第五章 二次函数章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学二次函数章末复习讲义通过知识框架图系统梳理9个核心知识点，涵盖概念、解析式、图像性质等，用对比表格呈现三种解析式的适用条件与关键参数，思维导图串联平移、对称等变换规律，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于13类分层题型设计，从基础定义判断到综合几何存在性问题，典例结合变式题，如实际应用中利润问题培养模型意识，几何综合题用坐标法提升推理能力。解题梳理含关键技巧与易错提醒，助力不同学生掌握方法，为教师精准教学提供支持。

第五章 二次函数章末重难点复习 9知识点+13题型+巩固训练+强化训练 1.理解二次函数的相关概念，并利用二次函数的定义求参数； 2.掌握待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）； 3.掌握二次函数的图像与性质； 4.掌握二次函数的平移规律； 5.熟练掌握利用二次函数图像判断系数及代数式符号； 6.熟悉二次函数的实际应用问题； 7.熟练掌握二次函数中的线段周长问题、面积问题； 8. 熟练掌握二次函数中的特殊图形存在性问题（特殊三角形、特殊四边形）。 1. 二次函数的概念 （1）定义： 形如 （、、是常数，）的函数叫做二次函数。 （2）三个要点： - 函数关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 （、可以为0） 2.二次函数三种解析式 （1）一般式：（） - 适用于已知任意三点坐标 - 顶点坐标： - 对称轴：直线 （2）顶点式：（） - 适用于已知顶点坐标（或对称轴、最值） - 顶点坐标： - 对称轴：直线 - 由一般式配方得到： （3）交点式：（） - 适用于已知抛物线与x轴两个交点 、 - 对称轴：直线 - 当抛物线与x轴无交点时，不能用交点式 3.二次函数的图像与性质 （1）图像： 二次函数的图像是一条抛物线。 （2）开口方向： - 开口向上 - 开口向下 - 越大，开口越小（图像越”瘦”） （3）顶点与对称轴： - 顶点坐标 ，对称轴 - 时顶点是最低点，函数有最小值 - 时顶点是最高点，函数有最大值 （4）增减性： - ：时，y随x增大而减小；时，y随x增大而增大 - ：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小 （5）与y轴交点： ，交y轴正半轴，交负半轴，过原点。 （6）与x轴交点： 由 决定： - ：两个交点 - ：一个交点（顶点在x轴上） - ：无交点 4.抛物线的平移规律（只针对顶点式） （1）顶点式： ，顶点 （2）平移规律（口诀：上加下减，左加右减）： - 上下平移： - 向上平移m个单位：（上加） - 向下平移m个单位：（下减） - 左右平移： - 向左平移m个单位：（左加） - 向右平移m个单位：（右减） （3）关键要点： - 平移不改变抛物线的形状和开口方向，即 不变 - 平移的本质是顶点的平移，只需关注顶点坐标变化 - 一般式需先化为顶点式再平移，或平移后再展开 5.二次函数与一元二次方程的联系 （1）核心关系： 二次函数 的图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 的根。 （2）判别式与交点： - ：方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个交点 - ：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点（相切） - ：方程无实根，抛物线与x轴无交点 （3）交点距离公式： 若两交点为 、，则两交点距离 。 （4）二次函数与不等式： - 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x范围 - 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x范围 - 且 时， 恒成立 - 且 时， 恒成立 （5）利用图像求方程近似根： 画出函数图像，观察与x轴交点横坐标的大致范围。 6.根据图像判断系数及代数式符号 （1）判断a： 看开口方向，开口向上 ，开口向下 。 （2）判断c： 看与y轴交点，交正半轴 ，交负半轴 ，过原点 。 （3）判断b： 看对称轴位置（“左同右异”）： - 对称轴在y轴左侧（） 、同号 - 对称轴在y轴右侧（） 、异号 - 对称轴为y轴 （4）判断 ： 看与x轴交点个数： - 两个交点 - 一个交点 - 无交点 （5）常见代数式符号判断： - ：令 ，看图像上 对应点的y值 - ：令 ，看图像上 对应点的y值 - ：令 - ：令 - ：比较对称轴 与1的大小关系 - ：比较对称轴 与-1的大小关系 方法： 特殊值代入法（令 等）+ 对称轴位置分析。 7.抛物线的对称变换 （1）关于x轴对称 - - 顶点式： - 规律：变号，顶点 变为 （2）关于y轴对称 - - 顶点式： - 规律：不变，顶点 变为 （3）关于原点对称 - - 顶点式： - 规律：变号，顶点 变为 （4）绕顶点旋转180° - 顶点式： - 规律：变号，顶点不变 （5）记忆要点： - 关于x轴对称：x不变，y取反（、、全变号） - 关于y轴对称：y不变，x取反（变号） - 关于原点对称：x、y都取反（、变号，不变） - 顶点式变换只需关注 和顶点 的变化 8.二次函数实际应用 （1）利润问题 - 总利润=（售价-成本）×销售量 - 设涨价（或降价）x元，表示出单件利润和销售量 - 建立利润关于x的二次函数，求最大值 - 注意自变量取值范围（如 、销售量 等） （2）面积问题 - 设一边长为x，用含x的式子表示另一边长 - 建立面积关于x的二次函数 - 求最大面积及对应边长 - 常见于围栏问题（靠墙一边不围）、几何图形面积最值 （3）拱桥/抛物线型问题 - 建立平面直角坐标系，设抛物线解析式 - 根据已知点坐标求解析式 - 利用解析式求特定位置的高度或宽度 （4）运动轨迹问题 - 物体抛射运动轨迹为抛物线 - 建立函数模型，求最高点、落地点等 （5）解题步骤： - 第一步：审题，设自变量 - 第二步：建立二次函数关系式 - 第三步：确定自变量取值范围 - 第四步：求最值（顶点处或范围端点处） - 第五步：检验结果是否符合实际意义 9.二次函数与几何问题综合 （1）线段最值问题 - 设点的横坐标为t，用含t的式子表示线段长度 - 建立二次函数求最值 - 铅垂高：两点横坐标相同时，线段长=纵坐标之差 （2）面积最值问题 - 设动点坐标，用割补法表示三角形或四边形面积 - 建立面积关于t的二次函数 - 求面积最大值 （3）存在性问题 - 等腰三角形存在性：分类讨论哪两条边相等 - 直角三角形存在性：分类讨论哪个角是直角 - 平行四边形存在性：利用中点坐标公式或平移性质 - 面积相等问题：转化为方程求解 （4） 动点问题 - 设动点坐标（用一个参数表示） - 根据几何条件列方程 - 解方程并检验 （5）常用方法： - 坐标法：设点坐标，用坐标表示线段和面积 - 割补法求面积：铅垂高×水平宽÷2 - 分类讨论：存在性问题要考虑多种情况 - 方程思想：将几何条件转化为方程求解 题型01 二次函数的定义 【典例】（25-26九年级上·广西百色·期中）在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素， 是关键。 判断标准： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 常见考法： - 判断函数是否为二次函数：三要素逐一检验 - 已知函数是二次函数求参数：令最高次数为2且 ，列方程和不等式 - 含参数的函数需同时满足： 的最高次项指数为2，且该项系数不为0 易错提醒： 只考虑次数为2而忽略 ；参数取值使 时退化为一次函数。 【变式1-1】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 题型02 二次函数的解析式 【典例】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 解题梳理 解题核心： 根据已知条件选择合适的解析式形式，待定系数法求解。 三种形式选择： - 已知任意三点 一般式 - 已知顶点（或对称轴、最值） 顶点式 - 已知与 轴两交点 交点式 解题步骤： - 根据条件选设解析式 - 代入已知点坐标，列方程（组） - 解方程求出待定系数 - 写出解析式（必要时化为一般式） 关键技巧： - 顶点式只需求一个系数 ，最简便 - 交点式已知两交点后只需再代入一个点求 - 注意对称性的利用：已知一个交点和对称轴，可求另一个交点 易错提醒： 顶点式中 的符号（ 中顶点是 ， 前是减号）；交点式代入后不要忘记展开或保留形式。 【变式2-1】（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【变式2-4】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是___． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和3 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 解题梳理 解题核心： 从开口、对称轴、顶点、增减性、交点五个方面分析。 性质要点： - 定开口： 向上， 向下； 越大开口越小 - 对称轴：（一般式）或 （顶点式） - 顶点： 或 ，决定最值 - 增减性：以对称轴为界， 左减右增， 左增右减 - 与 轴交点 ；与 轴交点由 决定 常见考法： - 求顶点坐标、对称轴、最值：用公式或配方法 - 比较函数值大小：看点到对称轴的距离（ 时越远越大， 时越远越小） - 判断增减性：找对称轴，看自变量在对称轴哪一侧 - 求与坐标轴交点坐标 易错提醒： 增减性必须以对称轴为分界说明；比较函数值时注意 的符号对距离的影响。 【变式3-1】（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆铜梁·阶段检测）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【变式3-4】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数，则当______时，随的增大而减小． 题型04 一次函数与二次函数的图像综合问题 【典例】（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A．B．C． D． 解题梳理 解题核心： 根据图像特征判断系数符号，同一坐标系中系数必须一致。 解题方法： - 分别根据一次函数和二次函数的图像判断各自系数符号 - 检查同一字母（如 、）在两个函数中的符号是否一致 - 一致的为正确选项，矛盾的排除 判断要点： - 一次函数 ： 看直线升降（升 ，降 ）， 看与 轴交点（正半轴 ） - 二次函数 ： 看开口， 看对称轴（左同右异）， 看 轴交点 - 若两函数有公共系数，该系数符号必须相同 常见考法： - 判断同一坐标系中两函数图像是否正确 - 由一个函数图像推断另一个函数图像的大致位置 - 求两函数交点：联立方程组求解 易错提醒： 两函数共用系数时只检查一个函数的符号就下结论；忽略交点位置的验证。 【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型05 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 解题梳理 解题核心： 由图像特征逐一判断 、、、 及相关代数式的符号。 判断方法： - ：开口向上 ，向下 - ：对称轴在 轴左侧 、 同号，右侧异号（左同右异）， 轴上 - ：与 轴交正半轴 ，负半轴 ，过原点 - ：与 轴两个交点 ，一个 ，无交点 代数式符号判断（特殊值法）： - ：看 时的函数值（图像上 对应点在 轴上方为正） - ：看 时的函数值 - ：看 时的函数值 - ：看 时的函数值 - ：比较对称轴 与 的大小 - ：比较对称轴 与 的大小 解题技巧： - 结合对称轴位置和特殊点函数值综合判断 - 对于 类式子，由对称轴与 的关系推导 - 多个结论逐一判断，注意结论之间的逻辑关系 易错提醒： 的符号用”左同右异”判断，不要直接看对称轴正负；特殊值代入时对应点位置要看准。 【变式5-1】（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【变式5-3】（25-26九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【变式5-4】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 题型06 二次函数的最值问题 【典例】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．7和0 B．7和 C．7和 D．7和 解题梳理 解题核心： 先看顶点是否在自变量取值范围内，再决定最值位置。 两种情况： 1. 自变量取全体实数： - 时，最小值在顶点处取得， - 时，最大值在顶点处取得， 2. 自变量有取值范围 ： - 若对称轴在范围内：顶点处取一个最值，离对称轴较远的端点处取另一个最值 - 若对称轴不在范围内：最值在两个端点处取得，利用增减性判断哪个最大、哪个最小 解题步骤： - 第一步：求对称轴（顶点横坐标） - 第二步：判断对称轴是否在取值范围内 - 第三步：在范围内 比较顶点和端点函数值；不在范围内 比较两端点函数值 - 第四步：确定最大值和最小值 实际问题中： 先建立函数并确定自变量范围，再按上述方法求最值，注意检验实际意义。 易错提醒： 不考虑自变量范围直接认为顶点处取最值；端点函数值忘记计算比较。 【变式6-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【变式6-4】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 题型07 二次函数与一元二次方程 【典例】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示 x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法错误的是（    ） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 解题梳理 解题核心： 抛物线与 轴交点的横坐标即方程的根， 决定交点个数。 核心关系： - ：方程两个不等实根，抛物线与 轴两个交点 - ：方程两个相等实根，抛物线与 轴一个交点 - ：方程无实根，抛物线与 轴无交点 常见考法： - 已知交点个数求参数范围：用 列不等式（注意 ） - 已知一个交点求另一个交点：利用对称性，两交点横坐标之和 - 求两交点距离： - 利用图像解不等式：（或 ）的解集看抛物线在 轴上（下）方对应的 范围 - 已知函数值求自变量：解方程 韦达定理应用： ，，可用于求交点距离、对称等。 易错提醒： 求参数范围时忘记 ；不等式解集方向与 的符号关系搞反。 【变式7-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式7-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【变式7-4】（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 题型08 二次函数的平移 【典例】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 平移只改变顶点位置， 不变；口诀”上加下减，左加右减”。 平移规律（顶点式 ）： - 向上平移 个单位： - 向下平移 个单位： - 向左平移 个单位： - 向右平移 个单位： 解题步骤： - 第一步：将一般式化为顶点式（配方） - 第二步：根据平移方向和距离，按规律变换 和 - 第三步：写出平移后的解析式（需要时展开为一般式） 关键技巧： - 平移本质是顶点 的平移，只需关注顶点坐标变化 - 平移前后 不变（形状、开口方向不变） - 逆向问题：已知平移后解析式求原解析式，反向操作即可 易错提醒： 左右平移是对 进行”左加右减”，不是对 直接加减；一般式要先配方再平移。 【变式8-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【变式8-4】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 题型09 二次函数的实际应用问题 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 解题梳理 解题核心： 建立二次函数模型，确定自变量范围，求最值并检验实际意义。 常见类型： - 利润问题：总利润=（售价-成本）×销量，设涨价/降价 元建函数 - 面积问题：设一边长 ，表示另一边长，建面积函数 - 拱桥/抛体问题：建坐标系，设解析式求抛物线，再求特定值 解题步骤： - 第一步：审题设自变量 - 第二步：建立二次函数关系式 - 第三步：确定自变量取值范围（结合实际意义） - 第四步：求最值（顶点在范围内取顶点，否则取端点） - 第五步：检验并作答 关键提醒： - 自变量范围必须考虑实际限制（如价格非负、销量非负、长度为正） - 最值不一定在顶点处，必须验证顶点是否在范围内 - 利润问题注意”涨价销量减少、降价销量增加”的关系 易错提醒： 忽略自变量取值范围；最值取在顶点但顶点不在范围内；单位不统一。 【变式9-1】（25-26九年级上·山西运城·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【变式9-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【变式9-3】（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【变式9-4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 题型10 二次函数与线段周长问题 【典例】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 解题梳理 解题核心： 设点坐标，用坐标表示线段长度，建立函数求最值。 常见类型： 1. 线段最值 - 设动点横坐标为 ，用 表示动点和定点坐标 - 线段长用坐标差表示（水平线段 ，竖直线段 ，斜线段用距离公式） - 建立线段长关于 的函数求最值 2. 线段和差最值（将军饮马） - 利用轴对称转化线段，两点之间线段最短 - 作对称点，连接求交点，用勾股定理算最短距离 3. 周长最值 - 将周长表示为关于 的函数 - 利用二次函数性质或对称转化求最值 - 注意定长线段可分离，只需求变动线段之和的最值 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用坐标表示各线段长度 - 第三步：建立周长（或线段和）关于 的函数 - 第四步：求最值并检验 5. 关键技巧： - 铅垂线段：横坐标相同，长度=纵坐标之差 - 水平线段：纵坐标相同，长度=横坐标之差 - 斜线段：用两点间距离公式 - 将军饮马模型：作对称点转化折线段为直线段 易错提醒： 线段长度要加绝对值或注意大小关系；将军饮马对称轴找错；忘记检验 的范围。 【变式10-1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧． (1)若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标； 【变式10-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 题型11 二次函数与面积问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，用割补法表示面积，建立二次函数求最值。 常用方法： 1. 铅垂高法（三角形面积） - 过三角形顶点作竖直线（或水平线），将三角形分成两个小三角形 - - 铅垂高：两点横坐标相同时纵坐标之差 - 水平宽：另外两点横坐标之差 2. 割补法 - 将不规则图形分割为几个三角形/梯形，分别求面积再求和 - 或用大图形面积减去周围小三角形面积 3. 矩形/梯形面积 - 用坐标表示边长，直接代入面积公式 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用割补法或铅垂高法表示面积 - 第三步：建立面积关于 的二次函数 - 第四步：求面积最大值及对应 值 - 第五步：检验 是否在范围内 5. 关键技巧： - 三角形有一条边在坐标轴上时，直接以该边为底 - 三边都不”规矩”时，优先用铅垂高法 - 面积为定值问题：令面积函数等于定值，解方程求 易错提醒： 铅垂高和水平宽对应关系搞错；割补时漏算或重复计算；面积表达式中符号错误。 【变式11-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【变式11-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式11-4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 题型12 二次函数与特殊三角形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，根据特殊三角形条件列方程，分类讨论。 1. 等腰三角形存在性 - 设动点 坐标，已知两定点 、 - 分三种情况： - （ 在 的垂直平分线上） - （以 为圆心 为半径画圆） - （以 为圆心 为半径画圆） - 每种情况列方程求解，检验点是否在抛物线上或指定范围内 2. 直角三角形存在性 - 分三种情况： - ：利用勾股定理或斜率乘积为 - ：同上 - ：同上 - 用勾股定理逆定理或向量垂直（坐标乘积和为0）列方程 3. 等腰直角三角形/等边三角形 - 结合等腰和直角的条件，或利用特殊角度（、） - 等边三角形利用三边相等列方程组 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用坐标表示各边长度的平方（避免开方） - 第三步：按三种情况分类列方程 - 第四步：解方程求 ，得动点坐标 - 第五步：检验解是否符合条件（在抛物线上、在指定范围内） 5. 关键技巧： - 用距离平方列方程，避免根号 - “两圆一线”找等腰三角形点：以两定点为圆心画圆+垂直平分线 - “一圆两线”找直角三角形点：以斜边为直径画圆+过端点作垂线 - 分类讨论要全面，不遗漏 易错提醒： 分类讨论遗漏情况；求出的点不在指定范围未排除；用距离时忘记平方。 【变式12-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【变式12-2】（25-26九年级上·天津·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-4】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 题型13 二次函数与特殊四边形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． 求关于的表达式； 点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，利用特殊四边形性质列方程，分类讨论。 1. 平行四边形存在性 - 利用对角线互相平分（中点坐标相同） - 设动点坐标，分三种情况讨论哪条线段为对角线 - 中点公式：若 、 为对角顶点，、 为对角顶点，则 ， - 也可用”对边平行且相等”或平移性质 2. 矩形存在性 - 先证平行四边形，再证有一个直角（或对角线相等） - 或利用对角线互相平分且相等 3. 菱形存在性 - 先证平行四边形，再证邻边相等（或对角线垂直） - 或利用对角线互相垂直平分 4. 正方形存在性 - 在矩形基础上证邻边相等，或在菱形基础上证有直角 - 或利用对角线互相垂直平分且相等 5. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：根据四边形类型确定分类情况（哪两个点为对角顶点等） - 第三步：利用中点公式或边的关系列方程（组） - 第四步：解方程求 ，得动点坐标 - 第五步：检验是否满足所有条件 6. 关键技巧： - 平行四边形优先用中点坐标公式（最简便） - 三个定点+一个动点：分三种情况讨论对角线 - 两个定点+两个动点：用平移或中点公式，注意动点在指定曲线上 - 矩形/菱形/正方形在平行四边形基础上增加条件 易错提醒： 分类讨论对角线情况不全面；求出的点不在抛物线上或指定范围；矩形/菱形条件只验证了一个。 【变式13-1】（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式13-2】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-4】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是___________． 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 9．（25-26九年级上·天津西青·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 11．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 12．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 (1)______． (2)若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． (3)若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 14．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 15．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，直线与轴交于点，二次函数的图象与轴负半轴交于点，顶点为，连接，过点作直线与轴交于点，连接． (1)直接判断的形状． (2)若顶点恰好落在直线上，求的值． (3)当时， ①求点到直线的距离． ②连接，直接写出四边形的面积． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是__． 7．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是______． 8．（2026·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是__________．（填写正确的序号） 9．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4，3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接，设运动时间为（秒）． ①当为何值时，的面积最小？ ②是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数，其中． (1)写出该二次函数图象的对称轴； (2)无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 12．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）对于平面直角坐标系中的一动点，能否根据其坐标特点来描述该点的运动轨迹亦或是函数关系呢？ 解：可以令，，将代入中可得：，此时我们可以发现，该点的横、纵坐标构成了一次函数的关系，因此我们说动点在一次函数的图象上，其运动轨迹是的这条直线； (1)关于的二次函数的顶点坐标为____________（用的代数式表示），顶点轨迹所对应的解析式为____________； (2)已知动点的轨迹是一条抛物线，试求出该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点的轨迹所对应的函数图象上有两点，，若对于任意的，恒成立，试探讨与应满足的数量关系． 13．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． (1)若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． (2)若直线经过点，与抛物线的交点为，当时，求的最小值． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)当时，函数的最大值为3，求的值． 15．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数章末重难点复习 9知识点+13题型+巩固训练+强化训练 1.理解二次函数的相关概念，并利用二次函数的定义求参数； 2.掌握待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）； 3.掌握二次函数的图像与性质； 4.掌握二次函数的平移规律； 5.熟练掌握利用二次函数图像判断系数及代数式符号； 6.熟悉二次函数的实际应用问题； 7.熟练掌握二次函数中的线段周长问题、面积问题； 8. 熟练掌握二次函数中的特殊图形存在性问题（特殊三角形、特殊四边形）。 1. 二次函数的概念 （1）定义： 形如 （、、是常数，）的函数叫做二次函数。 （2）三个要点： - 函数关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 （、可以为0） 2.二次函数三种解析式 （1）一般式：（） - 适用于已知任意三点坐标 - 顶点坐标： - 对称轴：直线 （2）顶点式：（） - 适用于已知顶点坐标（或对称轴、最值） - 顶点坐标： - 对称轴：直线 - 由一般式配方得到： （3）交点式：（） - 适用于已知抛物线与x轴两个交点 、 - 对称轴：直线 - 当抛物线与x轴无交点时，不能用交点式 3.二次函数的图像与性质 （1）图像： 二次函数的图像是一条抛物线。 （2）开口方向： - 开口向上 - 开口向下 - 越大，开口越小（图像越”瘦”） （3）顶点与对称轴： - 顶点坐标 ，对称轴 - 时顶点是最低点，函数有最小值 - 时顶点是最高点，函数有最大值 （4）增减性： - ：时，y随x增大而减小；时，y随x增大而增大 - ：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小 （5）与y轴交点： ，交y轴正半轴，交负半轴，过原点。 （6）与x轴交点： 由 决定： - ：两个交点 - ：一个交点（顶点在x轴上） - ：无交点 4.抛物线的平移规律（只针对顶点式） （1）顶点式： ，顶点 （2）平移规律（口诀：上加下减，左加右减）： - 上下平移： - 向上平移m个单位：（上加） - 向下平移m个单位：（下减） - 左右平移： - 向左平移m个单位：（左加） - 向右平移m个单位：（右减） （3）关键要点： - 平移不改变抛物线的形状和开口方向，即 不变 - 平移的本质是顶点的平移，只需关注顶点坐标变化 - 一般式需先化为顶点式再平移，或平移后再展开 5.二次函数与一元二次方程的联系 （1）核心关系： 二次函数 的图像与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程 的根。 （2）判别式与交点： - ：方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个交点 - ：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点（相切） - ：方程无实根，抛物线与x轴无交点 （3）交点距离公式： 若两交点为 、，则两交点距离 。 （4）二次函数与不等式： - 的解集：抛物线在x轴上方部分对应的x范围 - 的解集：抛物线在x轴下方部分对应的x范围 - 且 时， 恒成立 - 且 时， 恒成立 （5）利用图像求方程近似根： 画出函数图像，观察与x轴交点横坐标的大致范围。 6.根据图像判断系数及代数式符号 （1）判断a： 看开口方向，开口向上 ，开口向下 。 （2）判断c： 看与y轴交点，交正半轴 ，交负半轴 ，过原点 。 （3）判断b： 看对称轴位置（“左同右异”）： - 对称轴在y轴左侧（） 、同号 - 对称轴在y轴右侧（） 、异号 - 对称轴为y轴 （4）判断 ： 看与x轴交点个数： - 两个交点 - 一个交点 - 无交点 （5）常见代数式符号判断： - ：令 ，看图像上 对应点的y值 - ：令 ，看图像上 对应点的y值 - ：令 - ：令 - ：比较对称轴 与1的大小关系 - ：比较对称轴 与-1的大小关系 方法： 特殊值代入法（令 等）+ 对称轴位置分析。 7.抛物线的对称变换 （1）关于x轴对称 - - 顶点式： - 规律：变号，顶点 变为 （2）关于y轴对称 - - 顶点式： - 规律：不变，顶点 变为 （3）关于原点对称 - - 顶点式： - 规律：变号，顶点 变为 （4）绕顶点旋转180° - 顶点式： - 规律：变号，顶点不变 （5）记忆要点： - 关于x轴对称：x不变，y取反（、、全变号） - 关于y轴对称：y不变，x取反（变号） - 关于原点对称：x、y都取反（、变号，不变） - 顶点式变换只需关注 和顶点 的变化 8.二次函数实际应用 （1）利润问题 - 总利润=（售价-成本）×销售量 - 设涨价（或降价）x元，表示出单件利润和销售量 - 建立利润关于x的二次函数，求最大值 - 注意自变量取值范围（如 、销售量 等） （2）面积问题 - 设一边长为x，用含x的式子表示另一边长 - 建立面积关于x的二次函数 - 求最大面积及对应边长 - 常见于围栏问题（靠墙一边不围）、几何图形面积最值 （3）拱桥/抛物线型问题 - 建立平面直角坐标系，设抛物线解析式 - 根据已知点坐标求解析式 - 利用解析式求特定位置的高度或宽度 （4）运动轨迹问题 - 物体抛射运动轨迹为抛物线 - 建立函数模型，求最高点、落地点等 （5）解题步骤： - 第一步：审题，设自变量 - 第二步：建立二次函数关系式 - 第三步：确定自变量取值范围 - 第四步：求最值（顶点处或范围端点处） - 第五步：检验结果是否符合实际意义 9.二次函数与几何问题综合 （1）线段最值问题 - 设点的横坐标为t，用含t的式子表示线段长度 - 建立二次函数求最值 - 铅垂高：两点横坐标相同时，线段长=纵坐标之差 （2）面积最值问题 - 设动点坐标，用割补法表示三角形或四边形面积 - 建立面积关于t的二次函数 - 求面积最大值 （3）存在性问题 - 等腰三角形存在性：分类讨论哪两条边相等 - 直角三角形存在性：分类讨论哪个角是直角 - 平行四边形存在性：利用中点坐标公式或平移性质 - 面积相等问题：转化为方程求解 （4） 动点问题 - 设动点坐标（用一个参数表示） - 根据几何条件列方程 - 解方程并检验 （5）常用方法： - 坐标法：设点坐标，用坐标表示线段和面积 - 割补法求面积：铅垂高×水平宽÷2 - 分类讨论：存在性问题要考虑多种情况 - 方程思想：将几何条件转化为方程求解 题型01 二次函数的定义 【典例】（25-26九年级上·广西百色·期中）在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素， 是关键。 判断标准： - 关系式是整式 - 自变量最高次数为2 - 二次项系数 常见考法： - 判断函数是否为二次函数：三要素逐一检验 - 已知函数是二次函数求参数：令最高次数为2且 ，列方程和不等式 - 含参数的函数需同时满足： 的最高次项指数为2，且该项系数不为0 易错提醒： 只考虑次数为2而忽略 ；参数取值使 时退化为一次函数。 【变式1-1】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 题型02 二次函数的解析式 【典例】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 解题梳理 解题核心： 根据已知条件选择合适的解析式形式，待定系数法求解。 三种形式选择： - 已知任意三点 一般式 - 已知顶点（或对称轴、最值） 顶点式 - 已知与 轴两交点 交点式 解题步骤： - 根据条件选设解析式 - 代入已知点坐标，列方程（组） - 解方程求出待定系数 - 写出解析式（必要时化为一般式） 关键技巧： - 顶点式只需求一个系数 ，最简便 - 交点式已知两交点后只需再代入一个点求 - 注意对称性的利用：已知一个交点和对称轴，可求另一个交点 易错提醒： 顶点式中 的符号（ 中顶点是 ， 前是减号）；交点式代入后不要忘记展开或保留形式。 【变式2-1】（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，将点和代入得到三元一次方程组，再解方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点和． ∴将点和代入， 则，解得 ∴二次函数解析式为 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽六安·期中）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，由对称轴为轴，可设二次函数为，由开口向下，得；代入点可得与的关系，从而写出表达式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向下， ， 又抛物线经过点， 代入得，即； 取，则， 解得， 函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 根据抛物线形状相同则的值相同，再将交点坐标代入交点式求出表达式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴设抛物线解析式为 ． ∵其形状与抛物线相同， ∴， 即或． 当时，； 当时，． ∴该抛物线的表达式为或． 故答案为：或． 【变式2-4】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是___． 【答案】 【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将代入即可确定出解析式． 【详解】解：根据题意设， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为． 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例】（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和3 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格中点(1,2)和(2,2)的y值相同，可得抛物线对称轴为，进而求得，，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且y值相同， ∴ 对称轴为， ∴， 将代入函数：， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴A错误； 由表格可得：当时，， 又∵对称轴， ∴的另一个解为， ∴B错误； ∵， ∴点即， 将代入中，则， ∴C正确； ∵， ∴当时， 的最大值为， ∴D错误， ∴故选：C． 解题梳理 解题核心： 从开口、对称轴、顶点、增减性、交点五个方面分析。 性质要点： - 定开口： 向上， 向下； 越大开口越小 - 对称轴：（一般式）或 （顶点式） - 顶点： 或 ，决定最值 - 增减性：以对称轴为界， 左减右增， 左增右减 - 与 轴交点 ；与 轴交点由 决定 常见考法： - 求顶点坐标、对称轴、最值：用公式或配方法 - 比较函数值大小：看点到对称轴的距离（ 时越远越大， 时越远越小） - 判断增减性：找对称轴，看自变量在对称轴哪一侧 - 求与坐标轴交点坐标 易错提醒： 增减性必须以对称轴为分界说明；比较函数值时注意 的符号对距离的影响。 【变式3-1】（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆铜梁·阶段检测）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴二次函数图象上的点离对称轴越远，的值越小， ∵，，，且， ∴， 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 【变式3-4】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数，则当______时，随的增大而减小． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，在对称轴左侧函数递减，求出抛物线对称轴直线为进而可得出答案． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 因此抛物线开口向上．对称轴为直线． 当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 题型04 一次函数与二次函数的图像综合问题 【典例】（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 解题梳理 解题核心： 根据图像特征判断系数符号，同一坐标系中系数必须一致。 解题方法： - 分别根据一次函数和二次函数的图像判断各自系数符号 - 检查同一字母（如 、）在两个函数中的符号是否一致 - 一致的为正确选项，矛盾的排除 判断要点： - 一次函数 ： 看直线升降（升 ，降 ）， 看与 轴交点（正半轴 ） - 二次函数 ： 看开口， 看对称轴（左同右异）， 看 轴交点 - 若两函数有公共系数，该系数符号必须相同 常见考法： - 判断同一坐标系中两函数图像是否正确 - 由一个函数图像推断另一个函数图像的大致位置 - 求两函数交点：联立方程组求解 易错提醒： 两函数共用系数时只检查一个函数的符号就下结论；忽略交点位置的验证。 【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-4】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了一次函数与二次函数的图像与性质，根据一次函数与二次函数的图像与性质逐一判断即可，掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键． 解：、根据图像可得一次函数中，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第二、三、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项符合题意； 故选：． 题型05 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 解题梳理 解题核心： 由图像特征逐一判断 、、、 及相关代数式的符号。 判断方法： - ：开口向上 ，向下 - ：对称轴在 轴左侧 、 同号，右侧异号（左同右异）， 轴上 - ：与 轴交正半轴 ，负半轴 ，过原点 - ：与 轴两个交点 ，一个 ，无交点 代数式符号判断（特殊值法）： - ：看 时的函数值（图像上 对应点在 轴上方为正） - ：看 时的函数值 - ：看 时的函数值 - ：看 时的函数值 - ：比较对称轴 与 的大小 - ：比较对称轴 与 的大小 解题技巧： - 结合对称轴位置和特殊点函数值综合判断 - 对于 类式子，由对称轴与 的关系推导 - 多个结论逐一判断，注意结论之间的逻辑关系 易错提醒： 的符号用”左同右异”判断，不要直接看对称轴正负；特殊值代入时对应点位置要看准。 【变式5-1】（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，根据图象得、，进而判断得，即可得选项①错误；由二次函数图象的对称性即可判断选项②正确；由图象可知时，，判断选项③正确；由对称轴可得，再由图象得，即可判断选项④． 【详解】解：①由抛物线图象得：开口向下，即；，，即， ，选项①错误； ②抛物线对称轴为，且时，， 当时，，选项②正确； ③∵由图象可知时，，选项③正确； ④， ， 由图象可知，当时，， ，选项④正确； 故正确的有②③④， 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质等知识点，能熟练利用二次函数的性质进行分析、判断是解题的关键． ①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断； 【详解】解：①由图象得：，， ， ， ，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ， ，即，即②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∴， ∴（m为任意实数），故③错误； ④∵，， ，， ∴ ， ， ， ∴，故④正确． 故正确的结论有：①④． 故选：B． 【变式5-3】（25-26九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 【变式5-4】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①③④． 故答案为：①③④． 题型06 二次函数的最值问题 【典例】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．7和0 B．7和 C．7和 D．7和 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为7，最小值为． 故选：C． 解题梳理 解题核心： 先看顶点是否在自变量取值范围内，再决定最值位置。 两种情况： 1. 自变量取全体实数： - 时，最小值在顶点处取得， - 时，最大值在顶点处取得， 2. 自变量有取值范围 ： - 若对称轴在范围内：顶点处取一个最值，离对称轴较远的端点处取另一个最值 - 若对称轴不在范围内：最值在两个端点处取得，利用增减性判断哪个最大、哪个最小 解题步骤： - 第一步：求对称轴（顶点横坐标） - 第二步：判断对称轴是否在取值范围内 - 第三步：在范围内 比较顶点和端点函数值；不在范围内 比较两端点函数值 - 第四步：确定最大值和最小值 实际问题中： 先建立函数并确定自变量范围，再按上述方法求最值，注意检验实际意义。 易错提醒： 不考虑自变量范围直接认为顶点处取最值；端点函数值忘记计算比较。 【变式6-1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 对于二次函数，其取得最值的的横坐标为，据此解答即可． 【详解】解：∵在中，， 又∵二次函数在时取得最值， ∴根据顶点坐标公式， 解得， 故选C． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了将一般式化成顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据函数值y的最大值为列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，函数值y的最大值， ∵函数值y的最大值为， ∴，解得：． 故选B． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 【变式6-4】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． 题型07 二次函数与一元二次方程 【典例】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示 x … 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法错误的是（    ） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为 B．抛物线与y轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【答案】C 【分析】根据当时，即可判断A；根据当时，即可判断B；根据当和当的函数值相同，即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为，故A不符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故B不符合题意； ∵当和当的函数值相同， ∴抛物线对称轴为直线，故C符合题意； ∵， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 解题梳理 解题核心： 抛物线与 轴交点的横坐标即方程的根， 决定交点个数。 核心关系： - ：方程两个不等实根，抛物线与 轴两个交点 - ：方程两个相等实根，抛物线与 轴一个交点 - ：方程无实根，抛物线与 轴无交点 常见考法： - 已知交点个数求参数范围：用 列不等式（注意 ） - 已知一个交点求另一个交点：利用对称性，两交点横坐标之和 - 求两交点距离： - 利用图像解不等式：（或 ）的解集看抛物线在 轴上（下）方对应的 范围 - 已知函数值求自变量：解方程 韦达定理应用： ，，可用于求交点距离、对称等。 易错提醒： 求参数范围时忘记 ；不等式解集方向与 的符号关系搞反。 【变式7-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 【变式7-4】（25-26九年级上·北京房山·期中）在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于________（结果保留小数点后一位）． 【答案】3.1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，通过观察函数值符号变化确定根所在区间，并比较函数值的绝对值得到近似根。 【详解】解：从表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在和之间， 由于， 所以根更接近， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 题型08 二次函数的平移 【典例】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 解题梳理 解题核心： 平移只改变顶点位置， 不变；口诀”上加下减，左加右减”。 平移规律（顶点式 ）： - 向上平移 个单位： - 向下平移 个单位： - 向左平移 个单位： - 向右平移 个单位： 解题步骤： - 第一步：将一般式化为顶点式（配方） - 第二步：根据平移方向和距离，按规律变换 和 - 第三步：写出平移后的解析式（需要时展开为一般式） 关键技巧： - 平移本质是顶点 的平移，只需关注顶点坐标变化 - 平移前后 不变（形状、开口方向不变） - 逆向问题：已知平移后解析式求原解析式，反向操作即可 易错提醒： 左右平移是对 进行”左加右减”，不是对 直接加减；一般式要先配方再平移。 【变式8-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位得到， ∴抛物线上点向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位，会落在抛物线上， ∴点在抛物线上， 故选：D 【变式8-2】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 【变式8-3】（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 【变式8-4】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 【答案】向右 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“左加右减”求解即可． 【详解】解：根据图象平移规则“左加右减”可知： 平移后的函数为，与原始函数相比，x被替换为， ∴根据平移规则“左加右减”，表示向右平移3个单位长度， 故答案为：向右． 题型09 二次函数的实际应用问题 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 解题梳理 解题核心： 建立二次函数模型，确定自变量范围，求最值并检验实际意义。 常见类型： - 利润问题：总利润=（售价-成本）×销量，设涨价/降价 元建函数 - 面积问题：设一边长 ，表示另一边长，建面积函数 - 拱桥/抛体问题：建坐标系，设解析式求抛物线，再求特定值 解题步骤： - 第一步：审题设自变量 - 第二步：建立二次函数关系式 - 第三步：确定自变量取值范围（结合实际意义） - 第四步：求最值（顶点在范围内取顶点，否则取端点） - 第五步：检验并作答 关键提醒： - 自变量范围必须考虑实际限制（如价格非负、销量非负、长度为正） - 最值不一定在顶点处，必须验证顶点是否在范围内 - 利润问题注意”涨价销量减少、降价销量增加”的关系 易错提醒： 忽略自变量取值范围；最值取在顶点但顶点不在范围内；单位不统一。 【变式9-1】（25-26九年级上·山西运城·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 【变式9-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 【变式9-3】（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【答案】(1) (2) (3)设计1改造方案下的最大值为 【分析】（1）根据题意得到，，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，，，设，则，在中由勾股定理列式求解即可； （3）根据题意得到，代入抛物线计算得到小船刚好能过桥时的宽度，再结合小船的宽度，即可得到中间隔离带宽度的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，改造后，， ∴， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴，， 设抛物线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：改造后，，，，且， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为； （3）解：桥墩高，船顶部距水面， ∴， ∴，则， ∴， 解得，，， ∵小船宽度为， ∴ ∴设计1改造方案下的最大值为． 【变式9-4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的总利润为4000元 (2)x的值为40 (3)每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元， 理由如下： ， ， 当时，w有最大值，最大值为． 销售单价为55元时，每日的最大利润不能超过4950元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； （3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元． （2）解：根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． （3）略 题型10 二次函数与线段周长问题 【典例】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 解题梳理 解题核心： 设点坐标，用坐标表示线段长度，建立函数求最值。 常见类型： 1. 线段最值 - 设动点横坐标为 ，用 表示动点和定点坐标 - 线段长用坐标差表示（水平线段 ，竖直线段 ，斜线段用距离公式） - 建立线段长关于 的函数求最值 2. 线段和差最值（将军饮马） - 利用轴对称转化线段，两点之间线段最短 - 作对称点，连接求交点，用勾股定理算最短距离 3. 周长最值 - 将周长表示为关于 的函数 - 利用二次函数性质或对称转化求最值 - 注意定长线段可分离，只需求变动线段之和的最值 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用坐标表示各线段长度 - 第三步：建立周长（或线段和）关于 的函数 - 第四步：求最值并检验 5. 关键技巧： - 铅垂线段：横坐标相同，长度=纵坐标之差 - 水平线段：纵坐标相同，长度=横坐标之差 - 斜线段：用两点间距离公式 - 将军饮马模型：作对称点转化折线段为直线段 易错提醒： 线段长度要加绝对值或注意大小关系；将军饮马对称轴找错；忘记检验 的范围。 【变式10-1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧． (1)若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的最值，正确利用二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴方程列出关于m的对称轴方程，求出m的值即可得出结论； （2）先求出点C，D的坐标，设点关于y轴的对称点为，则，连接，作直线．求出直线的解析式，再由，可得当点P位于直线与y轴交点位置时，的周长最小，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当时，， 解得 ， 当时，， ， 如图，设点关于y轴的对称点为，则，连接，作直线． 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵在中， ∴当点P位于直线与y轴交点位置时，的周长最小． ∴直线与y轴交点即为所求的点P，其坐标为． 【变式10-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 题型11 二次函数与面积问题 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，用割补法表示面积，建立二次函数求最值。 常用方法： 1. 铅垂高法（三角形面积） - 过三角形顶点作竖直线（或水平线），将三角形分成两个小三角形 - - 铅垂高：两点横坐标相同时纵坐标之差 - 水平宽：另外两点横坐标之差 2. 割补法 - 将不规则图形分割为几个三角形/梯形，分别求面积再求和 - 或用大图形面积减去周围小三角形面积 3. 矩形/梯形面积 - 用坐标表示边长，直接代入面积公式 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用割补法或铅垂高法表示面积 - 第三步：建立面积关于 的二次函数 - 第四步：求面积最大值及对应 值 - 第五步：检验 是否在范围内 5. 关键技巧： - 三角形有一条边在坐标轴上时，直接以该边为底 - 三边都不”规矩”时，优先用铅垂高法 - 面积为定值问题：令面积函数等于定值，解方程求 易错提醒： 铅垂高和水平宽对应关系搞错；割补时漏算或重复计算；面积表达式中符号错误。 【变式11-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意可得，进而得到点纵坐标，再代入抛物线求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点 ， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：由题意，设， 又的面积是的面积的3倍， ． ． 又， ． ， （舍去）． 点坐标为． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 【变式11-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 【变式11-4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 题型12 二次函数与特殊三角形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设，则，，可得到用m表示的长，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求出，分类讨论：①当时，②当时，③当时， 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得： 抛物线的表达式为； 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 答：抛物线的表达式为，直线的解析式为． （2）解：如图 设，则， ∵抛物线与轴相交于点， ∴． ∵， ∴； ∴当时，取得最大值； （3）解：由（2），得 ，， ∴． ①当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． ②当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， 整理，得 ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， ∴． ③当时，如图， ∵轴于点M， ∴， ∴， 即， ∴当时，不符合题意，舍去． 综上，存在满足条件的点M，其坐标为或． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，根据特殊三角形条件列方程，分类讨论。 1. 等腰三角形存在性 - 设动点 坐标，已知两定点 、 - 分三种情况： - （ 在 的垂直平分线上） - （以 为圆心 为半径画圆） - （以 为圆心 为半径画圆） - 每种情况列方程求解，检验点是否在抛物线上或指定范围内 2. 直角三角形存在性 - 分三种情况： - ：利用勾股定理或斜率乘积为 - ：同上 - ：同上 - 用勾股定理逆定理或向量垂直（坐标乘积和为0）列方程 3. 等腰直角三角形/等边三角形 - 结合等腰和直角的条件，或利用特殊角度（、） - 等边三角形利用三边相等列方程组 4. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：用坐标表示各边长度的平方（避免开方） - 第三步：按三种情况分类列方程 - 第四步：解方程求 ，得动点坐标 - 第五步：检验解是否符合条件（在抛物线上、在指定范围内） 5. 关键技巧： - 用距离平方列方程，避免根号 - “两圆一线”找等腰三角形点：以两定点为圆心画圆+垂直平分线 - “一圆两线”找直角三角形点：以斜边为直径画圆+过端点作垂线 - 分类讨论要全面，不遗漏 易错提醒： 分类讨论遗漏情况；求出的点不在指定范围未排除；用距离时忘记平方。 【变式12-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． （3）先设，由（1）得，结合，运用两点距离公式表示出∴，，，再根据为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：，， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． （3）解：依题意，设， 由（1）得， ∵， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 则 解得， 此时或， 综上：E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与特殊直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式12-2】（25-26九年级上·天津·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式12-4】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 题型13 二次函数与特殊四边形存在性问题 【典例】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． 求关于的表达式； 点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)； 存在，或或． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，然后求出经过点，点的直线函数解析式为，设，，则，由，通过二次函数的性质即可求解； （）根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、，由勾股定理得，则点，设，则，，再通过勾股定理得，求出的值即可； （）设点，则点和点的纵距为，然后分情况求解即可； 设，，然后分两种情况，如下：由可得，当时，或，当时，，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线； （2）解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，， 设经过点，点的函数解析式为， 得，解得：， 经过点，点的直线函数解析式为， 设，，则， ， 当时，的面积最大； （3）解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ； （4）解：设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 由（）得抛物线，由（）①得， 如图所示： 点横坐标为，，且四边形是平行四边形， ，轴， 设，， 有两种情况，如下： 由可得，当时，或， ， ， 当时，解得或，皆舍去， 当时，解得或； 当时，， ， ； 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式，去绝对值的计算，平行四边形的判定与性质，理解题意、分类求解是解题关键． 解题梳理 解题核心： 设动点坐标，利用特殊四边形性质列方程，分类讨论。 1. 平行四边形存在性 - 利用对角线互相平分（中点坐标相同） - 设动点坐标，分三种情况讨论哪条线段为对角线 - 中点公式：若 、 为对角顶点，、 为对角顶点，则 ， - 也可用”对边平行且相等”或平移性质 2. 矩形存在性 - 先证平行四边形，再证有一个直角（或对角线相等） - 或利用对角线互相平分且相等 3. 菱形存在性 - 先证平行四边形，再证邻边相等（或对角线垂直） - 或利用对角线互相垂直平分 4. 正方形存在性 - 在矩形基础上证邻边相等，或在菱形基础上证有直角 - 或利用对角线互相垂直平分且相等 5. 解题步骤： - 第一步：设动点坐标（用参数 表示） - 第二步：根据四边形类型确定分类情况（哪两个点为对角顶点等） - 第三步：利用中点公式或边的关系列方程（组） - 第四步：解方程求 ，得动点坐标 - 第五步：检验是否满足所有条件 6. 关键技巧： - 平行四边形优先用中点坐标公式（最简便） - 三个定点+一个动点：分三种情况讨论对角线 - 两个定点+两个动点：用平移或中点公式，注意动点在指定曲线上 - 矩形/菱形/正方形在平行四边形基础上增加条件 易错提醒： 分类讨论对角线情况不全面；求出的点不在抛物线上或指定范围；矩形/菱形条件只验证了一个。 【变式13-1】（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【变式13-2】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法，将点、点代入得方程组求解即可得到抛物线的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式即可得到点的坐标； （2）先由待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示，设点，则点，表示出，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）根据题意，作出平行四边形，由平行四边形性质：对角线互相平分，借助中点坐标公式列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； （3）解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则，解得， ； （ii）以为对角线时， 则，解得， ； （iii）以为对角线时， 则，解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、求二次函数最值、平行四边形的性质、解二元一次方程组等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 【变式13-3】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1， (2)存在，点或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）先确定直线的解析式,设，，则，，则，当点F在点C的上方时，四边形是正方形，得到，结合，得到，解答得到一种答案；当点F在点C的下方时，过点E作于点G，根据四边形是菱形，得到，解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴, 解得， 故答案为：1，． （2）解：∵抛物线图象于y轴交于点C， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式, ∴, 解得, 故直线的解析式, 设，， 则，， ∴， 当点F在点C的上方时， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 解得， 故； 当点F在点C的下方时， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 解得， 故； 综上所述，存在这样的点F使得四边形是菱形，且点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的判定和性质，两点间的距离表示，熟练掌握待定系数法，菱形的判定和性质是解题的关键． 【变式13-4】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，根据点A，B，C的坐标判断三角形为直角三角形，再根据作图可得四边形为矩形，根据直线平移的性质可求得直线和直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，则M即为所求． 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴点M坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的判定，解题的关键是判断为直角． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（为常数，）的整式函数即可． 【详解】解：选项A：是一次函数，最高次项次数为1，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，为常数）的形式，是整式函数，符合二次函数定义，故C符合题意； 选项D：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求出y关于t的二次函数关系式，汽车完全停下时y有最大值，据此结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 根据题意可得点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴司机踩下刹车后，汽车后完全停下， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，体现了数形结合思想．求出二次函数解析式，得到对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，根据函数图象写出所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象过点，，开口向上， 即时，，时，， ∴ 解得 ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线的对称点为，即时，， ∴当时，或． 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据二次函数的图象和性质确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴进行求解即可； ③根据对称轴得出点与关于对称轴对称，根据函数图象进行求解即可； ④根据顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的左侧， ∴同号， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵图象关于直线对称， ∴点与关于对称轴对称， 当时，， 故③错误； ④当时，值最大， 当时，， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故答案为：①②④． 9．（25-26九年级上·天津西青·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识．根据题意得到，，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意有：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：3． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握配方法是解题的关键． 根据点A和点B在抛物线上的条件，结合，推导出h关于的二次函数表达式，利用二次函数最大值求解． 【详解】由点A在抛物线上，得， 由点B在抛物线上， 得， 即， 则， 又， ， 所以当时，h的最大值为； 故答案为：． 11．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 12．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且经过点 (1)______． (2)若此抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，当点落在线段上，且最小值为时，求函数解析式． (3)若，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为4，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入即可； （2）根据抛物线经过点得到，即，求出点横坐标，可知，根据顶点纵坐标公式得到，求解即可； （3）用含b的代数式表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为直线，由题意可得出当或时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值，进而判断即可． 【详解】（1）解：将代入得； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点落在线段上， ∴， ∴， ∵顶点纵坐标公式为，最小值为，，， ∴， 整理得， 解得：，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； （3）解：当时，抛物线开口向上，解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ①当时，， ，时，即， 解得（舍）． ，时，即， 解得（舍）， ②，即， ，时，即， 解得（舍）． 当，，即， 解得（舍）， 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． 当，时，即， 解得， 此时，当时，，符合题意． ③，， 当，时，即， 解得， 此时，当时，不符合题意． 当，时，即， 解得（舍）． 综上所述，． 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 14．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 【答案】(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； (2)；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，直线与轴交于点，二次函数的图象与轴负半轴交于点，顶点为，连接，过点作直线与轴交于点，连接． (1)直接判断的形状． (2)若顶点恰好落在直线上，求的值． (3)当时， ①求点到直线的距离． ②连接，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)4 (3)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了勾股定理及其逆定理，一次函数的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）求出点A，B，C的坐标，即可求解； （2）求出点Q的坐标，根据点到直线的距离得到关于m的方程，即可求解； （3）①用m表示出，，的长，再利用勾股定理列出方程，即可求解；②过点Q作轴交直线于点P，求出的长，再根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴点A的坐标为， 对于， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴点Q的坐标为， ∵顶点恰好落在直线上， ∴， ∴或0（舍去）； （3）解：①∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴点，直线， ∴点到直线的距离为； ②如图，过点Q作轴交直线于点P， 由①得：直线，点，，，， ∴， ， ∴， ∴四边形的面积为． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l的解析式，再化简二次函数，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式得到a的范围，再结合对称轴位置确定最终a的取值范围. 【详解】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ， ∵二次函数图像与直线有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵二次函数对称轴在轴右侧， ∴对称轴， 解得， 综上，的取值范围是. 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，二次函数的图象，矩形的性质，求二次函数关系式， 先根据矩形的性质，再结合图象可知，再分三种情况求出关系式，然后结合关系式可得图象． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，点M是的中点， ∴，， ∴． 当点P与点B重合时，此时； 当点P与点M重合时，运动时间是，则， ∴， 解得． 当时，即线段在上运动时， ； 当时，即线段在，上运动时， 可知，则，， ∴； ， 抛物线开口向上，当时，； 当时，即线段在上运动时， ． 所以图B符合题意 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性得到的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时， ， ， 当时， 点的对称点是， ， ， 的值可能是． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】求解，把向上平移个单位落在抛物线上时，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得即有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、，交轴于点， ∴， 解得：或， ，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把向上平移个单位落在抛物线上时， ∴此时， ∴， 解得：， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为， 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴即有两个相等的实数解， ∴， 解得：， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，点的平移，一次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 6．（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数与坐标轴的交点，得出解析式为，结合开口方向，得出，结合点的坐标和，得出点在轴的上方，结合二次函数的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， 故设函数式为，对称轴为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵点在该函数图象上，且， 故点在轴的上方， 即， 当时，， 即二次函数的顶点坐标为， 故； 故的取值范围是． 故答案为：． 7．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点． （1）根据新定义求解即可； （2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即， 故答案为：； （2）设函数上一点为， 由新定义可得，函数上一点为， 将代入，则， 则， ∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（2026·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形． 其中正确的是__________．（填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①， ， ， 无论取何值，总是负数， 故①正确； ②抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 9．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4，3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接，设运动时间为（秒）． ①当为何值时，的面积最小？ ②是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)①当时，的面积最小，最小值为②存在，当时， 【分析】（1）根据点的坐标可得出点的坐标，代入抛物线解析式即可求出的值，求得抛物线的解析式； （2）①过点、作、，垂足分别为，，推出，，用含的式子表示，将三角形的面积用含的式子表示出来，结合二次函数的性质即可求出最值； ②先求出，再结合，，利用两点间的距离公式求得，，，最后根据利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为， ∴，， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2） 解：①  ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由，可得，， ∴， 过点、作、，垂足分别为，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴当时，的面积最小，最小值为； ②存在，理由如下： 由①知，点，，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴点， ∴， ， ， ∵当时，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， ∴当时，． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键． 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数，其中． (1)写出该二次函数图象的对称轴； (2)无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据抛物线对称轴公式即可求解； （2）将原函数整理得，由于无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点，由令，解得，即可求解； （3）先求出顶点为，对称轴为，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：，整理得，， ∵无论取任意非零实数，该二次函数图象都经过两个定点， 令，解得； 代入得，，；即，； ∴． （3）解：若，则，其顶点为，对称轴为， 分情况讨论： 当时，即时，此时函数的最大值为， 最小值为；由题意得， ， 解得，但，故舍去． 当时，即时，此时函数的最大值为9， 最小值为或． 若最小值为，则， 解得； ， 若最小值为，则， 解得； ． 当时，此时函数的最大值为， 最小值为，由题意得，， 解得，但，故舍去． 综上分析，的值为或． 12．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）对于平面直角坐标系中的一动点，能否根据其坐标特点来描述该点的运动轨迹亦或是函数关系呢？ 解：可以令，，将代入中可得：，此时我们可以发现，该点的横、纵坐标构成了一次函数的关系，因此我们说动点在一次函数的图象上，其运动轨迹是的这条直线； (1)关于的二次函数的顶点坐标为____________（用的代数式表示），顶点轨迹所对应的解析式为____________； (2)已知动点的轨迹是一条抛物线，试求出该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，点的轨迹所对应的函数图象上有两点，，若对于任意的，恒成立，试探讨与应满足的数量关系． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）二次函数顶点坐标可通过顶点公式或配方法求得；顶点轨迹是将顶点坐标视为动点，消去参数m得到x与y的关系式； （2）动点轨迹问题需消去参数t，通过横坐标表达式解出t，再代入纵坐标表达式得到x与y的函数关系； （3）将抛物线配方确定对称轴和开口方向，开口向上时离对称轴越远函数值越大，计算左右两侧点到对称轴的距离，根据函数值大小关系得到距离不等式，整理得与应满足的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为， 消去得， 所以，顶点轨迹所对应的解析式为； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴动点的横坐标为， 解得， 把代入纵坐标得： 所以，顶点轨迹所对应的解析式为； （3）解：∵， ∴对称轴为，开口向上， ∵， ∴点A在对称轴左侧，到对称轴距离为， ∴点B在对称轴右侧，到对称轴距离为， ∵开口向上时，离对称轴越远函数值越大， 又恒成立， ∴，即， ∴， 故与应满足的数量关系为． 13．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． (1)若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． (2)若直线经过点，与抛物线的交点为，当时，求的最小值． 【答案】(1)①； ②证明：∵点关于点的对称点为点，点 关于点的对称点为点， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线， ， ∵点的纵坐标相等，横坐标分别为，， ， ； (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解；②由对称可得点分别是的中点，即得是的中位线，得到，进而由即可求证； （）利用待定系数法可得抛物线的表达式为，对称轴为直线，分，和三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解:（）①把，点代入，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； ②略 （2）解：将代入， 得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 则时， 随的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为； ②当，即时， ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，取最小值，最小值为； ③当时，则时， 随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为； 综上可知，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)当时，函数的最大值为3，求的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为 (3)t的值为或2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、图形面积最值及区间最值问题．关键在于利用待定系数法求解析式，结合平行关系与坐标特征表示线段长度，再通过二次函数性质（开口方向、对称轴）分情况讨论区间最值，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． （1）先确定点、的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式； （2）先求点C的坐标，再表示点P、D的坐标及线段的长度，最后求的面积，根据二次函数的性质回答即可； （3）根据抛物线的最值与单调性，分情况讨论自变量在内的最大值． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，， ∴,0)， 将代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 由轴可得点的坐标为， 设点的坐标为， 轴， 点的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值， 当时，， 此时， 故点的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为． （3）解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 又当时，函数的最大值为3， ∴根据二次函数的增减性，分两种情况讨论： ①当，即时，， 解得(舍去)； ②当，即时，， 解得（舍去）． 综上所述，的值为或． 15．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，根据列式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，S取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； （3）解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $