第一章 特殊平行四边形章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理与知识框架图系统构建特殊平行四边形的复习体系，涵盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，中点四边形及折叠、多结论等10个核心知识点，用对比表格呈现性质差异，突出对角线关系等重难点内在联系。 讲义亮点在于11类题型的递进设计，每题型含典例解析与变式训练，如折叠问题通过“标等线等角—勾股定理列方程”培养推理意识，动点问题结合几何直观转化为代数方程。分层训练满足不同学生需求，解题梳理助力教师实施精准教学，提升学生综合应用能力。

第一章 特殊平行四边形章末重难点复习 10知识点+11题型+巩固训练+强化训练 1.掌握菱形的性质与判定； 2.掌握矩形的性质与判定； 3.掌握正方形的性质与判定； 4.了解中点四边形的性质并应用； 5.熟练处理特殊四边形与折叠综合问题； 6.熟练处理特殊四边形中的多结论问题； 7.熟练处理特殊四边形中的动点问题与线段最值问题。 1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 菱形的性质 （1）菱形的边： - 菱形的四条边都相等 - 对边平行 （2）菱形的角： - 对角相等，邻角互补（与平行四边形相同） （3）菱形的对角线： - 菱形的两条对角线互相垂直平分 - 每条对角线平分一组对角 （4）菱形的对称性： - 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（两条对角线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）菱形的面积： - - （菱形特有） 3. 菱形的判定 - 判定1（定义）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 - 判定2： 四条边都相等的四边形是菱形 - 判定3： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 - 判定4： 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（即长方形）。 5. 矩形的性质 （1）矩形的边： - 对边平行且相等（与平行四边形相同） （2）矩形的角： - 矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线： - 矩形的两条对角线相等且互相平分 （4）矩形的对称性： - 矩形是轴对称图形，有两条对称轴（两组对边中点连线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）重要推论：直角三角形斜边中线定理 - 内容： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 - 几何语言： 在 中，， 为 中点，则 - 逆定理： 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 6. 矩形的判定 - 判定1（定义）： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 - 判定2： 有三个角是直角的四边形是矩形 - 判定3： 对角线相等的平行四边形是矩形 - 判定4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7. 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 8. 正方形的性质 （1）正方形的边： - 四条边都相等，对边平行 （2）正方形的角： - 四个角都是直角 （3）正方形的对角线： - 两条对角线相等、互相垂直平分 - 每条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为 ） （4）正方形的对称性： - 正方形是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线 + 两组对边中点连线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）正方形的面积： - - 9. 正方形的判定 - 判定1（定义）： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 - 判定2： 有一组邻边相等的矩形是正方形 - 判定3： 有一个角是直角的菱形是正方形 - 判定4： 对角线互相垂直的矩形是正方形 - 判定5： 对角线相等的菱形是正方形 - 判定6： 对角线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形 10. 中点四边形 （1）中点四边形的定义 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 （2）中点四边形的基本结论 • 任意四边形的中点四边形都是平行四边形 • 依据：三角形中位线定理——连接两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 （3）特殊四边形的中点四边形 • 平行四边形的中点四边形 → 平行四边形 • 矩形的中点四边形 → 菱形（矩形对角线相等） • 菱形的中点四边形 → 矩形（菱形对角线垂直） • 正方形的中点四边形 → 正方形（对角线相等且垂直） • 等腰梯形的中点四边形 → 菱形（对角线相等） 题型01 菱形的性质 【典例】（25-26八年级下·云南临沧·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 解题梳理 解题核心： 从边、角、对角线三个维度提取性质，用于计算和证明。 性质要点： - 边：四条边都相等，对边平行 - 角：对角相等，邻角互补 - 对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 - 面积： 常见考法： - 求边长、周长、角度、对角线长、面积 - 利用对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理计算 - 利用对角线平分角，结合角平分线性质 关键技巧： 菱形对角线将其分成四个全等的直角三角形，计算时转化为直角三角形问题。 【变式1-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 【变式1-4】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为_____． 题型02 菱形的判定 【典例】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 解题梳理 解题核心： 根据起点（平行四边形/一般四边形）选择判定方法。 判定方法： - 已知是平行四边形 证一组邻边相等，或证对角线互相垂直 - 已知是一般四边形 证四条边相等，或证对角线互相垂直平分 证明思路： - 先证平行四边形（两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分） - 再补充菱形的特殊条件（邻边相等或对角线垂直） 易错提醒： “对角线互相垂直的四边形是菱形”是错误的，必须是”对角线互相垂直的平行四边形”或”对角线互相垂直平分的四边形”。 【变式2-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，点、分别在矩形的边和上，和相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式2-3】（25-26八年级下·青海海东·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 【变式2-4】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 题型03 矩形的性质 【典例】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 四个角为直角、对角线相等是核心，常转化为直角三角形问题。 性质要点： - 边：对边平行且相等 - 角：四个角都是直角 - 对角线：相等且互相平分 - 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 常见考法： - 求边长、角度、对角线长、面积 - 利用对角线相等且平分，得到等腰三角形 - 利用直角三角形斜边中线定理求线段长 关键技巧： 矩形对角线将其分成四个等腰三角形；直角三角形中出现斜边中点时，优先考虑斜边中线定理。 【变式3-1】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在矩形中，对角线，交于O，，作，则_________． 【变式3-4】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为和，则的长为________． 题型04 矩形的判定 【典例】（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 解题梳理 解题核心： 先证平行四边形，再证直角或对角线相等。 判定方法： - 已知是平行四边形 证有一个角是直角，或证对角线相等 - 已知是一般四边形 证有三个角是直角，或证对角线相等且互相平分 证明思路： - 先证平行四边形 - 再补充矩形的特殊条件（一个直角或对角线相等） 易错提醒： “对角线相等的四边形是矩形”是错误的，必须是”对角线相等的平行四边形”或”对角线相等且互相平分的四边形”。 【变式4-1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 【变式4-2】（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式4-3】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求此菱形的边长． 【变式4-4】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 题型05 正方形的性质 【典例】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 正方形兼具菱形和矩形所有性质，从边、角、对角线全面分析。 性质要点： - 边：四条边相等，对边平行 - 角：四个角都是直角 - 对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（与边夹角 ） - 有四条对称轴 常见考法： - 求边长、角度、对角线长、面积 - 对角线与边构成等腰直角三角形，利用 角和勾股定理 - 正方形中证明全等三角形（常出现旋转全等模型） 关键技巧： 正方形对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形；边长为 时，对角线为 ，面积为 或 。 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【变式5-3】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____． 【变式5-4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在边上，，点在上，点在上，，则的度数是________． 题型06 正方形的判定 【典例】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 解题梳理 解题核心： 先证矩形（或菱形），再补充菱形（或矩形）的条件。 判定路径： - 路径一：平行四边形 矩形（一个直角或对角线相等） 正方形（邻边相等或对角线垂直） - 路径二：平行四边形 菱形（邻边相等或对角线垂直） 正方形（一个直角或对角线相等） - 路径三：一般四边形 证对角线相等、垂直且平分 证明策略： - 题目中已有直角条件 先证矩形，再证邻边相等 - 题目中已有等边条件 先证菱形，再证有直角 易错提醒： 判定正方形需要同时满足矩形和菱形的条件，缺一不可；注意判定的起点。 【变式6-1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【变式6-2】（25-26九年级上·吉林延边·期中）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，交边于点，，，垂足分别为． (1)求证：四边形是正方形； (2)过点作，若，，求四边形的面积． 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形为平行四边形，过点作于点，过点作，交的延长线于点，且，求证：四边形为正方形． 【变式6-4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型07 特殊四边形中的多结论问题 【典例】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 解题梳理 解题核心： 逐一验证每个结论，利用性质和判定综合判断。 解题方法： - 第一步：通读所有结论，明确需要判断的内容 - 第二步：对每个结论独立分析，能证明的证明，能计算的计算 - 第三步：利用特殊四边形的性质、全等三角形、勾股定理等工具验证 - 第四步：综合所有判断结果，选出正确选项 常见结论类型： - 线段相等、垂直、平行 - 角度相等或为特定值 - 三角形全等或相似 - 面积关系（相等、倍数） - 图形形状判断 关键技巧： - 对正确的结论要严格证明，不能仅凭观察 - 对错误的结论尝试举反例 - 结论之间可能有逻辑关联，一个结论的证明可能帮助判断其他结论 - 注意”一定成立”与”可能成立”的区别 【变式7-1】（25-26八年级下·河北保定·期末）已知：如图，在中，，点在上，，垂足为，且，点为线段的中点，过点作交射线于，连接． ①；②四边形是菱形．③当时，四边形是正方形，则正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③① D．①②③ 【变式7-2】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接、、，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【变式7-3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【变式7-4】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形，，与交于点，与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 题型08 特殊四边形中的折叠问题 【典例】（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）正方形纸片的边长为12，点G在边上，连接，点E在边上，沿折叠该纸片，使点B落在上的F点，折痕与交于点H，若，则的长为（     ） A．3 B． C． D．5 解题梳理 解题核心： 折叠即轴对称，折叠前后全等，标等线等角，勾股定理列方程。 解题步骤： - 第一步：确定折痕（对称轴），找对应点和对应边 - 第二步：标出折叠后相等的线段和角 - 第三步：设未知数，用含 的式子表示直角三角形三边 - 第四步：用勾股定理列方程求解 常见类型： - 矩形一角折叠使顶点落在对边上 - 正方形沿对角线或某直线折叠 - 折叠后求线段长、角度或面积 关键技巧： - 折叠后常出现直角三角形，勾股定理是核心工具 - 折叠产生等腰三角形（折痕为对称轴） - 注意折叠后点的位置可能有多种情况 易错提醒： 对应点找错；未用全等线段条件；忽略多种折叠情况。 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 【变式8-4】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为______ (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 题型09 中点四边形问题 【典例】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 解题梳理 解题核心： 连原四边形对角线，用三角形中位线定理，看对角线判断形状。 核心结论： - 任意四边形的中点四边形都是平行四边形 - 原四边形对角线相等 中点四边形是菱形 - 原四边形对角线互相垂直 中点四边形是矩形 - 原四边形对角线相等且垂直 中点四边形是正方形 解题步骤： - 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线） - 第二步：对每个中点连线应用三角形中位线定理（平行且等于对角线一半） - 第三步：根据对角线的关系（相等/垂直）判断中点四边形形状 特殊四边形的中点四边形： - 矩形 菱形（对角线相等） - 菱形 矩形（对角线垂直） - 正方形 正方形（对角线相等且垂直） - 等腰梯形 菱形（对角线相等） 补充： 中点四边形周长 = 原四边形两对角线之和；面积 = 原四边形面积的一半。 【变式9-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【变式9-2】（25-26八年级下·河北承德·期末）数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【变式9-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）项目学习 项目主题：中点四边形的概念、性质和证明 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形是中点四边形． 【观察猜想】中点四边形的性质： 性质：中点四边形是平行四边形． 性质：中点四边形的周长等于原四边形两条对角线的长之和． 性质：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 任务1： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形的周长． 任务2：如图，在中，点、、分别是、、的中点． (3)图中有哪几个平行四边形？为什么？ (4)求证：． 任务3 (5)请借鉴任务的结论，完成性质的证明． 【结论应用】 任务4 (6)已知一个四边形的两条对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是和，那么顺次连接这个四边形的四边中点得到的四边形的周长是________，面积是________． 【变式9-4】（25-26八年级下·河南南阳·期末）综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 题型10 特殊四边形中的动点问题 【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 解题梳理 解题核心： 设 表示线段，按特殊四边形条件列方程，分类讨论，检验范围。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 ，用含 的式子表示相关线段长度 - 第二步：根据目标图形（平行四边形/矩形/菱形等）的判定条件列方程 - 第三步：解方程求 - 第四步：检验 是否在运动范围内，分类讨论是否完整 常见类型： - 动点构成平行四边形：利用”一组对边平行且相等”列方程 - 动点构成矩形/菱形/正方形：先证平行四边形，再补充特殊条件 - 动点与面积：用含 的式子表示面积，列方程或求最值 关键技巧： - “动中求静”，把动点问题转化为方程问题 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点） - 分类讨论：动点在不同边上、不同对应方式 易错提醒： 线段表达式列错；遗漏分类情况； 超出范围未排除。 【变式10-1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【变式10-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)_____，____；（用含的式子表示） (2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由； (3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由． 【变式10-3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 【变式10-4】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，且，，，动点、分别从、同时出发，点以每秒1个单位的速度由向运动，点以每秒2个单位的速度由向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示： ______；______；______；______． (2)、与四边形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求值． 题型11 特殊四边形中的线段最值问题 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 解题梳理 解题核心： 轴对称转化+两点之间线段最短，或垂线段最短。 常见模型： 将军饮马（两线段和最小）： - 动点在定直线上，求 最小 - 作 （或 ）关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，交点即为所求 - 最小值为对称点到另一定点的距离，用勾股定理计算 线段差最大： - 求 最大 - 连接 并延长与直线交点即为 ，最大值为 垂线段最短： - 求点到直线的最短距离，直接作垂线段 解题步骤： - 第一步：确定动点所在直线和定点 - 第二步：判断属于哪种最值模型 - 第三步：作对称点或垂线段转化 - 第四步：用勾股定理计算最小值 - 第五步：验证取等条件（动点位置是否在范围内） 特殊四边形中的应用： - 利用矩形/正方形的对称性找对称轴 - 利用菱形对角线垂直平分的性质转化线段 - 正方形中常以边或对角线为对称轴 【变式11-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【变式11-2】（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知四边形是正方形．根据题意完成下列各题： (1)如图1，对角线、交于点O，E为边上一点，F为边上一点，，如果，求四边形的面积． (2)如图2，M为边上一点，连接，过点D作交的延长线于点N，连接，点Q为中点，连接．求证：． (3)如图3，是正三角形，连接交于点P，延长交延长线于点G，连接．T为线段上一点，K为线段上一点，，连接、，若，直接写出的最小值． 【变式11-3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    (1)如图，当四边形为菱形时，求长； (2)如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【变式11-4】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 7．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，……在x轴上，已知正方形的边长为1，，……则正方形的边长是______； 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则_______． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为_____． 10．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是________． 11．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 14．（25-26八年级下·云南红河·期末）根据题意解答下列各题： (1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________． (2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度． 15．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 4．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D．9 5．（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 7．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，对角线交于点，以为边作正方形，设正方形对角线交于点，再以为边作第三个正方形，如此下去，则第个正方形的面积是_____________． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为_______． 9．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点，在射线上取动点，连接，，，且使． (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，请直接写出此时线段与线段之间的数量关系； (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：在图1中，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间还存在一定的数量关系，请帮助小丽同学直接写出这个数量关系． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，矩形中，点分别从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，两点到达两点时停止运动，已知．设运动时间为秒． (1)①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； (2)当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 12．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，以为边，在矩形的外侧作等边三角形，且，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 13．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下题是本学期我们所学数学课本第88页复习题21中第15题： 如图1，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：．按照课本提示，很容易证明． (1)若将原题中“E为边的中点”改为：“E是边上任意一点（不与点、重合）”，其它条件都不变（如图2），结论仍然成立，请予以证明． (2)若将（1）中结论与已知条件中部分条件互换，改成如下内容：如图3，四边形是正方形，E是边上任意一点（不与点、重合），，且，连接，求证：平分正方形的外角，请予以证明． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形章末重难点复习 10知识点+11题型+巩固训练+强化训练 1.掌握菱形的性质与判定； 2.掌握矩形的性质与判定； 3.掌握正方形的性质与判定； 4.了解中点四边形的性质并应用； 5.熟练处理特殊四边形与折叠综合问题； 6.熟练处理特殊四边形中的多结论问题； 7.熟练处理特殊四边形中的动点问题与线段最值问题。 1. 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 菱形的性质 （1）菱形的边： - 菱形的四条边都相等 - 对边平行 （2）菱形的角： - 对角相等，邻角互补（与平行四边形相同） （3）菱形的对角线： - 菱形的两条对角线互相垂直平分 - 每条对角线平分一组对角 （4）菱形的对称性： - 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（两条对角线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）菱形的面积： - - （菱形特有） 3. 菱形的判定 - 判定1（定义）： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 - 判定2： 四条边都相等的四边形是菱形 - 判定3： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 - 判定4： 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（即长方形）。 5. 矩形的性质 （1）矩形的边： - 对边平行且相等（与平行四边形相同） （2）矩形的角： - 矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线： - 矩形的两条对角线相等且互相平分 （4）矩形的对称性： - 矩形是轴对称图形，有两条对称轴（两组对边中点连线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）重要推论：直角三角形斜边中线定理 - 内容： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 - 几何语言： 在 中，， 为 中点，则 - 逆定理： 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 6. 矩形的判定 - 判定1（定义）： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 - 判定2： 有三个角是直角的四边形是矩形 - 判定3： 对角线相等的平行四边形是矩形 - 判定4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7. 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 8. 正方形的性质 （1）正方形的边： - 四条边都相等，对边平行 （2）正方形的角： - 四个角都是直角 （3）正方形的对角线： - 两条对角线相等、互相垂直平分 - 每条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为 ） （4）正方形的对称性： - 正方形是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线 + 两组对边中点连线所在直线） - 也是中心对称图形，对角线交点为对称中心 （5）正方形的面积： - - 9. 正方形的判定 - 判定1（定义）： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 - 判定2： 有一组邻边相等的矩形是正方形 - 判定3： 有一个角是直角的菱形是正方形 - 判定4： 对角线互相垂直的矩形是正方形 - 判定5： 对角线相等的菱形是正方形 - 判定6： 对角线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形 10. 中点四边形 （1）中点四边形的定义 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 （2）中点四边形的基本结论 • 任意四边形的中点四边形都是平行四边形 • 依据：三角形中位线定理——连接两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 （3）特殊四边形的中点四边形 • 平行四边形的中点四边形 → 平行四边形 • 矩形的中点四边形 → 菱形（矩形对角线相等） • 菱形的中点四边形 → 矩形（菱形对角线垂直） • 正方形的中点四边形 → 正方形（对角线相等且垂直） • 等腰梯形的中点四边形 → 菱形（对角线相等） 题型01 菱形的性质 【典例】（25-26八年级下·云南临沧·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 解题梳理 解题核心： 从边、角、对角线三个维度提取性质，用于计算和证明。 性质要点： - 边：四条边都相等，对边平行 - 角：对角相等，邻角互补 - 对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 - 面积： 常见考法： - 求边长、周长、角度、对角线长、面积 - 利用对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理计算 - 利用对角线平分角，结合角平分线性质 关键技巧： 菱形对角线将其分成四个全等的直角三角形，计算时转化为直角三角形问题。 【变式1-1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 【变式1-3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1-4】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可得，，则为等边三角形，再由等边三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 题型02 菱形的判定 【典例】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 解题梳理 解题核心： 根据起点（平行四边形/一般四边形）选择判定方法。 判定方法： - 已知是平行四边形 证一组邻边相等，或证对角线互相垂直 - 已知是一般四边形 证四条边相等，或证对角线互相垂直平分 证明思路： - 先证平行四边形（两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分） - 再补充菱形的特殊条件（邻边相等或对角线垂直） 易错提醒： “对角线互相垂直的四边形是菱形”是错误的，必须是”对角线互相垂直的平行四边形”或”对角线互相垂直平分的四边形”。 【变式2-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作于点，在右侧作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 又， 四边形为平行四边形， 又，即， 四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）利用菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，点、分别在矩形的边和上，和相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴， ∴， ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先证得，再证四边形是平行四边形，结合即可证得四边形是菱形． （2）设，由（1）得，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则    ， ∵四边形是菱形， ∴， 在中即， 解得，即． 【变式2-3】（25-26八年级下·青海海东·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形； 是的平分线， , ， ， 平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，可证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则可证明四边形是菱形； （2） 根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ， 菱形的面积． 【变式2-4】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形性质即可证明． （2）根据菱形性质和等边三角形性质，利用勾股定理即可计算． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 题型03 矩形的性质 【典例】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的现在得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 解题梳理 解题核心： 四个角为直角、对角线相等是核心，常转化为直角三角形问题。 性质要点： - 边：对边平行且相等 - 角：四个角都是直角 - 对角线：相等且互相平分 - 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 常见考法： - 求边长、角度、对角线长、面积 - 利用对角线相等且平分，得到等腰三角形 - 利用直角三角形斜边中线定理求线段长 关键技巧： 矩形对角线将其分成四个等腰三角形；直角三角形中出现斜边中点时，优先考虑斜边中线定理。 【变式3-1】（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在矩形中，对角线，交于O，，作，则_________． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质可得，，则可得，由可得，则可得，进而可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为和，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上、两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 顶点，对应的刻度分别为和， ， ． 题型04 矩形的判定 【典例】（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 先证平行四边形，再证直角或对角线相等。 判定方法： - 已知是平行四边形 证有一个角是直角，或证对角线相等 - 已知是一般四边形 证有三个角是直角，或证对角线相等且互相平分 证明思路： - 先证平行四边形 - 再补充矩形的特殊条件（一个直角或对角线相等） 易错提醒： “对角线相等的四边形是矩形”是错误的，必须是”对角线相等的平行四边形”或”对角线相等且互相平分的四边形”。 【变式4-1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)6 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，从而求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，， ∴由勾股定理得， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【变式4-2】（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形． (2)5 【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ， ∴ ． 【变式4-3】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求此菱形的边长． 【答案】(1)∵菱形， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ∴四边形是矩形； (2)10 【分析】（1）由菱形的性质得到，证明四边形为平行四边形，根据即可得到结论； （2）设菱形边长为x，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ， 在中，， ，，， 解得， ∴菱形边长为10． 【变式4-4】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 题型05 正方形的性质 【典例】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 解题梳理 解题核心： 正方形兼具菱形和矩形所有性质，从边、角、对角线全面分析。 性质要点： - 边：四条边相等，对边平行 - 角：四个角都是直角 - 对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（与边夹角 ） - 有四条对称轴 常见考法： - 求边长、角度、对角线长、面积 - 对角线与边构成等腰直角三角形，利用 角和勾股定理 - 正方形中证明全等三角形（常出现旋转全等模型） 关键技巧： 正方形对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形；边长为 时，对角线为 ，面积为 或 。 【变式5-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，然后根据正方形的性质和翻折性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求的面积即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 点是边上的中点， ， 沿直线翻折得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ∵在中，， ∴，解得， ，，， ， ， 的面积的面积， 的面积． 【变式5-2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先分别求出两个正方形的边长，再利用勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵两个正方形面积分别是49和25， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为5， ∴构成的直角三角形两直角边长分别为和5， 由勾股定理得． 【变式5-3】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，证明，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，边长为， ∴，，， 过点作，交于点，交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即，解得， ∴． 【变式5-4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在边上，，点在上，点在上，，则的度数是________． 【答案】或 【分析】过点E作于点H，分两种情况考虑，利用直角三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】解：过点E作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 在图1中，， 在图2中，， 综上，的度数为或． 题型06 正方形的判定 【典例】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）解：先根据正方形性质和勾股定理求出，进而可得是等腰三角形，求，再根据，得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形的正方形． ∴，， 又∵ ． ∵ ∴ ∴， ∵在矩形中，， ． 解题梳理 解题核心： 先证矩形（或菱形），再补充菱形（或矩形）的条件。 判定路径： - 路径一：平行四边形 矩形（一个直角或对角线相等） 正方形（邻边相等或对角线垂直） - 路径二：平行四边形 菱形（邻边相等或对角线垂直） 正方形（一个直角或对角线相等） - 路径三：一般四边形 证对角线相等、垂直且平分 证明策略： - 题目中已有直角条件 先证矩形，再证邻边相等 - 题目中已有等边条件 先证菱形，再证有直角 易错提醒： 判定正方形需要同时满足矩形和菱形的条件，缺一不可；注意判定的起点。 【变式6-1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）略 （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 【变式6-2】（25-26九年级上·吉林延边·期中）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，交边于点，，，垂足分别为． (1)求证：四边形是正方形； (2)过点作，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵的平分线交对角线于点M， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； (2)24 【分析】（1）由矩形的判定与性质得到四边形是矩形，再由角平分线定义及等腰三角形判定与性质得到，即可得证； （2）由矩形性质得到，进而由角平分线性质及等腰三角形判定与性质得到，数形结合表示出，由平行四边形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交对角线于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及矩形判定与性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的面积等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形为平行四边形，过点作于点，过点作，交的延长线于点，且，求证：四边形为正方形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ， 又，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． 【详解】略 【变式6-4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵平分， ∴． ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据正方形得，再由可得，即可求得，结合即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 题型07 特殊四边形中的多结论问题 【典例】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形，连结交于点，延长交于点，若是的中点，，有以下四个结论：①；②；③；④，则正确的结论是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，先证明，再根据四个全等的直角三角形，证明出，从而推出，设，则，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ， ∵正方形， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由题意可知， ， ， ， ， ，，①正确； ，②正确； 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴，，③正确； ∴， ∴在中，， ∴，④错误； 综上，①②③正确． 解题梳理 解题核心： 逐一验证每个结论，利用性质和判定综合判断。 解题方法： - 第一步：通读所有结论，明确需要判断的内容 - 第二步：对每个结论独立分析，能证明的证明，能计算的计算 - 第三步：利用特殊四边形的性质、全等三角形、勾股定理等工具验证 - 第四步：综合所有判断结果，选出正确选项 常见结论类型： - 线段相等、垂直、平行 - 角度相等或为特定值 - 三角形全等或相似 - 面积关系（相等、倍数） - 图形形状判断 关键技巧： - 对正确的结论要严格证明，不能仅凭观察 - 对错误的结论尝试举反例 - 结论之间可能有逻辑关联，一个结论的证明可能帮助判断其他结论 - 注意”一定成立”与”可能成立”的区别 【变式7-1】（25-26八年级下·河北保定·期末）已知：如图，在中，，点在上，，垂足为，且，点为线段的中点，过点作交射线于，连接． ①；②四边形是菱形．③当时，四边形是正方形，则正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③① D．①②③ 【答案】D 【分析】①证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； ②根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； ③根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； ②：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形； ③：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 综上所述，正确的是①②③． 【变式7-2】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接、、，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】利用正方形和等边三角形的性质可得，，，即得，进而得到，即可判断①；利用判定定理“”可证，即可判断②；由全等三角形的性质得到，过点作于，于，由等边三角形的性质得，由四边形是矩形得， 再根据三角形的面积公式即可判断③；过点作交的延长线于，可得，即得，进而得到，即可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∴， 过点作于，于，如图， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴和的面积比为，故③正确； 过点作交的延长线于，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上，结论正确的序号有①②③． 【变式7-3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】①根据正方形性质，找出边和角的相等关系，推出两个三角形全等即可． ②先假设是否垂直平分，找出相等的角和边，再根据角度关系，判断是否垂直平分即可． ③先找出边和角的对应关系，推出全等三角形，再根据全等三角形的性质，推出结论． ④先找出与的面积关系，因为两个三角形中都包含的面积，由此得出结论即可． 【详解】解：①根据题意可知， ， 为中点， （）． ③：在正方形中， ，，， （） 又 ． ②解：先假设垂直平分， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 与交于点， ， 这与相矛盾，假设不成立， 垂直平分是错误的． ④的边上的高与的边上的高相同， ， ， ； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 【变式7-4】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形，，与交于点，与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质得出，，，结合正方形的性质得出，，利用同角的余角相等证明，进而依据“”判定，得出，结合线段的和差关系即可判断结论①；根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定得出是等腰直角三角形，利用三角形内角和定理及对顶角性质计算，即可判断结论②；利用全等三角形面积相等进行割补，得出四边形的面积等于的面积，即可判断结论③；过点作于点，利用勾股定理表示和，结合垂线段最短的性质比较与的大小，进而判断结论④，综上即可求解． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②设与相交于点，如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ④过点作于点， ∵是等腰直角三角形 ， ∴由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，即，故结论④正确； 综上所述，正确结论的序号是①②③④． 题型08 特殊四边形中的折叠问题 【典例】（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）正方形纸片的边长为12，点G在边上，连接，点E在边上，沿折叠该纸片，使点B落在上的F点，折痕与交于点H，若，则的长为（     ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的性质可证明，则有，，再利用面积关系求得，进而由折叠的性质可求得，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 折叠即轴对称，折叠前后全等，标等线等角，勾股定理列方程。 解题步骤： - 第一步：确定折痕（对称轴），找对应点和对应边 - 第二步：标出折叠后相等的线段和角 - 第三步：设未知数，用含 的式子表示直角三角形三边 - 第四步：用勾股定理列方程求解 常见类型： - 矩形一角折叠使顶点落在对边上 - 正方形沿对角线或某直线折叠 - 折叠后求线段长、角度或面积 关键技巧： - 折叠后常出现直角三角形，勾股定理是核心工具 - 折叠产生等腰三角形（折痕为对称轴） - 注意折叠后点的位置可能有多种情况 易错提醒： 对应点找错；未用全等线段条件；忽略多种折叠情况。 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得，，利用HL证明，得出，设，在中利用勾股定理求出的值，从而判断的长及与的关系，利用等腰三角形性质和外角性质证明，从而判断平行；利用三角形面积公式及等高模型计算的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴，． 由折叠可知：， ，． ∴． 在和中， ， ∴， 故①正确； ∴． 设，则， ， ． 在中，， 即， 解得， ∴， 故②正确； ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵． 又∵ ， ∴， ∴． ∴，即． ∴，故③正确； ∵， 且在上，，， ∴ ． 故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 【变式8-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，，列方程求解即可得到，进而得出点的坐标． 【解答】解：∵矩形纸片中，， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ∴， ∵点在第二象限， 的坐标为． 【变式8-3】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．14 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质，得出，进一步得出，再设，再根据勾股定理得出，，最后利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ，，． 由折叠可知，，， ，． 又， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 【变式8-4】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为______ (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式作答即可； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ∴， ∵，将纸片按所示折叠成完美矩形， ∴完美矩形的面积； （2）解：由折叠可得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴完美矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： ∵平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是完美矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴完美矩形的周长． 题型09 中点四边形问题 【典例】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，顺次连接四边形各边中点，，，，得到的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】 四边形是平行四边形， 理由：连接， 点、是、的中点， 是△的中位线； ，； 同理：，； ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明，进而即可得出结论. 【详解】略 解题梳理 解题核心： 连原四边形对角线，用三角形中位线定理，看对角线判断形状。 核心结论： - 任意四边形的中点四边形都是平行四边形 - 原四边形对角线相等 中点四边形是菱形 - 原四边形对角线互相垂直 中点四边形是矩形 - 原四边形对角线相等且垂直 中点四边形是正方形 解题步骤： - 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线） - 第二步：对每个中点连线应用三角形中位线定理（平行且等于对角线一半） - 第三步：根据对角线的关系（相等/垂直）判断中点四边形形状 特殊四边形的中点四边形： - 矩形 菱形（对角线相等） - 菱形 矩形（对角线垂直） - 正方形 正方形（对角线相等且垂直） - 等腰梯形 菱形（对角线相等） 补充： 中点四边形周长 = 原四边形两对角线之和；面积 = 原四边形面积的一半。 【变式9-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 【变式9-2】（25-26八年级下·河北承德·期末）数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】(1)菱形；矩形 (2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 【变式9-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）项目学习 项目主题：中点四边形的概念、性质和证明 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形是中点四边形． 【观察猜想】中点四边形的性质： 性质：中点四边形是平行四边形． 性质：中点四边形的周长等于原四边形两条对角线的长之和． 性质：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 任务1： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形的周长． 任务2：如图，在中，点、、分别是、、的中点． (3)图中有哪几个平行四边形？为什么？ (4)求证：． 任务3 (5)请借鉴任务的结论，完成性质的证明． 【结论应用】 任务4 (6)已知一个四边形的两条对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是和，那么顺次连接这个四边形的四边中点得到的四边形的周长是________，面积是________． 【答案】(1)证明：如图，连接， 、分别为、的中点， ，， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形； (2)连接， 由（1）得，，即， 同理可得， ； (3)有个平行四边形：、、；理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； 同理可得，四边形，是平行四边形； ∴图中有个平行四边形：、、； (4)证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 同理可得，，， ∴， ， ； (5)证明：，分别是，的中点， 由（4）可得，，，，， ， ∴中点四边形的面积等于原四边形面积的一半； (6)， 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质得到，，即可证明四边形是平行四边形； （2）由三角形中位线的性质求解即可； （3）利用三角形中位线性质得到，，证明四边形是平行四边形；同理可证四边形，是平行四边形； （4）由平行四边形的性质得到，推出，同理可得，，，进而求解即可； （5）利用（4）的结论求解即可； （6）利用（2）的结论求出周长；面积：方法：证明四边形是矩形，然后利用矩形的性质求解．方法：利用（5）的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 （6）解：由（2）得，顺次连接这个四边形的四边中点得到的四边形的周长是； 面积：方法：，，点、、、分别是边、、、的中点， ，，， ， ∴， 由（1）得，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴矩形的面积； 方法：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 的面积． 【变式9-4】（25-26八年级下·河南南阳·期末）综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 【答案】(1) (2)平行四边形；菱形；矩形；正方形 (3)②；，但与不垂直；菱形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，但与不垂直， ， 四边形是菱形． ③；，；矩形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，即， 四边形是矩形． ④；，；正方形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，，， ，即， ， ， 四边形是正方形． 【分析】（1）由刻度尺量出中点，依次连接即可； （2）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质求解即可； （3）选②，由中位线得且，四边形为平行四边形，又，且，故，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 选③，同理得四边形为平行四边形，由且得，又，故，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 选④，同理得四边形为平行四边形，由得，故为矩形；又，得，邻边相等，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型10 特殊四边形中的动点问题 【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 【答案】(1)，，， (2) (3)单位/秒 【分析】（1）根据点的运动速度和即可求出结果． （2）矩形中，即，一组对边平行，只需满足，四边形就是平行四边形． （3）菱形需要两个条件：①首先是平行四边形（）；②邻边相等，矩形竖直距离固定，利用勾股定理求出边长等式，联立求解速度． 【详解】（1）解：矩形，，， ，， ，，． 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，． （2）解：四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形． （3）解：设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 解题梳理 解题核心： 设 表示线段，按特殊四边形条件列方程，分类讨论，检验范围。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 ，用含 的式子表示相关线段长度 - 第二步：根据目标图形（平行四边形/矩形/菱形等）的判定条件列方程 - 第三步：解方程求 - 第四步：检验 是否在运动范围内，分类讨论是否完整 常见类型： - 动点构成平行四边形：利用”一组对边平行且相等”列方程 - 动点构成矩形/菱形/正方形：先证平行四边形，再补充特殊条件 - 动点与面积：用含 的式子表示面积，列方程或求最值 关键技巧： - “动中求静”，把动点问题转化为方程问题 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点） - 分类讨论：动点在不同边上、不同对应方式 易错提醒： 线段表达式列错；遗漏分类情况； 超出范围未排除。 【变式10-1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2) 证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）略 （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式10-2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)_____，____；（用含的式子表示） (2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由； (3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为矩形．理由如下： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (3)四边形为菱形．理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，表示和的长； （2）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可得证； （3）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，进一步说明，即可得证． 【详解】（1）解：∵点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴，， ∵，，， ∴，， 故答案为：；； （2） 略 （3） 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等，根据点的运动表示出和的长度是解题的关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)当秒时，四边形为矩形 (2)当秒时，四边形为平行四边形 【分析】（1）根据，矩形的判定和性质，得，求出，即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，得，求出，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∵动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为矩形． （2）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 【变式10-4】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，且，，，动点、分别从、同时出发，点以每秒1个单位的速度由向运动，点以每秒2个单位的速度由向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示： ______；______；______；______． (2)、与四边形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求值． 【答案】(1)，，， (2)的值为秒或秒 【分析】（1）根据速度时间路程分别表示相应的长度即可； （2）分两种情况进行讨论：①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时；结合平行四边形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，，，， 故答案为：，，，； （2）①当四边形为平行四边形时， 由可得：， 解得：； ②当四边形为平行四边形时， 由可得：， 解得：， 综上所述：、与四边形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了四边形动点问题，熟练掌握平行四边形的性质，利用平行四边形的性质列方程求解是本题的关键． 题型11 特殊四边形中的线段最值问题 【典例】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质，即可解答； （2）先连接，再利用菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）如图③，取的中点，连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质和判定证出．连接，证明，得出，从而得，过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方，连接，则可得，结合点在的内部或边上运动，得出当点在上时，最短，的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∵点都落在对角线上， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴． ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴． （3）解：如图③，取的中点，连接， ∴． ∵是菱形的对角线，且， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴． 连接， 由（2）可知，是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动， ∴， ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,， ∴． 即的最小值为． 答：增设的灌溉水管的最小值为． 解题梳理 解题核心： 轴对称转化+两点之间线段最短，或垂线段最短。 常见模型： 将军饮马（两线段和最小）： - 动点在定直线上，求 最小 - 作 （或 ）关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，交点即为所求 - 最小值为对称点到另一定点的距离，用勾股定理计算 线段差最大： - 求 最大 - 连接 并延长与直线交点即为 ，最大值为 垂线段最短： - 求点到直线的最短距离，直接作垂线段 解题步骤： - 第一步：确定动点所在直线和定点 - 第二步：判断属于哪种最值模型 - 第三步：作对称点或垂线段转化 - 第四步：用勾股定理计算最小值 - 第五步：验证取等条件（动点位置是否在范围内） 特殊四边形中的应用： - 利用矩形/正方形的对称性找对称轴 - 利用菱形对角线垂直平分的性质转化线段 - 正方形中常以边或对角线为对称轴 【变式11-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，由（1）可知，，；作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称性质可得当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接， 由对称性质可得，，，，， ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形， ， 点在的延长线上， 过点作于点，则， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点， 由对称可得，，， ， ， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ， 点、都在直线上，且． ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 四边形周长的最小值为． 【变式11-2】（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知四边形是正方形．根据题意完成下列各题： (1)如图1，对角线、交于点O，E为边上一点，F为边上一点，，如果，求四边形的面积． (2)如图2，M为边上一点，连接，过点D作交的延长线于点N，连接，点Q为中点，连接．求证：． (3)如图3，是正三角形，连接交于点P，延长交延长线于点G，连接．T为线段上一点，K为线段上一点，，连接、，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)证明：如图，延长至点E，使得，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，从而得出最终结果； （2）延长至点E，使得，连接，，利用正方形的性质，证明，，，再根据平行四边形的判定与性质及勾股定理即可证得结论； （3）根据正方形的性质，等边三角形的性质，利用逆等线模型得出当点R，，H三点共线时有最小值，最小值为，利用解含30度直角三角形，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理即可得出最终结果． 【详解】（1）解：∵正方形边长，对角线交于O， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴​， ∴． （2）略 （3）解：在正方形中，，， 在等边中，，， ∴，， ∴， ∵T为线段上一点，K为线段上一点，， 如图，过点P作的平行线，取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即当点R，，H三点共线时有最小值， 连接，过点H作交的延长线于点I，过点P作交于点J，过点R作交的延长线于点L，设与的交点为S， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 过点B作交于点W， 在等腰中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即的最小值为． 【变式11-3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    (1)如图，当四边形为菱形时，求长； (2)如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2)解：①是 ， ∵四边形为矩形， ∴． 作的中垂线交于，垂足为O，连接，如图， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 根据（1）得，， ∴， ， ∴四边形的面积． ②由①得， ∴为定值． 如图，在上截取，过作且， 易得． ∴． ∴． 又∵， ∴是定点． 作矩形， ，， 当在同一条直线上时，的值最小， 即的值最小，即四边形的周长最小． 又∵， ∴四边形周长的最小值为20． 【分析】（1）设，则，根据勾股定理求解即可； （2）①作的中垂线交于，连接，证明即可； ②根据两点间线段最短，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形． ∴． ∵， ∴设． ∵四边形为矩形， ∴． 得， 解得，即． （2）解：①略； ②略 【变式11-4】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 【答案】(1)问题1：， 证明：如图1，在上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是正方形外角的平分线， ， ， 在和中， ， ， ； 问题2：成立， 证明：如图2，在延长线上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）问题1：在上取点，使得，连接，利用正方形和等腰三角形的性质，证明，即可得出结论；问题2：在延长线上取点，使得，连接，同理可证，即可得到结论； （2）在的延长线上取点，使得，连接、，证明，得到，当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接、， 正方形，边长为， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ，即的最小值为 周长， 周长的最小值为． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一分析即可．掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴A选项不符合题意； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴B选项不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，C选项符合题意； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴D选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，根据平行四边形、菱形的判定与性质，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故该选项错误； B、菱形的对角线互相垂直平分，并不相等，故该选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故该选项正确； D、普通平行四边形的对角线仅互相平分，不互相垂直，故该选项错误； 故选：C 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 由菱形的性质和勾股定理求出，再由菱形的面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 故选：A． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 【答案】64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 7．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，……在x轴上，已知正方形的边长为1，，……则正方形的边长是______； 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的边长为， 同理可求正方形的边长为， …， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长是， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在矩形中，，，点E在直线上，且，则_______． 【答案】3或27 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，分两种情况：点在点右侧，点在点左侧，利用矩形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】在矩形中，，，，， 当点在点右侧时，，则； 当点在点左侧时，，则； 综上，的长为3或27， 故答案为：3或27． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．由折叠的性质可知，，再根据矩形的性质得出，，，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）小佳自编一题如下： 如图，在矩形中，点，分别在，上，． 求证：四边形是菱形． 小辰认为还需补充一个条件才能证明． 如果你认为小佳编题无误，请直接完成证明；如果你赞同小辰的观点，请补充一个条件，再完成证明． 【答案】赞同小辰，补充条件：， 证明：四边形为矩形， ，，，， 在和中， ， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【分析】先补充条件，借助矩形性质证明，得到一组对边平行且相等，先判定四边形是平行四边形，再用邻边相等证出菱形． 【详解】略 12．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)证明：如图所示： 在菱形中，，则由菱形的对称性可得， 四边形是菱形， ， ， 是的一个外角， ， 则由菱形的对称性可得， ， 是等边三角形， ， ， 即，，三点共线； (3)或 【分析】（1）根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得； （2）由菱形性质、等腰三角形性质、外角和性质及等边三角形性质得出即可得证； （3）根据题意，分两种情况：点在线段上或点在线段延长线上，由菱形性质及勾股定理求出与的长度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，点是射线上的动点， ∴由菱形的对称性可得， 是等边三角形， ， ； （2）略 （3）解：当时，，分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图所示： 是等边三角形， ， ， 由菱形的对称性可知， 是的一个外角， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∴； 当在线段延长线上时，连接交于，如图所示： ， 是等边三角形，即， 是等边三角形， ， ， 由对称性可知， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 14．（25-26八年级下·云南红河·期末）根据题意解答下列各题： (1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________． (2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使得， ∵,， ∴． 在和中， ， ∴，      ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）过点作,且使得，连接，，证明，则，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，，    在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴，           ∴， 即． （2）略 （3）解：过点作，且使得，连接，； ∵是等腰直角三角形,， ，， ∴， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由第（2）问同理可证：， ∴． 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则当最大时，点C的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设E为的中点，当O，E及C共线时，最大，此时，证明为等边三角形，求出，求出，解直角三角形求出和即可． 【详解】解：设E为的中点（如图①），过C作轴于F，则（如图②）， ∵在中，E为的中点，， ∴， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得：， 由三角形三边关系得：，当O，E及C共线时，的值取到最大， 此时， 延长到点，使，连接，如图，则， ∵，， ∴垂直平分，得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 所以点C的坐标是． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】过作于，证明，可得，，再证，有，，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：过作于，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由菱形对角线互相垂直平分得到B、D关于轴对称，推得，把的最小值转化为的长度；结合判定为等边三角形，为中点则，结合线段长度利用勾股定理计算出的数值． 【详解】解：∵四边形是菱形，且四个顶点均在坐标轴上，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴， 解得． 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的最小值即的最小值， 当点B、P、E位于同一直线上，即时，的值最小． ∵点E是的中点，，， ∴，． 即的最小值是4． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 【答案】或或 【分析】连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图①， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图②， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 7．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，对角线交于点，以为边作正方形，设正方形对角线交于点，再以为边作第三个正方形，如此下去，则第个正方形的面积是_____________． 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以写出前几个正方形的面积，从而可以发现面积的变化规律，从而可以求得第2026个正方形的面积． 【详解】解：由题意可知，第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 第三个正方形的面积为， ……， 第个正方形的面积为， ∴第个正方形的面积是． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵矩形，， ∴，， ∵、的中点、， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴， 解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 9．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 【答案】 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点，在射线上取动点，连接，，，且使． (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，请直接写出此时线段与线段之间的数量关系； (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：在图1中，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间还存在一定的数量关系，请帮助小丽同学直接写出这个数量关系． 【答案】(1) (2)． 证明如下：如图，延长至点，使，连接，， ∵菱形，， ，， 在和中， ， ， ， ∵菱形，， ∴菱形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在等腰直角三角形中， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，根据正方形的性质，即可求解； （2）延长至点，使，连接，，证明得出菱形是正方形，证明得出，，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换即可得出结论； （3）仿照（2）的方法，延长至点，使，连接，，过点作于点，证明得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图 ∵四边形是菱形， ∵ ∴四边形是正方形， ∵为对角线的中点 ∴ ∵ ∴重合， ∴ ∴ （2）略 （3）， 如图，延长至点，使，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，同理可得 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 又∵ ，， ， ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，矩形中，点分别从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，两点到达两点时停止运动，已知．设运动时间为秒． (1)①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； (2)当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据题意得到，求出，当时，四边形为矩形，据此列方程即可求出答案；②根据菱形的性质和勾股定理列方程并解方程即可； （2）过点Q作，证明四边形为矩形，根据勾股定理得到，因为以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：， ∵矩形，，， ∴，， ∴， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：； ②∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 解得： （2）解：过点Q作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半， ∴， 即， 解得：或． 12．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，以为边，在矩形的外侧作等边三角形，且，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边相等，从而证明该平行四边形为菱形． （2）过点作构造直角三角形，设，利用矩形和菱形的性质推出，结合直角三角形的性质表示出、的长度，最后在中用勾股定理求出，进而得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于， 设． ∵四边形是菱形，是等边三角形， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 由勾股定理，． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，． ∴． 在中， ． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 13．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下题是本学期我们所学数学课本第88页复习题21中第15题： 如图1，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：．按照课本提示，很容易证明． (1)若将原题中“E为边的中点”改为：“E是边上任意一点（不与点、重合）”，其它条件都不变（如图2），结论仍然成立，请予以证明． (2)若将（1）中结论与已知条件中部分条件互换，改成如下内容：如图3，四边形是正方形，E是边上任意一点（不与点、重合），，且，连接，求证：平分正方形的外角，请予以证明． 【答案】(1)证明：如图4，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ， ， ， 为正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ， ，即． 在和中 ． (2)证明：如图4，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ， ，即． ， ， 在和中 ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，即， ， 平分． 【分析】（1）在边上截取，连接，由此证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在边上截取，连接，由此证明，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得． 【详解】（1）略； （2）略． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 【答案】(1) (2)①； ②（iii）为定值正确； 证明：过点E作交于点N， 由（1）得， 设， ， ， 过点F作交于点R，过点F作交于点M，过点E作交于点T， 易得四边形为正方形，四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴（iii）为定值正确． 【分析】（1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可求解； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，易得四边形为正方形，四边形为矩形，然后根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （2）①连接，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ， ∴， 在等腰和等腰中，， ∴， ； ②略 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： (1)①如图①，在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是______； ②如图②，在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则______； (2)如图③，在矩形中，，点，分别在边，上，且，若，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点、交矩形的边于点，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①容易证明，因此； ②过点作的平行线，交于点，容易证明四边形是平行四边形，则，由①的结论可得，再使用直角三角形的性质求出即可； （2）分别取、的中点、，连接，由中位线的性质可得，，，，则，容易证明，则，因此； （3）以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点，则，，容易证明四边形是正方形，点的坐标为，结合（1）的结论可得，则．分两类讨论，当时，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而得到，，使用勾股定理计算出的长；当时，同样的方法可计算出，与题意矛盾，舍去． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 同理①可得，， 在中，，即点为的中点， ∴； （2）解：如图，分别取、的中点、，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，作于点，交于点， ∵四边形是矩形，且，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形，点的坐标为， ∵， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴； ②当时，如图， ∴，点的坐标为， 同理（1）可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，这与点在边上矛盾，舍去； 综上所述，． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $