第三章 图形的相似章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了“图形的相似”单元9个核心知识点，涵盖相似多边形定义与性质、相似三角形判定（AA、SAS、SSS）及性质（对应线段比、面积比）、黄金分割、平行线分线段成比例、6类相似模型（A型、X型等）和位似图形，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“知识点-题型-训练”三阶设计，10类题型含典例与变式，如“一线三等角模型”“动点相似分类讨论”“利用相似测树高”等，结合解题步骤与模型识别技巧，培养推理意识与几何直观。巩固与强化训练分层设置，基础生掌握方法，优生深化思维，助力教师实施精准教学。

第三章 图形的相似章末重难点复习 9知识点+10题型+巩固训练+强化训练 1.理解多边形的定义与性质； 2.掌握相似三角形的判定； 3.掌握相似三角形的性质； 4.熟悉相似三角形的常见模型； 5.掌握由平行截线求相关线段的长或比值； 6.掌握位似的定义与性质。 1.相似多边形 （1）相似图形的定义 形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的大小可以相同也可以不同，大小相同时即为全等。 （2）相似多边形的定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 （3）相似多边形的特征 - 对应角相等 - 对应边成比例 （4）相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。全等是相似比为1的特殊情况。 （5）相似多边形的性质 - 对应角相等，对应边成比例 - 周长比等于相似比 - 面积比等于相似比的平方 2. 相似三角形的定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号 “” 表示。 3.相似三角形的判定定理 判定定理1（平行判定）： - 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 - 简称”平行出相似”（A型图和X型图） 判定定理2（两角分别相等）： - 两角分别相等的两个三角形相似 - 简称”AA” - 原理：三角形内角和 ，两角相等则第三角也相等 判定定理3（两边成比例且夹角相等）： - 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 - 简称”SAS” - 注意：角必须是两边的夹角，非夹角不能判定 判定定理4（三边成比例）： - 三边对应成比例的两个三角形相似 - 简称”SSS” 4. 直角三角形相似的特殊判定 - 以上判定方法都适用 - 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（“HL”型相似） - 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 5. 相似三角形的性质 （1） 对应关系 - 对应角相等 - 对应边成比例（比例等于相似比） （2） 对应线段的比 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 （3） 周长比 相似三角形周长的比等于相似比。 （4） 面积比 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （5）性质总结 - 对应线段（边、高、中线、角平分线）之比 = 相似比 - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 5.黄金分割 （1）黄金分割的定义 点 把线段 分成两条线段 和 （），如果 （即较长线段是全线段和较短线段的比例中项），那么称线段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点。 （2）黄金比 - - 这个比值称为黄金比 - 推导：设 ，，则 ，由 得 ，解得 （3）黄金分割点的性质 - 一条线段有两个黄金分割点（分别靠近两端） - 较长线段 全线段 全线段 - 较短线段 全线段 全线段 - 较长线段与较短线段之比也是黄金比 6.由平行判断成比例的线段 （1）平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）三角形中的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 （3）基本图形与比例式 A型图（平行线截三角形两边）： - ， 在 上， 在 上 - - X型图（平行线截两边延长线）： - ， 在 延长线上， 在 延长线上（或反向延长线） - - （4）比例的性质（常用） - 基本性质： - 合比性质： - 分比性质： - 等比性质：（分母和不为0） 7.由平行截线求相关线段的长或比值 解题核心： 利用平行线分线段成比例定理，列出比例式求解。 解题步骤： - 第一步：识别平行线和被截直线 - 第二步：确定对应线段，写出比例式 - 第三步：代入已知线段长度 - 第四步：解比例式（方程）求未知线段 常见类型： （1）直接求线段长 - 已知平行和部分线段长，求另一线段长 - 方法：列比例式，解方程 （2）求线段比值 - 已知线段比例关系，求其他线段比 - 方法：设参数表示各线段，利用比例式求参数关系 （3）三角形中求边长 - ，已知 、、 中的两个求第三个 - 用 或 8.相似的常见模型 模型一：A型模型 - 特征：平行线截三角形两边，小三角形与原三角形相似 - - 比例： 模型二：X型模型（8字型） - 特征：两条直线相交，交点两侧有平行线 - （ 为交点） - 比例： - 注意：对顶角相等是一组等角 模型三：母子型模型（射影定理模型） - 特征：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小三角形 - 中，， 于 - - 射影定理： - - - - 核心：三个直角三角形两两相似 模型四：K型模型（一线三等角） - 特征：一条直线上有三个相等的角，中间角顶点在直线上 - 典型：（或其他等角），、、 共线 - - 原理：同角的余角相等（或等角），AA判定相似 - 变式：三个等角可以是 、 或任意角 模型五：旋转相似模型 - 特征：共顶点的两个相似三角形（如共顶点的两个等腰三角形） - 旋转后对应边成比例、夹角相等 - 常与手拉手模型结合，产生第二对相似三角形 模型六：共享型模型（有公共角或公共边） - 特征：两个三角形有一个公共角（或公共边），再找一个等角或夹边成比例 - 有公共角时，再找一个等角（AA）或夹公共角的两边成比例（SAS） - 常见于三角形内有线段与边相交的图形 9.图形的位似 （1）位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 （2）位似的两个条件 - 两个图形相似 - 对应顶点的连线交于同一点（位似中心），对应边平行或共线 （3）位似与相似的关系 - 位似图形一定是相似图形 - 相似图形不一定是位似图形 - 位似是相似的特殊情况 （4）位似图形的性质 - 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质 - 位似图形对应顶点的连线都经过位似中心 - 位似图形对应边平行（或共线） - 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比） （5）位似中心的位置 - 可在两个图形的同侧 - 可在两个图形之间 - 可在图形内部 - 可在图形的一个顶点上或边上 （6）画位似图形的步骤 - 第一步：确定位似中心 - 第二步：确定原图形的关键点 - 第三步：连接位似中心与各关键点（或延长） - 第四步：按位似比在连线上截取对应点 - 第五步：按原图形顺序连接各对应点 （7）平面直角坐标系中的位似 - 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为 - 那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 - 即原图形上点 ，位似后对应点为 或 - 注意有两种情况：同侧（同号）和异侧（异号） 题型01 成比例线段 【典例】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 解题梳理 解题核心： 理解比例线段概念，掌握比例的基本性质。 基本概念： - 四条线段 、、、，如果 ，则这四条线段叫做成比例线段 - 、 叫比例外项，、 叫比例内项 - 若 ，则 叫 、 的比例中项， 比例的性质： - 基本性质： - 合比性质： - 等比性质：（分母和不为0） 常见考法： - 判断四条线段是否成比例：统一单位，按大小排序，验证前两条比是否等于后两条比 - 求第四比例项或比例中项：列比例式求解 - 比例尺问题：图上距离:实际距离=比例尺 - 利用比例性质求比值：设参数 ，用 表示各量 【变式1-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 【变式1-2】（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26九年级上·四川内江·期中）若线段，则．的比例中项_______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，二次根式的化简，根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则． 【详解】解：由题意，，所以 ． 故答案为：． 题型02 相似三角形的判定 【典例】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 解题梳理 解题核心： 根据已知条件选择合适的判定方法。 判定方法： - AA：两角分别相等 - SAS：两边成比例且夹角相等 - SSS：三边成比例 - 平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成的三角形与原三角形相似 - 直角三角形：一锐角相等，或斜边与一直角边对应成比例 选择策略： - 已知平行线 平行判定 - 已知一组等角 找另一组等角（AA）或找夹边成比例（SAS） - 已知两组边成比例 找夹角相等（SAS）或第三边成比例（SSS） - 已知直角三角形 找锐角相等或斜边直角边成比例 解题步骤： - 第一步：找已知的等角或成比例边 - 第二步：分析还缺什么条件 - 第三步：通过公共角、对顶角、平行线、同角的余角/补角相等来推导等角 - 第四步：按判定方法写出证明 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 【答案】(1) 证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 相似三角形的性质 【典例】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长，证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方。 性质要点： - 对应角相等，对应边成比例 - 对应高、对应中线、对应角平分线之比 = 相似比 - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 相似比的平方 常见考法： - 求线段长：利用对应边成比例列方程 - 求周长比或周长：周长比=相似比 - 求面积比或面积：面积比=相似比 - 已知面积比求相似比：开平方 解题技巧： - 先确定相似比（对应边之比） - 线段、周长用相似比，面积用相似比的平方 - 已知面积比求边长比时，注意开平方 【变式3-1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 【变式3-2】（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3-3】（2026·上海奉贤·模拟预测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 【变式3-4】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型04 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 解题梳理 解题核心： 利用平行线分线段成比例定理列比例式。 基本定理： - 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例 - 三角形中推论：平行于一边的直线截其他两边，对应线段成比例 解题步骤： - 第一步：识别平行线和被截直线 - 第二步：确定对应线段，写出比例式 - 第三步：代入已知线段，设未知数列方程 - 第四步：解方程求线段长或比值 常用比例式（A型图，）： - - - 关键技巧： - 设参数 表示线段，将比例转化为方程 - 注意”上比下”“上比全”的对应关系 - 多条平行线时，找准对应线段 【变式4-1】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，，即， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【变式4-4】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 解得． 题型05 黄金分割 【典例】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 解题梳理 核心定义： 点 分线段 为 和 （），若 ，即 ，则 为黄金分割点。 黄金比： 常用结论（设 ）： · 较长段 · 较短段 · 一条线段有两个黄金分割点 常见题型： · 求线段长：直接套公式，较长段 全长 · 求比值：设全长为 （或 ），用黄金比表示各段再求比 · 判定黄金分割点：验证 · 黄金矩形：宽/长=，截去正方形后仍为黄金矩形 · 黄金三角形：顶角 的等腰三角形，底/腰=黄金比 解题技巧： · 设全长为 或 简化计算 · 精确值用 ，不提前取近似值 · 题目未指明哪段较长时分类讨论 · 判定黄金分割点验证比例中项关系 【变式5-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 【变式5-4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 题型06 利用平行判定相似 【典例】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 解题梳理 解题核心： 有平行就有相似，A型和X型是基本图形。 判定定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 两种基本图形： - A型：平行线在三角形内部， - X型：平行线在三角形外部， 解题步骤： - 第一步：识别平行线 - 第二步：确定相似三角形及对应关系 - 第三步：由平行得同位角/内错角相等，结合公共角/对顶角，用AA判定相似 - 第四步：写出相似三角形和对应比例式 - 第五步：利用相似性质求线段或证明 关键技巧： - 看到平行线立即想到可能产生相似三角形 - A型图有公共角，X型图有对顶角 - 相似后对应边成比例，可用于求线段长 【变式6-1】（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式6-3】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 【变式6-4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型07 相似三角形的常见模型 【典例】（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 解题梳理 解题核心： 识别模型，直接套用对应结论。 模型一：A型 - - 比例： 模型二：X型（8字型） - ，交于 - 比例： 模型三：母子型（射影定理） - 中， 于 - ，， 模型四：K型（一线三等角） - 直线上三个等角（常见为直角） 两个三角形相似（AA） - 典型： 模型五：共享型（公共角型） - 两个三角形有公共角，再找一个等角或夹边成比例 - 如 中 在 上， 模型六：旋转型 - 共顶点的相似三角形，旋转后产生新的相似 - 常与手拉手模型结合 解题步骤： - 第一步：观察图形特征，识别属于哪种模型 - 第二步：根据模型写出相似三角形和比例式 - 第三步：代入已知条件求解或证明 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】 解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【变式7-4】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 题型08 相似三角形中的动点问题 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键； （1）分别用t表示出和，则按求解即可； （2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； (3)分和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ，，， 点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动， ，，， ∵当时，是等腰直角三角形， ∴即， ∴当时，△AQP是等腰直角三角形； （2）∵在中，，边上的高，， 在中，，边上的高， ， ， 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． （3）根据题意，可分为两种情况， 在矩形ABCD中： ①当时， ， ， 解得， ②当时， ， ， 解得， 所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似． 解题梳理 解题核心： 设 表示线段，利用相似列比例式，分类讨论，检验范围。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 ，用含 的式子表示相关线段 - 第二步：分析动点运动过程中哪些三角形可能相似 - 第三步：根据相似条件（对应边成比例）列方程 - 第四步：解方程求 - 第五步：检验 是否在运动范围内，分类讨论是否完整 常见类型： - 动点在边上运动，两三角形相似：注意对应关系可能有两种，需分类讨论 - 动点构成相似三角形求 ：列比例式求解 - 动点与面积问题：相似比与面积比的关系 关键技巧： - “动中求静”，把动点问题转化为方程问题 - 分类讨论：两三角形相似时，对应顶点可能有多种对应方式 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点） 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)t的值为或1或 【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值； （2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， 由题意知：， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：    即当四边形为菱形时，的值为； （2）解：当点F与点A重合时，， 即； ①当时，过点E作于G，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或；    ②当时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 显然，满足题意； 由于点F不与点B重合，则； 综上，满足题意的t值为或1或．    【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)10 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 【变式8-3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 【变式8-4】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 题型09 相似的实际应用 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 解题梳理 解题核心： 将实际问题转化为相似三角形模型，列比例式求解。 解题步骤： - 第一步：审题，将实际问题转化为几何图形 - 第二步：判断相似三角形（利用平行光线、镜面反射等条件） - 第三步：写出对应边的比例式 - 第四步：代入数据解方程 - 第五步：检验结果是否符合实际 常见类型： 1. 测量高度（如测旗杆、树高、楼高） - 利用同一时刻物高与影长成比例（太阳光线平行） - 或利用标杆、镜面反射构造相似三角形 2. 测量宽度（如测河宽） - 在岸边构造相似三角形，利用对应边成比例计算 3. 小孔成像 - 物体与像分别在小孔两侧，构成X型相似三角形 4. 视力表、缩放问题 - 利用相似比计算放大或缩小后的尺寸 关键技巧： - 太阳光线可视为平行光线，同一时刻物高与影长成正比 - 镜面反射：入射角等于反射角，构造等角，用AA判定相似 - 注意单位统一 【变式9-1】（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 【变式9-2】（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 【变式9-4】（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； （2）解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 题型10 位似的定义与性质 【典例】（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 解题梳理 解题核心： 位似是特殊的相似，对应点连线交于位似中心。 位似的定义： 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），这样的两个图形叫位似图形，交点叫位似中心。 位似的条件（缺一不可）： - 两个图形相似 - 对应顶点连线交于同一点 - 对应边平行或共线 位似的性质： - 位似图形一定相似，具有相似的所有性质 - 对应点连线经过位似中心 - 对应边平行或共线 - 对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比） - 平面直角坐标系中，以原点为位似中心、相似比为 时，对应点坐标为 或 常见考法： - 判断两个图形是否位似：检查三个条件 - 找位似中心：对应点连线的交点 - 画位似图形：确定中心连关键点按比截取连接 - 坐标系中求位似后点的坐标：乘 或 - 求位似比：对应点到位似中心距离之比 【变式10-1】（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 【变式10-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 【变式10-3】（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 【变式10-4】（2026·宁夏银川·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别是，． (1)画出绕着原点O顺时针旋转后得到的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 4．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度． 【详解】解：由题意可知：，，，， ∴， ∴，即， 解得：． 6．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【分析】由中位线的性质得，，再证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：中，E，F分别是的中点， 是的中位线， ，， ，， ， ． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据题意得到，由位似得到，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12 ． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 【详解】（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 11．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 即为所求；； (2) 点D即为所求： 【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定，求位似图形对应点的坐标，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A，B、C的横纵坐标分别乘以2可得到点的坐标，据此作图即可； （2）取格点E、F，连接交于点D，可证明，则，则点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，点为边上一点，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图、等边对等角、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由可得，再利用尺规作，得到，则点即为所求． 【详解】略 14．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，．D是延长线上一点，．作，再过点C作的垂线，与交于点E，． (1)求证； (2)的长为______． 【答案】(1) 证明：由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)6 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）先证明，再由即可证明； （2）利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 整理得，即， 解得． 故答案为：6． 15．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：在中，于点， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ∵，， ， ． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质． 根据平行线分线段成比例定理可知，由可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据即可求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 长为， ， ， . 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 5．（25-26九年级上·山西忻州·期末）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边，上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边，上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质及弧长公式的应用，据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长相加得到“黄金螺线”的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴, ∴， ∴“黄金螺线”的长为， 故选：A． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及“将军饮马”模型(对称求最短路径)的综合应用．先利用正方形的边长与对角线关系，结合已知的线段比例，证明，从而得到的线段转化关系；再将所求表达式代换为，把问题转化为求的最小值；最后通过作点关于的对称点，利用“两点之间线段最短”，得到的最小值为的长度，代入计算即可得出最终结果． 【详解】解：如图，连接，取关于的对称点，连接． ∵四边形是正方形，且， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∴，即， ∴． ∵为对称轴， ∴，， ∴，； ∴当、、三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度； 此时； ∴的最小值为； 代入得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形两腰相等、底角为的性质得到斜边长和角度相等，根据三角形相似进而得到对应边的比例关系，是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，得到的长，根据点是边的一个三等分点，得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，根据勾股定理得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，进而得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是边的一个三等分点， ∴, 在和中， ，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在正方形中，，点E在上，且，连接．将沿折叠得到，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质并结合全等三角形的判定与性质、相似三角形相似比是解决问题的关键．过点F作交，于点G，H，由翻折可知：，，，证明，可得，所以，解得，，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点F作交，于点G，H， 在正方形中，， ∴，， ∵，， ∴， 由翻折可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 【答案】 【分析】设与相交于点，根据平行线分线段成比例，先求得，的长度．再运用等边三角形的性质，求得的长．最后根据，得，求得结果． 【详解】解：如图，设与相交于点， 菱形，点在的延长线上， ，， ， ， ，， ． ， ，． 等边，， ， ， ． ， ， ， ，，， ． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 【答案】(1)对，对，错 (2) 解：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）综合与实践： 纸是我们生活中常见的打印纸，这个看似普通的矩形纸张里，隐藏着一个神奇的数学奥秘，正是这个奥秘使其在印刷、缩放、复印和装订中具有无可替代的实用性——不仅能让各种规格的纸张维持一致的比例，还能在反复对折裁剪时最大限度的减少浪费．这个奥秘就隐藏在它的边的比例中．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动． 【问题探究】 （1）如图①，将一张纸沿它的一条对称轴折叠，展开后，发现折痕两侧的两个小矩形与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形．则纸的较长边与较短边的比值为___________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，连接，过点作交于点．求证：点为边的中点； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图③，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【创新应用】 （4）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图④，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，矩形矩形，矩形矩形，为四边形的对称轴，， ∴可得：，，，. ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∴点为边的中点； （3）；（4）． 【分析】本题考查折叠的性质、相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质求出，根据相似多边形的性质得出，再根据矩形的性质等量代换即可求解； （2）根据折叠的性质和矩形的性质，从而推出，得到，等量代换即可求解； （3）连接交于点，交于点．由折叠知，，先证明，得出，通过等量代换求出，再证明，根据相似的性质结合折叠的性质设，得到，，最后根据的勾股定理得到，最后等量代换即可求解； （4）由（1）得，设，，再结合矩形的性质和折叠的性质得，，根据勾股定理求出，，、为等腰直角三角形，进而求出，然后根据平行求出，运用性质解出、，最后利用勾股定理推出，结合三角形的面积公式和即可求解． 【详解】解：（1）∵一张纸沿它的一条对称轴折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴，解得：， ∴纸的较长边与较短边的比值为； （2）略 （3）如图，连接交于点，交于点．由折叠知，， 由（2）知：，， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设，由折叠知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （4）∵矩形， ∴， ∵由（1）得：， ∴设，， ∵沿折叠得，沿折叠得， ∴，，， ，， ∵在中， ∴根据勾股定理：， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 15．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似章末重难点复习 9知识点+10题型+巩固训练+强化训练 1.理解多边形的定义与性质； 2.掌握相似三角形的判定； 3.掌握相似三角形的性质； 4.熟悉相似三角形的常见模型； 5.掌握由平行截线求相关线段的长或比值； 6.掌握位似的定义与性质。 1.相似多边形 （1）相似图形的定义 形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的大小可以相同也可以不同，大小相同时即为全等。 （2）相似多边形的定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 （3）相似多边形的特征 - 对应角相等 - 对应边成比例 （4）相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。全等是相似比为1的特殊情况。 （5）相似多边形的性质 - 对应角相等，对应边成比例 - 周长比等于相似比 - 面积比等于相似比的平方 2. 相似三角形的定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号 “” 表示。 3.相似三角形的判定定理 判定定理1（平行判定）： - 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 - 简称”平行出相似”（A型图和X型图） 判定定理2（两角分别相等）： - 两角分别相等的两个三角形相似 - 简称”AA” - 原理：三角形内角和 ，两角相等则第三角也相等 判定定理3（两边成比例且夹角相等）： - 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 - 简称”SAS” - 注意：角必须是两边的夹角，非夹角不能判定 判定定理4（三边成比例）： - 三边对应成比例的两个三角形相似 - 简称”SSS” 4. 直角三角形相似的特殊判定 - 以上判定方法都适用 - 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（“HL”型相似） - 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 5. 相似三角形的性质 （1） 对应关系 - 对应角相等 - 对应边成比例（比例等于相似比） （2） 对应线段的比 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 （3） 周长比 相似三角形周长的比等于相似比。 （4） 面积比 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 （5）性质总结 - 对应线段（边、高、中线、角平分线）之比 = 相似比 - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 5.黄金分割 （1）黄金分割的定义 点 把线段 分成两条线段 和 （），如果 （即较长线段是全线段和较短线段的比例中项），那么称线段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点。 （2）黄金比 - - 这个比值称为黄金比 - 推导：设 ，，则 ，由 得 ，解得 （3）黄金分割点的性质 - 一条线段有两个黄金分割点（分别靠近两端） - 较长线段 全线段 全线段 - 较短线段 全线段 全线段 - 较长线段与较短线段之比也是黄金比 6.由平行判断成比例的线段 （1）平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）三角形中的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 （3）基本图形与比例式 A型图（平行线截三角形两边）： - ， 在 上， 在 上 - - X型图（平行线截两边延长线）： - ， 在 延长线上， 在 延长线上（或反向延长线） - - （4）比例的性质（常用） - 基本性质： - 合比性质： - 分比性质： - 等比性质：（分母和不为0） 7.由平行截线求相关线段的长或比值 解题核心： 利用平行线分线段成比例定理，列出比例式求解。 解题步骤： - 第一步：识别平行线和被截直线 - 第二步：确定对应线段，写出比例式 - 第三步：代入已知线段长度 - 第四步：解比例式（方程）求未知线段 常见类型： （1）直接求线段长 - 已知平行和部分线段长，求另一线段长 - 方法：列比例式，解方程 （2）求线段比值 - 已知线段比例关系，求其他线段比 - 方法：设参数表示各线段，利用比例式求参数关系 （3）三角形中求边长 - ，已知 、、 中的两个求第三个 - 用 或 8.相似的常见模型 模型一：A型模型 - 特征：平行线截三角形两边，小三角形与原三角形相似 - - 比例： 模型二：X型模型（8字型） - 特征：两条直线相交，交点两侧有平行线 - （ 为交点） - 比例： - 注意：对顶角相等是一组等角 模型三：母子型模型（射影定理模型） - 特征：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小三角形 - 中，， 于 - - 射影定理： - - - - 核心：三个直角三角形两两相似 模型四：K型模型（一线三等角） - 特征：一条直线上有三个相等的角，中间角顶点在直线上 - 典型：（或其他等角），、、 共线 - - 原理：同角的余角相等（或等角），AA判定相似 - 变式：三个等角可以是 、 或任意角 模型五：旋转相似模型 - 特征：共顶点的两个相似三角形（如共顶点的两个等腰三角形） - 旋转后对应边成比例、夹角相等 - 常与手拉手模型结合，产生第二对相似三角形 模型六：共享型模型（有公共角或公共边） - 特征：两个三角形有一个公共角（或公共边），再找一个等角或夹边成比例 - 有公共角时，再找一个等角（AA）或夹公共角的两边成比例（SAS） - 常见于三角形内有线段与边相交的图形 9.图形的位似 （1）位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 （2）位似的两个条件 - 两个图形相似 - 对应顶点的连线交于同一点（位似中心），对应边平行或共线 （3）位似与相似的关系 - 位似图形一定是相似图形 - 相似图形不一定是位似图形 - 位似是相似的特殊情况 （4）位似图形的性质 - 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质 - 位似图形对应顶点的连线都经过位似中心 - 位似图形对应边平行（或共线） - 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比） （5）位似中心的位置 - 可在两个图形的同侧 - 可在两个图形之间 - 可在图形内部 - 可在图形的一个顶点上或边上 （6）画位似图形的步骤 - 第一步：确定位似中心 - 第二步：确定原图形的关键点 - 第三步：连接位似中心与各关键点（或延长） - 第四步：按位似比在连线上截取对应点 - 第五步：按原图形顺序连接各对应点 （7）平面直角坐标系中的位似 - 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为 - 那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 - 即原图形上点 ，位似后对应点为 或 - 注意有两种情况：同侧（同号）和异侧（异号） 题型01 成比例线段 【典例】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 解题梳理 解题核心： 理解比例线段概念，掌握比例的基本性质。 基本概念： - 四条线段 、、、，如果 ，则这四条线段叫做成比例线段 - 、 叫比例外项，、 叫比例内项 - 若 ，则 叫 、 的比例中项， 比例的性质： - 基本性质： - 合比性质： - 等比性质：（分母和不为0） 常见考法： - 判断四条线段是否成比例：统一单位，按大小排序，验证前两条比是否等于后两条比 - 求第四比例项或比例中项：列比例式求解 - 比例尺问题：图上距离:实际距离=比例尺 - 利用比例性质求比值：设参数 ，用 表示各量 【变式1-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【变式1-2】（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【变式1-4】（25-26九年级上·四川内江·期中）若线段，则．的比例中项_______． 题型02 相似三角形的判定 【典例】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 解题梳理 解题核心： 根据已知条件选择合适的判定方法。 判定方法： - AA：两角分别相等 - SAS：两边成比例且夹角相等 - SSS：三边成比例 - 平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成的三角形与原三角形相似 - 直角三角形：一锐角相等，或斜边与一直角边对应成比例 选择策略： - 已知平行线 平行判定 - 已知一组等角 找另一组等角（AA）或找夹边成比例（SAS） - 已知两组边成比例 找夹角相等（SAS）或第三边成比例（SSS） - 已知直角三角形 找锐角相等或斜边直角边成比例 解题步骤： - 第一步：找已知的等角或成比例边 - 第二步：分析还缺什么条件 - 第三步：通过公共角、对顶角、平行线、同角的余角/补角相等来推导等角 - 第四步：按判定方法写出证明 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 题型03 相似三角形的性质 【典例】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方。 性质要点： - 对应角相等，对应边成比例 - 对应高、对应中线、对应角平分线之比 = 相似比 - 周长比 = 相似比 - 面积比 = 相似比的平方 常见考法： - 求线段长：利用对应边成比例列方程 - 求周长比或周长：周长比=相似比 - 求面积比或面积：面积比=相似比 - 已知面积比求相似比：开平方 解题技巧： - 先确定相似比（对应边之比） - 线段、周长用相似比，面积用相似比的平方 - 已知面积比求边长比时，注意开平方 【变式3-1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-2】（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·上海奉贤·模拟预测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【变式3-4】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 题型04 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 解题梳理 解题核心： 利用平行线分线段成比例定理列比例式。 基本定理： - 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例 - 三角形中推论：平行于一边的直线截其他两边，对应线段成比例 解题步骤： - 第一步：识别平行线和被截直线 - 第二步：确定对应线段，写出比例式 - 第三步：代入已知线段，设未知数列方程 - 第四步：解方程求线段长或比值 常用比例式（A型图，）： - - - 关键技巧： - 设参数 表示线段，将比例转化为方程 - 注意”上比下”“上比全”的对应关系 - 多条平行线时，找准对应线段 【变式4-1】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图在中，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式4-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【变式4-4】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 题型05 黄金分割 【典例】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 解题梳理 核心定义： 点 分线段 为 和 （），若 ，即 ，则 为黄金分割点。 黄金比： 常用结论（设 ）： · 较长段 · 较短段 · 一条线段有两个黄金分割点 常见题型： · 求线段长：直接套公式，较长段 全长 · 求比值：设全长为 （或 ），用黄金比表示各段再求比 · 判定黄金分割点：验证 · 黄金矩形：宽/长=，截去正方形后仍为黄金矩形 · 黄金三角形：顶角 的等腰三角形，底/腰=黄金比 解题技巧： · 设全长为 或 简化计算 · 精确值用 ，不提前取近似值 · 题目未指明哪段较长时分类讨论 · 判定黄金分割点验证比例中项关系 【变式5-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【变式5-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【变式5-4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 题型06 利用平行判定相似 【典例】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 解题梳理 解题核心： 有平行就有相似，A型和X型是基本图形。 判定定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 两种基本图形： - A型：平行线在三角形内部， - X型：平行线在三角形外部， 解题步骤： - 第一步：识别平行线 - 第二步：确定相似三角形及对应关系 - 第三步：由平行得同位角/内错角相等，结合公共角/对顶角，用AA判定相似 - 第四步：写出相似三角形和对应比例式 - 第五步：利用相似性质求线段或证明 关键技巧： - 看到平行线立即想到可能产生相似三角形 - A型图有公共角，X型图有对顶角 - 相似后对应边成比例，可用于求线段长 【变式6-1】（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【变式6-3】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【变式6-4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型07 相似三角形的常见模型 【典例】（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 解题梳理 解题核心： 识别模型，直接套用对应结论。 模型一：A型 - - 比例： 模型二：X型（8字型） - ，交于 - 比例： 模型三：母子型（射影定理） - 中， 于 - ，， 模型四：K型（一线三等角） - 直线上三个等角（常见为直角） 两个三角形相似（AA） - 典型： 模型五：共享型（公共角型） - 两个三角形有公共角，再找一个等角或夹边成比例 - 如 中 在 上， 模型六：旋转型 - 共顶点的相似三角形，旋转后产生新的相似 - 常与手拉手模型结合 解题步骤： - 第一步：观察图形特征，识别属于哪种模型 - 第二步：根据模型写出相似三角形和比例式 - 第三步：代入已知条件求解或证明 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【变式7-4】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 题型08 相似三角形中的动点问题 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 解题梳理 解题核心： 设 表示线段，利用相似列比例式，分类讨论，检验范围。 解题步骤： - 第一步：设运动时间为 ，用含 的式子表示相关线段 - 第二步：分析动点运动过程中哪些三角形可能相似 - 第三步：根据相似条件（对应边成比例）列方程 - 第四步：解方程求 - 第五步：检验 是否在运动范围内，分类讨论是否完整 常见类型： - 动点在边上运动，两三角形相似：注意对应关系可能有两种，需分类讨论 - 动点构成相似三角形求 ：列比例式求解 - 动点与面积问题：相似比与面积比的关系 关键技巧： - “动中求静”，把动点问题转化为方程问题 - 分类讨论：两三角形相似时，对应顶点可能有多种对应方式 - 画出不同时刻的图形辅助分析 - 注意临界位置（点到达端点） 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【变式8-3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【变式8-4】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型09 相似的实际应用 【典例】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 解题梳理 解题核心： 将实际问题转化为相似三角形模型，列比例式求解。 解题步骤： - 第一步：审题，将实际问题转化为几何图形 - 第二步：判断相似三角形（利用平行光线、镜面反射等条件） - 第三步：写出对应边的比例式 - 第四步：代入数据解方程 - 第五步：检验结果是否符合实际 常见类型： 1. 测量高度（如测旗杆、树高、楼高） - 利用同一时刻物高与影长成比例（太阳光线平行） - 或利用标杆、镜面反射构造相似三角形 2. 测量宽度（如测河宽） - 在岸边构造相似三角形，利用对应边成比例计算 3. 小孔成像 - 物体与像分别在小孔两侧，构成X型相似三角形 4. 视力表、缩放问题 - 利用相似比计算放大或缩小后的尺寸 关键技巧： - 太阳光线可视为平行光线，同一时刻物高与影长成正比 - 镜面反射：入射角等于反射角，构造等角，用AA判定相似 - 注意单位统一 【变式9-1】（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【变式9-2】（2026·陕西西安·模拟预测）真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【变式9-4】（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 题型10 位似的定义与性质 【典例】（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 解题梳理 解题核心： 位似是特殊的相似，对应点连线交于位似中心。 位似的定义： 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），这样的两个图形叫位似图形，交点叫位似中心。 位似的条件（缺一不可）： - 两个图形相似 - 对应顶点连线交于同一点 - 对应边平行或共线 位似的性质： - 位似图形一定相似，具有相似的所有性质 - 对应点连线经过位似中心 - 对应边平行或共线 - 对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比） - 平面直角坐标系中，以原点为位似中心、相似比为 时，对应点坐标为 或 常见考法： - 判断两个图形是否位似：检查三个条件 - 找位似中心：对应点连线的交点 - 画位似图形：确定中心连关键点按比截取连接 - 坐标系中求位似后点的坐标：乘 或 - 求位似比：对应点到位似中心距离之比 【变式10-1】（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【变式10-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【变式10-3】（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【变式10-4】（2026·宁夏银川·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别是，． (1)画出绕着原点O顺时针旋转后得到的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）中，E，F分别是的中点，连接，则______． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则______． 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 11．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，写出的坐标； (2)请用无刻度直尺在线段作出点D，使得（保留作图痕迹）． 13．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，点为边上一点，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 14．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，．D是延长线上一点，．作，再过点C作的垂线，与交于点E，． (1)求证； (2)的长为______． 15．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如下图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西忻州·期末）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边，上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边，上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为对角线，、分别，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 8．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在正方形中，，点E在上，且，连接．将沿折叠得到，连接，则的长为______． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，直线、交于点，，若，，，求的值． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 14．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）综合与实践： 纸是我们生活中常见的打印纸，这个看似普通的矩形纸张里，隐藏着一个神奇的数学奥秘，正是这个奥秘使其在印刷、缩放、复印和装订中具有无可替代的实用性——不仅能让各种规格的纸张维持一致的比例，还能在反复对折裁剪时最大限度的减少浪费．这个奥秘就隐藏在它的边的比例中．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动． 【问题探究】 （1）如图①，将一张纸沿它的一条对称轴折叠，展开后，发现折痕两侧的两个小矩形与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形．则纸的较长边与较短边的比值为___________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，连接，过点作交于点．求证：点为边的中点； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图③，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【创新应用】 （4）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图④，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 15．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $