4.2平方根与立方根 第2课时 教学设计 2026--2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第四章 实数

4.2平方根与立方根

第二课时

本课时是紧接《算术平方根》之后的内容，是学生对数的认识从单向度（非负）向双向度（正、负）的一次重要扩展.教材的核心任务是引入平方根的完整概念，即明确“如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根”，从而指出一个正数有两个互为相反数的平方根.这解释了上一课时“算术平方根”的来源（即正的那个平方根），并引入了新的符号表达“±”.本节课承上启下，既巩固了算术平方根的知识，又为后续理解实数的完整性等知识奠定了至关重要的基础.

学生已经掌握了算术平方根的定义、表示方法和其“非负”的特性，这是学习本节课的直接基础，然而，学生的思维定势（认为一个运算只有一个结果）是本节课最大的认知障碍.他们很容易将“平方根”与“算术平方根”混淆，在求一个数的平方根时，普遍会漏掉负的平方根.同时，对符号“±”的理解（它表示两个数，即+ 和-）也是一个需要突破的难点.除此之外，学生可能还会产生“负数的平方根”是否存在的疑问，这为后续引入无理数和复数埋下了伏笔，但在本课需明确界定在实数范围内，负数没有平方根.

1.了解平方根、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算；

2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系；

3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养学生求同和求异的思维方法；

4.通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神.

重点：平方根和开平方的概念，会求一个数的平方根.

难点：平方根和算术平方根的联系与区别.

         复习回顾

1.什么是算术平方根？

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的             ，记为“      ”，读作“       ”.

2.算术平方根的性质

一个正数的算术平方根是一个      ；

0的算术平方根是            ；

负数        算术平方根.

算术平方根有双重非负性：_______________

预设答案：1.算术平方根；；根号a

2.正数；0；没有；，

设计意图：回顾算术平方根的概念及性质，为学习平方根作铺垫．回顾算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心理准备.

         探究新知

活动一：探究平方根的概念

试一试：计算下列结果

3的平方是9，那么9的算术平方根是          .

的平方等于，那么的算术平方根是      .

0.8的平方等于0.64，那么0.64的算术平方根是        .

预设答案：3；；0.8

思考：平方等于9，，0.64的数还有吗？

探究：如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？

答：由于(3)²=9，那么这个数也可以是3；因此平方为9的数由：3或-3.

学生可能很快回答出这个数可以是3，教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数.

同样的，平方等于的数有；平方等于0.64的数有0.8和0.8，

思考：观察这些数，有什么特征呢？

3或-3、、0.8和0.8分别互为相反数.

总结：一般地，如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.

例如，3²=9，(3)²=9，3和3是9的平方根，简记为3是9的平方根.

活动二：探究平方根的读法和写法

活动三：探究平方根的性质

探究：找出符合下列条件的x的值.

x2=16，x=      

y2=1，y=      

z2=0，z=      

s2=5，s=      

w2=16，w=      

预设答案：

x2=16，x=  

y2=1，y=   

z2=0，z=0

s2=5，s=

w2=16，w=不存在

追问：你发现了什么？

总结：①正数有两个平方根，且互为相反数；

②0的平方根是它本身；

③负数没有平方根.

设计意图：通过具体的数例，让学生发现并总结平方根的概念、表示方法、性质，为后续求解非负数的算术平方根扎实基础.

活动四：探究平方根和算术平方根的区别与联系

总结：

设计意图：平方根与算术平方根的概念容易混淆，让学生找出二者相同点与不同点，加深学生对它们区别与联系的理解，能够更好的正确理解两个不同的概念并准确解题.

活动五：探究开平方的概念