第二章 一元二次方程章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义以“13知识点+6题型”为框架，通过知识清单、对比表格系统梳理一元二次方程的定义、解法、根与系数关系及实际应用，用“解法选择策略表”呈现不同方程特征与方法的对应关系，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层训练与方法指导结合，题型覆盖概念辨析、解法应用、实际建模等，如“增长率问题”典例引导学生用数学语言构建方程模型，培养模型意识。每个题型配解题步骤与易错提醒，基础生掌握方法，优生深化思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

第二章 一元二次方程章末重难点复习 13知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解一元二次方程的相关概念； 2.熟练掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； 3.熟练利用一元二次方程的根或根的数量求参数； 4.掌握一元二次方程的根与系数的关系； 5.掌握一元二次方程的实际应用问题； 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式 - —— 二次项， 为二次项系数 - —— 一次项， 为一次项系数 - —— 常数项 - 关键： 是判断一元二次方程的核心条件 3. 方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（根）。一元二次方程最多有两个实数根。 4. 直接开平方法解一元二次方程 适用于形如 的方程。 - 当 时，有两个不相等的实数根 - 当 时，有两个相等的实数根 - 当 时，无实数根 5. 配方法一元二次方程 步骤： （1）化二次项系数为1（两边同除以 ） （2）移项：常数项移到右边 （3） 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 （4）写成 的形式 （5）直接开平方求解 关键公式： 6. 公式法解一元二次方程 对于 ，求根公式： 根的判别式： 的取值 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 7. 因式分解法解一元二次方程 原理：若 ，则 或 。 常用方法： - 提公因式法 - 公式法（平方差、完全平方） - 十字相乘法： 步骤：移项使右边为0 → 左边因式分解 → 令每个因式为0 → 分别求解 8. 解法选择策略 方程特征 首选方法 缺一次项（） 直接开平方法 缺常数项（） 因式分解法（提公因式） 易因式分解 因式分解法 二次项系数为1，一次项系数为偶数 配方法 以上都不适用 公式法（万能法） 9. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若 的两根为 ，则： 10. 韦达定理的常用变形公式 表达式 变形结果 11. 韦达定理的应用 （1）已知一根求另一根及参数值 （2）求代数式的值（利用变形公式整体代入） （3）构造一元二次方程：以 为根的方程为 （4）判断根的符号： · 两根同正： 且 · 两根同负： 且 · 一正一负： 12. 一元二次方程实际应用的一般步骤 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 （1）审题，找等量关系 （2）设未知数（直接设或间接设） （3）列方程 （4）解方程 （5）检验根是否符合实际意义 （6）写出答案 13. 一元二次方程实际应用的常见模型 （1）增长率（降低率）问题 基本公式： - 为平均增长率（降低率） - 为增长（降低）的次数 - 增长用”“，降低用”” （2）利润问题 核心关系： - 单件利润 = 售价 - 进价 - 总利润 = 单件利润 × 销售量 - 利润率 = 常见模型：每降价（涨价） 元，销量增加（减少） 件。 （3）面积问题 · 利用几何图形的面积公式建立方程 · 常见：矩形、道路修建（平移法）、围栏问题 · 技巧：道路问题中，将道路平移到边缘，剩余部分拼成新矩形计算 （4）传播问题 基本模型： - 每轮每人传染 人，经过两轮传染后的总数 - 轮后总数为 （5）握手/比赛问题 · 人两两握手（单循环比赛）： 次 · 人互赠礼物（双循环）： 件 （6）动点问题 · 设运动时间为 ，用含 的代数式表示相关线段 · 结合面积、勾股定理等建立方程 · 注意分类讨论和取值范围 （7）解应用题的注意事项 ·检验方程的根是否符合实际意义（如长度、人数不能为负） ·增长率不能超过合理范围 ·设未知数时要写清单位 ·答案要完整，包括单位和答语 题型01 一元二次方程的相关概念 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素，准确识别各项系数。 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件： · 只含一个未知数 · 未知数最高次数为2 · 是整式方程（分母不含未知数） 一般形式： （） · 是二次项， 是二次项系数 · 是一次项， 是一次项系数 · 是常数项 · 是关键条件，若 则不是一元二次方程 常见考法： · 判断方程是否为一元二次方程 三要素逐一检验 · 指出各项系数 先化为一般形式，注意符号 · 已知方程是一元二次方程求参数 令二次项系数 ，同时满足最高次数为2 易错提醒： 不能忘；化为一般形式后再确定系数；系数要带符号。 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型02 由一元二次方程的解求参数 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过一元二次方程的解求参数，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 解题梳理 解题核心： 方程的解代入方程等式成立，得到关于参数的方程求解。 基本方法： · 将已知解代入原方程，得到一个关于参数的方程 · 解这个方程求出参数 · 检验二次项系数是否为0（保证原方程是一元二次方程） 常见类型： · 已知一个解求参数：直接代入 · 已知两个解求参数：分别代入，联立方程组 · 已知解满足某关系式：代入后结合关系式求解 关键技巧： · 若已知解为0，代入后常数项 ，直接得 · 若已知解为1，代入后 · 若已知解为-1，代入后 · 注意：求出参数后必须验证二次项系数 易错提醒： 忘记检验 ，导致参数取值使方程退化为一次方程。 【变式2-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2025 B．－2026 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将方程的根代入原方程，通过移项即可求出代数式的值。熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键，直接代入方程变形即可求解，无需复杂计算。 【详解】是一元二次方程的一个根， 将代入方程得：， 移项得：． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 题型03 一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 解题梳理 解题核心： 根据方程特点选择最优解法，按步骤求解。 方法一：直接开平方法 · 适用：形如 或 （）的方程 · 步骤：两边开平方，，得 · 注意： 时无实数解 方法二：配方法 · 步骤： （1）二次项系数化为1（两边同除以 ） （2）移项，使常数项在右边 （3）两边加上一次项系数一半的平方，配成完全平方 （4）开平方求解 · 口诀：一除二移三配四开 方法三：公式法 · 求根公式：（） · 步骤：化为一般形式 确定 、、 计算判别式 代入公式 · 适用：所有一元二次方程，是万能方法 方法四：因式分解法 · 适用：方程一边为0，另一边能因式分解 · 步骤： （1）移项使右边为0 （2）左边因式分解（提公因式、公式法、十字相乘） （3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程 （4）分别求解 · 依据：若 ，则 或 解法选择策略： · 形如 直接开平方法 · 二次项系数为1、一次项系数为偶数 配方法较简便 · 能因式分解 优先用因式分解法（最快） · 无法因式分解或无特殊结构 公式法（万能） 易错提醒： 因式分解时必须先移项使右边为0；公式法中 、、 要带符号；开平方不要漏“”。 【变式3-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 【变式3-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【变式3-4】（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得， ，，， ， ， 则， （2）解： ， 或， 所以，． 题型04 已知一元二次方程解的数量求参数 【典例】（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 其中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 解题梳理 解题核心： 利用判别式 的符号判断根的情况。 判别式定理： · 方程有两个不相等的实数根 · 方程有两个相等的实数根 · 方程没有实数根 解题步骤： · 第一步：确定 、、（含参数） · 第二步：计算 ，得到关于参数的代数式 · 第三步：根据题目要求列不等式（或方程） （1）两个不等实根 （2）两个相等实根 （3）有实数根 （4）无实数根 · 第四步：解不等式（或方程）求参数范围 · 第五步：检验二次项系数 常见类型： · 已知根的情况求参数范围：直接用判别式列不等式 · 证明方程总有实根：证明 恒成立（常配方为完全平方+正数） · 已知根的情况求参数值：令 （或 等）求解 关键技巧： · 证明 时，常将 配方为“完全平方+正数”的形式 · 注意“有实数根”包含 （两个相等或不等），不是 · 若题目未明确是一元二次方程，需考虑 （一次方程）的情况 易错提醒： 忘记 的限制；“有实根”与“有两个实根”条件不同（后者要求 且 ）。 【变式4-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意可得该一元二次方程有两个相等的实数根，再由求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰长相等， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 【变式4-4】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 【典例】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 解题梳理 解题核心： 韦达定理——两根之和等于 ，两根之积等于 。 韦达定理： 若一元二次方程 （）的两个根为 、，则： · · 前提条件： · 方程必须是一元二次方程（） · 方程必须有实数根（） · 两个条件缺一不可，使用前必须检验 常见考法： · 已知一根求另一根及参数：用韦达定理列方程 · 已知两根求作方程：以 、 为根的方程是 · 求关于两根的代数式的值：将代数式转化为含 和 的形式，整体代入 常用变形公式： · · · · · 解题步骤： · 第一步：确认 且 · 第二步：写出 和 的值（用参数表示） · 第三步：将所求代数式变形为含 和 的形式 · 第四步：整体代入计算 · 第五步：若涉及参数，结合 确定参数范围 易错提醒： 使用前不检验 ；变形公式记错（如 漏减 ）；忘记 。 【变式5-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可． 【详解】解：设方程的两根为和． ∴两根之和． ∵两根的和是6， ∴， ∴， ∴． ∴两根之积． 故选：A． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 【变式5-4】（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：方程有实数根， ， 即， 解得：． （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． 题型06 一元二次方程的实际应用 【典例】（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 解题梳理 解题核心： 审题设元，找等量关系列方程，解后双检验。 解题步骤： · 第一步：审题，弄清已知量和未知量 · 第二步：设未知数（直接设或间接设） · 第三步：找等量关系，列一元二次方程 · 第四步：解方程 · 第五步：双检验——①数学检验（判别式、计算正确）；②实际意义检验（长度、面积、数量为正，符合实际） · 第六步：写出答案 常见题型： 1. 传播/循环问题 · 传播问题：每轮传染 人，经过 轮后总人数为 · 单循环比赛： 支球队比赛总场数为 · 双循环比赛：总场数为 · 握手问题： 人两两握手总次数为 2. 增长率问题 · 公式：，其中 为原量， 为增长率， 为增长两次后的量 · 下降率： · 注意：连续两次增长（或下降）用平方 3. 面积问题 · 矩形面积=长×宽，根据题意设边长，用面积列方程 · 道路问题：平移道路，将种植面积拼成新矩形 · 围栏问题：注意围栏边数（靠墙一边不围） 4. 利润问题 · 利润=（售价-成本）×销售量 · 单价每降低1元，销量增加若干件 设降价 元，表示单件利润和销量 · 根据总利润列方程 5. 数字问题 · 设未知数表示各数位上的数字，根据数字关系列方程 关键技巧： · 增长率问题注意“增长到”与“增长了”的区别 · 面积问题善用平移法简化图形 · 利润问题设“降价（或涨价） 元”比设售价更方便 · 方程的两个根要检验是否都符合实际，可能需要舍去一个 易错提醒： 等量关系找错；增长率公式用错（平方写成乘2）；解不符合实际未舍去；单位不统一。 【变式6-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】(1) (2)当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； （2）解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【变式6-2】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）近年来，山西省大力发展文化旅游产业，平遥古城作为世界文化遗产，吸引了大量国内外游客．某纪念品商店专门销售平遥推光漆器工艺品．在十一黄金周期间，该商店第一天接待游客人，第三天接待游客人． (1)设每天接待游客人数的平均增长率为，可列方程为_________． (2)该商店销售一种推光漆器小挂件，每个进价为元，当售价为元时，每天可售出个．经市场调查发现，每个挂件的售价每降低元，每天可多售出个，为了每天盈利元并尽快减少库存，每个挂件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每个挂件应降价元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，准确理解题意得出方程是解题的关键． （1）结合题意，建立方程即可； （2）设每个挂件降价元，则销售量为件，由题意得，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 第二天接待游客人数为， 第三天接待游客人数为， 故可得方程， 故答案为：． （2）解：设每个挂件降价元，根据题意， 得， 整理得 解得，， 为了尽快减少库存，所以， 答：每个挂件应降价元． 【变式6-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 【变式6-4】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 3．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 【答案】， 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． 7．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）为加强劳动教育，九（1）班准备利用长的篱笆，在学校指定的空地上围成三个相连且面积相等的矩形菜园．围成的菜园的形状是如图所示的矩形，矩形和矩形． (1)若整个菜园)的面积，求的长； (2)嘉嘉说：“当整个菜园)的面积为时，矩形是正方形．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) 嘉嘉的说法是正确的，理由如下： 设的长为，则，， 由题意得：36， 解得：， (不符合题意，舍去)， 当时，，，此时矩形是正方形； ∴嘉嘉的说法是正确的． 【分析】此题考查一元二次方程的应用； （1）设的长为，根据题意可得，，进而根据整个菜园)的面积，建立方程，解方程，即可求解； （2）设的长为，则，，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为， ∵矩形，矩形和矩形面积相等， ∴，，， ∴，， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：HG的长为； （2）略 13．（25-26九年级上·陕西西安·期末）春节临近，年味渐浓，家长们都忙着给孩子选购新年衣物，小颖妈妈的童装店迎来了销售旺季．店里主打一款红色喜庆款儿童服，这款童装的进货价为每件元，原售价为每件元，节日期间前两周平均每天能卖出件．为了抓住春节消费热潮、扩大销量，小颖妈妈计划调整价格促销，决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，设每件童装降价元． (1)每天可销售_____件，每件盈利______元；（用含的代数式表示） (2)若想要每天销售这款童装的利润达到元，且兼顾利润与销量（让顾客买到更多实惠），每件童装应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应降价元． 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用． (1)这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，列出降价元时童装的销量和每件的利润； (2)根据销售利润销量单件利润，可列方程，解方程可得：，，根据为了让顾客买到更多实惠应降价元． 【详解】（1）解：这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件， 每天可销售件，每件可盈利元， 故答案为：，； （2）解：想要每天销售这款童装的利润达到元， 可得：， 整理得：， 解方程可得：，， 为了让顾客买到更多实惠应降价元， 答：每件童装应降价元． 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． (1)请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． (2)市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】(1)20% (2)①；②该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键． （1）设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a，依题意得，求解即可； （2）①利用当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，列式得； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件，利用销量单个利润总利润，列式求解，再结合使得销量尽可能多，即可求解． 【详解】（1）解：设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a， 依题意得：， 解得：，， 因为增长率a为正数，故舍去， 所以， 答：“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为20%． （2）解：①由题意得， 故答案为； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件， 由题意得：． 整理得：， 解得：，， 由于要使得销量尽可能多，，y随x的增大而减小，因此舍去， 所以． 答：该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件． 【强化训练】 1．（24-25九年级上·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实数根，平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 方程没有实数根，需满足右边小于零，因为左边平方项非负． 【详解】解：∵方程没有实数根，且， ∴， ∴， ∴． 选项C中，符合条件． 故选C． 3．（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，求出所求即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， 故选：C 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 5．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 6．（25-26九年级上·四川巴中·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求值，即可解题． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：10． 7．（25-26九年级上·四川内江·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____； 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵两实数根，， ∴，， 由 ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式 ， 即 ， 故 不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，代入化简后的表达式计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 原式化简为： ， 代入得 ， 故答案为：3． 9．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，且，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 11．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 12．（25-26九年级上·吉林白城·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点运动到点时，所走路程为，根据速度可得出的值；点从点出发向点运动，点回到中点，可直接求出． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 点运动到点时，所走路程为， 点的速度为每秒个单位长度， （秒）， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，， 当点运动到点时，（秒）， 此时点的运动路程为， 点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度，，，， 此时点在边上，． 故答案为：，． （2）解：当点在时， ，， ，如图所示： 此时． （3）解：当点在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点在时，同时当点运动到点时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为时，则的值为或． 13．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“立格方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，根据一元二次方程的判别式可得知该一元二次方程无解，即k的值不存在； （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围，最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2) (3)方程是“邻根方程”，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解： 方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； （3）解：方程是“邻根方程” 由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程章末重难点复习 13知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解一元二次方程的相关概念； 2.熟练掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； 3.熟练利用一元二次方程的根或根的数量求参数； 4.掌握一元二次方程的根与系数的关系； 5.掌握一元二次方程的实际应用问题； 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式 - —— 二次项， 为二次项系数 - —— 一次项， 为一次项系数 - —— 常数项 - 关键： 是判断一元二次方程的核心条件 3. 方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（根）。一元二次方程最多有两个实数根。 4. 直接开平方法解一元二次方程 适用于形如 的方程。 - 当 时，有两个不相等的实数根 - 当 时，有两个相等的实数根 - 当 时，无实数根 5. 配方法一元二次方程 步骤： （1）化二次项系数为1（两边同除以 ） （2）移项：常数项移到右边 （3） 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 （4）写成 的形式 （5）直接开平方求解 关键公式： 6. 公式法解一元二次方程 对于 ，求根公式： 根的判别式： 的取值 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 7. 因式分解法解一元二次方程 原理：若 ，则 或 。 常用方法： - 提公因式法 - 公式法（平方差、完全平方） - 十字相乘法： 步骤：移项使右边为0 → 左边因式分解 → 令每个因式为0 → 分别求解 8. 解法选择策略 方程特征 首选方法 缺一次项（） 直接开平方法 缺常数项（） 因式分解法（提公因式） 易因式分解 因式分解法 二次项系数为1，一次项系数为偶数 配方法 以上都不适用 公式法（万能法） 9. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若 的两根为 ，则： 10. 韦达定理的常用变形公式 表达式 变形结果 11. 韦达定理的应用 （1）已知一根求另一根及参数值 （2）求代数式的值（利用变形公式整体代入） （3）构造一元二次方程：以 为根的方程为 （4）判断根的符号： · 两根同正： 且 · 两根同负： 且 · 一正一负： 12. 一元二次方程实际应用的一般步骤 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 （1）审题，找等量关系 （2）设未知数（直接设或间接设） （3）列方程 （4）解方程 （5）检验根是否符合实际意义 （6）写出答案 13. 一元二次方程实际应用的常见模型 （1）增长率（降低率）问题 基本公式： - 为平均增长率（降低率） - 为增长（降低）的次数 - 增长用”“，降低用”” （2）利润问题 核心关系： - 单件利润 = 售价 - 进价 - 总利润 = 单件利润 × 销售量 - 利润率 = 常见模型：每降价（涨价） 元，销量增加（减少） 件。 （3）面积问题 · 利用几何图形的面积公式建立方程 · 常见：矩形、道路修建（平移法）、围栏问题 · 技巧：道路问题中，将道路平移到边缘，剩余部分拼成新矩形计算 （4）传播问题 基本模型： - 每轮每人传染 人，经过两轮传染后的总数 - 轮后总数为 （5）握手/比赛问题 · 人两两握手（单循环比赛）： 次 · 人互赠礼物（双循环）： 件 （6）动点问题 · 设运动时间为 ，用含 的代数式表示相关线段 · 结合面积、勾股定理等建立方程 · 注意分类讨论和取值范围 （7）解应用题的注意事项 ·检验方程的根是否符合实际意义（如长度、人数不能为负） ·增长率不能超过合理范围 ·设未知数时要写清单位 ·答案要完整，包括单位和答语 题型01 一元二次方程的相关概念 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义三要素，准确识别各项系数。 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件： · 只含一个未知数 · 未知数最高次数为2 · 是整式方程（分母不含未知数） 一般形式： （） · 是二次项， 是二次项系数 · 是一次项， 是一次项系数 · 是常数项 · 是关键条件，若 则不是一元二次方程 常见考法： · 判断方程是否为一元二次方程 三要素逐一检验 · 指出各项系数 先化为一般形式，注意符号 · 已知方程是一元二次方程求参数 令二次项系数 ，同时满足最高次数为2 易错提醒： 不能忘；化为一般形式后再确定系数；系数要带符号。 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【变式1-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型02 由一元二次方程的解求参数 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 解题梳理 解题核心： 方程的解代入方程等式成立，得到关于参数的方程求解。 基本方法： · 将已知解代入原方程，得到一个关于参数的方程 · 解这个方程求出参数 · 检验二次项系数是否为0（保证原方程是一元二次方程） 常见类型： · 已知一个解求参数：直接代入 · 已知两个解求参数：分别代入，联立方程组 · 已知解满足某关系式：代入后结合关系式求解 关键技巧： · 若已知解为0，代入后常数项 ，直接得 · 若已知解为1，代入后 · 若已知解为-1，代入后 · 注意：求出参数后必须验证二次项系数 易错提醒： 忘记检验 ，导致参数取值使方程退化为一次方程。 【变式2-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2025 B．－2026 C．2026 D．4052 【变式2-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【变式2-4】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 题型03 一元二次方程的解法 【典例】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 解题梳理 解题核心： 根据方程特点选择最优解法，按步骤求解。 方法一：直接开平方法 · 适用：形如 或 （）的方程 · 步骤：两边开平方，，得 · 注意： 时无实数解 方法二：配方法 · 步骤： （1）二次项系数化为1（两边同除以 ） （2）移项，使常数项在右边 （3）两边加上一次项系数一半的平方，配成完全平方 （4）开平方求解 · 口诀：一除二移三配四开 方法三：公式法 · 求根公式：（） · 步骤：化为一般形式 确定 、、 计算判别式 代入公式 · 适用：所有一元二次方程，是万能方法 方法四：因式分解法 · 适用：方程一边为0，另一边能因式分解 · 步骤： （1）移项使右边为0 （2）左边因式分解（提公因式、公式法、十字相乘） （3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程 （4）分别求解 · 依据：若 ，则 或 解法选择策略： · 形如 直接开平方法 · 二次项系数为1、一次项系数为偶数 配方法较简便 · 能因式分解 优先用因式分解法（最快） · 无法因式分解或无特殊结构 公式法（万能） 易错提醒： 因式分解时必须先移项使右边为0；公式法中 、、 要带符号；开平方不要漏“”。 【变式3-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【变式3-4】（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： (1)． (2)． 题型04 已知一元二次方程解的数量求参数 【典例】（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 利用判别式 的符号判断根的情况。 判别式定理： · 方程有两个不相等的实数根 · 方程有两个相等的实数根 · 方程没有实数根 解题步骤： · 第一步：确定 、、（含参数） · 第二步：计算 ，得到关于参数的代数式 · 第三步：根据题目要求列不等式（或方程） （1）两个不等实根 （2）两个相等实根 （3）有实数根 （4）无实数根 · 第四步：解不等式（或方程）求参数范围 · 第五步：检验二次项系数 常见类型： · 已知根的情况求参数范围：直接用判别式列不等式 · 证明方程总有实根：证明 恒成立（常配方为完全平方+正数） · 已知根的情况求参数值：令 （或 等）求解 关键技巧： · 证明 时，常将 配方为“完全平方+正数”的形式 · 注意“有实数根”包含 （两个相等或不等），不是 · 若题目未明确是一元二次方程，需考虑 （一次方程）的情况 易错提醒： 忘记 的限制；“有实根”与“有两个实根”条件不同（后者要求 且 ）。 【变式4-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【变式4-4】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 【典例】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 解题梳理 解题核心： 韦达定理——两根之和等于 ，两根之积等于 。 韦达定理： 若一元二次方程 （）的两个根为 、，则： · · 前提条件： · 方程必须是一元二次方程（） · 方程必须有实数根（） · 两个条件缺一不可，使用前必须检验 常见考法： · 已知一根求另一根及参数：用韦达定理列方程 · 已知两根求作方程：以 、 为根的方程是 · 求关于两根的代数式的值：将代数式转化为含 和 的形式，整体代入 常用变形公式： · · · · · 解题步骤： · 第一步：确认 且 · 第二步：写出 和 的值（用参数表示） · 第三步：将所求代数式变形为含 和 的形式 · 第四步：整体代入计算 · 第五步：若涉及参数，结合 确定参数范围 易错提醒： 使用前不检验 ；变形公式记错（如 漏减 ）；忘记 。 【变式5-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【变式5-4】（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 题型06 一元二次方程的实际应用 【典例】（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 解题梳理 解题核心： 审题设元，找等量关系列方程，解后双检验。 解题步骤： · 第一步：审题，弄清已知量和未知量 · 第二步：设未知数（直接设或间接设） · 第三步：找等量关系，列一元二次方程 · 第四步：解方程 · 第五步：双检验——①数学检验（判别式、计算正确）；②实际意义检验（长度、面积、数量为正，符合实际） · 第六步：写出答案 常见题型： 1. 传播/循环问题 · 传播问题：每轮传染 人，经过 轮后总人数为 · 单循环比赛： 支球队比赛总场数为 · 双循环比赛：总场数为 · 握手问题： 人两两握手总次数为 2. 增长率问题 · 公式：，其中 为原量， 为增长率， 为增长两次后的量 · 下降率： · 注意：连续两次增长（或下降）用平方 3. 面积问题 · 矩形面积=长×宽，根据题意设边长，用面积列方程 · 道路问题：平移道路，将种植面积拼成新矩形 · 围栏问题：注意围栏边数（靠墙一边不围） 4. 利润问题 · 利润=（售价-成本）×销售量 · 单价每降低1元，销量增加若干件 设降价 元，表示单件利润和销量 · 根据总利润列方程 5. 数字问题 · 设未知数表示各数位上的数字，根据数字关系列方程 关键技巧： · 增长率问题注意“增长到”与“增长了”的区别 · 面积问题善用平移法简化图形 · 利润问题设“降价（或涨价） 元”比设售价更方便 · 方程的两个根要检验是否都符合实际，可能需要舍去一个 易错提醒： 等量关系找错；增长率公式用错（平方写成乘2）；解不符合实际未舍去；单位不统一。 【变式6-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． (1)若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） (2)当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【变式6-2】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）近年来，山西省大力发展文化旅游产业，平遥古城作为世界文化遗产，吸引了大量国内外游客．某纪念品商店专门销售平遥推光漆器工艺品．在十一黄金周期间，该商店第一天接待游客人，第三天接待游客人． (1)设每天接待游客人数的平均增长率为，可列方程为_________． (2)该商店销售一种推光漆器小挂件，每个进价为元，当售价为元时，每天可售出个．经市场调查发现，每个挂件的售价每降低元，每天可多售出个，为了每天盈利元并尽快减少库存，每个挂件应降价多少元？ 【变式6-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【变式6-4】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 7．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 10．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）为加强劳动教育，九（1）班准备利用长的篱笆，在学校指定的空地上围成三个相连且面积相等的矩形菜园．围成的菜园的形状是如图所示的矩形，矩形和矩形． (1)若整个菜园)的面积，求的长； (2)嘉嘉说：“当整个菜园)的面积为时，矩形是正方形．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期末）春节临近，年味渐浓，家长们都忙着给孩子选购新年衣物，小颖妈妈的童装店迎来了销售旺季．店里主打一款红色喜庆款儿童服，这款童装的进货价为每件元，原售价为每件元，节日期间前两周平均每天能卖出件．为了抓住春节消费热潮、扩大销量，小颖妈妈计划调整价格促销，决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果这款童装每件降价元，那么平均每天可多售出件，设每件童装降价元． (1)每天可销售_____件，每件盈利______元；（用含的代数式表示） (2)若想要每天销售这款童装的利润达到元，且兼顾利润与销量（让顾客买到更多实惠），每件童装应降价多少元？ 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． (1)请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． (2)市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【强化训练】 1．（24-25九年级上·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 5．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 6．（25-26九年级上·四川巴中·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为________． 7．（25-26九年级上·四川内江·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____； 8．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）若一元二次方程的两根为，则的值是______． 9．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，且，那么的值为___________． 10．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 11．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 12．（25-26九年级上·吉林白城·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 13．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $