练习86-89 二次函数的应用 易错专题训练-【实验班】 2026-2027学年九年级全一册数学计算高手（北师大版·新教材）

计算高手数学八年级 练习86二次函数的应用(1） 建议用时：15分钟 实际用时： 做对 题 答案见P17 1.若抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，求m的值. 2.已知二次函数y=x2十bx一2的图象与x轴的一个交点为(1,0)，求它与x轴的另一个交点坐标. 3.已知抛物线y=x2一x-1与x轴的一个交点为(m,0),求代数式m2一m+2026的值. 4,(菏泽中考)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩 形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱 笆120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积. (2)在花园面积最大的条件下，A,B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知 牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多 少株牡丹？ (第4题) 98 二次函数第九部分 练习87二次函数的应用(2】 建议用时：15分钟实际用时： 做对 题 答案见P18 1.已知函数y=x(2一3x),当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值. 2.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的最大值是0，化简：|a|十4ac一b2. 3.某商品每件的进价为30元，每件以x元出售，可卖出(100一x)件，应如何定价才能使利润最大？ 4.新情境计算浇灌距离如图，护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计） 为坡地AB进行浇灌，OA=10,点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在 距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为13m.以OB所在 的水平方向为x轴，OA所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系. (1)求图中水柱所在抛物线的函数关系式； (2)若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m,求此时喷到C处的水柱距出水口的水 平距离. (第4题) 99 计算高手数学八年级 练习88二次函数的应用(3)】 建议用时：15分钟 实际用时： 做对 题 答案见P18 1,抛物线y=x2十bx十c与x轴的正半轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且线段AB的长为1， △ABC的面积为1，求b的值. 2.抛物线y=x2-4x十m与x轴的一个交点的坐标为(1,0)，求此抛物线与x轴的另一个交点的 坐标. 3.用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为l8m,这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 18m 墙 (第3题) 中考计算新考法 [操作探究]已知二次函数的图象以A(一1,4)为顶点，且过，点B(2,一5). (1)求该二次函数的关系式； (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标； (3)将该函数图象向右平移，当图象经过原，点时，A,B两点随图象移至A',B',求△OAB的面积 100 二次函数第九部分 练习89易错专题训练 建议用时：15分钟实际用时： 做对 题 答案见P18 1.如图，二次函数y=一x2一2x的图象与x轴交于点A,O,在抛物线上有一点P,满足S△4oP=3, 求点P的坐标 (第1题) 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2一2x一4与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点， 求△ABC的面积. 3.若抛物线的图象经过(1,0)和(5,0)两点，其顶点与x轴的距离为12，求此抛物线的函数关系式 4.新考法操作探究已知直线y=一2x十b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线的函数 关系式为y=x2-(b十10)x+c. (1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=一2x十b上，确定这条抛物线的函数关系式； (2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过点C,试确定直线y=一2x 十b的函数关系式 101则8+二2，解 a=8 9a+k=3, 15 k=8 所以y日红+g-名女子ct2: 1 1 当对称轴为直线x=3时，设抛物线的函数关系式为y=m(x 一3)2+n(m≠0)， 1 则/9m+n=2, m= 81 解得 (m十n=3, 25 n=8’ 所以y=8-3+石=-是x 1 8=一x2十1x十之 综上所述，抛物线的函数关系式为y=令- 1 4x十2或y= 日r++2 4.(1)由题意，得 -b 2X31, 6-、3 2 4 解得 9 3X4+2b+c=一9 c=- 4 4 放二次函数的关系式为y=4x23。一 2x-4 (②由子-号x一号=0，解得=-1a=8放点B 的坐标为（一1,0），点C的坐标为(3,0) 练习85确定二次函数的关系式(2) 1.设二次函数的关系式为y=a(x一1)(x一4)(a≠0). ,图象交y轴于点C,且BC=5, ∴点C的坐标为(0,3)或(0，-3). 当点C的坐标为(0,3)时，把(0,3)代入， 得a(一1DX(一40=3，解得a=子， 小此时二次函数的关系式为y=子红一1D(x一40=子2- 3 1 4x+3; 当点C的坐标为(0，-3)时，把(0，一3)代入，得a·(-1)× (-4)=-3,解得a=-3, 4 “此时二次函数的关系式为y=一是红一1D·x一)= + x-3. 故该二次函数的关系式为y=子2-只x十3或y Γ4x-3 2.,二次函数y=ax2十bx十c图象的对称轴为直线x=3,最 小值为一2，此二次函数的顶点坐标为(3，一2). 设二次函数的关系式为y=a(x一3)2-2. :函数图象过点(0109a一2=1，解得a=弓此二次 函数的关系式为y=号红-3)-2=子2-2x+1 3.()抛物线的对称轴是直线x=-,22=1, 2a 图象经过点（一2,0），设另一个交点为(x2,0),则 -2十x2=1,解得x2=4, 2 故图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0). (2)设二次函数的关系式为y=a(x一4)(x十2)(a≠0)，把 (一1，一5)代入，得一5a=一5，解得a=1,则y=(x一4)(x 十2)=x2一2x一8，.二次函数的关系式为y=x2一2x一8. 4:抛物线过点（一1,0），(3,0)， 抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.抛物线的顶点坐标为(1,3). 设抛物线的函数关系式为y=a(x十1)(x一3)(a≠0)，把(1,3) 代人，得一红=3，解得a=:地物线的函数关系式为 y=+13》=+2 4 5,图象有最高点且在x轴上方， .函数图象开口向下. 又对称轴到y轴的距离为1， .函数的顶点坐标为(1,6)或（一1,6）. 当函数的顶点坐标为(1,6)时，设函数关系式为y=a(x一1) +6(a≠0)， 将点(0,2)代入，得a=-4, .此二次函数的关系式为y=一4(x一1)2十6. 当函数的顶点坐标为（一1,6）时，设函数关系式为y=a(x十 1)2+6(a≠0)，将点(0,2)代入，得a=-4, ∴.此二次函数的关系式为y=-4(x十1)2十6. 综上，此二次函数的关系式为y=一4(x士1)2十6. 一题铝解设该函数关系式为y=ax2十bx十c, 由题意，得一2 b =士1，.b=-2a或2a. 又4ac62 Aa =6,∴.c=6+a,.y=a.x2±2ax+6+a. 将(0,2)代入上式，得a=一4， y=-4x2士8x+2. 练习86二次函数的应用(1) 1.抛物线与x轴只有一个公共点， .△=b2-4ac=42-4×2Xm=0,.m=2. 2.把(1,0)代入y=x2+bx-2,得0=1十b-2, .b=1.∴y=x2+x-2. 令y=0,解得x1=1,x2=-2, .它与x轴的另一个交点坐标是（一2,0）. 3.,抛物线y=x2-x一1与x轴的一个交点为(m,0), .m2-m-1=0,'.m2-m=1, ∴.m2-m+2026=1+2026=2027. 4.(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米， 则平行于墙的边为(120一3x)米.根据题意得S=x(120 3x)=-3.x2+120x=-3(x-20)2+1200. -3<0, ..当x=20时，S取最大值1200， .∴.120-3.x=120-3×20=60, ∴.垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积 最大为1200平方米. (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2一m=(2400 m)株. ,学校计划购买费用不超过5万元， ∴.25m+15(2400-m)≤50000，解得m≤1400，.最多 可以购买1400株牡丹。 练习87 二次函数的应用(2) 1y=x(2-3x)= ∴该地物线的顶点坐标是（兮，号）】 a=一3<0，∴.该抛物线的开口方向向下， “该函数有最大值，最大值是3 2.,二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)有最大值， 二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象的开口方向向 下，即a<0. 又二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的最大值是0， :4ac-6 =0,∴.4ac-b2=0, Aa ∴.|a|+4ac-b2=-a+0=-a. 3.设最大利润为w元. 由题意，得w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225. .-1<0,0<x<100, .当x=65时，u有最大值1225， .每件商品以65元出售时，利润最大 4.(1),水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离 地面OB的竖直高度的最大值为13m,∴，抛物线顶点坐标 为(6,13)， 设抛物线关系式为y=a(x一6)2+13， 0A=10m,.A(0,10),∴.10=a(0-6)2+13, 解得a=一2图中水柱所在抛物线的函数关系式为 y=-bx-02+13. (2)由(1)可知，抛物线关系式为y=一2(x-6)2+13, 8当y=1时，2x一6)2+13=1y 解得x1=18,x2=一6（舍去）， ,∴.此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m. 练习88二次函数的应用(3) 1设A,B,C三点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),(0,c),且x1 <x2.抛物线y=x2+bx十c与x轴的正半轴交于A,B 两点，线段AB的长为1，.x2一x1=1.△ABC的面积为 1,即2(x2-x)·c=1,…c=±2. x1>0,x2>0,.x1·x2>0. x1十x2=-b, x1·x2=c,.c=2,.x1·x2=2, x2一x1=1, 解得b=±3.：x1>0,x2>0,.x1十x2>0. x1十x2=-b,∴b<0,∴b=-3. 2把(1,0)代人y=x2-4x+m中，得m=3, .抛物线的函数关系式为y=x2一4x十3. 令y=0,则x2-4x十3=0，解得x1=1,x2=3,.抛物线与 x轴的另一个交点的坐标是(3,0). 1 一题多解 一4 ,该抛物线对称轴为x=一 2 =2, :.该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0). 3设矩形的宽为xm,面积为Sm2, 根据题意，得S=x(30一2x)=一2x2+30x=一2(x 7.5)2+112.5, 所以当x=7.5时，S最大，最大值为112.5， 此时30-2x=30-15=15.符合题意. 故当矩形的长为15m,宽为7.5m时，矩形菜园的面积最 大，最大面积为112.5m2. 揭秘新考法 【全解】(1)设抛物线的顶点式为y=a(x十1)2+4(a≠0)，将 B(2,-5)代入，得9a十4=一5，解得a=-1,.该二次函数的 关系式为y=-(x十1)2十4=-x2-2x十3. (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交，点为(0,3) 令y=0,得-x2-2x十3=0， 解得x1=一3，x2=1,即抛物线与x轴的交点为（一3,0）， (1,0). (3)设抛物线与x轴的交点为M,N(M在N的左侧)，由(2)， 知M(-3,0),N(1,0). 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向 右年移了3个单位，故A(2,40,B'(5,-5)5a0g=号× 2+50X92×2X4-号X5x5=15 【方法精解】解答二次函数问题，要注意以下几，点：(1)用待定 系数法求二次函数的关系式时，若知道顶，点坐标，则可设成顶 点式y=a(x一h)2十k;若知道与x轴的交点，则可设成交，点 式y=a(x一x1)(x一x2),然后将点坐标代入，即可求出二次函 数的关系式.(2)根据二次函数的关系式，令x=0,可求得抛物线 与y轴的交点坐标；令y=0,可求得抛物线与x轴的交点坐标 练习89易错专题训练 1.设点P的纵坐标为m, 令y=0,得-x2-2x=0,解得x1=0,x2=-2,.A(-2, 0),0A=2.Sam=2OA·lm=3,m=3, ∴.m=士3. 当点P的纵坐标为3时，-x2-2x=3,即x2+2x+3=0, △=4一12<0，方程无解，此种情况不成立； 当点P的纵坐标为-3时，-x2-2x=-3,即x2+2x-3 =0,解得x1=1,x2=一3， .P(1,-3)或(-3，-3). 2当x=0时，y=一4，即抛物线与y轴的交点A的坐标为 (0,-4),所以OA=4. 当y=0时，x2-2x-4=0,解得x=1士√5， 即抛物线与x轴的交点B,C的坐标分别为(1+5,0)， (1-√5,0)，所以BC=2√/5， ∴SAe=20A,BC=号×4X2w5=4W5. 3.由题意，得抛物线的对称轴为x=3,即顶点坐标为(3,12) 或(3，一12). 当顶点坐标为(3,12)时， 设抛物线的函数关系式为y=a(x一3)2+12(a≠0)， 将(1,0)或(5,0)代人，解得a=一3，即抛物线的函数关系式为 y=-3(x-3)2+12; 当顶点坐标为(3，一12)时，设抛物线的函数关系式为y= a(x-3)2-12(a≠0)， 将(1,0)或(5,0)代人，解得a=3,即抛物线的函数关系式 为y=3(x-3)2-12. 综上所述，抛物线的函数关系式为y=一3(x一3)2+12或 y=3(x-3)2-12. 题解由题意，得抛物线的对称轴为x=3,顶点坐标 为(3,12)或(3，-12) 设该抛物线的关系式为y=a.x2十bx十c. 将(1,0)，(5,0)，(3,12)代入关系式， a十b+c=0, a=-3, 得25a十5b十c=0,解得b=18, 9a+3b+c=12, c=-15. 将(1,0)，(5,0)，(3，-12)代入关系式，得 a+b+c=0, a=3, 25a+5b+c=0, 解得b=-18, 9a+3b+c=-12, c=15, 所以抛物线的关系式为y=一3x2+18x一15或y=3x2一 :18x+15. 4.(1)将B(0,b)代人y=x2-(b+10)x十c,得c=b,顶点坐标 为生”.++1四) 4 由题意，得-2×b+10 b2+166+100 2 b= 4 解得b1=一10，b2=一6， y=x2-10或y=x2-4x-6. (2②)如图，：点A坐标（台0），点B坐标0,6）， (第4题) .OA= b 2 ,OB=6. 又OA⊥OB,AB⊥BC,.△OAB∽△OBC, 9咒-8器0B=-0A.0c. 即b2=OC· b 2b2 20c=名 当b>0时，0C=2b,∴.C(-2b,0). 又抛物线对称辅为士。 -26=6+10 2 b=-2(舍去)： 当b<0时，OC=-2b,.C(-2b,0), 1-20”6=-2以特合要求。 综上，直线的函数关系式为y=一2x一2. 第十部分直角三角形的边角关系 练习90锐角三角函数的计算(1) 10原式-号+号-生 2 原默-号×号×号-9 1 ③原式-9×+1x9-+92 2-6T2-3 ④)原式-2x +3x5-2w3=1-5. 2∠C=90°，AB=5,BC=3, ∴.AC2=AB2-BC2,解得AC=4. ∴mB-S-春 3.由题意，得AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32 +42=25,.AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， os∠AC-沿-号 BC5 练习91锐角三角函数的计算(2) 1(10原式=2x 号+8x写2g-反-8】 (2)原式 (公)+()-1 （3原式=22+2-4x5-1=L 2 (4)原式=1+2×2 -2+2=2. (6)原式=1-2+1+3+2×号=5-2+2=5. 2 (6)原式=1-2×1+2+3=4. 0原式=02+()°-(2）召=02+号+3-日 =0.7 (8)原式=3+35+2-2X号=4+35. 2设AC=x,,AC⊥BC,∠ABC=30°， ∴AB=2x,BC=3x. ,BD=BA,.DC=(2十√3)x, .tan∠DAC D AC=2+3. 练习92锐角三角函数的计算(3) 3 1.(1)原式=3- 12 7+3 鸡 3 ②原武-2x号-1中4=4 8)原式=2-2x9+厅-1=1 (4)原式=1-2W3+1+2W3=2. 6原式=4x(停)》°+1-8x()°-2 (6)原式=3√2-√2+20W2-√2=212. 《0)原式-4-5+1+2×g+1-6 2.如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则∠ADC=∠BDC=90°， C A30 45°>B (第2题)