第2章一元二次方程单元巩固复习小练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 同步练·单元复习，分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配单元复习巩固，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、基本解法|以直接辨析方程类型题巩固概念，如单选题1考查定义| |提升层|根的判别式、简单应用|结合生活情境（商品降价、社区分类）培养模型意识，如填空题15直角三角形面积| |综合层|复杂应用、跨知综合|通过杨辉几何问题、梯子滑动探究题发展推理能力与创新意识，如解答题26动态几何|

第2章一元二次方程单元巩固复习小练 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（25-26九年级上·四川德阳）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 9．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 13．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 14．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 17．（2026·山东威海·模拟预测）已知，则___________． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 19．（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 20．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 三、解答题 21．（26-27九年级上·全国·单元复习）解方程： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 23．（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 25．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 (2)如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 27．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C A D A A C B 1．C 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2．C 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 3．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4．C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 5．A 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 6．D 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 7．A 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．A 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 9．C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 10．B 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 11．1 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 12． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 13． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 14． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 15．24 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 16．米或米 【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 17．或 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 18． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 19．59 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 20．2026 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 22．(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 23．9 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 24．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 25．(1) 售价 销售量 第一周 第二周 第三周 (2)9元 【详解】（1）解：∵单价降低1元，可多售出50个， ∴第二周的售价为元，销售量为个， ∵商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出， ∴第三周的售价为4元，销售量为（个）； （2）解：由题意得，， 化简得：， 解得， ∴第二周售价 答：第二周旅游纪念品的销售价格为9元． 26． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 27．(1) (2) (3)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． $