1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习 一、单选题 1．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 2．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 二、多选题 6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 7．在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 三、填空题 8．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 9．设分别是不重合的直线的方向向量，则，使得_________. 若两条不重合的直线的方向向量分别为，则_________. 10．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则或；④若，则.则其中正确命题的序号为______. 四、解答题 11．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 12．在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 13．已知向量，，. (1)若，求的值； (2)若，求，的值. 14．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 解析：因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意； 若平面，则存在直线，且直线，所以. 2．B 解析：设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 3．C 解析：若，则需，即. 对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D不正确. 4．A 解析：因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 5．D 解析：如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 6．ACD 解析：由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 7．BD 解析：由题意得向量， 对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若为钝角，则且， 解得且，故C错误， 对于D，若在上的投影向量为， 即， 则，解得，故D正确． 8． 解析：若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 9． 10．①③④ 解析：①若，有或，又，则，对； ②若，则相交或或，错； ③若，，则，满足； 若，设，在内作直线， 又，则，而，所以， 由，则. 综上，或，对； ④若，将分别看作法向量所在直线，又，则，对. 11．(1)2； (2). 解析：（1）， ， 设， ， 的值为2． （2）由（1），则， ， ， ． 12．(1)（答案不唯一） (2) (3) 解析：（1）设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 13．(1) (2) 解析：（1）由题可得，， 又， 所以， 解得； （2）由题可得， 又，， 则， 所以， 解得. 14．证明见解析 解析：证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $