专题15 二元一次方程组的解法（（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦二元一次方程组的解法，以消元思想为核心，系统梳理代入消元法（含变形、代入等步骤）和加减消元法（含统一系数、加减消元等步骤），构建从基础方法到特殊方程组（需化简）、方法选择技巧及高频易错点的学习支架。 通过“同减异加”口诀强化运算能力，高频易错点分析培养推理意识，典例与变式题型设计助力模型意识形成。课中辅助教师分层教学，课后巩固训练帮助学生查漏补缺，提升解题规范性与准确性。

专题15 二元一次方程组的解法（代入法、加减消元法） 1. 掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法； 2. 理解消元思想：二元变一元，把二元方程组转化为一元一次方程； 3. 能根据方程组特点选择合适的消元方法； 4. 规范书写解题步骤，会处理系数为分数、负数的方程组； 5. 会解需要先整理化简的二元一次方程组 。 一、核心思想：消元 二元一次方程组 消元：消掉一个未知数，二元 → 一元一次方程，求出一个未知数，再回代求另一个。 二、代入消元法（代入法） 适用：某一个方程里，有未知数系数为 1或，代入法最简单。 步骤： 1. 变形：选简单方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 如：y=ax+b 或者 x=my+n 2. 代入：把变形后的式子，代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4. 回代：把求出的值，代回变形的式子，求出第二个未知数 5. 写解：写成 的格式 6.（可选）检验：代入原方程组两个方程验证 三、加减消元法（加减法，考试最常用） 适用：同一个未知数的系数相等或者互为相反数；系数不匹配，先同乘倍数统一系数。 步骤： 1. 统一系数：给方程两边同时乘适当的数，让某一个未知数的系数绝对值相等 2. 加减消元 - 系数互为相反数：两个方程相加消元 - 系数相等：两个方程相减消元 3. 求解：得到一元一次方程，算出一个未知数 4. 回代：把算出来的值代入任意一个原方程，求另一个未知数 5. 写解：写出方程组的解 口诀：同减异加，系数不配先乘它 四、特殊方程组 1. 需要先化简：带括号、分母，先去括号、去分母，整理成标准 ax+by=c 形式，再消元。 2. 无穷多解、无解（拓展） ：两个方程实际是同一个，无数组解 ：两条直线平行无交点，无解 五、方法选择技巧 1. 有未知数系数是 → 优先代入消元法 2. 两个未知数系数都不是 ±1→ 优先加减消元法 3. 有分数、括号，先整理化简，再消元 六、高频易错点 1. 代入法：只能代入另一个方程，不能代回原来变形的方程，会得到恒等式； 2. 加减法：方程两边同乘一个数时，常数项也要乘，不要漏乘； 3. 做减法消元的时候，注意负号，每一项都要变号； 4. 方程组的解，必须写成大括号联立的形式，不能分开写； 5. 算出一个未知数，一定要回代求第二个未知数，不要算完一个就结束。 题型01 代入消元法基础计算 【典例】用代入消元法解二元一次方程组： 【变式】用代入消元法解二元一次方程组： （2） 题型02 加减消元法基础（系数互为相反数） 【典例】用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【变式】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型03 需要先同乘倍数的加减消元（高频大题） 【典例】用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 【变式】若，则y用只含x的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 题型04 先化简整理再解方程组（带括号、分母） 【典例】解方程组： 【变式】解方程组：     题型05 已知方程组的解，求参数值 【典例】如果关于的二元一次方程组的解是，那么关于的二元一次方程组的解是什么？ 【变式】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元的方法来解决”． 请根据他们的讨论，求出第二个方程组的解． 【巩固训练】 1．在解方程组，，先把方程①变形为y=________③，然后把③代入②，得________=1，解得x=________，再把x=________代入方程，求出y=________，因此，该方程组的解是________. 2．已知方程组中的、互为相反数，则的值为___． 3．定义运算“*”，规定，其中，为常数，且，，则______，______． 4．方程组的解为____． 5．若关于x，y的方程组的解满足x＞y，p的取值范围为_____． 6．已知（xyz≠0），则x∶y∶z的值__________. 7．以方程组的解为坐标的点在第________象限. 8．对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝14，4*7＝19，则5*9＝_____． 9．方程组的解是_______________. 10．若关于x，y的二元一次方程组的解中x和y互为相反数，则______. 【强化训练】 1．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 2．解方程组： 3．解方程组： 4．解方程组   5．解方程组： 6．用加减消元法解下列方程组： （1）    （2）    （3）    （4） 7．用代入消元法解二元一次方程组： （1） （2） （3） 8．先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 9．小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 10．用加减消元法解下列方程组： （1） （2） （3） 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 二元一次方程组的解法（代入法、加减消元法） 1. 掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法； 2. 理解消元思想：二元变一元，把二元方程组转化为一元一次方程； 3. 能根据方程组特点选择合适的消元方法； 4. 规范书写解题步骤，会处理系数为分数、负数的方程组； 5. 会解需要先整理化简的二元一次方程组 。 一、核心思想：消元 二元一次方程组 消元：消掉一个未知数，二元 → 一元一次方程，求出一个未知数，再回代求另一个。 二、代入消元法（代入法） 适用：某一个方程里，有未知数系数为 1或，代入法最简单。 步骤： 1. 变形：选简单方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 如：y=ax+b 或者 x=my+n 2. 代入：把变形后的式子，代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 3. 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4. 回代：把求出的值，代回变形的式子，求出第二个未知数 5. 写解：写成 的格式 6.（可选）检验：代入原方程组两个方程验证 三、加减消元法（加减法，考试最常用） 适用：同一个未知数的系数相等或者互为相反数；系数不匹配，先同乘倍数统一系数。 步骤： 1. 统一系数：给方程两边同时乘适当的数，让某一个未知数的系数绝对值相等 2. 加减消元 - 系数互为相反数：两个方程相加消元 - 系数相等：两个方程相减消元 3. 求解：得到一元一次方程，算出一个未知数 4. 回代：把算出来的值代入任意一个原方程，求另一个未知数 5. 写解：写出方程组的解 口诀：同减异加，系数不配先乘它 四、特殊方程组 1. 需要先化简：带括号、分母，先去括号、去分母，整理成标准 ax+by=c 形式，再消元。 2. 无穷多解、无解（拓展） ：两个方程实际是同一个，无数组解 ：两条直线平行无交点，无解 五、方法选择技巧 1. 有未知数系数是 → 优先代入消元法 2. 两个未知数系数都不是 ±1→ 优先加减消元法 3. 有分数、括号，先整理化简，再消元 六、高频易错点 1. 代入法：只能代入另一个方程，不能代回原来变形的方程，会得到恒等式； 2. 加减法：方程两边同乘一个数时，常数项也要乘，不要漏乘； 3. 做减法消元的时候，注意负号，每一项都要变号； 4. 方程组的解，必须写成大括号联立的形式，不能分开写； 5. 算出一个未知数，一定要回代求第二个未知数，不要算完一个就结束。 题型01 代入消元法基础计算 【典例】用代入消元法解二元一次方程组： 【答案】; 【分析】（1）编号，再直接把方程①代入②，消去x，得到关于y的一元一次方程，然后可得解； 【详解】解：把①代入②，得，解得. 把代入①，得. 所以原方程组的解为 【变式】用代入消元法解二元一次方程组： （2） 【答案】; 【分析】编号，由①，得代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，然后可得解； 【详解】解： 由①，得，③ 把③代入②，得， 解得. 把代入③，得. 所以原方程组的解为 题型02 加减消元法基础（系数互为相反数） 【典例】用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把两个方程相减，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：得： 即 故选D. 【变式】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用加减消元求解即可． 【详解】解：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故选：D． 题型03 需要先同乘倍数的加减消元（高频大题） 【典例】用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查加减消元法，根据消去，则要使两个方程的含的项的系数相同或互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴要消去，则使方程②中的系数变为2，再与方程①相加即可， 即：，即可消去； 故选D． 【变式】若，则y用只含x的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加减消元法消去m即可求解． 【详解】解：方程组变形为， 两个方程相加，得，即， 故选：B． 题型04 先化简整理再解方程组（带括号、分母） 【典例】解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，①×②＋②得，，解得，把代入②得，，解得，即可得到答案. 【详解】解： ①×②＋②得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴． 【变式】解方程组：     【答案】        【分析】各方程组利用代入消元法求出解即可． 将①代入②得： 解得：y=15 将y=15代入①得：x=5 ∴ 题型05 已知方程组的解，求参数值 【典例】如果关于的二元一次方程组的解是，那么关于的二元一次方程组的解是什么？ 【答案】 【分析】将x=7，y=1代入二元一次方程组，求得a，b的值，再将a，b的值代入关于x，y的二元一次方程组，求解即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ,解得 ∴可化为 解得，故答案为. 【变式】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元的方法来解决”． 请根据他们的讨论，求出第二个方程组的解． 【答案】第二个方程组的解是 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】试题解析：第二个方程组的两个方程的两边都除以4得： ， ∴ ， 解得：． 【巩固训练】 1．在解方程组，，先把方程①变形为y=________③，然后把③代入②，得________=1，解得x=________，再把x=________代入方程，求出y=________，因此，该方程组的解是________. 【答案】 2 2 1 . 【分析】把方程组中第一个方程变形为y=，代入第二个方程消去y求出x的值，然后求出y的值，写出方程组的解即可． 【详解】解： 先①变形为y=， 再代入方程②得： 解得：x=2的值， 把x=2代入①得：y=2， ∴方程组的解为： 故答案为(1)     (2)    (3) 2    (4) 2    (5).1    (6) 2．已知方程组中的、互为相反数，则的值为___． 【答案】15 【分析】先采用加减消元法将x、y分别用m的代数式表示，然后利用x+y=0，求出m的值. 【详解】解：由题意知： 对两边同时×2得到： 然后 ，即 再回带中，得 又x、y互为相反数， ∴ x+y=0 ∴，解得. 故答案为：. 3．定义运算“*”，规定，其中，为常数，且，，则______，______． 【答案】 1 2 【分析】由已知条件列出方程组 ，求出a=1，b=2，由此能求出2*3的值． 【详解】∵x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6， ∴，解得a=1，b=2， 故答案为：1,2． 4．方程组的解为____． 【答案】． 【详解】解：， 把②代入①得x+2=12， ∴x=10， ∴． 故答案为． 5．若关于x，y的方程组的解满足x＞y，p的取值范围为_____． 【答案】p＜﹣7 【分析】先利用加减法解方程组得到，再利用x＞y得到-p-8＞p+6，然后解关于p的一元一次不等式即可． 【详解】解方程组得， ∵x＞y， ∴﹣p﹣8＞p+6， ∴﹣p﹣p＞6+8， ﹣2p＞14， ∴p＜﹣7． 故答案为p＜﹣7． 6．已知（xyz≠0），则x∶y∶z的值__________. 【答案】1：2：3 【分析】把原方程组的z看作常数，解关于x、y的方程组，得到用含“z”的代数式表达的x、y，再去计算x：y：z的比值即可． 【详解】解关于x、y的方程组 得： ， ∴x：y：z=. 故答案为：1：2：3. 7．以方程组的解为坐标的点在第________象限. 【答案】二 【分析】先解二元一次方程，再根据结果找出点在第几象限. 【详解】解： 在第二象限 故答案为二. 8．对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝14，4*7＝19，则5*9＝_____． 【答案】24 【详解】试题分析：根据题意可得：，解得：，则x*y=x+2y+1，则5*9=5+2×9+1=24． 9．方程组的解是_______________. 【答案】 【分析】利用代入法进行求解即可得. 【详解】， 把①代入②，得3x+2x=15， 解得：x=3， 把x=3代入①得，y=6， 所以方程组的解为：. 故答案为 10．若关于x，y的二元一次方程组的解中x和y互为相反数，则______. 【答案】-2 【分析】因为x和y的值互为相反数，所以有x=-y，把它代入方程1中，将直接求出x和y，然后把所求结果代入方程2中，解答k值． 【详解】解：  因为x和y互为相反数，所以， 把代入方程中， 得， 所以. 把，代入方程， 得， 解得. 故答案为-2 【强化训练】 1．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 2．解方程组： 【答案】 【分析】利用代入法解方程组． 【详解】解：将②代入①，得， ， ， ． 将代入②，得． 所以原方程组的解是． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由得：③ 由得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 4．解方程组   【答案】 【分析】根据加减消元法即可求解. 【详解】解方程组 令①-②得-8y=8 解得y=-1， 把y=-1代入①得2x+5=7,解得x=1 ∴原方程组的解为. 5．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得，③ ，得，④ ，得， 把代入①，得 解得， 所以方程组的解是 6．用加减消元法解下列方程组： （1）    （2）    （3）    （4） 【答案】（1）    （2）    （3）    （4） 【分析】（1）直接利用加法进行消元即可求解； （2）直接利用减法进行消元即可求解； （3）将方程整理后，直接利用加减消元法求解； （4）将方程整理后，直接利用加减消元法求解． 【详解】解：（1） 由得： 将代入中得： ∴原方程组的解为 （2） 得： 将代入中得： ∴原方程组的解为 （3） 得：③ 得： 将代入中得： ∴原方程组的解为 （4） ；得： 得： 将代入中得： ∴原方程组的解为 7．用代入消元法解二元一次方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1）;（2）;（3）. 【分析】（1）编号，再直接把方程①代入②，消去x，得到关于y的一元一次方程，然后可得解； （2）编号，由①，得代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，然后可得解； （3）编号，先去分母，由①得到.然后代入消元关于y的一元一次方程，然后可得解. 【详解】解：（1）把①代入②，得，解得. 把代入①，得. 所以原方程组的解为 （2） 由①，得，③ 把③代入②，得， 解得. 把代入③，得. 所以原方程组的解为 （3） 由①，得，即.③ 由②，得，④ 把③代入④，得，解得. 把代入③，得. 所以原方程组的解为 8．先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键．由①可得：，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可． 【详解】解： 由①，得， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 9．小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把两组的值代入合适的方程得到关于的值是解题的关键． 将小明的解代入原方程组求得值，将小英的解代入原方程组中的第一个含有的方程，联立小明的方程即可求出的． 【详解】解：将代入得， ， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得 解得， ∴． 10．用加减消元法解下列方程组： （1） （2） （3） 【答案】(1) ; (2) ;(3) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）把方程①变形后利用加减消元法求解即可； （3）把方程组整理后利用加减消元法求解即可. 【详解】解:(1)，得，解得. 把代入①，得，解得. 所以原方程组的解为 （2）得，③ ，得，解得. 把代入②，得，解得. 所以原方程组的解为 （3）将原方程组变形，得，得. 把代入①，得，解得. 所以原方程组的解为 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $