4.2平方根与立方根 第1课时 教学设计 2026--2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“算术平方根”核心知识点，通过复习有理数与无理数分类及平方运算，结合正方形面积求边长问题引入，衔接乘方与开方运算，搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以“问题链”驱动探究，从具体正方形边长抽象出算术平方根概念，培养抽象能力与几何直观，通过性质探究强化推理意识，结合自由下落、帐篷支撑等实例提升应用意识，助力学生理解双重非负性，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第四章 实数 4.2平方根与立方根 第一课时   一、教材分析 本节课是鲁教版七年级上册第四章第二节的第1课时，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景来认识算术平方根，探究算术平方根的定义及性质，它是在学习“乘方”运算的基础上安排的，同时为后面学习实数及二次根式做铺垫.教材从学生熟悉的“正方形面积”的实际问题入手，抽象出算术平方根的数学概念，即一个非负数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根.这不仅是引入了新的数学符号“”，更重要的是为学生后续理解平方根、无理数乃至整个实数体系提供了关键的认知工具和知识起点.其内容编排体现了从具体到抽象、从已知（平方运算）到未知（开平方运算）的数学建构过程.   二、学情分析 七年级学生已经熟练掌握了平方运算，这是他们学习算术平方根最直接的知识基础.然而，从正向的“求平方”到逆向的“求平方根”是一次思维方式的转折，学生初期会感到不习惯.本节课最大的难点在于对算术平方根概念本身的理解（特别是“为什么规定结果是非负的”）以及对其双重非负性（≥0，且a≥0）的深刻把握.学生常见的错误是忽略被开方数a的非负性，错误认为（未考虑a为负数的情况）；以及对符号“”的陌生和畏惧感.教学中需通过大量实例，帮助学生完成从运算逆运算的角度理解新概念，并牢固建立其非负性的观念.   三、教学目标 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 2.会求非负数的算术平方根，了解算术平方根具有双重非负性； 3.经历学习算术平方根概念的过程，理解概念的本质，体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性； 4.通过对实际生活中问题的解决，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣.   四、教学重难点 重点：理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 难点：会求非负数的算术平方根，了解算术平方根具有双重非负性.   五、教学过程 · 复习回顾 将下列各数分类 0.351 1.41421356… 18 3.14159 π 有理数： 无理数： 无理数：无限不循环小数叫无理数. 判断一个数是不是无理数，关键就是看它：能不能写成无限不循环的小数. 背景介绍：上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题. 设计意图：回顾无理数的定义以及如何判断一个数是否为有理数，为本节课的学习打下基础，从平方入手，为学生学习算术平方根找到突破口，让他们对算术平方根的求法与平方的计算这种互逆的关系形成初步认识． · 探究新知 活动一：探究算术平方根的概念 试一试：求出下列正方形的面积. 预设答案：4；9；16 追问：若知道正方形的面积，假设正方形的边长为x，是否可以表示正方形的面积，并求出边长呢？ 试一试：求出下列正方形的边长x. 预设答案： 图(1)：x2=4，因为22=4，可知x=2； 图(2)：x2=9，因为32=9，可知x=3； 图(3)：x2=16，因为42=16，可知x=4； 思考：根据图形进行填空： 2 ， = 3 ， = 4 ， = 5 ， 问题：x，y，z，w哪些是有理数，哪些是无理数，你能表示它们吗？ 探究：我们知道，如果x2=a，则a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？ 算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. 例：3²=9，则3是9的算术平方根. x²=3(x＞0)，则x是3的算术平方根. 追问：如何表示x呢？ 设计意图：给出算术平方根的定义并举例说明，通过追问引出算术平方根的符号表示. 探究：怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？ 设计意图：在一些具体数据的感性认识基础上，由平方引导出算术平方根的概念及符号表示，让学生明白平方和算术平方根之间的互逆关系，为后续求算术平方根作铺垫. 思考：现在你能说出x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数吗？ 2 ， 预设答案：x=，是无理数. = 3 ， y=，是无理数. = 4 ， z==2，是有理数. = 5 ， w=，是无理数. 设计意图：根据算术平方根的符号表示，解决前面提出的问题，进一步熟悉求一个数的算术平方根及表示，同时加深学生对有理数及无理数的认识. 活动二：探究算术平方根的性质 探究：计算下列结果，你发现了什么？(以下xyzw为非负数) x2=9，x= = y2=9，y= = z2=9，z= = w2=9，w= = 预设答案： x2=9，x= y2=9，y= z2=9，z= w2=9，w= 总结：一个正数的算术平方根只有一个，且一定为正数； 负数没有算术平方根，即当当有意义时，a≥0； 我们规定：0的算术平方根是0，即. 注意：算术平方根是它本身的数只有0和1；只有非负数存在算术平方根. 总结：只有非负数存在算术平方根. 算术平方根具有双重非负性. 也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数. 探究：观察下列式子 当时，， 当a=0时 时，. 总结：当时，，当时. 即： 探究：观察下列式子 x2=5，x=，即()2=5 x2=17，x=，即)2=17 ()2=0 当时， 当时， 总结：当时，，因为m是被开方数，当时，无意义. 设计意图：再一次深入理解算术平方根的概念，认识算术平方根的性质，明确只有非负数才有算术平方根.给出问题，激发学生思考，并讨论交流，引导学生从数学现象背后发现数学规律. · 应用新知 教材例题 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师指名学生上台板演. 例 1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）；（4）14. 分析：根据算术平方根的定义及其性质解题即可. 解：(1)因为302 = 900，所以900的算术平方根是30，即； (2)因为，所以1的算术平方根是1，即； (3)因为，所以的算术平方根为，即； (4)14的算术平方根是； 例 2 自由下落物体下落的距离s（m）与下落时间t（s）的关系为s=4.9 t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s=19.6代入公式 s=4.9t2， 得：t2=4，所以t==2（s）. 因此：铁球到达地面需要2 s. 经典例题 例 3 若，求mn的值. 分析：绝对值具有非负性，算术平方根也具有非负性，两个非负数相加为0，则分别为0. 解：因为， 所以：，解得：m=1，n=-3， 所以：m+n=1+(3)=-2. 注意：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0. 设计意图：通过例题的探究进一步加深对算术平方根概念以及性质的认识和理解，并能求出所给数的算术平方根，利用算术平方根解决实际问题，感受数学与实际生活的密切关系，训练学生的思维判断能力. · 课堂练习 【自选练习】 1.判断： （1）5是25的算术平方根（ ）； （2）6是36的算术平方根（ ）； （3）0的算术平方根是0（ ）； （4）0.01是0.1的算术平方根（ ）； （5） 5是25的算术平方根（ ）. 答案：√ × √ × × 2.9的算术平方根是（ ） A.3 B.3 C.81 D. 81 答案：A 3.的算术平方根是( ) A.2 B.2 C. D. 答案：C 【教材习题】 4.求下列各数的算术平方根. 36，，17，0.81，10−4 解：因为6²=36，所以36的算术平方根是6，即=6； 因为，所以的算术平方根是 ，即； 因为17，所以17的算术平方根是； 因为0.81，所以0.81的算术平方根是； 因为，所以10−4的算术平方根是. 5.在△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=5，求AB的长. 解：由题意可知△ABC如下图所示， 根据勾股定理可知：AB=== 所以AB得长为. 6.如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是6.4m，则帐篷支撑杆的高是多少(精确到0.1m)? 分析：求帐篷支撑杆的高度实际就是求△ABC的高，即AB的长. 解：由题意可知在△ABC中， 根据勾股定理可知： AB====4.8（米） 答：帐篷支撑杆的高是4.8米. 设计意图：通过不同类型的题目，结合课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯，检验学生对知识的掌握程度并及时查漏补缺． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.算术平方根的定义是什么？ 3.算术平方根的性质有哪些？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $