第四章 投影与视图 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 知识归纳与题型总结 题型01 投影 一、投影，中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 二、平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【典例1-1】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为___________． 【典例1-2】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【典例1-3】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 题型02 视图 一、三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 二、三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 三、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【典例2-1】如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【典例2-2】一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 【典例2-3】如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 一、选择题 1．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 2．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 3．如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是线段AB在投影面上的正投影．已知，则投影的长为（    ） A． B． C． D． 5．一个积木由四个相同的小正方体搭成，它的左视图和俯视图均如图所示，则这个积木可能是（    ） A． B． C． D． 6．由6个大小相同的小正方体组成的几何体如图所示，随机移走标号为①~⑤的小正方体中的1个，左视图不发生改变的概率是（    ） A．1 B． C． D． 7．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b的值分别为（    ） A．2，2 B．2，1 C．1，2 D．1，1 二、填空题 11．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为_________． 12．周一我校举行升旗仪式，面对冉冉升起的五星红旗，聆听雄壮嘹亮的国歌，庄严感、自豪感油然而生．仪式结束后，某同学想测量旗杆的高度，如图，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为米，留在墙上的影高为米，则旗杆的高度为______米． 13．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 14．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 _____米． 15．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 三、解答题 16．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． (2)求路灯灯泡的垂直高度． (3)若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 17．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 18．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 19．如图，是用个大小相同的小正方体搭成的几何体．请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． (1)在下列方格中画出三视图； (2)当小正方体的棱长为时，求搭成的几何体的表面积． 20．如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 知识归纳与题型总结 题型01 投影 一、投影，中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 二、平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【典例1-1】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，中心投影，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据矩形与矩形位似，证明△△，得到，得到，根据纸片的面积为，即得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例1-2】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】(1)见解析 (2)灯柱的高为米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定； （1）连接 并延长交地面于，连接并延长交地面于则为竹竿的影长，为竹竿的影长； （2）依题意，，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，进而解比例式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 【典例1-3】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】 解：如图所示，即为所作的三视图． 【分析】本题考查投影，三视图，掌握知识点是解题的关键． 根据三视图的定义解答即可． 【详解】略 题型02 视图 一、三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 二、三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 三、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【典例2-1】如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （）先分析几何体的小正方体堆叠结构，再分别从正面、左面、上面观察，确定每列小正方形的个数与分布，据此画出主视图、左视图、俯视图； （）明确底层不喷漆的规则，逐一分析各层小正方体的暴露面数(贴合面与底面不计)，结合几何体堆叠结构，数出仅三个面暴露的小正方体数量即可解答． 【详解】（1）解：由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为； 左视图有列，每列小正方形数目分别为； 俯视图有列，每列小正方形数目分别为．据此可画出图形； （2）解：正方体只有三个面是红色的应该是：第一列个，第二列个，第三列最底层个， ∴共个． 故答案为：． 【典例2-2】一个几何体由若干个棱长为的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)请在下面的方格纸中画出该几何体的主视图和左视图； (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)15 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三视图，计算几何体的表面积． （1）将每个位置的小立方块个数相加可得总个数； （2）根据主视图和左视图的定义画图即可； （3）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面（边长为1的正方形）有多少个即可得到答案． 【详解】（1）解：小立方块的个数为， 故答案为：15； （2）解：如图，即为所求； （3）解： 即该几何体的表面积为． 【典例2-3】如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 一、选择题 1．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形相似的条件、正方形的判定、反比例函数的对称性以及平行投影的性质。逐一分析各选项，A、B、C均错误，D正确。 【详解】解：∵ 矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但任意两个矩形的边长不一定成比例，∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形对角线互相垂直但不是正方形，∴ B错误； ∵ 反比例函数图象既是轴对称图形（关于直线和对称），也是中心对称图形（关于原点对称），∴ C错误； ∵ 太阳光是平行光，同一时刻身高与影长构成相似三角形，故身高与影长的比相等，∴ D正确。 故选D 2．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 3．如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的俯视图面积，掌握从上方观察积木单元，数出俯视图包含的小正方形个数是解题的关键． 分别分析每个选项中积木单元的俯视图，计算其包含的小正方形个数，个数最少的即为俯视图面积最小的． 【详解】解：三个选项的俯视图都由3个小正方形组成， C选项的俯视图由2个小正方形组成， 因此俯视图面积最小的是C选项中的图形． 故选：C． 4．如图，是线段AB在投影面上的正投影．已知，则投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影与三角函数的应用，掌握构造直角三角形，利用三角函数定义求解投影长度是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用角度关系求出锐角，再根据三角函数的定义求解投影的长度． 【详解】解：过点作于点，则， ， 在中，，即． 故选：A． 5．一个积木由四个相同的小正方体搭成，它的左视图和俯视图均如图所示，则这个积木可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由左视图和俯视图判断几何体，掌握分析每个选项的左视图和俯视图形状，与题目给定的视图对比是解题的关键． 根据左视图和俯视图的形状，逐一分析每个选项的左视图和俯视图是否与之匹配． 【详解】解：A、左视图和俯视图与题目给定的形状相符，符合题意； B、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意； C、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意； D、俯视图与题目给定的形状不符，不符合题意． 故选：A． 6．由6个大小相同的小正方体组成的几何体如图所示，随机移走标号为①~⑤的小正方体中的1个，左视图不发生改变的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查左视图和概率的综合应用，掌握分析移走小正方体后左视图的变化情况，结合概率公式计算概率是解题的关键． 先确定原几何体的左视图，再分析移走每个标号小正方体后左视图是否改变，统计左视图不改变的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：原几何体的左视图有2列，第1列有2层，第2列有3层． 移走①：左视图第2列层数变为2，左视图改变； 移走②：左视图形状不变； 移走③：左视图形状不变； 移走④：左视图形状不变； 移走⑤：左视图形状不变； 左视图不改变的情况有4种，总情况数为5种，概率为． 故选：C． 7．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图还原几何体，再求表面积即可． 【详解】解：根据三视图可知，这个几何体为圆锥． 直径为6cm，高为4cm， 圆锥母线长为， 表面积为． 故选：B． 8．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的旋转与俯视图，掌握直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，圆锥的俯视图是圆是解题的关键． 先确定直角三角形绕直角边旋转一周所得的几何体，再分析该几何体的俯视图形状，进而判断选项． 【详解】解：绕直角边旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是一个圆． A、是圆且含圆心，符合圆锥俯视图的形状，符合题意； B、是直角三角形，不符合题意； C、是正方形，不符合题意； D、是三角形，不符合题意． 故选：A． 9．如图所示的是某几何体的主视图．若该几何体的左视图和主视图相同，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于掌握几何体的基本性质． 根据主视图的形状，分析每个俯视图对应的左视图是否与主视图相同，找出不符合的选项． 【详解】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体为圆柱，则俯视图为A； 若上边的几何体为正四棱柱，下边的几何体为圆柱，则俯视图为B； 若俯视图为C，则主视图中上面的矩形中间应有虚线，故该几何体俯视图不可能是C； 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体为正四棱柱时，俯视图为D． 故选：C． 10．如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b的值分别为（    ） A．2，2 B．2，1 C．1，2 D．1，1 【答案】D 【分析】本题考查由俯视图和三视图的关系确定小正方体个数，掌握根据俯视图分析主视图和左视图的层数，结合两者相同的条件确定参数是解题的关键． 先根据俯视图确定主视图和左视图的列数及每列层数，再结合主视图与左视图相同的条件，分析的可能值． 【详解】解：主视图有3列，从左到右层数分别为， 左视图有3列，从左到右层数分别为， 因为主视图与左视图相同， 所以． 故选：D． 二、填空题 11．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查平行投影，相似三角形的实际应用，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∴ ∴， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故答案为：． 12．周一我校举行升旗仪式，面对冉冉升起的五星红旗，聆听雄壮嘹亮的国歌，庄严感、自豪感油然而生．仪式结束后，某同学想测量旗杆的高度，如图，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为米，留在墙上的影高为米，则旗杆的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影及相似三角形的应用，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长定值． 同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，得到，进而可得，代入数据即可求得的长，即可求得的长． 【详解】解：如图， 过点作于点，则米，米， 某一时刻竹竿和影长构成的三角形为，此时米，米， 根据题意，同一时刻，， ， ， 米， （米）， 故答案为：． 13．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 14．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 _____米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行投影、相似三角形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，然后代入求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形，是矩形， 则米，，米，米． ∵米，米 ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 15．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查空间几何体的正投影，掌握从不同面观察空间四边形，确定各顶点投影的位置关系是解题的关键． 分别从正方体的不同面观察空间四边形，确定其在各个面上的正投影形状． 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影． 故答案为：①②③． 三、解答题 16．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． (2)求路灯灯泡的垂直高度． (3)若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的性质对应边成比例解题； （1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出，连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中由它们对应成比例可以求出； （3）利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）解：连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置，如图所示： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：同理， ∴， ∴，解得：， 同理，解得：， ∴，解得：． 17．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 【答案】(1)变短 (2)小亮的影长是米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定及性质，解题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据题意可得他在地面上的影子的变化情况为变短； （2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短， 故答案为：变短； （2）解：设米，则当米时，米， ， 即， ； 当米时，设小亮的影长是米， ， ， ． 即小亮的影长是米． 18．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查三视图的画法，解题关键是根据三视图的定义和画法解答． （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑主视图和左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）解：画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： （2）解：如图，要保持主视图、俯视图和左视图都不变，则最多可以添加2个小立方块． 故答案为：2． 19．如图，是用个大小相同的小正方体搭成的几何体．请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． (1)在下列方格中画出三视图； (2)当小正方体的棱长为时，求搭成的几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键． （）根据几何体画出图形即可； （）根据正方体求出几何体的表面积即可． 【详解】（1）解：从正面看：共有列，从左往右分别有个小正方形； 从左面看：共有列，从左往右分别有个小正方形； 从上面看：共分列，从左往右分别有个小正方形，据此可画出图形. 如图所示： （2）解：∵小正方体棱长为， 小正方形的面积为， ∴该几何体的表面积为． 20．如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】作，得到四边形为矩形，解，求出的长，进而求出的长，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出比例式求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∵综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，李华的身高，， ∴，即， ∴， ∴； 答：综合楼的高度约为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $