4.1 无理数 第1课时 教案 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

该教案聚焦“无理数”概念，通过复习有理数（整数和分数）引入，结合两个边长为1的小正方形拼图活动，引导学生发现大正方形边长a满足a²=2，建立从有理数到无理数的数系扩充脉络，搭建学习支架。 此资料以拼图探究为核心，通过几何直观（数学眼光）让学生感受无理数存在，推理a是否为整数、分数（数学思维），结合a²=2、b²=5等实例巩固，培养抽象能力与创新意识。助力学生提升探究能力，为教师提供可操作的分层教学活动，提升课堂效率。

第四章 实数 4.1无理数 第1课时   一、教材分析 本节课是鲁教版七年级上册第四章第一节的内容.本节所属的单元是《实数》,数的范围从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，初中阶段的多数问题是在实数范围内进行的，同时实数也是后继内容学习(如一元二次方程、函数等)的基础. 无理数作为本章的第一节内容，具有基础性，定位是学生通过活动探究，认识一类新数--无理数.为了适应后续学习的需要,本节课的教科书突出了无理数产生的实际背景，让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数，从而产生探求的欲望.就像章前主题图所呈现的正方形的拼图活动，用数形结合的方法表明无理数的客观存在.这一过程与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时也对后续用根号表示无理数、用根号进行计算以及开方运算的引入起了铺垫作用.   二、学情分析 学生在六年级上学期已经经历了数系的第一次扩充，在小学非负有理数知识的基础上引进了负有理数，本章在有理数有关知识的基础上，进行数系的第二次扩充，引入无理数，将有理数扩充到实数，使学生对数的认识进一步深入.也就是说，学生已经有了数系扩充的学习经验，感受到数系的扩充既是源于实际生活的需要，也是数学理论发展的需要. 随着学生年龄的增长，他们的思维水平在不断提高.因此，本章内容在注重与现实生活联系的同时，更加重视数学知识的挑战性与深度，为学生提供许多有趣而富有数学含义的问题，如a可能是整数吗？a可能是分数吗？等等，让学生进行数学思考与探索，进一步发展学生的抽象思维水平.   三、教学目标 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由； 3.通过实践活动，体会到无理数在现实生活中大量存在； 4.感受无理数的广泛性，提高学生学习的自主性.   四、教学重难点 重点：通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 难点：能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由.   五、教学过程 · 复习回顾 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案. 问题：同学们还记得什么是有理数吗? 预设答案：整数和分数统称为有理数. 追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？ 预设答案：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数. 追问：有理数是如何分类的呢？ 预设答案： 提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？ 设计意图：温故知新，必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备. · 探究新知 活动一：探究无理数的存在性 探究：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 预设答案： 拼法一： 拼法二： 拼法三： 师生活动：分组操作，探索不同剪法和拼法。 设计意图：以小组探究的形式，通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在. 思考：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 预设答案： 一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1. S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， 所以 S大正方形=2； 根据正方形面积公式：S大正方形=a2 所以 a2=2. (2)a可能是整数吗？说说你的理由. 预设答案： 从“数”的角度： 因为a2=2, 而12=1, 22=4，32=9··· 所以12<a2<22 , 1< a< 2 所以a不是整数. 从“形”的角度： 在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系，斜边AB满足： AC-BC< a<AC+BC 即0<a<2，且 a≠1，所以 a不是整数 (3)a可能是分数吗？并与同伴进行交流. ， ， 从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数， 所以a不是分数. 师生活动：思考，解答.从不同角度感受数a的特点. 【归纳】 在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 设计意图：引导学生进行一些理性的思考，让学生自然感受到除了有理数外还有其他数的存在. 活动二：探究一个数是否是有理数 探究：（1）如下图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 预设答案： 解：(1)设直角三角形的斜边长为b， 根据勾股定理得：b2=12+22=5， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 所以以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. (2)因为正方形的边长为b， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 而S正方形=5，得出b2=5 所以b满足 b2=5. (3)因为b2=5，4<b2<9 ，所以2<b<3， 所以b不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而b2=5是整数， 所以b不是分数. b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数. 【归纳】 a2=2 b2=5 数a，b确实存在，但都不是有理数. 师生活动：学生思考，解答.判断给出的数是否为有理数. 设计意图：选取客观存在的“无理数”实例，让学生进一步深刻感受除有理数外还有别的数存在,为“新数”（无理数）的学习奠定了基础. · 应用新知 教材例题 教师活动：教师展示问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡查过程中若发现解题有困难的学生进行积极引导，最终教师展示答题过程. 例1 如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：因为△ABC是等边三角形，AD ⊥BC 所以D是BC的中点，且BC=2 所以BD=CD=1 在Rt△ABD中，由勾股定理得：h2=22 -12=4-1=3 因为1< h2<4，所以1<h<2，所以h不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数，而h2=3是整数，所以 h不是分数. 所以h不可能是整数，也不可能是分数. 设计意图：通过教材例题，及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 经典例题 例2在下图的正方形网格中，画出两条线段： （1）长度是有理数的线段a， （2）长度不是有理数的线段b. 预设答案： 答案不唯一. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过例题的探究让学生进一步感受除有理数外还有别的数存在，感受无理数的广泛性. · 课堂练习 【教材习题】 1.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 解：长度是有理数的线段是指：长度可以用整数与分数表示的线段. AB=1，AD=3，根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5， 所以线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段. 根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2，1<AC2<4，所以1<AC<2，所以AC不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2是整数，所以AC不是分数. 即AC为长度不是有理数的线段. 同理可得BE，CD为长度不是有理数的线段. 【自选练习】 2.已知a2=17，则a是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 答：选D. 解析：因为a2=17，而42=16，52=25，所以42<a2<52，4< a< 5，所以a不是整数. 因为两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=17是整数，所以a不是分数. 所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.所以答案选D. 3.以下各正方形的边长不是有理数的是( ) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 答：选C. 解析：假设正方形边长为a， 选项A中面积为25的正方形的边长是5，5是有理数，排除A选项； 选项B中面积为的正方形的边长是，是有理数，排除B选项； 选项C中面积为8的正方形中的边长满足：S正方形=a2=8， 因为a2=8，而22=4，32=9，42=16···，所以22<a2<32，2< a< 3，所以a不是整数. 因为两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=8是整数，所以a不是分数. 所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.所以答案选C. 选项D中面积为1.44的正方形的边长是1.2，1.2是有理数，排除D选项； 设计意图：结合不同类型的题目，通过课堂练习的方式及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯，检验学生对知识的掌握程度并及时查漏补缺． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.如何判断一个数是否为有理数？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过两个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $