第四章 投影与视图章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学投影与视图章末复习讲义通过知识框架系统梳理5个核心知识点，涵盖正投影、平行投影、中心投影、三视图及相关计算，以定义、性质、应用为脉络呈现知识内在联系，突出三视图“长对正、高平齐、宽相等”等重难点。 讲义亮点在于5类题型的递进设计，每题型含典例解析、解题核心及变式训练，如平行投影中利用相似求物体高度，培养空间观念与推理能力。巩固与强化训练分层设置，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

第四章 投影与视图章末重难点复习 5知识点+5题型+巩固训练+强化训练 1.理解正投影、平行投影与中心投影的定义与性质； 2.掌握平行投影与中心投影的应用； 3.理解三视图的定义与性质； 4.掌握三视图的相关计算问题。 1. 正投影 （1）投影的定义 用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）正投影的定义 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 （3）正投影的性质 - 线段的正投影： - 线段平行于投影面时，投影长度等于线段实长 - 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段实长 - 线段垂直于投影面时，投影积聚为一个点 - 平面图形的正投影： - 平面图形平行于投影面时，投影反映实形（形状、大小不变） - 平面图形倾斜于投影面时，投影形状改变，面积缩小 - 平面图形垂直于投影面时，投影积聚为一条线段 - 几何体的正投影： 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 2.平行投影 （1）平行投影的定义 由平行光线形成的投影叫做平行投影。如太阳光照射下物体的影子。 （2）平行投影的特点 - 投影线互相平行 - 同一时刻，不同物体的高度与影长成正比 - 物体上的点和影子上的对应点连线互相平行 （3）平行投影的性质 - 等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻影长相等 - 等长的物体平行于地面放置时，同一时刻影长相等 - 同一时刻，物高与影长成正比例： （4）平行投影的应用 - 测量物体高度： 利用同一时刻物高与影长成正比，列比例式计算 - 判断投影方向： 根据影子方向判断太阳方位 - 区分不同时刻的影子： 从早晨到傍晚，影子方向由西向东变化，长度由长变短再变长 3.中心投影 （1）中心投影的定义 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如灯泡、手电筒、路灯照射下物体的影子。 （2）中心投影的特点 - 投影线交于一点（点光源） - 物体上的点和影子上的对应点连线交于一点（光源位置） - 影子的大小与物体到光源的距离有关：物体离光源越近，影子越大；离光源越远，影子越小 （3）中心投影的性质 - 等高的物体垂直于地面放置时，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长 - 等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短（但不小于物体本身长度） - 点光源、物体边缘点、影子边缘点三点共线 （4） 确定点光源位置的方法 - 分别过物体上的点及其影子上的对应点画直线 - 这些直线的交点就是点光源的位置 - 至少需要两组对应点才能确定光源位置 （5）平行投影与中心投影的区别 - 平行投影： 投影线平行，同一时刻物高与影长成正比 - 中心投影： 投影线交于一点，影子大小随距离变化 - 判断方法： 过物体顶端和影子顶端作直线，平行的是平行投影，相交于一点的是中心投影 4.三视图 （1）三视图的定义 - 主视图： 从正面（由前向后）观察物体得到的视图 - 俯视图： 从上面（由上向下）观察物体得到的视图 - 左视图： 从左面（由左向右）观察物体得到的视图 （2）三视图的位置关系 - 主视图在左上方 - 俯视图在主视图正下方 - 左视图在主视图正右方 （3）三视图的大小关系（三等关系） - 主视图与俯视图：长对正（长度相等） - 主视图与左视图：高平齐（高度相等） - 俯视图与左视图：宽相等（宽度相等） - 口诀： 长对正、高平齐、宽相等 （4） 三视图的画法 - 第一步：确定主视图方向，画出主视图 - 第二步：在主视图正下方画俯视图，注意”长对正” - 第三步：在主视图正右方画左视图，注意”高平齐、宽相等” - 看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线 （5）常见几何体的三视图 - 正方体： 三个视图都是正方形 - 圆柱： 主视图和左视图是矩形，俯视图是圆 - 圆锥： 主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 - 球： 三个视图都是圆 - 棱柱： 主视图和左视图为矩形（或组合矩形），俯视图为多边形 （6）由三视图还原几何体 - 根据各视图的形状特征，综合判断几何体的形状 - 主视图反映物体的长和高 - 俯视图反映物体的长和宽 - 左视图反映物体的宽和高 - 注意实线（可见棱）和虚线（不可见棱）的含义 5.与三视图相关的计算问题 （1）由三视图求几何体的表面积 - 先由三视图还原几何体，确定各部分尺寸 - 分别计算各面面积，再求和 - 注意：三视图反映的尺寸要对应到几何体的实际尺寸 - 圆柱侧面积 ，圆锥侧面积 ，全面积 侧面积 底面积 （2）由三视图求几何体的体积 - 还原几何体后，代入体积公式计算 - 柱体体积 底面积 高 - 锥体体积 底面积 高 - 球体体积 - 组合体：分割成几个基本几何体，分别求体积再求和 （3）由三视图求小正方体个数 - 方法： 在俯视图上标注每个位置的小正方体层数 - 主视图反映每列的最大层数 - 左视图反映每行的最大层数 - 综合主视图和左视图，确定俯视图每个位置的层数 - 最多情况： 每个位置取最大可能层数；最少情况： 在满足条件下尽量少放 题型01 平行投影 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】利用矩形对边平行，平行投影中平行直线的投影仍平行或共线即可判断，得出不可能的投影． 【详解】解：阳光照射形成的投影是平行投影， ∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形． 解题梳理 解题核心： 同一时刻物高与影长成正比，投影线互相平行。 常见考法： - 求物体高度：利用 ，列比例式 - 求影长：已知物高和比例关系，列比例式 - 判断投影时刻：根据影子方向和长度变化规律判断 - 画平行投影：过物体顶端作已知光线的平行线，确定影子端点 解题步骤： - 识别平行投影（太阳光），确认投影线平行 - 找出两组对应物高和影长 - 列比例式求解 关键规律： - 从早晨到傍晚，影子方向：西→西北→北→东北→东 - 影子长度：长→短→长（正午最短） - 同一时刻，不同物体物高与影长成正比 易错提醒： 必须是“同一时刻”才能用比例关系；注意单位统一。 【变式1-1】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 【变式1-2】（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 【变式1-3】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 【变式1-4】（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 题型02 中心投影 【典例】（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 解题梳理 解题核心： 投影线交于点光源，点光源、物体顶端、影子顶端三点共线。 常见考法： - 确定点光源位置：过两组物体顶端及其影子顶端作直线，交点即为光源 - 求影子长度：利用相似三角形（X型相似）列比例式 - 求物体高度：同上，利用相似三角形 - 判断影子变化：物体移动时影子长短的变化 解题步骤： - 过物体顶端和影子顶端作直线（光线） - 两条光线交点即为点光源 - 利用相似三角形（光源、物体、影子构成的三角形）列比例式求解 关键技巧： - 点光源、物体边缘点、影子边缘点三点共线 - 常构造X型相似三角形，对应边成比例 - 物体离光源越近影子越大，离光源越远影子越小 易错提醒： 中心投影物高与影长不成正比（不同于平行投影）；确定光源至少需要两组对应点。 【变式2-1】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心投影，位似图形的性质. 由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似，那么幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值等于油灯（点光源）到幕布的垂直距离与油灯（点光源）到皮影的垂直距离的比值的平方，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似， ∵油灯（点光源）到皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到皮影的垂直距离与油灯（点光源）到幕布的垂直距离的比为， ∴幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值为， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，中心投影，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据矩形与矩形位似，证明△△，得到，得到，根据纸片的面积为，即得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型03 判断几何体的三视图 【典例】（2026·宁夏·中考真题）如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 解题梳理 解题核心： 明确观察方向，抓住“长对正、高平齐、宽相等”。 三视图特征： - 主视图（正面看）：反映物体的长和高 - 俯视图（上面看）：反映物体的长和宽 - 左视图（左面看）：反映物体的宽和高 常见几何体三视图： - 正方体：三个视图都是正方形 - 圆柱：主/左视图为矩形，俯视图为圆 - 圆锥：主/左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆 - 球：三个视图都是圆 - 棱柱：主/左视图为矩形，俯视图为多边形 解题方法： - 从指定方向观察，看到的棱画实线，看不到的棱画虚线 - 注意小正方体堆叠时，每列/每行的最大高度决定视图轮廓 - 组合体要分清各部分的位置关系 易错提醒： 虚线表示看不见的棱，不能漏画也不能多画；俯视图中圆锥的圆心点不能漏；注意左视图的方向（从左向右看）。 【变式3-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）榫卯结构是中华民族独特的工艺创造，我们的祖先早在河姆渡新石器时代就已经开始使用榫卯了．如图是燕尾形榫卯的示意图，其中榫的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左视图是从物体左面观察得到的平面图形，根据几何体的形状及棱的可见性进行判断． 【详解】解：从左边观察该几何体，可以看到上下两个矩形，且上下两部分的前后宽度一致，中间的分界线可见，应画为实线， 所以左视图为上下两个相邻的矩形． 【变式3-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图是一个圆柱和一个球组成的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】 解：俯视图是． 【变式3-3】（2026·黑龙江·三模）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从正面观察组合体得到平面图形，再画出图形． 【详解】解：从正面看，底层是四个正方形，上层左边的第一个位置是一个正方形， 故主视图如图所示： ． 【变式3-4】（2026·江苏盐城·模拟预测）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从左面看该几何体是竖直一列三个矩形，只有选项A符合． 题型04 三视图的相关作图问题 【典例】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) 它的三视图如下： (2)120π 【分析】本题主要考查几何展开图还原组合体、三视图及组合体体积问题，还原组合体图形是解题的关键． （1）根据几何透视原理作出三视图； （2）由展开图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，先利用展开图以及三视图求出圆锥的高，然后求出圆锥的体积，再求出圆柱的体积，最后得到几何体的体积． 【详解】（1）解：由这个几何体的表面展开图可知，这个组合体上面是底面半径为3， 母线为5的圆锥体，下面是底面半径为3，高为12的圆柱体的组合体； （2）由勾股定理可得，上面圆锥的高为4， 所以这个组合体的体积为． 解题梳理 解题核心： 按位置关系规范作图，三等关系对齐。 作图步骤： - 第一步：确定主视图方向，画出主视图 - 第二步：在主视图正下方画俯视图，与主视图“长对正” - 第三步：在主视图正右方画左视图，与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等” 作图规范： - 看得见的轮廓线画实线 - 看不见的轮廓线画虚线 - 三视图位置：主视图左上，俯视图左下，左视图右上 - 标注尺寸时注意对应关系 常见类型： - 由几何体画三视图：按观察方向逐面画出 - 由三视图还原几何体：综合三个视图的形状和尺寸 - 由两个视图补画第三个视图：利用三等关系推导 - 小正方体组合体的三视图：在网格中画出各方向看到的轮廓 关键技巧： - 画俯视图后，可在俯视图上标注各位置层数辅助画主/左视图 - 主视图每列高度=俯视图该列最大层数 - 左视图每列高度=俯视图该行最大层数 易错提醒： 三视图位置放错；长对正、高平齐、宽相等未对齐；虚实线不分。 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【答案】 如图所示 【分析】此题考查了几何体的三视图，根据题意，分别画出主视图和左视图即可，掌握几何体的三视图的画法是解题的关键． 【详解】略 【变式4-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 【答案】(1) (2) 解：左视图如下图所示： (3) 【分析】本题主要考查了三视图、勾股定理，三视图是从几何体的正面、左面、上面观察到的几何体的平面图形． （1）过点作，根据等腰梯形的性质求出，利用勾股定理求出等腰梯形的高； （2）从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高； （3）几何体的侧面是四个矩形，其中左侧和右侧的矩形的长是宽是，正面的矩形长是宽是，后面的矩形长是宽是，根据矩形的面积公式求出四个矩形的面积之和即为几何体的侧面积． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 这个几何体的侧面积是． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． 【变式4-4】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 【答案】(1) (2)该几何体的表面积是 【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形； （2）分别得到各个方向看的正方形面数，相加后乘1个面的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 故该几何体的表面积是． 题型05 三视图的相关计算问题 【典例】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据左视图和主视图高平齐，即可求得左视图的周长 （2）由主视图可知，左视图可知，交于O，可知，进而可求得 （3）在中可求得的长 （4）由于，，即可得四边形面积为： 【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐， ∴左视图的周长为：， 故答案为： （2）∵由主视图可知，左视图可知，设交于O，可知， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为： （3）由（2）可知：， 故答案为： （4）由（2）可知：， 故答案为： 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体三种视图的特征，掌握三视图的特点是解决问题的关键 解题梳理 解题核心： 先由三视图还原几何体，确定尺寸后代入公式计算。 常见类型： 1. 求表面积 - 还原几何体，确定各面尺寸 - 分别计算各面面积再求和 - 圆柱：；圆锥： - 组合体注意重合部分不计入表面积 2. 求体积 - 柱体： - 锥体： - 球： - 组合体：分割成基本几何体分别求体积再求和 3. 求小正方体个数 - 在俯视图上标注每个位置的小正方体层数 - 主视图确定每列最大层数，左视图确定每行最大层数 - 最多个数：每个位置取行列允许的最大值 - 最少个数：在满足行列最大层数条件下尽量少放（最大层处至少一个） 解题步骤： - 第一步：由三视图还原几何体，确定形状和尺寸 - 第二步：明确所求（表面积/体积/个数） - 第三步：代入公式或标注层数计算 - 第四步：检查是否有遗漏或重复 易错提醒： 表面积漏算底面或重合面；圆锥侧面积公式中 是母线长不是高；小正方体个数最多最少情况要分清；三视图中的宽度方向不要搞反。 【变式5-1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)求该几何体的表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置； 此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：在俯视图的相应位置添加小正方体，如图所示， 最多可以再添加个小正方体． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)15 (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了三视图，计算几何体的表面积． （1）将每个位置的小立方块个数相加可得总个数； （2）根据主视图和左视图的定义画图即可； （3）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面（边长为1的正方形）有多少个即可得到答案． 【详解】（1）解：小立方块的个数为， 故答案为：15； （2）略 （3）解： 即该几何体的表面积为． 【变式5-3】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 【答案】(1)10个小正方体搭成 (2)最多可以再添加4个小正方体 【分析】（1）按照从后到前的顺序，计算得，解答即可； （2）根据不同方向看得到几何形状图特点解答即可． 本题考查了从不同方向看，熟练掌握不同方向看几何形状是解题的关键． 【详解】（1）解：按照从后到前的顺序，得， 故这个几何体由10个小正方体搭成． （2）从三个不同方向看这个几何体，图形如下： 观察图形可知：如果从左面和从上面看到的形状图不变，可以在第二列添加3个小正方体， 在第三列添加1个小正方体． ∴最多可以再添加（个）小正方体． 【变式5-4】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图是从几何体的正面看到的形状图求解即可． 【详解】解：由组合几何体可得，它的主视图为 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）用若干个大小相同的正方体搭成一个几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三视图的概念，需根据左视图和俯视图判断出原几何体． 根据左视图和俯视图可得该几何体可能出现的情况，即可解得． 【详解】解：如图，结合左视图、俯视图可知：该几何体可能的情况为： 或或 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北承德·期末）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．根据图中所给的数据，它的表面积为_____． 【答案】92 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，菱形的性质，勾股定理，由图形可得，该几何体的形状是直四棱柱，由三视图可得，棱柱底面菱形的对角线长分别为、，由勾股定理求出菱形的边长，最后由表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图可得，棱柱底面菱形的对角线长分别为、， 故菱形的边长为， 故棱柱的表面积为， 故答案为：92． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 【答案】11 【分析】本题考查平行投影的应用，矩形性质和判定，熟练掌握同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键． 过点D作于E，证明四边形为矩形，利用矩形性质得到，进而得到，再根据“同一时刻，物高与影长成正比”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于E， 由题易知，， 四边形为矩形， ， ， 设这棵大树高，则， 此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1， ， 解得； 故答案为：11． 10．（25-26九年级上·四川达州·期末）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影 (2) 如图，即为在阳光下的投影： (3) 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （1）作图如下： 4； （2）根据题意作图如下： 【分析】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． （1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【详解】解：（1）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）略 12．（2026·陕西咸阳·二模）洋县开元舍利塔，呈荸荠状，玲珑典雅，亭亭玉立，其塔结构精巧别致，各层四面皆垂有风铃．清风徐来，随风作响，是洋县县城的标志性古建筑．阳光明媚的一天，小洋对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小洋在该塔在阳光下的影子顶端处竖直立一根米长的标杆，并测得同一时刻标杆在太阳光下的影长，然后，小洋在的延长线上的点处，竖直立一根2米长的标杆，使得塔的顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上，并测得，，已知，，，点、、、、在同一直线上，且图中所有点均在同一平面内，请根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用等知识，先证明，求出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵同一时刻，太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， ∴， 即该塔的高度为． 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 【答案】(1) 如图， (2)该几何体的体积为． 【分析】（）根据主视图和左视图画图即可； （）根据体积等于立方体的个数单个的体积即可； 本题考查了从不同方向看物体，几何体体积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体的体积为 ， 答：该几何体的体积为． 15．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)该几何体的表面积（含下底面）是______； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块． 【答案】(1) 解：如图， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． （1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可； （2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可； （3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第1列后排和中间一排的小正方体上分别添加1，2块小正方体． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为， 故答案为：30； （3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列前排和后排添加无数个小正方体，在中间一列的后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在左边一列的后排添上一个正方体，中间一排添加两个小正方体， ∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加个小正方体， 故答案为：3． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，给这个几何体再加一个相同的小正方体（新加的小正方体与原几何体至少有一个面重合）后，其左视图不发生变化的操作方法有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】先明确左视图的定义，左视图是从几何体左面观察得到的图形，要使添加小正方体后左视图不变，需保证添加后从左面观察得到的各层各列正方形数量和原左视图一致，枚举所有符合要求的位置即可得到方法数． 【详解】∵原几何体的左视图从左看为两列，左列有2个正方形，右列有1个正方形， ∴添加小正方体后不能增加左视图任意一列的正方形数量，才能保证左视图不变， 枚举可得符合要求的位置共6种，． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于掌握几何体的基本性质． 根据主视图的形状，分析每个俯视图对应的左视图是否与主视图相同，找出不符合的选项． 【详解】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体为圆柱，则俯视图为A； 若上边的几何体为正四棱柱，下边的几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则主视图中上面的矩形中间应有虚线，故该几何体俯视图不可能是C； 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体为正四棱柱时，俯视图为D． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱体的表面积问题，掌握圆柱表面积的求法是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆柱，再求圆柱表面积即可． 【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，该圆柱底面半径，高， 所以，， 则这个几何体的表面积为． 故答案为：C． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 5．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）图①是棱长为a的小立方体，图②和图③由这样的小立方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n个图一共有n层，第n层的小立方体的个数记为S． (1)按照要求填表； n 1 2 3 4 5 …… n S 1 3 6 …… (2)写出当n＝10时，S的值； (3)说出第10个图的三视图特点． 【答案】(1)10，15 (2)55 (3)三视图的行数、列数都相同，正方形个数相同；左视图与主视图相同 【分析】（1）根据题意可以得出从上到下第一层为1，第二层为1+2，…、第n层为：s＝1+2+…+n＝，从而可求解； （2）根据（1）所得的规律，即可得出当n＝10时，S的值． （3）分析其三视图即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：从上到下第一层为1， 第二层为1+2， 第三层为1+2+3， …， ∴第n层为：S＝1+2+…+n＝， ∴当n＝4时，S＝1+2+3+4＝10， 当n＝5时，S＝1+2+3+4+5＝15， 故答案为：10，15； （2）解：∵第n层为：S＝1+2+…+n＝， ∴当n＝10时，S＝＝55； （3）解：三视图的行数、列数都相同，正方形个数相同；左视图与主视图相同． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，三视图，解答的关键是由所给的图形分析清楚存在的规律． 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】(1) 画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： (2)2 【分析】本题考查三视图的画法，解题关键是根据三视图的定义和画法解答． （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑主视图和左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，要保持主视图、俯视图和左视图都不变，则最多可以添加2个小立方块． 故答案为：2． 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数． (1)请画出它的主视图和左视图． (2)若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为________． 【答案】(1)（1）如图所示． (2)32 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图和简单组合体的表面积，画三视图时需要注意“长对正，宽相等，高平齐”． （1）根据俯视图以及俯视图中每个位置所摆放的小立方体的个数，即可看画出其主视图和左视图； （2）根据三视图的面积以及被挡住的面继续计算即可． 【详解】（1）解：俯视图中的数字表示在该位置上小正方体的个数；主视图从正面看，显示从左到右依次为个、个、个小正方体的高度；左视图从左侧看，显示从左往右依次为个、个小正方体的高度，可以得出以下主视图、左视图： （2）解：俯视图和仰视图的面积为， 主视图和后视图的面积为， 左视图和右视图的面积为， 因此，该几何体的表面积为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体． (1)请用粗实线在虚线网格中顺次画出这个几何体主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上拿掉一些小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以拿掉 个小正方体； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． (4)如果给原来这个几何体表面喷上漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积为 ． 【答案】(1) 如图所示： (2)1 (3)4 (4)32 【分析】本题考查作图-三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． （1）根据三视图的定义作出图形即可； （2）可在第二层第一列第二行拿掉1个； （3）可在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，相加即可求解； （4）根据几何体的表面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：在第二层第一列第二行拿掉1个， 故最多可以拿掉1个， 故答案为：1； （3）解：在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个， （个）； 故最多可以再添加4个小正方体， 故答案为：4； （4）解： ． 故这个几何体喷漆的面积是32． 故答案为：32． 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 【答案】(1) (2)3m 【分析】（1）根据相似三角形的性质，建立等量关系即可求解； （2）先证，，根据相似三角形的性质建立等量关系即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，掌握平行投影是解题关键． 【详解】（1）解：,, ， , , , 则， ， 故答案为：． （2）即为所求． ，，， ，，， ，， 又， ， 设， 则， 解得， 由（1）得， ， 假山的高度为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 【答案】(1)正六棱柱 (2) 解：如图所示： (3)表面积为，体积为 【分析】（1）通过观察三视图的形状，判断密封纸盒的几何体类型； （2）正六棱柱的表面展开图由两个正六边形底面和六个矩形侧面组成，按照此结构补全图②的展开图即可； （3）先确定正六棱柱的底面边长、高，再分别计算侧面积、两个底面积得到表面积，计算底面积与高的乘积得到体积． 【详解】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状为正六棱柱．   （2）略 （3）解：由（2）可知，密封纸盒的高为，底面边长为， ∴密封纸盒的表面积为， 体积为． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体及正六棱柱的表面积、体积计算，掌握根据三视图确定几何体形状，结合正六棱柱的边长、高计算表面积和体积是解题的关键． 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 13．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（个）正方形， (2)个正方形， (3)存在，（个）小正方体 【分析】本题考查了图形的变化规律，读懂题意，根据题意得出图形的变化规律是解本题的关键． (1)根据题意可知第个图中，从正面看有个正方形，据此解答即可； (2)正面看到的正方形个数有个，据此解答即可； (3)因为从正面和上面一共看到个正方形，则，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第6个图形的主视图有（个）正方形， 其表面积为． （2）解：由题意可知，第个图形的主视图有个正方形， 其表面积为． （3）解：存在． 主视图和俯视图一共有90个正方形，且这两个视图的正方形的个数是相同的， ， 解得（负值已舍去）， 这个图形一共用了（个）小正方体． 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）用7个小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请你画出从它的正面和左面看到的形状图． (2)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___________个小立方块． 【答案】(1) 如图： (2)3 【分析】本题考查三视图的相关计算、作三视图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据三视图的定义作图即可； （2）根据三视图的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵保持从上面和左面观察到的形状图不变， ∴从上面观察第一行第一列可以放1个小立方块，第一行第二列可以放2个小立方块， ∴最多可以添加3个小立方块， 故答案为：3． 15．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某玩具店根据乐高积木数量的不同，订制了不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图①），长方体纸箱的长为，宽为，高为． (1)制作一个长方体纸箱需要________纸板（用含的代数式表示）； (2)如图②所示的是由若干个同型号的长方体纸箱堆成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为多少？ (3)店铺要将两个装有相同数量乐高积木的同一型号的小外包装盒包装在一个更大的外包装盒内．已知单个小外包装盒的长和高相等，且宽小于长．如图③所示，现有甲、乙两种摆放方式，请分别计算甲、乙两种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； 【答案】(1) (2)组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为 (3)甲：，乙：；甲种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积更少 【分析】本题考查了几何体的表面积问题，掌握长方体的表面积公式是解题的关键． （1）根据长方体的表面积公式求解即可； （2）根据三视图求解即可； （3）根据不同摆放方式的纸板面积进行判断即可． 【详解】（1）解：长方体的表面积为，上盖纸板面积为， ∴需要； 故答案为：； （2）解：根据三视图知，组成这个几何体的长方体纸箱个数最少的分布情况如图所示，图中所示数字表示该位置上长方体纸箱的个数， 组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为． （3）解：由题意，得． 甲：． 乙：． ． 甲所需纸板面积-乙所需纸板面积， 甲种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积更少． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 投影与视图章末重难点复习 5知识点+5题型+巩固训练+强化训练 1.理解正投影、平行投影与中心投影的定义与性质； 2.掌握平行投影与中心投影的应用； 3.理解三视图的定义与性质； 4.掌握三视图的相关计算问题。 1. 正投影 （1）投影的定义 用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）正投影的定义 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 （3）正投影的性质 - 线段的正投影： - 线段平行于投影面时，投影长度等于线段实长 - 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段实长 - 线段垂直于投影面时，投影积聚为一个点 - 平面图形的正投影： - 平面图形平行于投影面时，投影反映实形（形状、大小不变） - 平面图形倾斜于投影面时，投影形状改变，面积缩小 - 平面图形垂直于投影面时，投影积聚为一条线段 - 几何体的正投影： 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 2.平行投影 （1）平行投影的定义 由平行光线形成的投影叫做平行投影。如太阳光照射下物体的影子。 （2）平行投影的特点 - 投影线互相平行 - 同一时刻，不同物体的高度与影长成正比 - 物体上的点和影子上的对应点连线互相平行 （3）平行投影的性质 - 等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻影长相等 - 等长的物体平行于地面放置时，同一时刻影长相等 - 同一时刻，物高与影长成正比例： （4）平行投影的应用 - 测量物体高度： 利用同一时刻物高与影长成正比，列比例式计算 - 判断投影方向： 根据影子方向判断太阳方位 - 区分不同时刻的影子： 从早晨到傍晚，影子方向由西向东变化，长度由长变短再变长 3.中心投影 （1）中心投影的定义 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如灯泡、手电筒、路灯照射下物体的影子。 （2）中心投影的特点 - 投影线交于一点（点光源） - 物体上的点和影子上的对应点连线交于一点（光源位置） - 影子的大小与物体到光源的距离有关：物体离光源越近，影子越大；离光源越远，影子越小 （3）中心投影的性质 - 等高的物体垂直于地面放置时，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长 - 等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短（但不小于物体本身长度） - 点光源、物体边缘点、影子边缘点三点共线 （4） 确定点光源位置的方法 - 分别过物体上的点及其影子上的对应点画直线 - 这些直线的交点就是点光源的位置 - 至少需要两组对应点才能确定光源位置 （5）平行投影与中心投影的区别 - 平行投影： 投影线平行，同一时刻物高与影长成正比 - 中心投影： 投影线交于一点，影子大小随距离变化 - 判断方法： 过物体顶端和影子顶端作直线，平行的是平行投影，相交于一点的是中心投影 4.三视图 （1）三视图的定义 - 主视图： 从正面（由前向后）观察物体得到的视图 - 俯视图： 从上面（由上向下）观察物体得到的视图 - 左视图： 从左面（由左向右）观察物体得到的视图 （2）三视图的位置关系 - 主视图在左上方 - 俯视图在主视图正下方 - 左视图在主视图正右方 （3）三视图的大小关系（三等关系） - 主视图与俯视图：长对正（长度相等） - 主视图与左视图：高平齐（高度相等） - 俯视图与左视图：宽相等（宽度相等） - 口诀： 长对正、高平齐、宽相等 （4） 三视图的画法 - 第一步：确定主视图方向，画出主视图 - 第二步：在主视图正下方画俯视图，注意”长对正” - 第三步：在主视图正右方画左视图，注意”高平齐、宽相等” - 看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线 （5）常见几何体的三视图 - 正方体： 三个视图都是正方形 - 圆柱： 主视图和左视图是矩形，俯视图是圆 - 圆锥： 主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 - 球： 三个视图都是圆 - 棱柱： 主视图和左视图为矩形（或组合矩形），俯视图为多边形 （6）由三视图还原几何体 - 根据各视图的形状特征，综合判断几何体的形状 - 主视图反映物体的长和高 - 俯视图反映物体的长和宽 - 左视图反映物体的宽和高 - 注意实线（可见棱）和虚线（不可见棱）的含义 5.与三视图相关的计算问题 （1）由三视图求几何体的表面积 - 先由三视图还原几何体，确定各部分尺寸 - 分别计算各面面积，再求和 - 注意：三视图反映的尺寸要对应到几何体的实际尺寸 - 圆柱侧面积 ，圆锥侧面积 ，全面积 侧面积 底面积 （2）由三视图求几何体的体积 - 还原几何体后，代入体积公式计算 - 柱体体积 底面积 高 - 锥体体积 底面积 高 - 球体体积 - 组合体：分割成几个基本几何体，分别求体积再求和 （3）由三视图求小正方体个数 - 方法： 在俯视图上标注每个位置的小正方体层数 - 主视图反映每列的最大层数 - 左视图反映每行的最大层数 - 综合主视图和左视图，确定俯视图每个位置的层数 - 最多情况： 每个位置取最大可能层数；最少情况： 在满足条件下尽量少放 题型01 平行投影 【典例】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解题梳理 解题核心： 同一时刻物高与影长成正比，投影线互相平行。 常见考法： - 求物体高度：利用 ，列比例式 - 求影长：已知物高和比例关系，列比例式 - 判断投影时刻：根据影子方向和长度变化规律判断 - 画平行投影：过物体顶端作已知光线的平行线，确定影子端点 解题步骤： - 识别平行投影（太阳光），确认投影线平行 - 找出两组对应物高和影长 - 列比例式求解 关键规律： - 从早晨到傍晚，影子方向：西→西北→北→东北→东 - 影子长度：长→短→长（正午最短） - 同一时刻，不同物体物高与影长成正比 易错提醒： 必须是“同一时刻”才能用比例关系；注意单位统一。 【变式1-1】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A．B． C． D． 【变式1-2】（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【变式1-3】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【变式1-4】（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 题型02 中心投影 【典例】（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 解题梳理 解题核心： 投影线交于点光源，点光源、物体顶端、影子顶端三点共线。 常见考法： - 确定点光源位置：过两组物体顶端及其影子顶端作直线，交点即为光源 - 求影子长度：利用相似三角形（X型相似）列比例式 - 求物体高度：同上，利用相似三角形 - 判断影子变化：物体移动时影子长短的变化 解题步骤： - 过物体顶端和影子顶端作直线（光线） - 两条光线交点即为点光源 - 利用相似三角形（光源、物体、影子构成的三角形）列比例式求解 关键技巧： - 点光源、物体边缘点、影子边缘点三点共线 - 常构造X型相似三角形，对应边成比例 - 物体离光源越近影子越大，离光源越远影子越小 易错提醒： 中心投影物高与影长不成正比（不同于平行投影）；确定光源至少需要两组对应点。 【变式2-1】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【变式2-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为___________． 题型03 判断几何体的三视图 【典例】（2026·宁夏·中考真题）如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 解题梳理 解题核心： 明确观察方向，抓住“长对正、高平齐、宽相等”。 三视图特征： - 主视图（正面看）：反映物体的长和高 - 俯视图（上面看）：反映物体的长和宽 - 左视图（左面看）：反映物体的宽和高 常见几何体三视图： - 正方体：三个视图都是正方形 - 圆柱：主/左视图为矩形，俯视图为圆 - 圆锥：主/左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆 - 球：三个视图都是圆 - 棱柱：主/左视图为矩形，俯视图为多边形 解题方法： - 从指定方向观察，看到的棱画实线，看不到的棱画虚线 - 注意小正方体堆叠时，每列/每行的最大高度决定视图轮廓 - 组合体要分清各部分的位置关系 易错提醒： 虚线表示看不见的棱，不能漏画也不能多画；俯视图中圆锥的圆心点不能漏；注意左视图的方向（从左向右看）。 【变式3-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）榫卯结构是中华民族独特的工艺创造，我们的祖先早在河姆渡新石器时代就已经开始使用榫卯了．如图是燕尾形榫卯的示意图，其中榫的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图是一个圆柱和一个球组成的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·黑龙江·三模）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·江苏盐城·模拟预测）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 题型04 三视图的相关作图问题 【典例】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 解题梳理 解题核心： 按位置关系规范作图，三等关系对齐。 作图步骤： - 第一步：确定主视图方向，画出主视图 - 第二步：在主视图正下方画俯视图，与主视图“长对正” - 第三步：在主视图正右方画左视图，与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等” 作图规范： - 看得见的轮廓线画实线 - 看不见的轮廓线画虚线 - 三视图位置：主视图左上，俯视图左下，左视图右上 - 标注尺寸时注意对应关系 常见类型： - 由几何体画三视图：按观察方向逐面画出 - 由三视图还原几何体：综合三个视图的形状和尺寸 - 由两个视图补画第三个视图：利用三等关系推导 - 小正方体组合体的三视图：在网格中画出各方向看到的轮廓 关键技巧： - 画俯视图后，可在俯视图上标注各位置层数辅助画主/左视图 - 主视图每列高度=俯视图该列最大层数 - 左视图每列高度=俯视图该行最大层数 易错提醒： 三视图位置放错；长对正、高平齐、宽相等未对齐；虚实线不分。 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【变式4-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【变式4-4】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 题型05 三视图的相关计算问题 【典例】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 解题梳理 解题核心： 先由三视图还原几何体，确定尺寸后代入公式计算。 常见类型： 1. 求表面积 - 还原几何体，确定各面尺寸 - 分别计算各面面积再求和 - 圆柱：；圆锥： - 组合体注意重合部分不计入表面积 2. 求体积 - 柱体： - 锥体： - 球： - 组合体：分割成基本几何体分别求体积再求和 3. 求小正方体个数 - 在俯视图上标注每个位置的小正方体层数 - 主视图确定每列最大层数，左视图确定每行最大层数 - 最多个数：每个位置取行列允许的最大值 - 最少个数：在满足行列最大层数条件下尽量少放（最大层处至少一个） 解题步骤： - 第一步：由三视图还原几何体，确定形状和尺寸 - 第二步：明确所求（表面积/体积/个数） - 第三步：代入公式或标注层数计算 - 第四步：检查是否有遗漏或重复 易错提醒： 表面积漏算底面或重合面；圆锥侧面积公式中 是母线长不是高；小正方体个数最多最少情况要分清；三视图中的宽度方向不要搞反。 【变式5-1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)求该几何体的表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． 【变式5-2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 【变式5-3】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由多少个小正方体搭成； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体． 【变式5-4】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）用若干个大小相同的正方体搭成一个几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北承德·期末）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 6．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 7．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 8．（25-26九年级上·山东枣庄·期末）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．根据图中所给的数据，它的表面积为_____． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 10．（25-26九年级上·四川达州·期末）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（2026·陕西咸阳·二模）洋县开元舍利塔，呈荸荠状，玲珑典雅，亭亭玉立，其塔结构精巧别致，各层四面皆垂有风铃．清风徐来，随风作响，是洋县县城的标志性古建筑．阳光明媚的一天，小洋对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小洋在该塔在阳光下的影子顶端处竖直立一根米长的标杆，并测得同一时刻标杆在太阳光下的影长，然后，小洋在的延长线上的点处，竖直立一根2米长的标杆，使得塔的顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上，并测得，，已知，，，点、、、、在同一直线上，且图中所有点均在同一平面内，请根据以上测量数据，求该塔的高度． 13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 15．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)该几何体的表面积（含下底面）是______； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，给这个几何体再加一个相同的小正方体（新加的小正方体与原几何体至少有一个面重合）后，其左视图不发生变化的操作方法有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．7种 2．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 5．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）图①是棱长为a的小立方体，图②和图③由这样的小立方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n个图一共有n层，第n层的小立方体的个数记为S． (1)按照要求填表； n 1 2 3 4 5 …… n S 1 3 6 …… (2)写出当n＝10时，S的值； (3)说出第10个图的三视图特点． 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数． (1)请画出它的主视图和左视图． (2)若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积为________． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体． (1)请用粗实线在虚线网格中顺次画出这个几何体主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上拿掉一些小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以拿掉 个小正方体； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． (4)如果给原来这个几何体表面喷上漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积为 ． 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 12．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 13．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）用7个小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请你画出从它的正面和左面看到的形状图． (2)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___________个小立方块． 15．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某玩具店根据乐高积木数量的不同，订制了不同型号的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图①），长方体纸箱的长为，宽为，高为． (1)制作一个长方体纸箱需要________纸板（用含的代数式表示）； (2)如图②所示的是由若干个同型号的长方体纸箱堆成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的长方体纸箱个数最少为多少？ (3)店铺要将两个装有相同数量乐高积木的同一型号的小外包装盒包装在一个更大的外包装盒内．已知单个小外包装盒的长和高相等，且宽小于长．如图③所示，现有甲、乙两种摆放方式，请分别计算甲、乙两种摆放方式所需大外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $