5.3 二元一次方程组的应用同步讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组的应用这一核心知识点，系统梳理从实际问题中抽象方程组的方法，包括找等量关系、设元技巧，以及列方程组解决问题的步骤，搭建从理论到实践的学习支架。 资料特色在于融合古今实际问题，如《算法统宗》羊只问题、嫦娥六号采样任务等，通过图形与文字结合的题型设计，培养学生抽象能力与模型意识。典例与变式题分层训练，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第5章 5.3 二元一次方程组的应用 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组 题型2 二元一次方程组的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 【典例1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极﹣艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 题型2 二元一次方程组的应用 解｜题｜知｜识 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【典例1】如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式1】李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm，用4个碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（　　） A．15.5cm B．17.5cm C．19.5cm D．21.5cm 【变式2】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则3﹣2x+y的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【变式3】一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为　 　 千米/小时，水流速度为　 　 米/小时． 过 关 验 收 1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长x尺，绳子长y尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小144；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是7，余数是4．如果设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y，可得方程组是（　　） A． B． C． D． 6．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则分配几人生产螺栓，几人生产螺母？设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 9．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 11．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现在又有36张白铁皮．设用x张制作盒身，y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的（　　） A． B． C． D． 12．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米减产5%，小麦超产15%，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，可列方程组为：　 　 ． 13．某车间有工人54人，每人平均每天可加工轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套．若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为　 ． 14．明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 　 　 ． 15．两个两位数的差是18，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．若这两个四位数的和是6666，这两个两位数分别是多少？设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意列出的方程组为 　 ． 16．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为　 ． 17．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 　 　 分钟从起点开出一辆． 18．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． （1）求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． （2）该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 19．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 20．五指山革命根据地纪念园，是全国三十条红色旅游经典线路之一．为了带领学生感受历史的厚重与革命的激情，某校准备组织七年级400名学生去五指山革命根据地纪念园进行研学活动．请根据对话回答以下问题： （1）求每辆大客车和每辆小客车可分别载学生多少人？ （2）请判断租用4辆大客车和3辆小客车能否载完该校七年级学生． 21．用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过600万辆的城市之一，消费潜力巨大．某4S汽车销售店顺应浪潮，9月份主推了A款燃油车和B款新能源汽车，已知该4S店销售1辆A款燃油车和1辆B款新能源汽车的总销售额为40万元，销售3辆A款燃油车、2辆B款新能源汽车的总销售额为96万元． （1）求9月份每辆A款、B款汽车售价分别为多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该4S店每引进2辆B款新能源汽车则必须引进1辆A款燃油车．该4S店9月份引进的A款燃油车和B款新能源汽车全部销售一空，其中引进了B款新能源汽车40000辆．10月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与9月份相比，每辆B款新能源汽车售价提高了2a%，同时为了响应国家的号召，对B款新能源汽车每辆进行4万元的现金补贴，每辆A款燃油车的售价则保持不变，最终10月份的A款燃油车销量相比9月份A款燃油车的销量降低了a%，B款新能源汽车销量相比9月份B款新能源汽车销量提高了，10月份两款车的总销售额比9月份两款车的总销售额提高了31%，求a的值． 22．某水果店计划进A，B两种水果共140千克，这两种水果的进价和售价如表所示： （1）若该水果店购进这两种水果共花费1020元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ （2）在（1）的基础上，为了迎接春节的来临，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？ 进价（元/kg） 售价（元/kg） A种 5 8 B种 9 13 23．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 24．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置+货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． （1）房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ （2）该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 25．某一天，某机器人售货机售出了奶茶和果汁共24杯，收到270元，奶茶和果汁当天的成本价和零售价如表所示： 品名 奶茶 果汁 成本价/（元/杯） 13 7.3 零售价/（元/杯） 15.8 8 该机器人这天卖完这些奶茶和果汁共赚了多少元？ 26.【背景】幻方又称魔方、方阵，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”． 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1﹣9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：（仅需写出结果即可） （1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为　 　 ，x＝　 　 ； （2）在（1）的基础上，若a＝21，g＝18，则h＝　 　 ，e＝　 　 ； （3）图3是一个未完成的幻方，则A﹣B的值为　 　 ． 27．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 28．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 　 　 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 　 　 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 29．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因0.5毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 （1）A、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ （2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 30．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元/个） 60 70 售价（元/个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？ 31．综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 　 　 方法② 1 　 　 方法③ 2 　 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少 　 　 dm． 32．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　 　 cm，放入一个大球水面升高 　 　 cm； （2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.3 二元一次方程组的应用 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组 题型2 二元一次方程组的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 【典例1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：A． 【变式1】嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极﹣艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得，． 故选：B． 【变式2】某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：该班男生有x人，女生有y人．根据题意，， 故选：D． 【变式3】《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 题型2 二元一次方程组的应用 解｜题｜知｜识 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【典例1】如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：x＝6，y＝1， ∴S阴影＝（x+3y）（x+4y）﹣10xy＝（6+3）×（6+4）﹣10×6×1＝30． 故选：A． 【变式1】李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm，用4个碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（　　） A．15.5cm B．17.5cm C．19.5cm D．21.5cm 【答案】C 【解答】解：设一个碗的高度为xcm，增加一个碗高度增加ycm， 由题意得：， 解得：， ∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm）， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm， 故选：C． 【变式2】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则3﹣2x+y的立方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【答案】C 【解答】解：第三行第二个方格中的数为8﹣1﹣（﹣5）＝11； 第二行第二个方格中的数为﹣2+11﹣x＝9﹣x． 在图中补充部分数据，如图所示． 根据题意得：， 解得：， ∴3﹣2x+y＝3﹣2×6+1＝﹣8，2， ∴3﹣2x+y的立方根是﹣2． 故选：C． 【变式3】一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为　12　 千米/小时，水流速度为　3　 米/小时． 【答案】12，3． 【解答】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时， 格局题意列二元一次方程组得：， 解得， 即静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． 故答案为：12，3． 过 关 验 收 1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：已知用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，布料总长度为128米，所以x+y＝128， 每米布料可做2个玩偶A，则x米布料可做2x个玩偶A；每米布料可做3个玩偶B，则y米布料可做3y个玩偶B， 因为一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，要恰好配套，则玩偶B的数量是玩偶的A数量的2倍，即2×2x＝3y，化简得4x＝3y， 所以可列方程组， 故选：A． 2．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意得： ． 故选：C． 3．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长x尺，绳子长y尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺， 设木头长x尺，绳子长y尺， ． 故选：A． 4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意可得， 故选：A． 5．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小144；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是7，余数是4．如果设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y，可得方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y， 根据题意得：， 故选：B． 6．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则分配几人生产螺栓，几人生产螺母？设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可列一元一次方程组为： ， 故选：C． 7．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可列方程组为：． 故选：B． 8．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是． 故选：A． 9．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根号题意得，． 故选：B． 10．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得：． 故选：A． 11．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现在又有36张白铁皮．设用x张制作盒身，y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得： ． 故选：B． 12．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米减产5%，小麦超产15%，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，可列方程组为：　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得， ， 即， 故答案为：． 13．某车间有工人54人，每人平均每天可加工轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套．若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵该车间共有工人54人， ∴x+y＝54； ∵每人平均每天可加工轴杆15个或轴承24个，且一个轴杆与两个轴承配成一套， ∴2×15x＝24y． ∴根据题意可列出方程组． 故答案为：． 14．明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 　　 ． 【答案】 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：． 15．两个两位数的差是18，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．若这两个四位数的和是6666，这两个两位数分别是多少？设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意列出的方程组为 　　 ． 【答案】 【解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 16．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为　　 ． 【答案】 【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨， 根据题意得：． 故答案为：． 17．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 　6　 分钟从起点开出一辆． 【答案】6 【解答】解：设电车的每分走x，行人每分走y，电车每隔a分钟从起点开出一辆． 则 两式相减得：x＝2y 把x＝2y代入方程组任何一个式子都可以得到a＝6 18．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． （1）求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． （2）该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】（1）A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． （2）共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆． 【解答】解：（1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元， ∴， 解得， ∴A种型号的进价为20万元，B种型号每辆的进价为36万元； （2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆， 20m+36n＝560， 由20m+36n＝560，得， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆． 19．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 【答案】（1）甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶； （2）三种． 【解答】解：（1）如果购买这两种消毒液共用780元， 设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意， 得， 解得， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． （2）设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶， 得6m+9n＝60，化简得2m+3n＝20， ∴或或． ∴有三种购买方案． 20．五指山革命根据地纪念园，是全国三十条红色旅游经典线路之一．为了带领学生感受历史的厚重与革命的激情，某校准备组织七年级400名学生去五指山革命根据地纪念园进行研学活动．请根据对话回答以下问题： （1）求每辆大客车和每辆小客车可分别载学生多少人？ （2）请判断租用4辆大客车和3辆小客车能否载完该校七年级学生． 【答案】（1）每辆大客车可载学生55人，每辆小客车可载学生40人； （2）租用4辆大客车和3辆小客车不能载完该校七年级学生． 【解答】解：（1）设每辆大客车可载学生x人，每辆小客车可载学生y人， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得：， 即每辆大客车可载学生55人，每辆小客车可载学生40人， 答：每辆大客车可载学生55人，每辆小客车可载学生40人； （2）由（1）得，每辆大客车可载学生55人，每辆小客车可载学生40人， ∴4×55+3×40＝340＜400， 所以租用4辆大客车和3辆小客车能载， 答：租用4辆大客车和3辆小客车不能载完该校七年级学生． 21．用一元一次方程解答下列问题． 当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过600万辆的城市之一，消费潜力巨大．某4S汽车销售店顺应浪潮，9月份主推了A款燃油车和B款新能源汽车，已知该4S店销售1辆A款燃油车和1辆B款新能源汽车的总销售额为40万元，销售3辆A款燃油车、2辆B款新能源汽车的总销售额为96万元． （1）求9月份每辆A款、B款汽车售价分别为多少万元？ （2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该4S店每引进2辆B款新能源汽车则必须引进1辆A款燃油车．该4S店9月份引进的A款燃油车和B款新能源汽车全部销售一空，其中引进了B款新能源汽车40000辆．10月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与9月份相比，每辆B款新能源汽车售价提高了2a%，同时为了响应国家的号召，对B款新能源汽车每辆进行4万元的现金补贴，每辆A款燃油车的售价则保持不变，最终10月份的A款燃油车销量相比9月份A款燃油车的销量降低了a%，B款新能源汽车销量相比9月份B款新能源汽车销量提高了，10月份两款车的总销售额比9月份两款车的总销售额提高了31%，求a的值． 【答案】（1）9月份每辆A款燃油车的售价为16万元，每辆B款新能源汽车的售价为24万元； （2）a的值为20． 【解答】解：（1）设9月份每辆A款燃油车的售价为x万元，每辆B款新能源汽车的售价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：9月份每辆A款燃油车的售价为16万元，每辆B款新能源汽车的售价为24万元； （2）根据题意得：1640000（1﹣a%）+[24（1+2a%）﹣4]×40000×（1）＝（1640000+24×40000）×（1+31%）， 整理得：0.496a﹣9.92＝0， 解得：a＝20． 答：a的值为20． 22．某水果店计划进A，B两种水果共140千克，这两种水果的进价和售价如表所示： （1）若该水果店购进这两种水果共花费1020元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ （2）在（1）的基础上，为了迎接春节的来临，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？ 进价（元/kg） 售价（元/kg） A种 5 8 B种 9 13 【答案】（1）该水果店购进A种水果60千克，B种水果80千克； （2）售完后共获利300元． 【解答】解：（1）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：， 答：该水果店购进A种水果60千克，B种水果80千克； （2）8×0.8×60+13×（1﹣10%）×80﹣1020＝300（元）． 答：售完后共获利300元． 23．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】（1）a＝﹣5，b＝﹣2； （2）6x2﹣19x+10． 【解答】解：（1）甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． 由题意，得（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10，（2x+a）（x+b）＝2x2+（a+2b）x+ab＝2x2﹣9x+10， 所以2b﹣3a＝11①；a+2b＝﹣9② 由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11， 所以a＝﹣5， 所以2b＝﹣4， 所以b＝﹣2． （2）由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10． 24．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置+货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． （1）房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ （2）该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 【答案】（1）房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元 （2）这批村民总计可获得438万元补偿款 【解答】解：（1）3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． 设每户房票安置可获得x万元补偿款，每户货币化安置可获得y万元补偿款， 根据题意，得， 解得， 答：房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元； （2）4×57+5×42＝438（万元）， 答：这批村民总计可获得438万元补偿款． 25．某一天，某机器人售货机售出了奶茶和果汁共24杯，收到270元，奶茶和果汁当天的成本价和零售价如表所示： 品名 奶茶 果汁 成本价/（元/杯） 13 7.3 零售价/（元/杯） 15.8 8 该机器人这天卖完这些奶茶和果汁共赚了多少元？ 【答案】该机器人这天卖完这些奶茶和果汁共赚了37.8元． 【解答】解：由题意，设卖出奶茶 x 杯，则果汁y杯， ∴． ∴． ∴奶茶为10杯，果汁为14杯． ∴总利润：10×2.8+14×0.7＝28+9.8＝37.8（元）． 答：该机器人这天卖完这些奶茶和果汁共赚了37.8元． 26.【背景】幻方又称魔方、方阵，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”． 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1﹣9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：（仅需写出结果即可） （1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为　60　 ，x＝　20　 ； （2）在（1）的基础上，若a＝21，g＝18，则h＝　19　 ，e＝　24　 ； （3）图3是一个未完成的幻方，则A﹣B的值为　﹣6　 ． 【答案】（1）60，20； （2）19，24； （3）﹣6． 【解答】解：（1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为180＝60，x60＝20， 故答案为：60，20； （2）由（1）可知，a+x+h＝60，x＝20， ∵a＝21， ∴h＝60﹣20﹣21＝19， ∵g+x+b＝60， ∴b＝60﹣18﹣20＝22， ∵a+b+c＝60， ∴c＝60﹣21﹣22＝17， ∵c+e+h＝60， ∴e＝60﹣17﹣19＝24， 故答案为：19，24； （3）设左下角的空格中的数字为y， 根据题意得：， 解得：， ∴A﹣B＝x﹣5﹣（x+1）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 27．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得：（4分） 解得：（5分） 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元（6分） （2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元 则m＝20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8（7分） 如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元． 则n＝a×2×90%＝1.8a（8分） 于是n﹣m＝1.8a﹣（1.6a+8）＝0.2a﹣8（9分） ∵a＞40， ∴0.2a＞8， ∴n﹣m＞0 可见，当a＞40时，原来销售方法购买花钱较少． 答：用原来的方法购买花钱少．（10分） 28．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 　12　 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 　36　 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：任务一：设一张该布料裁剪m张豌豆的布料和n张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为80cm×1000cm，豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm，豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块40cm×1000cm的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： 40m+140n＝2000，即2m+7n＝100， ∴，其中m，n为正整数， 当m＝50，n＝0，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当m＝8，n＝12，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当n＝4，m＝36，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用y张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ∵50+50＝100， ∴还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． 29．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因0.5毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 （1）A、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ （2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：． 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为0.3毫克； （2）根据题意得：0.2×400×2＝160（毫克）， 160＞100，160﹣100＝60（毫克）． 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 30．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 琮琮 莲莲 进价（元/个） 60 70 售价（元/个） 80 100 （1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？ 【答案】（1）该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个； （2）周老师会选择到甲商店买更优惠． 【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个， 由题意等：， 解得：， 答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个； （2）周老师在甲商店购买需要的费用为：20×80×0.8+30×100×0.8＝3680（元）， 在乙商店购买需要的费用为：20×80+30×100﹣700＝3900（元）， ∵3680＜3900， ∴周老师会选择到甲商店买更优惠． 31．综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 　5　 方法② 1 　3　 方法③ 2 　1　 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少 　10　 dm． 【答案】任务一：5，3，1； 任务二：方法②裁剪8根40dm长的围栏材料，用方法③裁剪1根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，费用为450元； 任务三：10． 【解答】解：任务一：∵围栏材料每根长为40dm， ∴裁剪0根横杠时，可裁剪竖杠40÷8＝5（根）； ∵（40﹣15）÷8＝3......1， ∴裁剪1根横杠时，可裁剪竖杠3根，剩余1dm； ∵（40﹣2×15）÷8＝1......2， ∴裁剪2根横杠时，可裁剪竖杠1根，剩余2dm； 故答案为：5，3，1； 任务二：设用方法②裁剪x根40dm长的围栏材料，用方法③裁剪y根40dm长的围栏材料， 根据题意得：， 解得， ∴用方法②裁剪8根40dm长的围栏材料，用方法③裁剪1根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料； 此时一共裁剪了8+1＝9（根）40dm长的围栏材料，费用为9×50＝450（元）； 任务三：一副围栏需要2×15+5×8＝70（dm）的材料， ∵9×40÷70＝5......10， ∴剩余的废料至少10dm； 故答案为：10． 32．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　2　 cm，放入一个大球水面升高 　3　 cm； （2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】（1）放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm； （2）应放入大球4个、小球6个． 【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝37﹣31，解得x＝2； 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝37﹣31，解得：y＝3． 答：放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm； （2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得 ， 解得：， 答：应放入大球4个、小球6个． 学科网（北京）股份有限公司 $