选：B． 题型06 数字问题 【典例】已知甲、乙两数的和是7，甲数比乙数的2倍少2，设甲数为x，乙数为y，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2-2，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】设甲数为x，乙数为y， 根据题意可列方程组：， 故选：A． 【变式】一个两位数，十位数字与个位数字之和为8，把十位个位交换，新数比原数大18，求原来两位数。 一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b， ∵交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2， ∴ ∴， ∴， 故选B． 题型07 图表信息题（表格给条件） 【典例】某一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 5 3 零售价/（元/千克） 7 4 他卖完这些黄瓜和茄子共赚了__________元． 【答案】100 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设批发黄瓜千克，茄子千克，根据王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，列出方程组求出的值，再利用总利润等于单件利润乘以销量，求解即可． 【变式】某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为______元． 【答案】675 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元，根据题意列得二元一次方程组，求得和的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元， 依题意得， 解得， ∴（元）， 故答案为：675． 【巩固训练】 1．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　） A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g 【答案】C 【分析】根据图可得：3块巧克力的重=2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重=50克，由此可设出未知数，列出方程组． 【详解】解：设每块巧克力的重xg，每个果冻的重yg， 由题意得：， 解得：． 故选C． 2．两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米， 根据题意得出：， 故选D． 3．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项． 【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷， 根据题意得：． 故选：D． 4．七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列方程组，根据甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元，列出方程组即可． 【详解】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，由题意，得：； 故选B． 5．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程=速度×时间，两天的平均速度分别乘以两天的行军时间等于两天行军总路程可列出方程，根据第一天比第二天少走，用第二天的路程减去第一天的路程等于2可列方程． 【详解】解：根据题意得： 故选 A 6．小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的考试中性笔，则小明选择的购买方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解题的关键．设可以购买2元的中性笔x支，3元的中性笔y支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出结论． 【详解】解：设可以购买2元的中性笔x支，3元的中性笔y支， 依题意得：， ∴， ∵x，y均为非负整数， ∴或或或， ∴可供班委会选择的购买方案有4种． 故选：C． 7．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【详解】依题意，得，解得.故选A. 8．小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（    ）题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可． 【详解】依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，40分钟小时，30分钟小时，共可列出方程组为． 故选：A． 9．某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】设购买50元和25元的两种换气扇的数量分别为x，y，然后根据用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇，列出方程求解即可． 【详解】解：设购买50元和25元的两种换气扇的数量分别为x，y 由题意得：，即， ∵x、y都是正整数， ∴当x=1时，y=6， 当x=2时，y=4，当x=3时，y=2， ∴一共有3种方案， 故选A． 10．天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】设大包装盒有x个，小包装盒有y个，列出二元一次方程，再求它的正整数解即可． 【详解】解：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，根据题意列方程得，12x+5y＝99， 因为x、y为正整数，故满足题意的方程的解为或， 故选：B． 【强化训练】 1．某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 【答案】A商品30千克，B商品50千克 【分析】设A商品x千克，B商品y千克，根据数量关系列出二元一次方程组 求解即可. 【详解】解：设A商品x千克，B商品y千克. 由题意得解得 答：A商品30千克，B商品50千克. 2．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品． （1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？ （2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】（1）13个；（2）小亮购买了钢笔30支，签字笔20支 【分析】（1）设小亮原计划购买文具袋个，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设小亮原计划购买文具袋个， 依题意得：， 解得：． 答：小亮原计划购买文具袋13个． （2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支， 依题意得：，解得：． 答：小亮购买了钢笔30支，签字笔20支． 3．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元． （1）求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】（1）工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨；（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000元 【分析】（1）设化工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，根据两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元列二元一次方程组，求解即可． （2）结合（1），根据利润＝销售款-原料费-运输费列式求解即可． 【详解】解：（1）设化工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨， 由题意得：， 解这个方程，得：， 答：工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨； （2）由题意得：（元）， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000元． 4．某市教育局捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节省运费，该教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省运费是多少元？ 【答案】(1)甲车8辆，乙车10辆； (2)甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆； (3)方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元. 【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费6400元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有 辆，则丙车有辆，列出等式，再根据车辆数均为正整数，求出，的值，从而得出答案； （3）根据（2）中得出的两种方案得出运费比较厚即可解答． 【详解】（1）解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得， ， 解得， 答：甲车8辆，乙车10辆； （2）解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（16﹣a﹣b）辆，由题意得， 5a+8b+10（16﹣a﹣b）=120， 化简得5a+2b=40， 即a=8﹣b， ∵a，b，14﹣a﹣b均为正整数， ∴当b=5，从而a=6，16﹣a﹣b=5，或当b=10，从而a=4，16﹣a﹣b=2， ∴甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆； （3）解：由（2）知分两种情况分别来求运费： 方案1：甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，需运费300×6+400×5+500×5=6300（元）； 方案2：甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆，需运费300×4+400×10+500×2=6200（元）； ， ∴方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省， 答：方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元． 5．甲、乙两人从相距36km的两地相向而行．如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h填写下表并求x，y的值． 甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和 第一种情况 （甲先走2h） 第二种情况 （乙先走2h） 【答案】，2.5y，；3x，，；x=6，y=3.6． 【分析】根据题意可知第一种情况乙走了2.5h，甲比乙先走 2h，相遇时甲共走了2 + 2.5 = 4.5h；第二种情况甲走了3h，乙比甲先走2h，相遇时乙共走了 3+2=5h，然后根据路程等于速度乘以时间，求出甲和乙所走的路程，填表即可． 【详解】解：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h，则由题意得： 甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和 第一种情况 （甲先走2h） 2.5y 第二种情况 （乙先走2h） 3x 根据题意列方程组得： 解得： 所以甲、乙两人的速度分别为：6km/h、3.6km/h 6．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，我校初中学生每个年级各自分别捐助的贫困中学生和小学生的人数情况如下表： （1）求a,b的值. （2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求九年级学生可捐助的贫困生中、小学生人数. 【答案】（1）a、b的值分别为800，600；（2）捐助中学生4人，小学生7人. 【分析】（1）根据表格可以看出：资助2名中学生的费用+资助4名小学生的费用=4000元；资助3名中学生的费用+资助3名小学生的费用=4200元，由此可列出方程组，解方程组可得到a、b的值； （2）设初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别为x、y人，根据（1）中解的得数可列出二元一次方程800x+600y=7400，求其整数解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 ， 解得：. 答：a、b的值分别为800，600． （2）设初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别为x、y人， 由题意得：800x+600y=7400， 化简得：4x+3y=37， ∵x、y为正整数，x+y=23-（2+4+3+3）=11， 联立方程组 解得： 故答案为捐助中学生4人，小学生7人. 7．由于近期出现新冠肺炎疫情，口罩出现热卖．某药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后宫获利2800元．进价和售价如下表： 品名 价格 甲种口罩 乙种口罩 进价（元/盒） 20 25 售价（元/盒） 26 35 求该药店购进甲、乙两种口罩各多少盒？ 【答案】该药店购进甲种口罩200盒，乙种口罩160盒． 【分析】分别根据药店用8000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利2800元，得出等式组成方程求出即可 【详解】设该药店购进甲种口罩盒，乙种口罩盒， 根据题意，得， 解得 答：该药店购进甲种口罩200盒，乙种口罩160盒． 8．甲、乙两人从相距34km的两地相向而行，甲先走2h后乙再出发，在乙出发2h后两人相遇；若乙先走9.5km，则在甲出发2.5h后两人相遇.求甲、乙两人的速度. 【答案】甲的速度为7.2km/h，乙的速度为2.6km/h. 【分析】设甲的速度为x km/h，乙的速度y km/h，由题意得等量关系：①甲4小时的路程＋乙2小时的路程＝34km，②甲2.5小时的路程＋乙2.5小时的路程＋9.5km＝34km，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设甲的速度为x km/h，乙的速度y km/h， 根据题意得，解得. 答：甲的速度为7.2km/h，乙的速度为2.6km/h. 9．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共.求火车的速度和长度. 【答案】火车的速度为20米/秒，火车的长度为200米． 【分析】设火车的速度为x米/秒，火车的长度为y米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车的速度为x米/秒，火车的长度为y米，由题意，得 ， 解得：． 答：火车的速度为20米/秒，火车的长度为200米． 10．某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，已知资助一名中学生的学习费用为元，资助一名小学生的学习费用为元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 年级 捐款数额（元） 资助贫困中学生人数（名） 资助贫困小学生人数（名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 (1)求、的值； (2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款可资助的贫困中、小学生人数分别为多少． 【答案】(1)的值为800，的值为600 (2)初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人 【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可； （2）利用九年级的捐款额7400列方程求人数． 【详解】（1）（1）依题意，得， 解得：． 答：的值为800，的值为600． （2）设初三年级学生的捐款可资助贫困中学生x人，小学生y人， 依题意得， 解得． 答：初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $